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The Project Gutenberg eBook, Elementare Arithmetik und Algebra, by Hermann
Schubert


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Title: Elementare Arithmetik und Algebra

Author: Hermann Schubert

Release Date: April 6, 2004  [eBook \#11925]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1


***START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTARE ARITHMETIK UND
ALGEBRA***



Produced by Cornell University, Joshua Hutchinson, Arno Peters 
and the Online Distributed Proofreading Team. 


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\begin{document}
\def\partname{Abschnitt}
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\label{p:001}
\label{p:002}
\label{p:003}
\begin{titlepage}
  \begin{center}
    \textbf{\Large Elementare}\\[1cm]
    \textbf{\Huge Arithmetik und Algebra}\\[2cm]
    von \\[2cm]
    \textbf{\LARGE Dr. Hermann Schubert} \\[.5cm]
    Professor an der Gelehrtenschule des Johanneums in Hamburg
\end{center}
\end{titlepage}
\label{p:004}
\label{p:005}
\header
\cleardoublepage
\chapter*{Vorwort.}

Der vorliegende erste Band meiner im Verein mit
vielen namhaften Fachgenossen begonnenen Sammlung
mathematischer Lehrbücher enthält die elementare Arithmetik
und Algebra, mit Einschluß der quadratischen Gleichungen
und der Rechnungsarten dritter Stufe, aber mit Ausschluß
der geometrischen Reihen, der Zinseszins-Rechnung, der
höheren arithmetischen Reihen, der Kombinatorik, des
binomischen Lehrsatzes, der Wahrscheinlichkeitsrechnung,
der Kettenbrüche, der diophantischen Gleichungen, der
binomischen Gleichungen und der kubischen Gleichungen.
Diese Gebiete werden im fünften Bande der Sammlung,
betitelt ``Niedere Analysis'', Aufnahme finden.

\vspace*{2ex}

\emph{Hamburg}, im November 1898.

\vspace*{2ex}

\hbox to\hsize{\hss\textbf{Hermann Schubert.}\hskip\parindent}

\label{p:006}
\cleardoublepage
{\def\footnote#1{}\tableofcontents}

%%%\textbf{Inhaltsverzeichnis.}
%%%
%%%I. Abschnitt: Die arithmetische Kurzschrift.
%%%
%%%§~1. Arithmetische Bezeichnungen
%%%§~2. Das Setzen der Klammern
%%%§~3. Der Buchstabe als Zahl
%%%
%%%II. Abschnitt: Rechnungsarten erster Stufe.
%%%
%%%§~4. Zählen und Zahl
%%%§~5. Addition
%%%§~6. Subtraktion
%%%§~7. Verbindung von Addition und Subtraktion
%%%§~8. Null
%%%§~9. Negative Zahlen
%%%
%%%III. Abschnitt: Rechnungsarten zweiter Stufe.
%%%
%%%§~10. Multiplikation
%%%§~11. Division
%%%§~12. Verbindung von Multiplikation und Division
%%%§~13. Verbindung der Rechnungsarten erster nnd zweiter Stufe
%%%§~14. Gebrochene Zahlen
%%%
%%%IV. Abschnitt: Anwendungen der Rechnungsarten erster und zweiter Stufe.
%%%
%%%§~15. Formeln für die Umwandlung von Ausdrücken
%%%§~16. Entwickeln und Vereinfachen
%%%§~17. Gleichungen ersten Grades mit einer Unbekannten
%%%§~18. Gleichungen ersten Grades mit mehreren Unbekannten
%%%§~19. Arithmetische Reihen
%%%§~20. Proportionen
%%%§~21. Eigenschaften der natürlichen Zahlen
%%%§~22. Zahl-Darstellung
%%%§~23. Dezimalbrüche
%%%
\label{p:007}
%%%V. Abschnitt: Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen.
%%%
%%%§~24. Quadrierung und Quadratwurzel-Ausziehung
%%%§~25. Irrationale Zahlen
%%%§~26. Imaginäre Zablen
%%%§~27. Quadratische Gleichungen mit einer Unbekannten
%%%§~28. Quadratische Gleichungen mit mehreren Unbekannten
%%%
%%%VI. Abschnitt: Rechnungsarten dritter Stufe.
%%%
%%%§~29. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
%%%§~30. Wurzeln
%%%§~31. Potenzen mit gebrochenen und irrationalen Exponenten
%%%§~32. Logarithmen
%%%
%%%Anhang.
%%%
%%%§~33. Das System der arithmetischen Operationen
%%%§~34. Die Erweiterungen des Zahlbegriffs
%%%§~35. Historisches
%%%§~36. Rechnungs-Ergebnisse bei den Übungen (mit Auswahl)

\separator

\label{p:008}
\part{Die arithmetische Kurzschrift.}

\chapter{Arithmetische Bezeichnungen.}\label{ch:1}

Aus dem elementaren Rechnen hat sich seit dem
16.~Jahrhundert eine bestimmte Zeichensprache entwickelt,
deren sich die Arithmetik, d.~h. die Lehre von den Zahlen,
bedient. Diese Zeichensprache, die zugleich eine auf Übereinkunft
beruhende Kurzschrift ist, wird in diesem Abschnitt
an der Hand der Verbindung der natürlichen Zahlen durch
die vier Species des Rechnens auseinandergesetzt.

Jede Zahl muß in Bezug auf jede andere eine der
folgenden drei Eigenschaften haben. Entweder sie muß ihr
\emph{gleich} oder \emph{größer} als sie oder \emph{kleiner} als sie sein.
Demnach besitzt die Arithmetik drei Vergleichungszeichen,
nämlich
\begin{equation*}
  =, >, <,
\end{equation*}
die man beziehungsweise ``\emph{gleich}'', ``\emph{größer als}'', ``\emph{kleiner als}'' liest. Die beiden Zeichen $>$ und $<$ unterscheide
der Anfänger dadurch, daß er sich merkt, daß die
Spitze des Vergleichungs-Zeichens stets auf die kleinere
Zahl hin gerichtet ist.

Für die Verbindung zweier Zablen durch eine der vier
Species (Grund-Rechnungsarten) Addition, Subtraktion, Multiplikation
und Division sind die vier Zeichen:
\begin{center}
  +, $-$, $\cdot$, :
\end{center}
üblich geworden, die man beziehungsweise ``\emph{plus}'', ``\emph{minus}'',
``\emph{mal}'' und ``\emph{durch}'' liest. Die Namen für die beiden
\label{p:009}
durch jede der vier Species verbundenen Zahlen sowie für
das in jedem Falle erhaltene Ergebnis gehen aus der folgenden
Übersicht hervor:
\begin{center}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \parbox{.18\hsize}{\centering\strut
      Name der vier Grund\-rechnungs\-arten:\strut}
    & Addition
    & Subtrak\-tion
    & Multipli\-kation
    & Division   \\
    \hline
    Beispiel:
    & $15 + 3 = 18$
    & $15 - 3 = 12$
    & $15 \cdot 3 = 45$
    & $15 : 3 =  5$   \\
    \hline
    \parbox{.18\hsize}{\centering\strut
      Die erste Zahl, hier 15, heißt:\strut}
    & Summan\-dus
    & Minuendus
    & Faktor
    & Dividen\-dus \\
    \hline
    \parbox{.18\hsize}{\centering\strut
      Die zweite Zahl, hier 3, heißt:\strut}
    & Summan\-dus
    & Subtrahen\-dus
    & Faktor
    & Divisor   \\
    \hline
    \parbox{.18\hsize}{\centering\strut
      Name des Er\-gebnisses:\strut}
    & Summe
    & Differenz
    & Produkt
    & Quotient   \\
    \hline
  \end{tabular}
\end{center}

Addition und Subtraktion heißen Grundrechnungsarten
erster Stufe, Multiplikation und Division zweiter Stufe.
Ferner heißen Addition uud Multiplikation \emph{direkte},
Subtraktion und Division \emph{indirekte} Grundrechnungsarten.---Jede
Grundrechnungsart läßt aus zwei Zahlen eine dritte
finden. Diese dritte Zahl kann entweder \emph{ausgerechnet}
dargestellt werden, wie in den obigen Beispielen 18, 12,
45 und 5 oder \emph{unausgerechnet}, wie $15 + 3$, $15 - 3$,
$15 \cdot 3$, $15: 3$. Unausgerechnet dargestellte Summen,
Differenzen, Produkte oder Quotienten nennt man \emph{Ausdrücke}.
Die drei Vergleichungszeichen wendet man auch bei Ausdrücken
an. Man bezeichnet also einen Ausdruck als \emph{gleich}
einem andern, wenn er dieselbe Zahl darstellt, wie jener.
Man nennt ferner einen Ausdruck \emph{größer} oder \emph{kleiner}
als einen andern, wenn er eine größere bezw. kleinere
Zahl darstellt, als jener.

Zwei durch ein Vergleichungs-Zeichen verbundene Zahlen
oder Ausdrücke bilden eine \emph{Vergleichung}, und zwar ist
die Vergleichung eine \emph{Gleichung}, wenn das verbindende
Zeichen das Gleichheitszeichen ist, eine \emph{Ungleichung},
wenn dieses Zeichen das Größer- oder das Kleiner-Zeichen ist.

Bei einer Gleichung darf man die rechte und die linke
Seite vertauschen, d.~h. die Gleichung rückwärts lesen. Dabei
ist das Gleichheitszeichen wieder mit ``gleich'' zu übersetzen.
\label{p:010}
So lautet $15-3=12$ rückwärts gelesen $12=15-3$.
Wenn man aber eine Ungleichung rückwärts liest, so ist
kleiner statt größer und größer statt kleiner zu setzen.
So ergiebt $15-3 > 11$ rückwärts gelesen $11 < 15-3$.

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:1}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Lies die folgenden Vergleichungen:}

\item $4=4$;
\item $9>3$;
\item $43<44$.
\item Drücke aus, dass 12 kleiner als 20 ist.

\exercisegoal{Lies und berechne:}

\item $7+8$;
\item $13-5$;
\item $13\cdot 5$;
\item $28: 7$;
\item $28+7$;

\item $8-7$;
\item $9: 3$;
\item $10\cdot 10$;
\item $300: 60$.

\item Unterscheide, bei welchen von den Ausdrücken
5) bis 13) eine Grundrechnungsart \emph{erster} und bei welchen
eine \emph{zweiter} Stufe auftritt.

\item Bei welchen von den Ausdrucken 5) bis 13) tritt
eine \emph{indirekte} Grundrechnungsart auf?

\exercisegoal{Suche in den Ausdrücken 5) bis 13):}

\item die Summanden;
\item die Minuenden;
\item die Subtrahenden;
\item die Faktoren;
\item die Dividenden;
\item die
Divisoren.

\exercisegoal{Welche von den Ausdrücken 5) bis 13) sind:}

\item Differenzen?
\item Quotienten?
\item Produkte?
\item Summen?

\exercisegoal{Schreibe in arithmetischen Zeichen:}

\item das Produkt, dessen Faktoren 4 und 9 sind;

\item die Summe, deren Summanden 4 und 9 sind;

\item die Differenz, deren Minuendus 24 und deren Subtrahendus
8 ist;

\item den Quotienten, dessen Dividendus 24 und dessen
Divisor 8 ist;

\item den Quotienten, dessen Dividendus 25 und dessen
Divisor 5 ist;

\item das Produkt, dessen Faktoren 25 und 5 sind.

\exercisegoal{Drücke in arithmetischer Kurzschrift aus:}

\item Durch Vermehrung von 8 um 2 entsteht 10;

\item Durch Verdoppelung von 8 entsteht 16;
\label{p:011}
\item Durch Zusammenzählen von 15 und 85 entsteht 100;

\item Durch Versechsfachung von 9 entsteht 54;

\item Der Unterschied von 19 und 16 beträgt 3;

\item Wenn man 43 um 7 wachsen lässt, entsteht 50;

\item Der siebente Teil von 91 beträgt 13;

\item Wenn man 20 in vier gleiche Teile teilt, wird jeder
Teil gleich 5;

\item Die Verminderung von 32 um 10 beträgt 22.

\exercisegoal{Setze das richtige Vergleichungszeichen
zwischen die Ausdrücke:}

\item $9+4$ und $11+2$;
\item $13+5$ und $2{\cdot}9$;
\item $45-10$ und $4{\cdot}4$;
\item $19{\cdot}3$ und $6{\cdot}10$;
\item $28:4$ und $5+4$;
\item $37+7$ und $4{\cdot}11$;
\item $98-18$ und $162:2$;
\item $225:45$ und $216:36$.

\exercisegoal{Drücke in arithmetischer Zeichensprache aus:}

\item Die Vermehrung von 11 um 9 ergiebt dasselbe
wie die Vervielfachung von 5;

\item Die Verminderung von 17 um 7 ergiebt dasselbe
wie die Vermehrung von 3 um 7;

\item Die Hälfte von 12 ist gleich der um 1 verminderten
Zahl 7;

\item Das Doppelte von 6 ist der sechste Teil von 72;

\item 19 ist grösser als die Hälfte von 36;

\item Zu 13 muß man noch eine Zahl hinzufügen, um
das Dreifache von 5 zu erhalten;

\item Die Zahl 100 übertrifft den Übersehuß von 120
üher 24;

\item Der fünfte Teil von 65 ergiebt mehr als der sechster
Teil von 60;

\item Die Summe von 19 und 11 ist kleiner als 4 mal 8,
das erhaltene Produkt aber wieder kleiner als der dritte
Teil von 99;

\item 7 mal 7 liegt \emph{zwischen} 6 mal 8 und 5 mal 10.
\end{exercise}

\separator

\chapter{Das Setzen der Klammern.}\label{ch:2}

Wenn man die Differenz $20-4$ um 5 vermehrt, so
erhält man $16+5$ oder 21. Wenn man zweitens 20 um
die Summe von 4 und 5 vermindert, so erhält man $20-9$
\label{p:012}
oder 11. Man erhält also verschiedene Ergebnisse, obwohl
in beiden Fällen die arithmetische Kurzschrift ein und
dasselbe nämlich:
\begin{equation*}
  20 - 4 + 5
\end{equation*}
ergeben würde. Es ist daher notwendig, wohl zu
unterscheiden, ob zuerst die Subtraktion $20-4$ oder zuerst die
Addition $4 + 5$ ausgeführt gedacht werden soll. Diese
Unterscheidung wird nun in der arithmetischen
Zeichensprache dadurch getroffen, daß man den zuerst
auszuführenden Ausdruck in eine \emph{Klammer} einschließt, also
bei unserm Beispiele:
\begin{align*}
  (20-4) + 5 &= 16 + 5 = 21, \\
  \text{und } 20 - (4 + 5) &= 20-9 = 11.
\end{align*}

Der Kürze wegen, kann man jedoch in dem einen der
beiden Fälle die Klammer fortlassen. Wenn Rechnungsarten
\emph{gleicher Stufe} zusammentreffen, wie in dem obigen
Beispiele, so läßt man die Klammer um den zu \emph{Anfang}
stehenden Ausdruck fort, also:
\begin{equation*}
(20-4) + 5 = 20-4 + 5 = 16 + 5 = 21.
\end{equation*}

Wenn aber Rechnungsarten \emph{verschiedener Stufe}
zusammentreffen, so läßt man die Klammer um den
Ausdruck fort, der die Rechnungsart \emph{höherer} Stufe enthält,
gleichviel ob dieser Ausdruck voransteht oder nachfolgt, z.~B.:
\begin{align*}
                   7 + 8 \cdot 5 = 7 + 40 &= 47, \\
\text{aber } (7 + 8) \cdot 5 = 15 \cdot 5 &= 75.
\end{align*}

Über das Setzen der Klammern gelten demnach die
folgenden drei Regeln:

\textbf{Erste Klammerregel:} \emph{Ein Ausdruck, der selbst
Teil eines ändern Ausdrucks ist, wird in eine
Klammer eingeschlossen;} z.~B.:
\begin{align*}
   (7-3) . 5 = 4 . 5 &= 20; \\
  31-(7 + 8) = 31-15 &= 16; \\
(18 : 3) : 3 = 6 : 3 &= 2.
\end{align*}

\textbf{Zweite Klammerregel:} \emph{Diese Klammer darf
jedoch fortgelassen werden, wenn zwei Rechnungsarten
\textbf{gleicher} Stufe auf einander folgen, und
\label{p:013}
die \textbf{voranstehende} Rechnungsart zuerst
ausgeführt werden soll;} z.~B.:
\begin{align*}
  13    - 9 + 1 &=  4 + 1 = 5; \\
  6 \cdot 9 : 3 &= 54 : 3 = 18; \\
  36    : 3 : 4 &= 12 : 4 = 3.
\end{align*}

\textbf{Dritte Klammerregel:} \emph{Die Klammer darf ferner
fortgelassen werden, wenn zwei Rechnungsarten
\textbf{ungleicher} Stufe auf einander folgen und
die Rechnungsart \textbf{höherer} Stufe zuerst ausgefübrt
werden soll;} z.~B.:
\begin{align*}
  49 -  6 \cdot 8 = 49 - 48 & = 1; \\
  25 - 12 :     4 = 25 -  3 & = 22; \\
  80 :  4 -     2 = 20 -  2 & = 18.
\end{align*}

Diese drei Klammerregeln machen also die Klammer in
zwei Fällen \emph{überflüssig}, nämlich:

Erstens um einen Ausdruck, der \emph{erster} Teil eines
Ausdruckes \emph{gleicher} Stufe ist, z.~B.:
\begin{equation*}
  ( 9 - 7 ) + 1 = 9 - 7 + 1;
\end{equation*}

zweitens um ein Produkt oder um einen Quotienten,
wenn dieselben Teile einer Summe oder einer Differenz
sind, z.~B.: $8 + ( 9 \cdot 4 ) = 8 + 9 \cdot 4$.

Eine überflüssige Klammer setzt man nur in Fällen,
wo es zweckmäßig erscheint, den von der Klammer eingeschlossenen
Ausdruck hervorzuheben oder kenntlicher zu
machen.

Vor und nach einer Klammer kann der als Multiplikationszeichen
dienende \emph{Punkt} fortgelassen werden, z.~B.:
\begin{equation*}
  9 ( 4 + 3 ) = 9 \cdot 7 = 63; \qquad ( 10 - 3 ) 3 = 7 \cdot 3 = 21.
\end{equation*}

In den obigen Beispielen zur Verdeutlichung der
Klammerregeln sind immer nur \emph{zwei} Rechnungsarten
zusammengetreten. Ein aus zwei Rechnungsarten zusammengesetzter
Ausdruck kann jedoch wieder Teil eines dritten
Ausdrucks sein, dieser dritte Ausdruck wieder Teil eines
vierten, u.~s.~w. Bei so \emph{zusammengesetzten} Ausdrücken
benutzt man zur besseren Unterscheidung anßer
den runden Klammern $(\ldots)$ auch eckige $[\ldots]$, größere
rundet $\bigl(\ldots.\bigr)$ und auch wohl geschweifte $\bigl\{.\ldots.\bigr\}$, z.~B.:
\label{p:014}
\begin{gather*}
  6 \cdot [ 11-(5-2) ] = 6 \cdot [ 11 - 3 ] = 6 \cdot 8 = 48; \\
  \begin{split}
    & 100: \left\{ 97 - [ 7+80 : (16 : 8) ] \right\}  \\
    = \:& 100 : \left\{ 97 - [ 7+80 :  2 ] \right\}  \\
    = \:& 100 : \left\{ 97 - [ 7+40 ] \right\}  \\
    = \:& 100 : \left\{ 97 -    47 \right\} = 100 : 50 = 2.
  \end{split}
\end{gather*}

Wenn man die Zahl \emph{berechnen} will, die durch einen
zusammengesetzten Ausdruck dargestellt wird, so hat man
wegen der drei Klammerregeln auf folgendes zu achten:

1) Die innerhalb einer Klammer angezeigte Rechnungsart
ist früher auszuführen, als die ausserhalb der Klammer
vorgeschriebenen Rechnungsarten;

2) Zwei Rechnungsarten \emph{gleicher} Stufe werden,
wenn sie klammerlos aufeinanderfolgen, in der Reihenfolge,
wie man liest, also von links nach rechts, ausgeführt;

3) Von zwei \emph{ungleichstufigen} Rechnungsarten, die
klammerlos aufeinanderfolgen, wird immer die Rechnungsart
\emph{höherer} Stufe zuerst ausgeführt, selbst dann, wenn sie der
niederer Stufe nachfolgt.

\emph{Beispiele der Berechnung zusammengesetzter
Ausdrücke:}

1) $205 - 9 \cdot (3 + 9 ) = 205 - 9 \cdot 12 = 205 - 108 = \textbf{97}$;

2) $( 45 + 9 \cdot 5 ) : (2 + 3 + 4 ) = ( 45 + 45 ) : ( 5 + 4 )
     = 90 : 9 = \textbf{10}$;

3) $[ ( 3 + 13 - 4 ) \cdot 5 - 2 \cdot 3 ] : (3 \cdot 6 ) = [ ( 16 - 4 ) \cdot 5
     - 2 \cdot 3 ] : 18 = [ 12 \cdot 5 - 2 \cdot 3 ] : 18 = [ 60 - 6 ] : 18 = 54 : 18
     = \textbf{3}$.

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:2}.}

\begin{exercise}
\item Wie unterscheiden sich $(17-4) \cdot 3$ und $17-(4\cdot 3)$?

\item Wie unterscheiden sich $20-(13-3)$ und $(20-13)
-3$?

\exercisegoal{Sehreibe in Zeichensprache den drei Klammerregeln
gemäss und berechne dann:}

\item 29 vermindert um die Summe von 11 und 3;

\item 48 dividiert durch das Produkt von 3 und 4;

\item 24 vermehrt um 7 und die erhaltene Summe vermindert
um 8;

\label{p:015}
\item Das Produkt von 7 und 13, vermindert um 48;

\item Die Summe von 7 und 13, geteilt durch 4;

\item Der Unterschied von 28 und 19, vermehrt um 91;

\item Der dritte Teil von 96, geteilt durch 8;

\item Die Summe von 19 und 31, vermindert um 6 mal 8;

\item Die Differenz von 8 mal 4 und 5 mal 6;

\item Das Produkt der Summen $5+6$ und $3+4$;

\item Der Quotient, dessen Dividendns die Summe von
37 und 7, und dessen Divisor die Summe von 4 und 7 ist;

\item Der Ausdruck, der entsteht, wenn man die Summe
von 38 und 13 um die Differenz von 18 und 7 vermindert;

\item 93 vermindert um das Produkt von 4 und 8, und
die erhaltene Differenz um 39 vermehrt;

\item Das Produkt von 9 und 11 vermehrt um die
Differenz zwischen 11 und 9;

\item Die Summe von 3 und 4, vermehrt um die Summe
von 5 und 6, und die so erhaltene Summe vermehrt um
die Differenz zwischen 100 und 18;

\item 100 vermindert um 7, die Differenz vermindert um
3 mal 4, die Differenz dividiert durch das Produkt von 3
und 9.

\exercisegoal{Berechne, den Klammerregeln gemäss:}

\item $18-8+3$;
\item $18-(8+3)$;
\item $20: 10: 2$;

\item $20: (10: 2)$;
\item $3\cdot 4\cdot 5$;
\item $3\cdot (4\cdot 5)$;

\item $5\cdot 18: 9$;
\item $5\cdot (18: 9)$;
\item $7+17-14$;

\item $7+(17-14)$;
\item $24: 6+30: 5$;

\item $30+3\cdot(5-2)$;
\item $20-5-6-2\cdot 4$;

\item $(50-8): (2\cdot 3)$;
\item $(50-8): 2\cdot 3$;

\item $40+(2\cdot 5+3\cdot 6)-(5+4+3)$;

\item $(1+2+3+4+5)(6+7)$;

\item $[ ( 2+3 ) \cdot 4 - (9-4) ] (8-5)$;

\item $52-[50-3(5 + 8)]$;

\item $200-\left\{100-[19-(4 + 5)]\right\}$;

\item $(3+9)[(3+17)\cdot 4-5\cdot 6]-\left\{20+[19-(8+9)]\right\}$;

\item $3+9\cdot 3+17\cdot 4-5\cdot 6-20+19-8+9$.
\end{exercise}

\separator

\label{p:016}
\chapter{Der Buchstabe als Zahl.}\label{ch:3}

Um eine beliebige Zahl zu bezeichnen, setzt man in der
Arithmetik dafür einen Buchstaben, wie $a$, $b$, $x$, $A$, $\alpha$ u.~s.~w.
Dabei gilt nur die Regel, dass in einer Vergleichung oder
überhaupt im Laufe einer auf Zahlen bezüglichen Erörterung
\emph{ein und derselbe Buchstabe auch immer nur
eine und dieselbe Zahl} vertreten darf. Meist gebraucht
man in der Arithmetik die Buchstaben des kleinen
lateinischen Alphabets.

Auch die Buchstaben werden, wie die gewöhnlichen
Zahlzeichen, durch die Rechnungsarten zu Ausdrücken verknüpft.
So entstehen \emph{Buchstaben-Ausdrücke}, wie
z.~B. $a-b+a\cdot b$ oder $(7\cdot (x+a)-7\cdot a): 7$. Dabei kann
der als Multiplikationszeichen dienende Punkt sowohl zwischen
zwei Buchstaben, wie auch zwischen einer Zahl und einem
Buchstaben fortgelassen werden.

In einem Buchstaben-Ausdrucke darf man immer für
einen und denselben Buchstaben eine und dieselbe Zahl
\emph{einsetzen}. Thut man dies bei jedem in dem Ausdrucke
vorkommenden Buchstaben, so lässt sich der Buchstaben-Ausdruck
für die betreffenden Einsetzungen (\emph{Substitutionen})
\emph{berechnen}. So ergiebt z.~B. der Ausdruck
\begin{equation*}
  a (a+b)-ab
\end{equation*}
für $a = 5$, $b = 3$ die Zahl 25, für $a = 6$, $b = 7$ die Zahl 36,
nämlich:

1) $a (a + b) - ab = 5 (5 + 3)-5\cdot 3 = 5\cdot 8 - 5 \cdot 3
= 40-15 = 25$;

2) $a (a + b) - ab = 6 ( 6 + 7) - 6 \cdot 7 = 6 \cdot 13 - 6 \cdot 7
= 78-42 = 36$;

An die Stelle der Buchstaben darf man auch Zablen-Ausdrücke
oder neue Buchstaben oder Buchstaben-Ausdrücke
einsetzen. Soll z.~B. in $a (a+b)-ab$ der Ausdruck $3+4$
für $a$, $5\cdot 6$ für $b$ gesetzt werden, so ergiebt sich: $(3+4)
(3 + 4 + 5\cdot 6)-(3 + 4)\cdot (5\cdot 6)$. Wenn man ferner $v+w$
für $a$, $v\cdot w$ für $b$ einsetzt, erhält man:
\begin{equation*}
  (v+w) (v+w + vw)-(v + w) (vw).
\end{equation*}

Wenn an die Stelle eines Buchstabens ein Ausdruck
gesetzt wird, so ist darauf zu achten, ob nicht vielleicht
\label{p:017}
dieser Ausdruck nach Vorschrift der Klammerregeln in eine
Klammer einzuschliessen ist, wie dies bei den obigen Beispielen
der Fall war.

Als allgemeine Zahlzeichen wendet man oft auch Buchstaben
an, denen unten kleiner geschriebene Zahlen, die
man dann \emph{Indices} nennt, oder oben kleine Striche angefügt
werden, z.~B.:

$c_1$ (gelesen: ``c eins''), $c_2$ (gelesen: ``c zwei''), \ldots

$d'$ (gelesen: ``d-strich''), $d''$ (gelesen: ``d-zweistrich''), \ldots

\separator

Wenn man zwei Ausdrücke, in denen ein Buchstabe
oder mehrere Buchstaben auftreten, zu einer Gleichung verbindet,
dann für jeden Buchstaben eine gewisse Zahl einsetzt,
so erhält man rechts und links vom Gleichheitszeichen
entweder zwei gleiche oder zwei ungleiche Zahlen. Im
ersteren Falle erweist eich die Gleichung für die ausgeführte
Substitution als richtig, im zweiten Falle als falsch.
Beispiele:

1) $4 (x + 1) = 3 x + 8$ erweist sich für $x = 1$, $x = 2$,
$x = 3$ als falsch, dagegen für $x = 4$ als richtig.

2) Die Gleichung $(a + b) (a + b) = aa + 2ab + bb$
erweist sich immer als richtig, was man auch für $a$ und für
$b$ setzen mag.

Gleichungen, die immer richtig werden, gleichviel, was
man für die in ihnen auftretenden Buchstaben setzen mag,
heissen \emph{identische}. Identische Gleichungen nennt man
\emph{Formeln}, wenn sie dazu dienen, arithmetische Wahrheiten
(\emph{Gesetze}) auszusprechen, die sich auf alle Zahlen beziehen,
also allgemeingültig sind. Beispiele von Formeln:

1) $ab = ba$ ist eine Formel, die ausspricht, dass ein
Produkt unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren ist,
aus denen es hervorgeht;

2) $a -(b + c) = a - b - c$ ist eine Formel, die ausspricht,
dass man, statt eine Summe zu subtrahieren, auch
den ersten Summanden subtrahieren und von der erhaltenen
Differenz den andern Summanden subtrahieren darf.

Da man die beiden Seiten einer Gleichung vertauschen
darf, so darf auch jede Formel rückwärts, d.~h. von rechts
nach links \emph{übersetzt} werden. Beispielsweise lautet die
Formel:
\begin{equation*}
  ( c + d ) e = c e + d e
\end{equation*}
\label{p:018}
vorwärts übersetzt: ``Eine Summe multipliziert man, indem
man jeden Summanden multipliziert, und die erhaltenen
Produkte addiert.'' Dagegen lautet dieselbe Formel, rückwärts
übersetzt: ``Zwei Produkte, deren zweiter Faktor derselbe
ist, addiert man, indem man die andern beiden Faktoren
addiert und die erhaltene Summe mit dem gemeinsamen
Faktor multipliziert.''

Im Gegensatz zu den identischen Gleichungen stehen
die \emph{Bestimmungsgleichungen}, oder Gleichungen
schlechthin. Dies sind solche Gleichungen, die nur richtig
werden, wenn man für Buchstaben, die in ihnen auftreten,
gewisse Zahlen einsetzt. Wenn in einer solchen Gleichung
nur ein einziger Buchstabe auftritt, so entsteht die Aufgabe,
die Zahl oder die Zahlen zu bestimmen, die für den Buchstaben
gesetzt werden müssen, damit eine richtige Gleichung
zwischen Zahl-Ausdrücken entsteht. Beispiele:

1) $5x - 1 = 14$ wird nur richtig für $x = 3$;

2) $x \cdot x + 28 = 11 x$ wird für zwei Substitutionen richtig,
nämlich für $x = 4$ und auch für $x = 7$, aber für keine
sonstige Einsetzung.

Der Buchstabe, für welchen man bei einer Bestimmungsgleichung
eine Zahl setzen soll, damit dieselbe richtig wird,
heisst die ``\emph{Unbekannte}'' der Gleichung und die Zahl
selbst ihr \emph{Wert}. Die Unbekannten pflegt man mit den
letzten Buchstaben des lateinischen Alphabets zu bezeichnen,
und zwar meist mit $x$, wenn nur eine Unbekannte da ist.

Nur in den einfachsten Fällen kann man die Werte
der Unbekannten durch \emph{Raten} bestimmen. Dagegen
ermöglichen es die in den folgenden Abschnitten entwickelten
Gesetze der Arithmetik, die Unbekannten der Gleichungen
\emph{methodisch} zu bestimmen. Derjenige Teil der Arithmetik,
der sich insbesondere mit der methodischen Bestimmung der
Unbekannten beschäftigt, heisst ``\emph{Algebra}''.


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:3}.}

\begin{exercise}
\item Wie heisst die Summe von $c$ und $d$?

\item Wie heisst der Ausdruck, der angiebt, um wieviel
$a$ grösser als $b$ ist?

\item Wie heisst der $q$-te Teil von $p$?

\item Welcher Ausdruck drückt das $m$-fache von $a$ aus?
\label{p:019}
\item Wie kann man die Zahl schreiben, die auf die Zahl
$a$ in der natürlichen Reihenfolge der Zahlen nachfolgt?

\item Wie ist das Zehnfache von $a - b$ zu schreiben?

\item Drücke arithmetisch aus, dass das Dreifache von $a$
um den vierten Teil von $b$ vermehrt werden soll.

\item Drücke arithmetisch aus, dass $a$, dividiert durch $b: c$
dasselbe ergiebt, wie $a : b$, mit $c$ multipliziert.

\exercisegoal{Berechne die folgenden Ausdrücke für
$a = 19$:}

\item $4 a - (a + 7)$;
\item $( a + 1 )( a + 31 )$;

\item $( a + 6 ) : ( a - 14 )$.

\exercisegoal{Berechne die folgenden Ausdrücke für
$a = 11$, $b = 5$:}

\item $a \cdot a - b \cdot b$;
\item $(a + b)(a - b)$;

\item $a - [ a - (a - b) ]$.

\exercisegoal{Berechne die folgenden Ausdrücke für
$d=18$, $e=6$, $f=5$:}

\item $(d : e + f \cdot e) : (e + f)$;
\item $(d + e - f) : (d +1)$.

\exercisegoal{Entscheide, ob die folgenden Gleichungen
für $x = 7$ richtig werden:}

\item $8 ( x - 5 ) = 2 x + 2$;

\item $3 x - 2 x + 1 = 3 x - (2x + 1)$;

\item $4 x : 14 = x - 5$;
\item $16: (x + 1) = x - 5$.

\exercisegoal{Entscheide durch Probieren, daß die
folgenden Gleichungen identische sind:}

\item $x + y = y + x$;

\item $xx + yy = (x + y)(x +y ) - 2xy$;

\item $(a + b)(aa - ab + bb) = aaa + bbb$;

\item $3 (x + 1) = 3x + 5 - 2$;

\item $(x + 5)(x + 3) = x + 8xx + 15$.

\exercisegoal{Wie heissen die folgenden Formeln in Worten:}

\item $a + (b + c) = a + b + c$;

\item $(a + b) : c = a : c + b : c$,

\item $ap - aq = a(p - q)$;
\item $a : b : c = a : (b \cdot c)$?
\end{exercise}

\separator

\label{p:020}
\part{Rechnungsarten erster Stufe.}

\chapter{Zählen und Zahl.}\label{ch:4}

Selbst Völker, die noch auf einer ganz niedrigen Kulturstufe
stehen, verstehen es, Zahlen aufzufassen und Zahlen
mitzuteilen, selbst dann, wenn ihre Sprache kein passendes
Zahlwort besitzt. In diesem Falle dienen die Finger oder
Steinchen dazu, die Zahlen mitzuteilen. Einerseits diese
Beobachtung, andrerseits die Beobachtung unsrer Kinder,
wenn sie zählen lernen, führt uns dazu, als das wichtigste
Moment im Begriff des Zählens das \emph{Zuordnen} anzusehen.
Wenn man Dinge zählt, fasst man sie als gleichartig auf,
sieht sie als eine Gesamtheit an,und ordnet ihnen einzeln
andere Dinge zu, z.~B. die Finger, Rechenkugeln, Holzstäbchen
oder Kreidestriche. Jedes von den Dingen, denen
man beim Zählen andere Dinge zuordnet, heißt \emph{Einheit};
jedes von den Dingen, die man beim Zählen ändern Dingen
zuordnet, heisst \emph{Einer}. Die Ergebnisse des Zählens
heissen \emph{Zahlen}. Wegen der Gleichartigkeit der Einheiten
unter einander und auch der Einer unter einander ist die
Zahl unabhängig von der Reihenfolge, in welcher den Einheiten
die Einer, zugeordnet werden. Ordnet man den zu
zählenden Dingen gleichartige Schriftzeichen zu, so erhält
man die \emph{natürlichen Zahlzeichen}. So stellten in
ältester Zeit die Römer die Zahlen von eins his neun durch
Aneinanderreihung von Strichen dar, die Azteken die Zahlen
von eins his neunzehn durch Zusammenstellung einzelner
Kreise. Die modernen Kulturvölker besitzen natürliche
\label{p:021}
Zahlzeichen nur noch auf den Würfeln, den Dominosteinen
und den Spielkarten. Wenn man den zu zählenden Dingen
gleichartige Laute als Einer zuordnet, so erhält man die
\emph{natürlichen Zahllaute}, wie sie z.~B. die Schlagwerke
der Uhren ertönen lassen. Statt solcher natürlichen Zahlzeichen
und Zahllaute gebraucht man gewöhnlich Schriftzeichen
und Wörter, die sich aus wenigen elementaren
Zeichen und Wortstämmen \emph{methodisch} zusammensetzen.
Die Art dieser methodischen Zusammensetzung ist jedermann
aus dem Rechen-Unterricht geläufig, wird deshalb
hier zunächst als bekannt vorausgesetzt, jedoch später (§~\ref{ch:22})
näher erörtert werden. Daß bei den so zusammengesetzten
Zahlwörtern und Zahlzeichen die Zahl Zehn eine grundlegende
Rolle spielt, rührt davon her, daß der Mensch zehn
Finger hat. Die moderne Zifferschrift, welche auf dem
Prinzip des \emph{Stellenwerts} und der Einfübrung eines
\emph{Zeichens für nichts} beruht, ist von indischen Brahma-Priestern
erfunden, gelangte um 800 zur Kenntnis der
Araber und um 1200 nach dem christlichen Europa, wo
im Laufe der folgenden drei Jahrhunderte die neue Zifferschrift
allmählich die römische Zifferschrift verdrängte.

Wenn man bei einer Zahl durch einen hinzugefügten
Sammelbegriff daran erinnert, inwiefern die Einheiten als
gleichartig engesehen wurden, spricht man eine \emph{benannte}
Zahl aus. Durch vollständiges Absehen von der Natur der
gezählten Dinge gelangt man vom Begriff der benannten
Zahl zum Begriff der \emph{unbenannten} Zahl. Unter Zahl
schlechthin ist immer eine unbenannte Zahl zu verstehen.

Die Lehre von den Beziehungen der Zahlen zu einander,
heißt \emph{Arithmetik} (von $\ontop{,}{\alpha}\rho\iota\theta\mu\acute{\omicron}\varsigma$, Zahl). \emph{Rechnen} heißt,
aus gegebenen Zahlen gesuchte Zahlen methodisch ableiten.
In der Arithmetik ist es üblich, eine beliebige Zahl durch
einen \emph{Buchstaben} auszudrücken, wobei nur zu beachten
ist, daß innerhalb einer und derselben Betrachtung derselbe
Buchstabe auch immer nur eine und dieselbe Zahl bedeuten
darf (vgl. §~\ref{ch:3}).

\emph{Gleich} heißen zwei Zablen $a$ und $b$, wenn die Einheiten
von $a$ und die von $b$ sich einander so zuordnen
lassen, daß alle Einheiten von $a$ und von $b$ an dieser
Zuordnung teilnehmen. \emph{Ungleich} heißen zwei Zablen
$a$ und $b$, wenn ein solches Zuordnen nicht möglich ist. Da
\label{p:022}
beim Zählen die Einheiten als gleichartig angesehen werden,
so ist es für die Entscheidung, ob $a$ und $b$ gleich oder ungleich
sind, gleichgültig, welche Einheiten von $a$ und von $b$
einander zugeordnet werden. Wenn zwei Zahlen ungleich
sind, so nennt man die eine die \emph{grössere}, die andere
die \emph{kleinere}, $a$ heißt größer als $b$, wenn sich die Einheiten
von $a$ und die von $b$ einander so zuordnen lassen,
daß zwar alle Einheiten von $b$, aber nicht alle von $a$ an
dieser Zuordnung teilnehmen. Das Urteil, daß zwei Zahlen
gleich bezw. ungleich sind, heißt eine \emph{Gleichung} bezw.
\emph{Ungleichung}. Für gleich, größer, kleiner benutzt man
in der Arithmetik bezw. die drei Zeichen $=$, $>$, $<$, die man
zwischen die verglichenen Zahlen setzt (vgl. §~\ref{ch:1}). Die
Zahl, die vor einem dieser drei Vergleichungszeichen steht,
heißt \emph{linke Seite}, die Zahl, die nachfolgt, \emph{rechte Seite}
der Gleichung oder Ungleichung. Wenn man aus mehreren.
Vergleichungen einen Schluß zieht, so deutet man dies durch
einen wagerechten Strich an. Die fundamentalsten Schlüsse
der Arithmetik sind:
\begin{equation*}
  \frac{a = b}{b = a}; \qquad
  \frac{a > b}{b < a}; \qquad
  \frac{a < b}{b > a}.
\end{equation*}

Diese drei Schlüsse können in Worten so ausgesprochen
werden:

1) Die rechte und die linke Seite einer Gleichung
dürfen vertauscht werden, oder, was dasselbe ist, jede
Gleichung darf auch rückwärts, d.~h. von rechts nach links,
geschrieben werden (§~\ref{ch:1}).

2) Die rechte und die linke Seite einer Ungleichung
dürfen vertauscht werden, falls man das Größerzeichen in
ein Kleinerzeichen oder umgekehrt verwandelt, oder, was
dasselbe ist, jede Ungleichung darf vorwärts und rückwärts
geschrieben werden, falls nur die Spitze des Ungleichheitszeichen
immer auf das Kleinere gerichtet wird (§~\ref{ch:1}).

Die voraufgehenden Schlüsse beziehen sich auf nur
zwei Zahlen. Auf drei Zahlen beziehen sich die folgenden
Schlüsse:

1) Das Gleichheitszeichen bleibt ein Gleichheitszeichen,
wenn rechts oder links Gleiches eingesetzt wird; d.~h. in
Zeichensprache:
\label{p:023}
\begin{equation*}
  \left|\begin{array}{c}
      a = b \\
      c = a \\
      \hline
      c = b
    \end{array}\right|, \qquad
  \left|\begin{array}{c}
    a = b \\
    c = b \\
    \hline
    a = c
  \end{array}\right| .
\end{equation*}

2) Das Gleichheitszeichen ist in ein Größerzeichen zu
verwandeln, wenn links Größeres oder wenn rechts Kleineres
eingesetzt wird; das Gleichheitszeichen ist in ein Kleinerzeichen
zu verwandeln, wenn links Kleineres oder wenn
rechts Grösseres eingesetzt wird; d.~h. in Zeichensprache:
\begin{equation*}
  \left|\begin{array}{c}
    a = b \\
    c > a \\
    \hline
    c > b
  \end{array}\right|, \qquad
  \left|\begin{array}{c}
    a = b \\
    c < b \\
    \hline
    a > c
  \end{array}\right|, \qquad
  \left|\begin{array}{c}
    a = b \\
    c < a \\
    \hline
    c < b
  \end{array}\right|, \qquad
  \left|\begin{array}{c}
    a = b \\
    c > b \\
    \hline
    a < c
  \end{array}\right|.
\end{equation*}

3) Ein Ungleichheitszeichen bleibt unverändert: erstens,
wenn da, wo die größere Zahl steht, eine ihr gleiche oder
eine noch größere Zahl eingesetzt wird, zweitens, wenn da,
wo die kleinere Zahl steht, eine ihr gleiche oder eine noch
kleinere Zahl eingesetzt wird; d.~h. in Zeichensprache:
\begin{gather*}
  \left|\begin{array}{c}
    a > b \\
    c = a \\
    \hline
    c > b
  \end{array}\right|, \qquad
  \left|\begin{array}{c}
    a > b \\
    c > a \\
    \hline
    c > b
  \end{array}\right|, \qquad
  \left|\begin{array}{c}
    a > b \\
    c = b \\
    \hline
    a > c
  \end{array}\right|, \qquad
  \left|\begin{array}{c}
    a > b \\
    c < b \\
    \hline
    a > c
  \end{array}\right|, \\
%%%
  \left|\begin{array}{c}
    a < b \\
    c = a \\
    \hline
    c < b
  \end{array}\right|, \qquad
  \left|\begin{array}{c}
    a < b \\
    c < a \\
    \hline
    c < b
  \end{array}\right|, \qquad
  \left|\begin{array}{c}
    a < b \\
    c = b \\
    \hline
    a < c
  \end{array}\right|, \qquad
  \left|\begin{array}{c}
    a < b \\
    c > b \\
    \hline
    a < c
  \end{array}\right|.
\end{gather*}


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:4}.}

\begin{exercise}
\item Ein Speicher-Aufseher zählte die emporgewundenen
Säcke, indem er für jeden nach oben gekommenen Sack
einen Kreidestrich an die Wand machte. Er erhielt dadurch
das folgende Zahlbild $|||||~||||$. Wie drückt man die von
dem Aufseher erhaltene Zahl kürzer aus?

\item Titus Livius erzählt in seiner römischen Geschichte
(VII, 3), dass nach einem uralten Gesetze in dem Heiligtume
der Minerva, der Erfinderin des Zählens, alljährlich
ein Nagel eingeschlagen wurde, um die Zahl der Jahre
darzustellen. Nach derselben Quelle sollen auch im Tempel
zu Volsinii Nägel gezeigt sein, die von den Etruskern eingeschlagen
waren, um die verflossenen Jahre zu zählen.
Was war bei diesem Zählen Einheit und was Einer?

\label{p:024}
\item Wie erklärt es sich, daß in vielen Sprachen fünf
und Faust oder fünf und Hand dasselbe Wort ist?

\item Welche Zahl bevorzugten die Atzteken bei der
Bildung ihrer Zahlwörter, da sie für zwanzig ein besonderes,
nicht aus zwei und zehn zusammengesetztes Wort besaßen,
und dann alle Zahlen unter vierhundert durch Zusammensetzung
dieses Wortes mit den Wörtern für die Zahlen unter
zwanzig bezeichneten?

\item Welche französischen Zahlwörter verraten noch jetzt,
daß die Kelten die Zahl zwanzig bei der Bildung ihrer
Zahlwörter bevorzugten?

\item Welche gemeinsame Benennung darf man Fledermäusen,
Vögeln und Luftballons geben?

\item Wie liest man $9 > 7$ rückwärts?

\item Was folgt aus $a = b$ und $b = 20$?

\item Was folgt aus $a < 20$ und $x = a$?

\item Was folgt aus $a < 13$ und $b < a$?

\item Was folgt aus $a$ Meter größer als $b$ Meter und
$c$ Kilogramm größer als $a$ Kilogramm?

\exercisegoal{Füge bei den folgenden Schlüssen unter
dem Folglich-Strich die fehlenden Vergleichungszeichen
$=$, $>$, $<$ hinzu:}

\item $\begin{array}{r@{\:}l}
  a &> x \\
  b &= a \\
  \hline
  b &\mathop{\phantom{>}} x
\end{array}$,
%%%
\item $\begin{array}{r@{\:}l}
  a &< w \\
  w &= b \\
  \hline
  a &\mathop{\phantom{<}} b
\end{array}$,
%%%
\item $\begin{array}{r@{\:}l}
  a &= b  \\
  b &< c \\
  \hline
  a &\mathop{\phantom{<}} c
\end{array}$,


\item $\begin{array}{r@{\:}l}
  p &> 9 \\
  9 &> 7 \\
  \hline
  p &\mathop{\phantom{>}} 7
\end{array}$,
%%%
\item $\begin{array}{r@{\:}l}
  a &< b \\
  b &< c \\
  \hline
  c &\mathop{\phantom{>}} a
\end{array}$,
\item $\begin{array}{r@{\:}l}
  a \text{ kg} &> x \text{ kg} \\
  x \text{ Stunden} &> b \text{ Stunden} \\
  \hline
  a &\mathop{\phantom{=}} b
\end{array}$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Addition.}\label{ch:5}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)  & $a + b = b + a$; \\
    II) & $a + ( b + c ) = a + b + c$.
  \end{tabular}
\end{center}

Wenn man zwei Gruppen von Einheiten hat, und zwar
so, dass nicht allein alle Einheiten jeder Gruppe gleichartig
sind, sondern daß auch jede Einheit der einen Gruppe
mit jeder Einheit der andern Gruppe gleichartig ist, so kann
man zweierlei thun: entweder man kann jede Gruppe einzeln
\label{p:025}
zählen und jedes der beiden Zahl-Ergebnisse als Zahl auffassen
oder man kann die Zählung üher beide Gruppen erstrecken
und das Zahl-Ergebnis als Zahl auffassen. Man
sagt dann von dieser im letzteren Falle erhaltenen Zahl,
daß sie die \emph{Summe} der beiden im ersteren Falle erhaltenen
Zahlen sei, und diese beiden Zahlen nennt man die
\emph{Summanden} der Summe. Der soeben geschilderte Übergang
von zwei Zahlen zu einer einzigen heißt \emph{Addition}.
Zählen und Addieren unterscheidet sich also nur dadurch,
daß man beim Zählen mit einer einzigen Gruppe, beim
Addieren mit zwei Gruppen von Einheiten zu thun hat. Um
anzudeuten, daß aus zwei Zahlen $a$ und $b$ eine dritte Zahl $s$
durch Addition hervorgegangen ist, setzt man das Zeichen $+$
(gelesen: plus) zwischen die beiden Summanden. Aus den
Erklärungen des Größerseins und der Addition folgt, daß
eine Summe größer ist, als jeder ihrer Summanden, und
zwar sagt man, daß jede Summe ``um'' den zweiten
Summanden größer sei, als der erste Summand. Umgekehrt
kann man auch aus $a > b$ schließen, daß $a$ eine
Summe ist, deren einer Summand $b$ ist.

Aus dem Begriff des Zählens folgt, daß es immer nur
eine Zahl geben kann, welche die Summe zweier beliebiger
Zahlen ist. Hieraus folgt der Beweis des folgenden Schlusses:
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    a & = b \\
    c & = d \text{ (addiert)} \\
    \hline
    a + c & = b + d.
  \end{aligned}
\end{equation*}

Dieser Schluß heißt in Worten: Aus zwei Gleichungen
folgt immer eine dritte Gleichung dadurch, daß man die
rechten Seiten und die linken Seiten addiert und die erhaltenen
beiden Summen einander gleichsetzt. Um diesen
Schluß zu beweisen, geht man davon aus, daß $a + c$ wegen
der \emph{Eindeutigkeit} der Addition eine einzige Zahl darstellt,
die also auch dieselbe bleiben muß, wenn man für $a$
die $a$ gleiche Zahl $b$ und für $c$ die $c$ gleiche Zahl $d$ einsetzt.

Umgekehrt kann es auch nur immer eine einzige Zahl
geben, die mit einer gegebenen Zahl durch Addition verbunden,
zu einer \emph{größeren} gegebenen Zahl führt.

Da das Ergebnis des Zählens unabhängig von der
Reihenfolge ist, in der man zäblt, so muß sein:
\begin{equation*}
  a + b = b + a,
\end{equation*}
\label{p:026}
d.~h. in Worten: \emph{Eine Summe bleibt unverändert,
wenn man die Reihenfolge der Summanden umkehrt.}
Man nennt das hierdurch ausgesprochene Gesetz
das \emph{Kommutationsgesetz der Addition}. Trotz
dieses Gesetzes kann man begrifflich die beiden Summanden
unterscheiden, indem man den einen als um den andern
\emph{vermehrt} auffaßt, also den einen als \emph{passiv}, den
andern als \emph{aktiv} betrachtet. Den passiven Summanden
nennt man dann \emph{Augendus}, den ändern \emph{Auctor}. Diese
begrifflich zulässige Unterscheidung ist wegen des Kommutationsgesetzes
arithmetisch unnötig.

Da man nur gleichbenannte Einheiten oder unbenannte
Einheiten zählen kann, so hat auch nur die Addition von
gleichbenannten oder von unbenannten Zahlen einen Sinn.
Im ersteren Fall hat die Summe dieselbe Benennung, wie
die Summanden, im zweiten Fall ist die Summe unbenannt.

Daraus, daß das Ergebnis des Zählens von der Reihenfolge,
in der man zählt, unabhängig ist, folgt noch ein
zweites auf \emph{drei} Zahlen bezügliches Grundgesetz der
Addition. Dieses lautet in Zeichensprache (§~\ref{ch:2}):

\begin{equation*}
  a + (b + c) = a + b + c,
\end{equation*}
wo wegen der zweiten Klammerregel (§~\ref{ch:2}) rechts die
Klammer um $a + b$ fortgelassen ist. In Worten lautet
dieses Gesetz, das man ``\emph{Associationsgesetz der
Addition}'' nennt, folgendermaßen: \emph{Man erhält schließlich
dasselbe Ergebnis, gleichviel, ob man von drei
Zahlen erst die zweite und dritte addiert und die
erhaltene Summe zur ersten addiert, oder, ob man
erst die erste und zweite addiert und zur erhaltenen
Summe die dritte addiert.} Man kann dieses Gesetz noch
auf mannigfache andere Weise übersetzen, beispielsweise so:
Die Vermehrung des zweiten Summanden einer Summe um
eine Zahl verursacht die Vermehrung der Summe um dieselbe
Zahl und umgekehrt.

Oben wurde gezeigt, wie zwei \emph{Gleichungen} durch
Addition zu verbinden sind. Wie aber eine Gleichung und
eine \emph{Ungleichung} oder \emph{zwei Ungleichungen} durch
Addition zu verbinden sind, folgt erst durch das Associationsgesetz.
Man erhält so die folgenden sechs Schlüsse:
\label{p:027}
\begin{equation*}
  \begin{array}{|l|l|l|}
    a = b                 &a > b              &a > b   \\
    c> d\text { (add.)} &c = d\text{ (add.)}  &c> d\text{ (add.)}\\
    \hline
    a + c > b + d       &a + c > b + d      &a + c > b + d
  \end{array}
\end{equation*}
oder, rückwärts gelesen:
\begin{equation*}
  \begin{array}{|l|l|l|}
    b = a                  &b < a              &b < a   \\
    d< c \text{ (add.)}  &d = c\text{ (add.)}  &d< c\textrm{ (add.)}\\
    \hline
    b + d < a + c        &b + d < a + c      &b + d < a + c
  \end{array}
\end{equation*}

Diese sechs Schlüsse lauten in Worten:

1) \emph{Größeres zu Gleichem oder Gleiches zu
Größerem oder Größeres zu Größerem addiert,
ergiebt Größeres.}

2) \emph{Kleineres zu Gleichem oder Gleiches zu
Kleinerem oder Kleineres zu Kleinerem addiert,
ergiebt Kleineres.}

Der Beweis des ersten dieser sechs Schlüsse wird geführt,
indem man $c > d$ ersetzt durch $c = d + x$ und dann
diese Gleichung mit $a = b$ durch Addition verbindet. Dadurch
erhält man $a + c = b + (d + x)$, woraus wegen des
Associationsgesetzes folgt: $a + c = (b + d) + x$, d.~h. $a + c
> b + d$, nämlich um $x$.

Verfährt man zum Beweise des zweiten Schlusses ähnlich,
so erhält man $a + c = (b + x) + d$, woraus zuerst
$a + c = d + (b + x)$ und dann $a + c = (d + b) + x$ folgt.
Hieraus aber kann man dann $a + c > d + b$, also auch
$> b + d$ schließen.

Beim Beweise des dritten Schlusses schreibt man am
besten $c = d + x$ und wendet dann den zweiten Schluß an.
Dann kommt $a + c > b + (d + x)$, also $a + c > (b + d) + x$.
Nun ist $(b + d) + x > b + d$, also auch $a + c > b + d$.

Die drei letzten der sechs Schlüsse gehen aus den drei
ersten hervor, wenn man die rechten Seiten mit den linken
Seiten vertauscht.

Bei dem Associationsgesetz $(a + b) + c = a + (b + c)$
ist links die Summe $a + b$ und rechts die Summe $b + c$
selbst wieder als Summand einer zweiten Summe aufgefaßt.
Man kann dann, so fortfahrend, diese zweite Summe auch
\label{p:028}
wieder als Summand einer dritten Summe betrachten, u.~s.~w.
Wegen des Associationsgesetzes ist es dann ganz gleichgültig,
in welcher Reihenfolge man sich die angedeuteten
Additionen ausgeführt denkt, es muß als Resultat doch
immer dieselbe Zahl erscheinen. Z.~B.:
\begin{gather*}
  [(7 + 5) + 4] + (8 + 1) = [12 + 4] + 9 \\
  = 16 + 9 = \textbf{25}; \\
  \text{oder: } ([7 + (5 + 4)] + 8)+ 1 = ([7 + 9] + 8) + 1 \\
  = (16 + 8) + 1 = 24 + 1 = \textbf{25}.
\end{gather*}

Da schließlich doch dieselbe Zahl als Ergebnis kommt,
wie auch die Klammern gesetzt werden, so kann man bei
aufeinanderfolgenden Additionen die Klammern ganz fortlassen
und die Additionen nach der Reihe ausführen. Z.~B.:
\begin{gather*}
  7 + 5 + 4 + 8 + 1 = 12 + 4 + 8 + 1 = 16 + 8 + 1 \\
  = 24 + 1 = \textbf{25}.
\end{gather*}

Wegen des Kommutationsgesetzes ist nicht allein die
Reihenfolge der Additionen, sondern auch die Reihenfolge
der Summanden für das schließliche Resultat ganz gleichgültig.
Man könnte in dem obigen Beispiele also auch so
addieren:

\begin{gather*}
  5 + 8 + 1 + 4 + 7 = 13 + 1 + 4 + 7 = 14 + 4 + 7 \\
  = 18 + 7 = \textbf{25}.
\end{gather*}

Eine Summe, deren einer Summand selbst eine Summe
von zwei Summanden ist, faßt man als eine Summe von
\emph{drei} Summanden auf, u.~s.~w. So ist z.~B. $a + b + c$
eine Summe von drei Summanden, $5 + 8 + 1 + 4 + 7$ eine
Summe von fünf Summanden. Statt Summand sind auch
die Ausdrücke \emph{Addend}, \emph{Posten}, \emph{Glied} gebräuchlich.

Besonders häufig treten Summen von lauter gleichen
Gliedern auf, z.~B. $6 + 6 + 6 + 6$. Man schreibt dann
dieses Glied nur einmal, setzt davor einen Punkt und vor
den Punkt die Zahl, welche angiebt, \emph{wieviel} solcher
Glieder die Summe haben soll, z.~B.:
\begin{align*}
  6 + 6 + 6 + 6     &= 4 \cdot 6, \\
  b + b + b         &= 3 \cdot b, \\
  w + w + w + w + w &= 5 \cdot w.
\end{align*}

Die Zahl, welche zählt, \emph{wieviel} Glieder die so abgekürzt
geschriebene Summe haben soll, nennt man den
\label{p:029}
\emph{Koeffizienten} des nur einmal geschriebenen Gliedes. Der
Punkt kann vor einem Buchstaben oder vor einer Klammer
fortgelassen werden (§~\ref{ch:1}), z.~B.:
\begin{align*}
  p + p + p + p + p + p + p + p &= 8p, \\
  (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) &= 4 (a + b).
\end{align*}

Wenn man zwei abgekürzt geschriebene Summen mit
demselben Gliede zu addieren hat, so hat man nur die
Koeffizienten zu addieren. Denn:
\begin{gather*}
  4a + 3a = (a + a + a + a) + (a + a + a) \\
  = a + a + a + a + a + a + a = 7a.
\end{gather*}

Eine einzige Zahl kann man als Summe von einem
Gliede auffassen und deshalb mit dem Koeffizienten 1 behaftet
denken. Z.~B.:
\begin{equation*}
  4b + b = 4b + 1b = 5b.
\end{equation*}

Ist das Glied einer abgekürzt geschriebenen Summe
selbst eine Summe, so hat man es in eine Klammer einzuschließen,
z.~B.:
\begin{equation*}
  5 (x + y).
\end{equation*}

Die abgekürzt geschriebenen Summen werden später zu
einer höheren Rechnungsart, der Multiplikation (§~\ref{ch:10}) führen.


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:5}.}

\begin{exercise}
\item a) Wie schreibt man ``a vermehrt um b''? b) Welche
Zahl ist hierbei passiv und welche aktiv? c) Welche heißt
Augendus und welche Auctor?

\item Wenn $s = a+b$ ist, um wieviel ist $s > a$?

\item Was folgt aus $e = 5$ und $f = 6$ durch Addition?

\item Ein Kind legt zuerst zu 3 Holzstäbchen 4 andere
hinzu, darauf zu 4 Holzstäbchen 3 hinzu. Wie heißt das
Gesetz, wegen dessen es in beiden Fällen zu derselben benannten
Zahl gelangte?

\item Welche gemeinsame Benennung gestattet es, 7 Äpfel
und 4 Birnen addieren zu können?

\item Wenn ein Kind erkannt hat, daß die Addition von
5 Nüssen und 3 Nüssen zu 8 Nüssen führt, a) was kann
es dann üher die Summe von 5 Minuten und 3 Minuten
schließen; b) was üher $5+3$?
\label{p:030}
\exercisegoal{Berechne:}

\item $7 + (4 + 3)$;
\item $(7 + 4) + 3$;
\item $(13 + 19) + 17$;
\item $13 + (19 + 17)$.
% [** There is an inconsistency here: 9) is followed by 20) -- all the following should be reduced by 10]]

\exercisegoal{Wende das Associationsgesetz an, um auf
möglichst bequeme Weise zu berechnen:}

\item $5 + (23 + 5)$;
\item $83 + (17 + 100)$;
\item $16 + [(4 + 7)+ 43]$.

\exercisegoal{Addiere nach Fortlassung der Klammern
in der angegebenen Reihenfolge:}

\item $7 + [(9 + 5) + 8] + (16 + 9)$;

\item $13 + [(8 + 5) + (7 + 67)].$

\item Wie addiert man am bequemsten $1 + 2 + 3 + 4
    + 5 + 6 + 7 + 8 + 9$?

\item Um wieviel wächst eine Summe, wenn der eine
    Summand um 9, der andere um 11 wächst?

\exercisegoal{Berechne für $x = 5$, $y = 6$, $z = 7$ die folgenden
Summen, und zwar zuerst die in den Klammern
stehenden Summen und nach Verschwinden der
Klammern rechne in der angegebenen Reihenfolge:}

\item $x + (y + z) + x$;
\item $(y + x + z) + (x + z)$;

\item $(x + y) + (y + z) + (z + x)$;
\item $x + (y + x + z) + y$.

\exercisegoal{Führe die angedeuteten Additionen aus, und
wende dabei, wenn möglich, das Associationsgesetz an:}

\item $\begin{aligned}[t]
    a &= 5   \\
    c &= 7 + b \text{ (add.)}   \\
    \hline
  \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
    19 &= x   \\
    1 + y &= z \text{ (add.)}   \\
    \hline
  \end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
    a + 3 &= x   \\
    5 &= y &\text{ (add.)}   \\
    \hline
  \end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
    a &> 7   \\
    b &> 4 + c \text{ (add.)}   \\
    \hline
  \end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
    x &< 5   \\
    y &= 4 \text{ (add.)}   \\
    \hline
  \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
    x &<           11   \\
    y &< \phantom{1}9 \text{ (add.)}   \\
    \hline
  \end{aligned}$

\exercisegoal{Vereinfache möglichst:}

\item $7p + 3p$;
\item $8x + 42x$;
\item $3(c + d) + 6 (e + d)$;

\item $4a + (7a + a + 2a)$;
\item $4a + 3b + 2b$;

\item $8x + 7y + 3y + 3x$;
\item $9 + 3a + (4a + 5)$;

\item $9x + [2y + (z + y + x) + 4y] + (3x + z + 9y)$.

\end{exercise}

\separator

\label{p:031}
\chapter{Subtraktion.}\label{ch:6}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)  & $a - b + b = a$; \\
    II) & $a + b - b = a$.
  \end{tabular}
\end{center}

Wenn eine Rechnungsart aus zwei Zahlen $e$ und $f$ eine
dritte Zahl $g$ finden läßt, so entsteht die Frage, ob nicht
umgekehrt aus $g$ und einer der beiden Zahlen $e$ und $f$ die
andere gefunden werden kann. Eine Rechnungsart, die
diese Frage löst, nennt man \emph{Umkehrung} der ursprünglichen
Rechnungsart. Naturgemäß besitzt jede Rechnungsart
\emph{zwei} Umkehrungen, weil bei ihr zwei Zahlen gegeben sind,
die durch die Umkehrung zu gesuchten Zahlen werden.
Nur, wenn bei der ursprünglichen Rechnungsart die beiden
gegebenen Zahlen vertauscht werden dürfen, ohne daß
dadurch das Ergebnis sich ändert, fallen die beiden Umkehrungen
in eine einzige zusammen.

Hiernach hat die Addition wegen des für sie gültigen
Commutationsgesetzes (vgl. §~\ref{ch:5}) nur eine einzige Umkehrung,
die man \emph{Subtraktion} nennt. Die Subtraktion entsteht
also aus der Addition dadurch, daß man die Summe und
den einen Summanden als bekannt, den andern Summanden
als unbekannt und deshalb als gesucht betrachtet.

Hiebei erhält:\\
die bekannte Summe   den Namen \emph{Minuendus},    \\
der bekannte Summand den Namen \emph{Subtrahendus}, \\
der gesuchte Summand den Namen \emph{Differenz}.

Das Zeichen der Subtraktion ist ein wagerechter Strich,
das \emph{Minuszeichen}, vor den man den Minuendns, hinter
den man den Subtrahendus setzt. Eine Zahl $a$ \emph{um} eine
Zahl $b$ \emph{vermindern} oder, was dasselbe ist, eine Zahl $b$
\emph{von} einer Zahl $a$ \emph{subtrahieren}, heißt demnach, die
Zahl finden, zu welcher $b$ \emph{addiert} werden muß, damit
sich $a$ ergiebt. Dies spricht Formel I aus.

$13 - 8$, gelesen: ``13 \emph{minus} 8'' bedeutet also die Zahl,
welche, mit 8 durch Addition verbunden, zur Zahl 13 führt,
oder, was dasselbe ist, die Zahl, die für $x$ gesetzt werden
muß, damit die Bestimmungsgleichung (vgl. §~\ref{ch:3}):
\begin{equation*}
x + 8 = 13
\end{equation*}
richtig wird. Hiernach besteht die Berechnung einer Differenz
im \emph{Raten} des Wertes der Unbekannten einer Gleichung.
\label{p:032}
Im Rechen-Unterricht wird dieses Raten derartig geübt,
daß es bei kleineren Zahlen lediglich gedächtnismässig wird.
Die Subtraktion mehrziffriger Zahlen wird auf die Subtraktion
kleiner Zahlen durch eine Methode zurückgeführt,
die auf unserer Schreibweise der Zahlen nach Stellenwert
beruht. (§~\ref{ch:22}.)

Obwohl wegen des Kommutationsgesetzes der Addition
die beiden Umkehrungen derselben in eine einzige zusammenfallen,
so kann man doch oft logisch unterscheiden, ob nach
dem passiven oder dem aktiven Summanden, nach dem
Augendus oder dem Auctor gefragt wird. Man sucht z.~B.
den Augendus, wenn man, um $13-8$ zu berechnen, fragt,
\emph{welche} Zahl um 8 vermehrt werden muss, damit die Summe
13 entsteht. Dagegen sucht man den Auctor, wenn man,
um $13-8$ zu berechnen, fragt, \emph{um welche} Zahl 8 vermehrt
werden muss, damit die Summe 13 entsteht.

Auch bei der Subtraktion kann man die beiden gegebenen
Zahlen als passive und aktive unterscheiden. Offenbar
ist der Minuendus die \emph{passive}, der Subtrahendus die
\emph{aktive} Zahl. Daher wäre es logisch richtiger, den Subtrahendus
``Minutor'' zu nennen.

Während die Addition zweier Zahlen immer ausführbar
ist, kann die Subtraktion zweier Zahlen nur dann ausgeführt
werden, \emph{wenn der Subtrahendus kleiner
als der Minuendus} ist. Dies kommt daher, daß der
Minuendus die Summe des Subtrahendus und der Differenz
ist, und eine Summe immer größer als einer ihrer Summanden
sein muß. Beispielsweise ist $5-8$ eine \emph{sinnlose} Verknüpfung
der Zahlen 5 und 8 durch das Minuszeichen, weil
es kein Ergebnis des Zählens giebt, das, mit 8 durch Addition
verbunden, zur Zahl 5 führen könnte.

Wie bei der Addition aus $a = b$ und $c = d$ geschlossen
werden kann, daß $a+c = b+d$ ist, so kann auch bei
der Subtraktion aus denselben beiden Gleichungen die dritte
Gleichung
\begin{equation*} a-c=b-d \end{equation*}
erschlossen werden. Denn die Subtraktion zweier Zahlen
kann, wenn sie überhaupt Sinn hat, immer nur zu einem
einzigen Ergebnis führen. Also darf in $a-c$ die Zahl $a$
durch die ihr gleiche $b$, die Zahl $c$ durch die ihr gleiche $d$
ersetzt werden. Man spricht diesen Schluss in Worten meist
\label{p:033}
so aus: \emph{`''Gleiches von Gleichem subtrahiert
giebt Gleiches.''} -- Aus der Definition der Subtraktion,
die durch die Formel I ausgesprochen wird, kann noch eine
zweite Formel, die Formel II der Überschrift, erschlossen
werden. Denn $a + b - b$ bedeutet nach der Erklärung
der Subtraktion die Zahl, die, mit $b$ durch Addition verbunden,
$a + b$ ergiebt. Diese Eigenschaft kann jedoch nur
die Zahl $a$ haben. Beide Formeln, I und II, faßt man zu
dem Satze zusammen: \emph{``Addition und Subtraktion
einer und derselben aktiven Zahl bei einer und
derselben passiven Zahl heben sich auf, d.~h.
lassen diese passive Zahl unverändert.''}

Bei der Subtraktion von zwei abgekürzt geschriebenen
Summen mit gleichem Gliede, braucht man nur die Koeffizienten
zu subtrahieren, und die erhaltene Differenz als
Koeffizient des Gliedes zu nehmen. Z.~B.:
\begin{align*}
  7a - 3a & = (a + a + a + a + a + a + a) - (a + a + a)   \\
          & = (a + a + a + a) + (a + a + a) - (a + a + a)   \\
          & =  a + a + a + a = 4a.
\end{align*}

Nach der Definition der Subtraktion bedeuten $x = a - b$
and $x + b = a$ ganz dasselbe. Man kann daher die eine
Gleichung als eine Folgerung der andern auffassen. So
ergiebt sich die für die Lösung von Bestimmungsgleichungen
wichtige:

\textbf{Transpositionsregel erster Stufe:} \emph{Eine Zahl, die
auf der einen Seite einer Gleichung Summandus
ist, kann dort fortgelassen werden, wenn sie
auf der andern Seite als Subtrahendus
geschrieben wird, oder umgekehrt. Man nennt
dann die Zahl transponiert.} Z.~B.:
\begin{center}
  Aus $x + 9 = 11$ folgt $x = 11 - 9$; \\
  Aus $7 + x = 13$ folgt $x = 13 - 7$; \\
  Aus $x - 9 = 19$ folgt $x = 19 + 9$.
\end{center}

Wenn die Unbekannte $x$ \emph{Subtrahendus} ist, so kann
man die aus dem Kommutationsgesetz der Addition hervorgehende
Regel anwenden: \emph{Subtrahendus und Differenz
dürfen vertauscht werden.} Z.~B.:
\begin{center}
 Aus $17 - x = 5$ folgt $17 - 5 = x$.
\end{center}

\label{p:034}
Diese Beispiele zeigen, wie durch Transponieren die
\emph{Isolierung} einer Unbekannten und so die Lösung von
Gleichungen bewerkstelligt werden kann.

Dieselbe Wirkung, wie das Transponieren, hat auch
die Anwendung der Sätze, daß Gleiches mit Gleichem durch
Addition oder Subtraktion verbunden, zu Gleichem führt.
Wenn man z.~B. von $x + 9 = 11$ die Gleichung $9 = 9$
subtrahiert, so erhält man, da $x + 9 - 9$ nach Formel II
gleich $x$ ist, $x = 11 - 9 = 2$.


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:6}.}

\begin{exercise}
\item Wie heißt die Zahl, die um $f$ größer ist als $e - f$?

\item Was muß man für $x$ setzen, damit $x + g = h$ eine
richtige Gleichung wird?

\item Welche Zahl muß man zu $a$ addieren, damit die
Zahl $s$ als Summe erscheint?

\item Zu welcher Zahl muß man $a$ addieren, damit die
Summe gleich $s$ wird?

\exercisegoal{Die Definitionsformel der Subtraktion soll
angewandt werden, um die folgenden Ausdrücke
kürzer darzustellen:}

\item $p - q + q$; 6) $z + p + q - r + r$;
\item $20 - (a + b) + (a + b)$;
\item $e + f - f$;
\item $7a + 3b - 3b$;
\item $a - 4c + (c + c + c + c)$.

\exercisegoal{Vereinfache möglichst:}

\item $7a - 2a$;
\item $5a + 6a - 4a$;
\item $9c + 5c - c + 7c$;
\item $3e + 7e - 4e - 5e$;
\item $5a + [7b + (3b + a)] - 4a$.

\item Gieb die Ungleichung an, welche bestehen muß,
    damit $e - f$ Sinn hat.

\exercisegoal{Führe die folgenden Schlüsse aus:}

\item $\begin{aligned}[t]
    e & = f   \\
    g & = 7 \text{ (subtr.)}   \\
    \hline
  \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
    a & = b + c   \\
    f & = c \text{ (subtr.)}   \\
    \hline
  \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
    x & = 5b   \\
    y & = 2b \text{ (subtr.)}   \\
    \hline
  \end{aligned}$

\exercisegoal{Löse die folgenden Gleichungen durch
alleinige Anwendung der Transpositionsregel
erster Stufe:}

\item $x + 5 = 13$;
\item $18 + x = 23$;
\item $x - 13 = 30$;

\item $43 - x = 30$;
\item $200 = 190 + x$;
\item $34 - x - 18$;

\label{p:035}
\item $39 = 100 - x$;
\item $x + a = f$;
\item $x - p = q$;

\item $v + x = w$;
\item $3 + b + x = 7 + (3 + b)$;

\item $x + 5 - 8 + 19 = 23$;
\item $x + 5 - 3 = 19 - 3$;

\item $25 - (x + 7) = 15$;
\item $49 = 7 + (8 + x)$;

\item $100 = 200 - (x + 50)$;
\item $37 - (37 - x) - 9 = 5$;

\item $50 = 500 - \left[250 + (x - 3)\right]$;

\item $a + x - b = c - d$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Verbindung von Addition und Subtraktion.}\label{ch:7}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)   & $a + (b + c) = a + b + c$ (Ass. G. d. Add., §~\ref{ch:5}); \\
    II)  & $a + (b - c) = a + b - c$; \\
    III) & $a - (b + c) = a - b - c$; \\
    IV)  & $a - (b - c) = a - b + c$; \\
    V)   & $a - b = (a + f) - (b + f)$; \\
    VI)  & $a - b = (a - g) - (b - g)$.
  \end{tabular}
\end{center}

Der besseren Übersicht wegen ist die Formel I der
Überschrift, die das Associationsgesetz der Addition ausspricht,
aus §~\ref{ch:5} wiederholt. Die übrigen Formeln zeigen
auf mindestens einer der beiden Seiten eine Differenz. Um
sie zu beweisen, hat man also, wegen der Definitionsformel
der Subtraktion, zu \emph{prüfen,} ob die andere Seite der
Formel, um den Subtrahendus der Differenz vermehrt, den
Minuendus ergiebt. Bei dieser Prüfung darf man, vorwärts
und rückwärts, alle his dahin schon bewiesenen Formeln,
namentlich also die vier Formeln anwenden, welche in den
Überschriften von §~\ref{ch:5} und §~\ref{ch:6} stehen. So ergeben sich
die folgenden Beweise:

In Formel II ist rechts eine Differenz, deren Subtrahendus
$c$ und deren Minuendus $a + b$ heißt. Die
Formel II ist also bewiesen, wenn sich zeigt, dass die linke
Seite, um $c$ vermehrt, $a + b$ ergiebt. Dies läßt sich aber
mit alleiniger Anwendung der schon bewiesenen vier Formeln
zeigen. Denn:
\begin{equation*}
  a + (b - c) + c = a + [b - c + c] = a + b.
\end{equation*}

In Formel III steht rechts und links eine Differenz. Die
Differenz links hat als Subtrahendus $b + c$, als Minuendus $a$.
Die Formel ist also bewiesen, wenn sich zeigt, daß die
rechte Seite, um $b + c$ vermehrt, $a$ ergiebt. Dies ist mit
\label{p:036}
Anwendung der schon früher bewiesenen vier Formeln auf
folgende Weise beweisbar:
\begin{gather*}
   a - b - c + ( b + c )
 = a - b - c + ( c + b ) \\
 = a - b - c +   c + b
 = a - b           + b
 = a
\end{gather*}

In Formel IV steht links eine Differenz, deren Subtrahendus
$b-c$ und deren Minuendus $a$ ist. Es ist also
zu prüfen, ob die rechte Seite $a-b+c$, um $b-c$ vermehrt,
$a$ ergiebt. Dies ist, wenn man die vier Formeln aus
§~\ref{ch:5} und §~\ref{ch:6} anwendet, auf folgende Weise beweisbar:
\begin{gather*}
    a - b +   c + ( b - c )
  = a - b + [ c + ( b - c ) ] \\
  = a - b + [ b - c + c ]
  = a - b + b
  = a
\end{gather*}

In Formel V ist rechts und links eine Differenz. Der
Subtrahendus rechts ist $b+f$, der Minuendus $a+f$. Man
mufs daher prüfen, ob die linke Seite $a-b$, um $b+f$
vermehrt, $a+f$ ergiebt. Dies ist der Fall, weil:
\begin{equation*}
    a - b + ( b + f )
  = a - b +   b + f
  = a           + f
\end{equation*}

In Formel VI ist rechts und links eine Differenz. Der
Subtrahendus rechts ist $b-g$, der Minnendus $a-g$. Es
ist daher zu prüfen, ob die linke Seite $a-b$, um $b-g$
vermehrt, $a-g$ ergiebt. Bei dieser Prüfung wendet man am
besten auch die Formel II dieses Paragraphen an. Nämlich:
\begin{equation*}
    a - b + ( b - g )
  = a - b +   b - g
  = a           - g
\end{equation*}

Wenn man die vier Formeln I bis IV von links nach
rechts liest, so erhält man Regeln, wie Summen und
Differenzen addiert und subtrahiert werden. Wenn sie dagegen
von rechts nach links, also rückwärts, gelesen werden,
so ergeben sie Regeln, wie Summen und Differenzen vermehrt
oder vermindert werden dürfen. Im ersten Falle
\emph{löst} man die Klammern, im zweiten Falle \emph{setzt} man sie.

Mehrmalige Anwendung der Formeln I bis IV ergiebt
auch die Lösung von Klammern um verwickeltere Ausdrücke.
Z.~B.:

1) $a + ( b - c + d ) = a + ( b - c ) + d = a + b - c + d$;

2) $a - ( b - c + d ) = a - ( b - c ) - d = a - b + c - d$;

3) $a + ( b - c - d + e )
   = a + ( b - c - d ) + e
   = a + ( b - c ) - d + e
   = a + b - c - d + e$;

4) $a - ( b - c - d + e )
   = a - ( b - c - d ) - e
   = a - ( b - c ) + d - e
   = a - b + c + d - e$;

\label{p:037}
5) $a - [ b - c + ( d - e ) - ( f - g ) ]
   = a - [ b - c + ( d - e ) ]  + (f - g)   ]
   = a - ( b - c ) - ( d - e ) + ( f - g )
   = a - b + c - d + e + f - g$.

Hieraus folgen die beiden Regeln:

\textbf{Erste Regel:} \emph{Eine Klammer, vor der ein Pluszeichen
steht, kann ohne weiteres fortgelassen
werden.}

\textbf{Zweite Regel:} \emph{Eine Klammer, vor der ein Minuszeichen
steht, kann man fortlassen, wenn man dabei
Summanden in Subtrahenden, Subtrahenden in
Addenden und den etwa vorhandenen Minuendus
in einen Subtrahendus verwandelt, d.~h., wenn man
die Pluszeichen in Minuszeichen, die Minuszeichen
in Pluszeichen verwandelt, und einer Zahl, vor der
keins dieser Zeichen steht, ein Minuszeichen giebt.
Dabei ist eine innerhalb der aufzulösenden Klammer
stehende neue Klammer zunächst unversehrt zu
lassen.}

In den Formeln I bis IV ist die Reihenfolge der Buchstaben
links und rechts dieselbe. Man kann diese Reihenfolge
jedoch auch umändern, wie aus den folgenden vier
Formeln hervorgeht:

1) $a + b + c = a + c + b$, weil $a + b + c = a +
     ( b + c ) = a + ( c + b ) = a + c + b$;

2) $a + b - c = a - c + b$, weil $a + b - c = b + a
     - c = b + ( a - c ) = a - c + b$;

3) $a - b + c = a + c - b$, weil $a - b + c = c +
     ( a - b ) = c + a - b = a + c - b$;

4) $a - b - c = a - c - b$, weil $a - b - c = a -
     ( b + c ) = a - ( c + b ) = a - c - b$.

Hieraus ergiebt sich die:

\textbf{Dritte Regel:} \emph{Summanden und Subtrahenden
dürfen in beliebige Reihenfolge gebracht
werden.}

Diese dritte Regel ergiebt im Verein mit der rückwärts
gelesenen Formel III $a-b-c = a-(b+c)$ die folgende:

\textbf{Vierte Regel:} \emph{Einen Ausdruck, der nur Additionen
und Subtraktionen enthält, berechne man, indem
man zunächst nach der ersten und zweiten Regel
\label{p:038}
alle Klammern löst, und dann die Summe aller hinter
Minuszeichen stehenden Zablen von der Summe aller
hinter Pluszeichen stehenden Zablen subtrahiert.
Dabei ist die erste Zahl, vor der keins dieser Zeichen
steht, als eine Zahl zu betrachten, vor der ein Pluszeichen
steht.} Z.~B.:
\begin{align*}
 &  17 - [ 18 - ( 5 - 3 ) + 2 - ( 19 - 3 - 4 ) ]  \\
 &= 17 -   18 + ( 5 - 3 ) - 2 + ( 19 - 3 - 4 )  \\
 &= 17 -   18 +   5 - 3   - 2 +   19 - 3 - 4    \\
 &= ( 17 + 5 + 19 ) - ( 18 + 3 + 2 + 3 + 4 )  \\
 &= 41 - 30 = \textbf{11}.
\end{align*}

Aus den Formeln I bis IV kann man auch die Richtigkeit
der Schlüsse beweisen, welche bei der Subtraktion den
sechs bei der Addition erörterten Schlüssen (§~\ref{ch:5}) analog
sind. Dies sind folgende:
\begin{center}
  \begin{tabular}{|l|l|l|}
    $a > b$         & $a = b$          & $a > b$ \\
    $c = d$ (subt.) & $c > d$ (subt.)  & $c < d$ (subt.) \\
    \hline
    $a - c > b - d$ & $a - c < b - d$  & $a - c > b - d$ \\
  \end{tabular}
\end{center}
und, rückwärts gelesen:
\begin{center}
  \begin{tabular}{|l|l|l|}
    $b < a$         & $b = a$         & $b < a$ \\
    $d = c$ (subt.) & $d < c$ (subt.) & $d > c$ (subt.) \\
    \hline
    $b - d < a - c$ & $b - d > a - c$ & $b - d < a - c$ \\
  \end{tabular}
\end{center}

Da eine Subtraktion nur Sinn hat, wenn der Minuendus
grösser als der Subtrahendus ist, so haben diese Schlüsse
nur Sinn, wenn $c<a$ und $d<b$ ist. Zum Beweise hat
man jede Ungleichung in eine Gleichung zu verwandeln,
z.~B. $a>b$ in $a=b+e$. Beispielsweise lässt sich der
dritte Schluss so beweisen:

Vorausgesetzt ist $a > b$, d.~h. $a = b + e$, sowie $c < d$,
d.~h. $c = d-f$, also folgt durch Subtraktion $a-c = b
+ e-(d-f) = b + e-d + f=b-d+(e + f)$, d.~h.
$a-c > b-d$.

\section*{Übungen zu  §~\ref{ch:7}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Die folgenden Ausdrücke sollen auf zweierlei
Weise berechnet werden, nämlich vor und
nach Auflösung der Klammern:}

\item $28 - (  7 + 5 )$;
\item $40 + (  7 - 6 )$;
\item $300 - ( 19 - 7 )$;
\item $100 - (  5 + 26 - 7 )$;
\item $70 + ( 23 + 46 - 9 )$;

\label{p:039}
\item $74 - (7 + 19 - 13)$;
\item $29 - (9 - 5 - 3)$;

\item $45 - (7 + 5) + (23 - 5)$;

\item $400 - (43 - 5) - (28 + 19)$;

\item $40 - [29 - (5 + 6)]$;
\item $200 - [70+ (13 - 9)]$;

\item $29 + 31 - (40 + 5 - 7 + 3)$;

\item $40 + (85 - 7 - 6 - 9 + 10) - (43 - 5 + 3)$;

\item $98 - [94 - (7 - 5) - (20 - 9 - 1) - (43 + 7)]$.

\exercisegoal{Die folgenden Ausdrücke sollen, nach Auflösung
der Klammern, gemäß der vierten Regel
berechnet werden:}

\item $17 - 5 + 13 - 8 + 9 - 4$;
\item $25 - (20 - 7) +18$;

\item $47 - (30 - 15) + (47 - 5 - 6) - (18 - 4 + 5)$;

\item $405 - 15 - [100 - (24 + 36) - (7 + 8 + 9)]$.

\exercisegoal{Bei den folgenden Ausdrücken sollen die
Klammern gelöst werden:}

\item $v - (a - b - c)$;
\item $p + (q + r - s)$;

\item $p - (a + b) + (c - d)$;

\item $a + (b - c) - (e + f + g - h)$;

\item $a + b - [c - (d - e)]$.

\exercisegoal{Die folgenden Ausdrücke sollen durch
Vereinigung der abgekürzt geschriebenen Summen
vereinfacht werden:}

\item $4a + 7a - a$;
\item $20b - b - 3b - 6b$;

\item $41a - 3b - 2b + 7b$;
\item $14a - 3b - 5b + 6a$;

\item $20p - 3q + 30p - 47q$;

\item $4a - 2b + 7a - 3b + 9a - 5b$;

\item $3c + 4d - 7e + 5d - 6c + 8e + 19c - 5e + 6d$.

\exercisegoal{Klammern lösen und dann vereinigen:}

\item $13a - (3a - b)$;
\item $72p - (q + 22p)$;

\item $17a + (a - 5b)$;

\item $40 - (3a + 5) - (7a - 8) + (5a - 3)$;

\item $24a - (b + c) + (3b - 4c) - (a - b - c)$;

\item $27a - 5 + (6a - 8) - (a - 1) - (14a - 5) +
      (13 - 2a)$;

\item $a + 2b - 3c + [5c - (a - b) + (5a - 3b - c)
      - (a-c)]$.

\exercisegoal{Bei den folgenden Ausdrücken sollen die
drei letzten Glieder in eine Klammer eingeschlossen
\label{p:040}
werden, vor der ein Minuszeichen
steht:}

\item $4a - b + c + d$;
\item $3v - w - a - b - c$;

\item $a - 3b - c + 2d$;
\item $40 - p + q - v$.

\exercisegoal{Wende die Formel VI an, um die folgenden
Differenzen so zu verwandeln, daß der
Subtrahendus 1 wird:}

\item $27 - 13$;
\item $100 - 43$;
\item $(b + c) - (b + 1)$.

\exercisegoal{In den folgenden Ausdrücken soll
\begin{equation*}
  x = a + b - c, y = a - b + c, z = 2a - 3b - 4c
\end{equation*}
gesetzt und dann vereinigt werden:}

\item $x + y + z$;
\item $y + z - x$;
\item $z - x - y$.

\exercisegoal{In den folgenden Gleichungen sollen die
Klammern gelöst und dann soll $x$ berechnet
werden:}

\item $47 - (x + 18) = 26$;
\item $4 + (100 + x) = 200$;

\item $99 = 103 - (x + 1)$;
\item $8a - (x + c) = 5a$.

\exercisegoal{Führe die folgenden Schlüsse aus:}

\item $\begin{aligned}[t]
    a & =   e   \\
    f & < g \text{ (subt.)} \\
    \hline
  \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
    f & =   g   \\
    9 & > 7 \text{ (subt.)} \\
    \hline
  \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
    a & > b   \\
    7 & < 13 \text{ (subt.)} \\
    \hline
  \end{aligned}$

\end{exercise}

\separator

\chapter{Null.}\label{ch:8}

\begin{center}
  \textbf{Definition der Null:} $a - a = b - b = 0$.
\end{center}

Da nach der Definition der Subtraktion der Minuendus
eine Summe ist, deren einer Summandus der Subtrahendus
ist, und demgemäß größer als dieser sein muß, so hat die
Verbindung zweier \emph{gleicher} Zahlen durch das Minuszeichen
keinen Sinn. Eine solche Verbindung hat zwar die
\emph{Form} einer Differenz, stellt aber keine Zahl im Sinne des
§~\ref{ch:4} dar. Nun befolgt aber die Arithmetik ein Prinzip, das
man das \emph{Prinzip der Permanenz} oder der Ausnahmslosigkeit
nennt, und das in zweierlei besteht:

\emph{Erstens darin, jeder Zeichen-Verknüpfung,
die keine der bis dahin definierten Zahlen
darstellt, einen solchen Sinn zu erteilen, daß
\label{p:041}
die Verknüpfung nach denselben Regeln
behandelt werden darf, als stellte sie eine der
his dahin definierten Zahlen dar;}

\emph{zweitens darin, eine solche Verknüpfung
als Zahl im erweiterten Sinne des Wortes aufzufassen
und dadurch den Begriff der Zahl zu
erweitern.}

Wenn man demgemäß die Differenzform $a - a$, bei
der also Minuendus und Subtrahendus gleiche Zahlen sind,
der Definitionsformel der Subtraktion $a - b + b = a$ sowie
auch den Grundgesetzen der Addition unterwirft, so erzielt
man, daß die Formeln des §~\ref{ch:7} auch für die Zeichen-Verknüpfung
$a - a$ Gültigkeit haben müssen. Wenn man dann
auf $a - a$ die Formel VI des §~\ref{ch:7}:
\begin{equation*}
  a - b = (a - g) - (b - g)
\end{equation*}
anwendet, so erhält man das Resultat, daß alle Differenzformen,
bei denen Minuendus und Subtrahendus gleiche
Zahlen sind, einander gleichgesetzt werden dürfen. Dies
berechtigt dazu, für diese einander gleichen Zeichen-Verknüpfungen
ein gemeinsames festes Zeichen einzuführen.
Es ist dies das Zeichen
\begin{center}
  0 (Null).
\end{center}

Man nennt ferner das, was dieses Zeichen aussagt, eine
\emph{Zahl}, die man auch Null nennt. Da aber Null kein Ergebnis
des Zählens (§~\ref{ch:4}) ist, so hat der Begriff der Zahl durch
die Aufnahme der Null in die Sprache der Arithmetik eine
Erweiterung erfahren. Aus der Definition $a - a = 0$ und
den Formeln des §~\ref{ch:7} folgt, wie man mit Null bei der
Addition und Subtraktion zu verfahren hat. Nämlich:

1) $p + 0 = p$, weil $p + (a - a) = p + a - a = p$ ist;

2) $0 + p = p$, weil $a - a + p = p + (a - a) - p +
     a - a = p$ ist;

3) $p - 0 = p$, weil $p - (a - a) = p - a + a = p$ ist;

4) $0 + 0 = 0$, weil $a - a + (b - b) = a - a + b - b
     = (a + b) - (a + b) = 0$ ist;

5) $0 - 0 = 0$, weil $a - a - (b - b) = a - a - b + b
     = (a + b) - (a + b) = 0$ ist.

\label{p:042}
\section*{Übungen zu §~\ref{ch:8}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Welches Zeichen setzt man für die Differenzformen:}

\item $7 - 7$;
\item $a - a$;
\item $c + d - (c + d)$?

\exercisegoal{Setze andere Differenzformen für:}

\item $210 - 210$;
\item $e - e$;
\item $p + q + r - ( p + q + r )$.

\item Was ist $e - f - g$, wenn $f + g = e$ ist?

\item Was ist $17p - 17p$?

\exercisegoal{Berechne:}

\item $26 + 0$;
\item $27 - 0$;
\item $0 + 33$;

\item $0 + 0 + 0 - 0$.

\exercisegoal{Löse die Gleichungen:}

\item $x + 7 = 7$;
\item $0 + (x + 4) = 4$;

\item $13 - (x + 6) = 0$;
\item $0 = 4 - x + 4;$

\item $7 + (4 + x) - 3 = 8$.
\end{exercise}

\separator

\chapter{Negative Zahlen.}\label{ch:9}

\textbf{Definition der negativen Zahlen:}
\begin{equation*}
  a - (a + n) = b - (b + n) = -n.
\end{equation*}
\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)   & $a + (-n) = a - n$; \\
    II)  & $a - (-n) = a + n$; \\
    III) & $(-n) - a = -(n + a)$.
  \end{tabular}
\end{center}

Wenn in $a - b$ der Minuendus $a$ kleiner als der Subtrahendus
$b$ ist, so stellt $a - b$ keine Zahl im Sinne des
§~\ref{ch:4} dar. Nach dem in §~\ref{ch:8} eingeführten \emph{``Prinzip der
Permanenz''} muß dann die Differenzform $a - b$ der
Definitionsformel der Subtraktion $a - b + b = a$ unterworfen
werden, woraus hervorgeht, daß dann die in §~\ref{ch:7} bewiesenen
Formeln auf $a - b$ auch in dem Falle anwendbar werden,
wo $a < b$ ist. Wendet man insbesondere die Formel VI des
§~\ref{ch:7} auf $a - b$ an, so erkennt man, daß alle Differenzformen
einander gleich gesetzt werden können, bei denen der
Subtrahendus um gleichviel größer als der Minuendus ist. Es
liegt daher nahe, alle Differenzformen $a - c$, bei denen der
Subtrahendus $c$ um $n$ größer als der Minuendns $a$ ist, also
$c = a + n$ ist, durch $n$ auszudrücken. Man thut dies, indem
\label{p:043}
man vor $n$ ein Minuszeichen setzt. Indem man dann solche
Differenzformen auch ``\emph{Zahlen}'' nennt, erweitert man den
Zahlbegriff und gelangt zur Einführung der \emph{negativen
Zahlen}. Demgemäß lautet die Definitionsformel der
negativen Zahl $-n$ (gelesen: ``minus $n$''):
\begin{equation*}
  -n = a-(a+n).
\end{equation*}
Z.~B.: $9-13 = -4$, $15-19=-4$, $20-21 =-1$.

Im Gegensatz zn den negativen Zablen heissen die in
§~\ref{ch:4} definierten Ergebnisse des Zählens \emph{positive Zahlen}.
Aus der Definitionsformel der negativen Zahlen folgt für $a = 0$:
\begin{equation*}
  -n = 0-n.
\end{equation*}

Da nun $n = 0 + n$ ist, so liegt es nahe, $+n$ für $n$
zu setzen. Die vor eine Zahl (im Sinne des §~\ref{ch:4}) gesetzten
Plus- und Minuszeichen heißen \emph{Vorzeichen}. Negative
Zablen haben also das Vorzeichen minus, positive das Vorzeichen
plus. Von den beiden Vorzeichen:
\begin{center}
  $+$ und $-$
\end{center}
heißt das eine das \emph{umgekehrte} des ändern. Mit Vorzeichen
versehene Zahlen heissen \emph{relativ}. Läßt man bei
einer relativen Zahl das Vorzeichen fort, so entsteht eine
Zahl im Sinne des §~\ref{ch:4}, die man den \emph{absoluten Betrag}
der relativen Zahl nennt. Eine positive und eine negative
Zahl heißen \emph{entsprechend}, wenn sie denselben absoluten
Betrag haben.

Die oben abgeleitete Formel $-n = 0-n$, wonach
jede negative Zahl als Differenz aufgefaßt werden kann,
deren Minuendus 0 ist, führt das Rechnen mit negativen
Zahlen auf das in §~\ref{ch:8} erörterte Rechnen mit Null zurück.
Auf solche Weise erkennt man die in der Überschrift mit
I, II, III bezeichneten Formeln:
\begin{gather*}
  a + (-n) = a-n, \text{ weil } a+(-n) = a+(0-n)   \\
  = a+0-n = a-n \text{ ist;} \\
  a - (-n) = a+n, \text{ weil } a-(-n) = a-(0-n)   \\
  = a-0+n = a+n \text{ ist;} \\
  -n-a = -(n+a), \text{ weil } -n-a = 0-n-a   \\
  = 0-(n+a) = -(n+a) \text{ ist;}
\end{gather*}

\label{p:044}
Wenn man die erste dieser drei Formeln umgekehrt liest,
und dabei $+n$ für $n$ setzt, so erhält man
\begin{equation*}
  a-(+n) = a+(-n).
\end{equation*}

Vereinigt man diese Formel mit Formel II der Überschrift,
so erhält man den Satz:

\emph{Eine positive Zahl subtrahiert man, indem
man die entsprechende negative addiert. Eine
negative Zahl subtrahiert man, indem man die
entsprechende positive addiert.}

Dieser Satz verwandelt das Subtrahieren relativer
Zahlen immer in ein Addieren solcher Zahlen. Für das
Addieren relativer Zahlen gelten aber die folgenden, aus
dem Obigen hervorgehenden Hegeln:

1) \emph{Man addiert zwei positive Zahlen, indem
man der Summe ihrer absoluten Beträge das
positive Vorzeichen giebt;}

2) \emph{Man addiert eine positive und eine
negative Zahl, indem man der Differenz ihrer
absoluten Beträge das Vorzeichen derjenigen
Zahl giebt, die den größeren absoluten Betrag
hat; sind die absoluten Beträge gleich, so ergiebt
sich Null;}

3) \emph{Man addiert zwei negative Zahlen, indem
man der Summe ihrer absoluten Beträge das
negative Vorzeichen giebt.}

Beispiele:
\begin{center}
1) $(+3)+(+5) = +(3+5) = +8$; \\
2) $(+5)+(-3) = +(5-3) = +2$; \\
3) $(+3)+(-5) = -(5-3) = -2$; \\
4) $(-3)+(-5) = -(3+5) = -8$.
\end{center}

Durch die Erfindung der negativen Zahlen kann jede
Subtraktion als eine Addition betrachtet werden, sodaß ein
klammerloser Ausdruck, der nur Additionen und Subtraktionen
enthält, als eine \emph{Summe} von relativen Zahlen aufgefaßt
werden kann. Es ist z.~B. $19-8 + 5 + 6-4$ eine
Summe der relativen Zahlen $+ 19$, $-8$, $+ 5$, $+6$ und $-4$.
Eine so aufgefaßte Summe nennt man eine \emph{algebraische
Summe}, und die relativen Zahlen, aus denen sie sich
zusammensetzt, ihre \emph{Glieder}. Die Glieder können auch
\label{p:045}
abgekürzt geschriebene Summen sein. So ist z.~B.
$3a - 4b -5c + 6(e+f)$ eine algebraische Summe der
vier Glieder $3a$,$-4b$,$-5c$,$+6(e + f)$.

Hiernach kann die in §~\ref{ch:8} erkannte erste bezw. zweite
Regel auch so ausgesprochen werden:

\emph{Eine algebraische Summe addiert bezw. subtrahiert
man, indem man die Vorzeichen ihrer
Glieder beibehält bezw. umkehrt}.

Die Aufnahme der Null und der negativen Zahlen in
die Sprache der Arithmetik bedingt es, daß man sich unter
einem allgemeinen Zahlzeichen (Buchstaben) nicht allein
eine positive Zahl, sondern auch Null oder eine negative
Zahl vorzustellen hat. Auch bekommen dadurch alle bisher
aufgestellten \emph{Formeln} einen ausgedehnteren Sinn. Ferner
erfahren die in den früheren Paragraphen aufgestellten
\emph{Vergleichungs-Schlüsse} einen erweiterten Sinn, wenn
beachtet wird, daß, gleichviel ob $a$ und $b$ positiv, null oder
negativ ist,

\emph{$a$ größer als $b$ heißen soll, wenn $a-b$ positiv ist};

\emph{$a$ gleich $b$ heißen soll, wenn $a-b$ null ist};

\emph{$a$ kleiner als $b$ heißen soll, wenn $a-b$ negativ ist}.

Z.~B.:
\begin{equation*}
  \left|
    \begin{aligned}
      +8 &> -3 \
      -3 &> -4 \\
      \hline
      +8 &> -4
    \end{aligned}
  \right. \left|
    \begin{aligned}
      -4 &= -4 \\
      +3 &> -1 \text{ (add.)} \\
      \hline
      -1 &> -5
    \end{aligned}
  \right. \left|
    \begin{aligned}
      0  &< +1 \\
      -2 &> -3 \text{ (subt.)} \\
      \hline
      +2 &< +4
    \end{aligned}
  \right|
\end{equation*}

Endlich ermöglicht die Einführung der Null und der
negativen Zahlen die Lösbarkeit von Gleichungen, die, ohne
diese Einfübrung, als unlösbar gelten mußten. Z.~B. erhält
man aus:
\begin{equation*}
  7-(x + 8)=2
\end{equation*}
die Lösung $7-x-8 = 2$ oder $7-8-2 = x$ oder
$x =-3$.

Die Erörterungen, welche zur Erfindung der Null und
 der negativen Zablen geführt haben, lassen sich ohne weiteres
auch auf \emph{benannte} Zahlen übertragen. So ist z.~B.:
\begin{equation*}
  -7m
\end{equation*}
eine Differenzform, welche ausspricht, daß man
\begin{equation*}
  -7m+(a+7) m = a m
\end{equation*}
\label{p:046}
setzen will. In den Anwendungen kann man aus einer
negativen benannten Zahl durch Veränderung eines Wortes
meist die entsprechende positive Zahl bilden. So heißt z.~B.:

$-b$ Meter vorwärts dasselbe, wie $b$ Meter rückwärts;

$-e$ Mark Vermögen dasselbe, wie $e$ Mark Schulden.

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:9}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Was setzt man für:}

\item $6-9$;
\item $20-33$;
\item $a-(a+1)$;
\item $b-(b + c)$?

\exercisegoal{Berechne:}

\item $0-9$;
\item $(+4)+(+3)$;
\item $(+4)-(+3)$;
\item $(-4) + (-3)$;
\item $(-4) - (-3)$;
\item $(+ 4) + (-3)$;
\item $(-4) + (+ 3)$;
\item $(-5)-(-7)$;
\item $(-5) + (-7) + (-8)$;
\item $(+ 5) + (-7)-(-8) + (-9)$;
\item $33 + (-3) + (+ 4) + (-11)$;
\item $0 + (-5)-(+3)-(-7)$;
\item $(-1) + (+ 2)-(-3) + (+ 4)$.

\exercisegoal{Führe die folgenden Additionen aus:}

\item $\begin{aligned}[t]
    +8 \\
    -4 \\
    +5 \\
    -6 \\\hline
  \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
    -3 \\
    -4 \\
    +15 \\
    -6 \\\hline
  \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
    +13 \\
    +15 \\
    -7 \\
    -8 \\\hline
  \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
    -13 \\
    -15 \\
    +7 \\
    +8 \\\hline
  \end{aligned}$

\exercisegoal{Berechne die folgenden Ausdrücke für
$a =-3$, $b =-5$, $c = 0$, $d = +8$:}

\item $a + b - c + d$;
\item $-a + b + c + d$;
\item $a - b - c - d$.

\exercisegoal{Löse die folgenden Gleichungen:}

\item $13 - (x + 19) = 0$;
\item $-(x + 13) = 19$;
\item $-27 + 13 -(x + 8) = -21$.

\exercisegoal{Führe die folgenden Schlüsse aus:}

\item $\begin{aligned}[t]
    c &= c \\
    -4 &= -4 \text{ (subtr.)} \\\hline
  \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
    a &> b \\
    0 &< 1 \text{ (subtr.)} \\\hline
  \end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
    0 &> -1 \\
    2 &> +1 \text{ (add.)} \\\hline
  \end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
  -6 &< x -6 \\
  +6 &= +6 \text{ (add.)} \\\hline
\end{aligned}$

\end{exercise}

\separator

\label{p:047}
\part{Rechnungsarten zweiter Stufe.}

\chapter{Multiplikation.}\label{ch:10}

\textbf{Definitionsformel:} $\ontop{1)}{a} + \ontop{2)}{a} + \ontop{3)}{a} + \dots + \ontop{m)}{a} = a \cdot m$;

\textbf{Distributionsgesetze:}
$\left\{
  \begin{array}{@{\ }r@{\ }c}
    \text{I)}   & a \cdot p + a \cdot q = a (p + q); \\
    \text{II)}  & a \cdot p - a \cdot q = a (p - q), \\
    & \quad \text{wo$p > q$ist;}       \\
    \text{III)} & b \cdot p + c \cdot p = (b + c) p; \\
    \text{IV)}  & b \cdot p - c \cdot p = (b - c) p.
  \end{array}
\right.$

\textbf{Kommutationsgesetz:} $a \cdot b = b \cdot a$;

\textbf{Associationsgesetz:} $a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c$.

Schon in §~\ref{ch:5} ist eine Summe von lauter gleichen
Summanden in abgekürzter Weise geschrieben. Hier soll
nun das so abgekürzte Addieren als eine neue Rechnungsart
aufgefaßt werden, die \emph{Multiplikation} genannt wird.
Eine Zahl $a$ mit einer Zahl $m$ \emph{multiplizieren} heißt
also, eine Summe von $m$ Summanden bilden, deren jeder $a$
ist. Die Zahl, welche dabei als Summand auftritt, heißt
\emph{Multiplikandus}, und die Zahl $m$, welche angiebt, \emph{wie
oft} die andere Zahl als Summand gedacht ist, heißt
\emph{Multiplikator.} In den obigen Formeln ist immer der
Multiplikandus als die passive Zahl \emph{vor} den Multiplikator
als die aktive Zahl gesetzt. Das Ergebnis der Multiplikation,
welches man $a \cdot m$ oder auch $a\,m$ schreibt, heißt \emph{Produkt}.
Der Multiplikator, welcher zählt, wie oft der Multiplikandus
als Summand gedacht ist, kann naturgemäss nur ein Ergebnis
\label{p:048}
des Zählens, also eine Zahl im Sinne des §~\ref{ch:4} sein. Der
Multiplikandus aber kann jede der bisher definierten Zahlen,
also positiv, null oder negativ sein. Z.~B.:
\begin{gather*}
  (+ a) \cdot 5 = a + a + a + a + a = + (5 \, a);         \\
      0 \cdot 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;                  \\
  (- a) \cdot 5 = (- a) + (- a) + (- a) + (- a) + (- a) =
                         - (5 \, a).
\end{gather*}

Da man $a$ als Summe von einem Summanden auffassen
darf, so setzt man $a \cdot 1 = a$.

Der Multiplikandus kann auch eine benannte Zahl sein,
da man benannte Zablen addieren kann. Das Produkt hat
dann dieselbe Benennung. Z.~B. 6 Häuser mal 4 giebt
24 Häuser. Dagegen kann der Multiplikator, welcher zählt,
wie oft der Multiplikandus als Summand gedacht ist, nur eine
unbenannte positive Zahl sein.

Wenn $a = b$ und $c = d$ ist, so kann man, da die
Multiplikation zweier Zablen immer nur zu einem einzigen
Ergebnis führt, von $b \cdot d = b \cdot d$ ausgehen, und links $a$ für
$b$ und $c$ für $d$ setzen, woraus $a \cdot c = b \cdot d$ folgt. Dies ergiebt
den Satz: \emph{Gleiches mit Gleichem multipliziert
ergiebt Gleiches.}

\separator

Die vier Distributionsgesetze der Überschrift lassen sich
auf folgende Weise beweisen:
\begin{align*}
 \text{I) } a \cdot p &+ a \cdot q = a \cdot (p + q), \text{ weil:}\\
 a \cdot p &= \ontop{1)}{a} + \ontop{2)}{a}
 + \ontop{3)}{a} + \dots + \ontop{p)}{a} \text{ und}\\
 a \cdot q &= \ontop{1)}{a} + \ontop{2)}{a}
 + \ontop{3)}{a} + \dots + \ontop{q)}{a}.
\end{align*}

Addiert man nun beide Gleichungen, so erhält man:
\begin{equation*}
  a \cdot p + a \cdot q = \ontop{1)}{a} + \ontop{2)}{a}
  + \ontop{3)}{a} + \dots + \ontop{p)}{a}
  + \ontop{p + 1)}{a} + \dots + \ontop{p + q)}{a},
\end{equation*}
wofür $a \cdot (p + q)$ zu setzen ist.

\begin{align*}
  \text{II) }
  a \cdot p &- a \cdot q = a \cdot (p - q), \text{ falls $p > q$ ist, weil:}\\
  a \cdot p &= \ontop{1)}{a} + \ontop{2)}{a}
  + \ontop{3)}{a} + \dots + \ontop{q)}{a}
  + \ontop{q + 1)}{a} + \dots + + \ontop{p)}{a}\\
  a \cdot q &= \ontop{1)}{a} + \ontop{2)}{a}
  + \ontop{3)}{a} + \dots + \ontop{q)}{a}.
\end{align*}

\label{p:049}
Subtrahiert man nun beide Gleichungen, so erhält man:
\begin{equation*}
  a \cdot p - a \cdot q = \ontop{q + 1)}{a} + \ontop{q + 2)}{a}
  + \ontop{q + 3)}{a} + \dots + \ontop{p)}{a}
  = \ontop{1)}{a} + \ontop{2)}{a}
  + \ontop{3)}{a} + \dots + \ontop{p - q)}{a},
\end{equation*}
wofür $a \cdot (p - q)$ zu setzen ist.
\begin{align*}
 \text{III) }
 b \cdot p &+ c \cdot p = (b + c) \cdot p, \text{ weil:} \\
 b \cdot p &= \ontop{1)}{b} + \ontop{2)}{b}
 + \ontop{3)}{b} + \dots + \ontop{p)}{b} \text{ und} \\
 c \cdot p &= \ontop{1)}{c} + \ontop{2)}{c}
 + \ontop{3)}{c} + \dots + \ontop{p)}{c}.
\end{align*}

Addiert man nun, so kann man die Summe rechts
sehreiben, wie folgt:
\begin{equation*}
  b \cdot p + c \cdot p = (b + \ontop{1)}{c}) + (b + \ontop{2)}{c})
  + (b + \ontop{3)}{c}) + \dots + (b + \ontop{p)}{c}),
\end{equation*}
wofür $(b + c) \cdot p$ zu setzen ist.
\begin{align*}
 \text{IV) }
 b \cdot p &- c \cdot p = (b - c) \cdot p, \text{ weil:} \\
 b \cdot p &= \ontop{1)}{b} + \ontop{2)}{b}
 + \ontop{3)}{b} + \dots + \ontop{p)}{b} \text{ und} \\
 c \cdot p &= \ontop{1)}{c} + \ontop{2)}{c}
 + \ontop{3)}{c} + \dots + \ontop{p)}{c}.
\end{align*}

Subtrahiert man nun, so kann man die Differenz rechts,
gleichviel ob $c$ kleiner als, gleich, oder größer als $b$ ist,
schreiben wie folgt:
\begin{equation*}
  b \cdot p - c \cdot p = (b - \ontop{1)}{c}) + (b - \ontop{2)}{c})
  + (b - \ontop{3)}{c}) + \dots + (b - \ontop{p)}{c}),
\end{equation*}
wofür $(b - c) \cdot p$ zu setzen ist.

Da jede Gleichung vorwärts und rückwärts gelesen
werden kann, so liefern die vier Distributionsgesetze acht
Sätze die folgendermaßen lauten:

I (vorwärts): \emph{Die Summe zweier Produkte von
gleichem Multiplikandus ist gleich dem Produkte
dieses Multiplikandus mit der Summe der
Multiplikatoren.}

I (rückwärts): \emph{Mit einer Summe multipliziert
man, indem man mit den Summanden einzeln
multipliziert und die erhaltenen Produkte
addiert.}

II (vorwärts): \emph{Die Differenz zweier Produkte
von gleichem Multiplikandus ist gleich dem
Produkte dieses Multiplikandus mit der
\label{p:050}
Differenz der Multiplikatoren}. Dabei ist vorausgesetzt,
daß der Multiplikator des Minuendus größer als
der des Subtrahendus ist.

II (rückwärts): \emph{Mit einer Differenz, deren
Minuendus größer als der Subtrahendus ist,
multipliziert man, indem man mit Minuendus
und Subtrahendus einzeln multipliziert und
die erhaltenen Produkte subtrahiert.}

III (vorwärts): \emph{Die Summe zweier Produkte
von gleichem Multiplikator ist gleich dem
Produkte der Summe der Multiplikanden mit
dem gleichen Multiplikator.}

III (rückwärts): \emph{Eine Summe multipliziert man,
indem man ihre Summanden einzeln multipliziert
und die erhaltenen Produkte addiert.}

IV (vorwärts): \emph{Die Differenz zweier Produkte von
gleichem Multiplikator ist gleich dem Produkte
der Differenz der Multiplikanden mit dem gleichen
Multiplikator.}

IV (rückwärts): \emph{Eine Differenz multipliziert man,
indem man Minuendus und Subtrahendus einzeln
multipliziert und das aus dem Subtrahendus hervorgegangene
Produkt von dem aus dem Minuendus
hervorgegangenen Produkte subtrahiert.}

Mit Hilfe dieser Distributionsgesetze lassen sieh die
folgenden Schlüsse beweisen:
\begin{equation*}
  \left|
    \begin{aligned}
      a &= b \\
      c &> d \text{ (mult.)} \\\hline
      a \cdot c &> b \cdot d
    \end{aligned}
  \right. \left|
    \begin{aligned}
      a &> b \\
      c &= d \text{ (mult.)} \\\hline
      a \cdot c &> b \cdot d
    \end{aligned}
  \right. \left|
    \begin{aligned}
      a &> b  \\
      c &> d \text{ (mult.)} \\\hline
      a \cdot c &> b \cdot d
    \end{aligned}
  \right|
\end{equation*}
oder, rückwärts gelesen:
\begin{equation*}
  \left|
    \begin{aligned}
      b &= a \\
      d &< c \text{ (mult.)} \\\hline
      b \cdot d &< a \cdot c
    \end{aligned}
  \right. \left|
    \begin{aligned}
      b &< a \\
      d &= c \text{ (mult.)} \\\hline
      b \cdot d &< a \cdot c
    \end{aligned}
  \right. \left|
    \begin{aligned}
      b &< a  \\
      d &< c \text{ (mult.)} \\\hline
      b \cdot d &< a \cdot c
    \end{aligned}
  \right|
\end{equation*}

Dabei müssen $c$ und $d$ als Multiplikatoren Ergebnisse
des Zählens, also positive ganze Zahlen sein.

Um diese Schlüsse zu beweisen, verwandelt man jede
Ungleichung in eine Gleichung, multipliziert dann die linken
\label{p:051}
und die rechten Seiten der beiden entstandenen Gleichungen
nach Vorschrift der Distributionsgesetze, und verwandelt
schließlich die entstandenen Gleichungen wieder in Ungleichungen.
So erhält man beim ersten Schluß $a \cdot c =
b \cdot d + b \cdot e$, woraus folgt: $a \cdot c > b \cdot d$. Beim zweiten
Schluß erhält man: $a \cdot c = b \cdot d + f \cdot d$, woraus auch
$a \cdot c > b \cdot d$ folgt. Beim dritten Schluß ergiebt sich zunächst
$a \cdot c = (b + e)(d + f)$, woraus $a \cdot c = (b + e) \cdot d + (b + e) \cdot f$
folgt. Hieraus aber erhält man: $a \cdot c > (b + e) d$, also
$a \cdot c > b \cdot d + e \cdot d$ oder $a \cdot c > b \cdot d$.

\separator

Ein Produkt, dessen Multiplikator null oder negativ ist,
hat nach der Definition der Multiplikation keinen Sinn. Nach
dem in §~\ref{ch:8} eingeführten \emph{Permanenz-Prinzip} ist einem
solchen Produkte ein Sinn beizulegen, der es gestattet, daß
die entwickelten Gesetze Gültigkeit behalten. Dieses Ziel
erreicht man, indem man, nach §~\ref{ch:8} und §~\ref{ch:9}, Null und
negative Zahlen als Differenzen auffasst und mit ihnen genau
so multipliziert, wie die rückwärts gelesene Formel II vorschreibt.
So erhält man:
\begin{gather*}
  a \cdot 0 = a (b - b) = a \, b  - a \, b = 0;\\
  a \cdot (- c) = a \cdot (0 - c) = a \cdot 0 - a \cdot c = 0 - a \cdot c = -(a \cdot c).
\end{gather*}

In Worten lauten diese Ergebnisse:

1) \emph{Durch Multiplikation einer beliebigen
Zahl mit Null erhält man wieder Null.}

2) \emph{Mit einer negativen Zahl multipliziert man,
indem man mit ihrem absoluten Betrage multipliziert
und dem erhaltenen Produkte das entgegengesetzte
Vorzeichen giebt.} Z.~B.: $(+ 4)(- 3) = - 12$; $(- 5) \cdot (- 3)
= + 15$.

\separator

Aus den Distributionsgesetzen geht hervor, wie multipliziert
wird, wenn Multiplikandus oder Multiplikator algebraische
Summen sind. Z.~B.:

1) $a \cdot (e + f + g) = a \cdot e + a \cdot f + a \cdot g$, weil:\\
$a \cdot (e + f + g) = a \cdot (e + f) + a \cdot g
= a \cdot e + a \cdot f  + a \cdot g$ ist;

2) $(a + b + c) \cdot p = a \cdot p + b \cdot p + c \cdot p$, weil:\\
$(a + b + c) \cdot p = (a + b) \cdot p + c \cdot p
= a \cdot p + b \cdot p \cdot c \cdot p$ ist;

\label{p:052}
3) $a \cdot (e - f + g) = a \cdot e + a \cdot f + a \cdot g$;

4) $a \cdot (e + f - g) = a \cdot e + a \cdot f - a \cdot g$;

5) $a \cdot (e - f - g) = a \cdot e - a \cdot f - a \cdot g$;

6) $(a - b + c) \cdot p = a \cdot p - b \cdot p + c \cdot p$;

7) $(a + b - c) \cdot p = a \cdot p + b \cdot p - c \cdot p$;

8) $(a - b - c) \cdot p = a \cdot p - b \cdot p - c \cdot p$.

In allen diesen Formeln erscheinen die Klammern \emph{gelöst}.
Liest man die Formeln rückwärts, so erscheint entweder
ein gemeinsamer Multiplikandus oder ein gemeinsamer
Multiplikator \emph{abgesondert}.

Wenn Multiplikandus und Multiplikator beide algebraische
Summen sind, so geschieht die Auflösung der Klammern
so, wie die folgenden Formeln zeigen:
\begin{gather*}
  (a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d; \\
  (a + b) \cdot (c - d) = a \cdot c - a \cdot d + b \cdot c - b \cdot d; \\
  (a - b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d - b \cdot c - b \cdot d; \\
  (a - b) \cdot (c - d) = a \cdot c - a \cdot d - b \cdot c + b \cdot d.
\end{gather*}

Der Beweis dieser Formeln folgt aus den Distributionsgesetzen
sehr leicht. Z.~B.:
\begin{gather*}
  (a + b) \cdot (c - d)
  = a \cdot (c - d) + b \cdot (c - d)
  = (a \cdot c - a \cdot d) \\
  + (b \cdot c - b \cdot d)
  = a \cdot c - a \cdot d + b \cdot c - b \cdot d.
\end{gather*}

Für den Fall, daß Multiplikandus und Multiplikator
algebraische Summen von mehr als zwei Gliedern sind,
diene folgendes Beispiel:
\begin{align*}
  (a - b + c) \cdot (p - q - r + s)
  &= a \cdot p - a \cdot q - a \cdot r + a \cdot s \\
  &- b \cdot p + b \cdot q + b \cdot r - b \cdot s \\
  &+ c \cdot p - c \cdot q - c \cdot r + c \cdot s.
\end{align*}

Demnach läßt sich folgende Regel aussprechen:

\emph{Zwei algebraische Summen multipliziert
man, indem man jedes Glied des einen mit
jedem Gliede des andern multipliziert und dem
Produkte das positive Vorzeichen giebt, wenn
die beiden multiplizierten Glieder gleiche
Vorzeichen hatten, dagegen das negative
Vorzeichen, wenn die beiden multiplizierten
Glieder ungleiche Vorzeichen hatten.}

\separator

\label{p:053}
Das Kommutationsgesete der Multiplikation $a \cdot b = b \cdot a$
beruht auf den Distributionsgesetzen. Denn:
\begin{align*}
  a \cdot b &= ( \ontop{1)}{1} + \ontop{2)}{1}
  + \ontop{3)}{1} + \dots + \ontop{a)}{1} ) \cdot b   \\
  &= \ontop{1)}{1\cdot b} + \ontop{2)}{1\cdot b}
  + \ontop{3)}{1\cdot b} + \dots +  \ontop{a)}{1\cdot b}   \\
  &= \ontop{1)}{b} + \ontop{2)}{b}
  + \ontop{3)}{b} + \dots + \ontop{a)}{b}   \\
  &= b \cdot a
\end{align*}

Bei diesem Beweise ist vorausgesetzt, daß $b$ eine natürliche
Zahl im Sinne des  §~\ref{ch:4} ist. Es ist aber auch $a \cdot 0 = 0 \cdot a$,
weil von beiden Produkten oben erkannt ist, daß sie gleich
Null zu setzen sind. Ebenso ist:
\begin{equation*}
  a \cdot (-p) = (-p) \cdot a,
\end{equation*}
weil nach dem Obigen beide Produkte $-(a \cdot p)$ ergeben.
Das Kommntationsgesetz lautet in Worten: \emph{Die durch
ein Produkt dargestellte Zahl wird nicht
geändert, wenn Multiplikandus und Multiplikator
Vertauscht werden}. Da der Multiplikator nicht benannt
sein kann, so hat auch das Kommutationsgesetz nur Sinn,
wenn der Multiplikandus unbenannt ist.

Wegen des Kommutationsgesetzes ist es bei unbenannten
Zahlen meist zwecklos, Multiplikator und Multiplikandus zu
unterscheiden. Man bezeichnet deshalb beide mit einem
gemeinsamen Namen, nämlich ``\emph{Faktor}'' (vgl. §~\ref{ch:1}), und
schreibt die beiden Faktoren eines Produktes in beliebiger
Reihenfolge. Der eine Faktor heißt der \emph{Koeffizient} des
andern (vgl. §~\ref{ch:5}). Das Produkt nennt man ein \emph{Vielfaches}
von jedem seiner Faktoren, und jeden Faktor einen \emph{Teiler}
des Produktes.

Wie das Kommutationsgesetz, so folgt auch das
\emph{Associationsgesetz} aus den Distributionsgesetzen,
nämlich:
\begin{align*}
  a \cdot (b \cdot c) &= a (\ontop{1)}{b} + \ontop{2)}{b}
  + \dots + \ontop{c)}{b})   \\
  &= a \ontop{1)}{b} + a \ontop{2)}{b}
  + \dots + a \ontop{c)}{b}   \\
  &= a \cdot b \cdot c.
\end{align*}

Bei diesem Beweise ist vorausgesetzt, daß $c$ eine
natürliche Zahl im Sinne des §~\ref{ch:4} ist. Es ist aber auch
$a \cdot (b \cdot 0)$ gleich $a \cdot b \cdot 0$, weil beide Produkte nach dem
\label{p:054}
Obigen Null ergeben. Ebenso ist $a \cdot [b \cdot (- p)] = a \cdot b (- p)$,
weil beide Produkte zu dem Ergebnis $-(a \cdot b \cdot p)$ führen. Das
Associationsgesetz lautet in Worten: \emph{Man multipliziert
mit einem Produkte, indem man mit dem
Multiplikandus multipliziert und das erhaltene
Produkt dann noch mit dem Multiplikator
multipliziert.} Wenn man die das Associationsgesetz
ausdrückende Formel rückwärts liest, so erhält man den
Satz: \emph{Ein Produkt multipliziert man, indem man
den Multiplikator multipliziert und mit dem
erhaltenen Produkte dann noch den Multiplikandus
multipliziert.}

Bei der Associations-Formel ist die Reihenfolge der
zur Multiplikation verwandten drei Zablen beibehalten. Man
kann jedoch, dank dem Kommutationsgesetze, diese Reihenfolge
beliebig verändern. Nämlich:
\begin{gather*}
  a b c  = a c b  = b a c  = b c a  = c a b  = c b a    \\
  = a(b c) = a(c b) = b(a c) = b(c a) = c(a b) = c(b a).
\end{gather*}

So gelangt man zu der folgenden allgemeinen Regel:
\emph{In einem Ausdruck, der aufeinanderfolgende
Multiplikationen enthält, dürfen alle Klammern,
die Produkte einschließen, beliebig fortgelassen
und gesetzt werden, und dürfen auch
alle Faktoren in beliebige Reihenfolge gebracht
werden.} Z.~B.:

1) $4 a (3 b) (c + d) = 4 \cdot a \cdot 3 \cdot b \cdot (c + d)
                       = 4 \cdot 3 \cdot a \cdot b \cdot (c + d)$;

2) $c (d e) (a b f) = c d e a b f = a b e d e f$.

Ein Produkt, dessen einer Faktor selbst wieder ein
Produkt ist, wird Produkt von \emph{drei} Faktoren genannt,
u.~s.~w. Z.~B.:

$e f g$ ist ein Produkt von drei Faktoren;

$b b b b$ ist ein Produkt von vier Faktoren;

$5 (a + b) c (d + e) (f + 7)$ ist ein Produkt von fünf
Faktoren.

Eine Zahl oder eine algebraische Summe bezeichnet
man als ein Produkt von einem einzigen Faktor.

\separator

So wie in §~\ref{ch:5} eine Summe von lauter gleichen
Summanden zu einer abgekürzten Schreibweise Veranlassung
\label{p:055}
gab, so giebt auch ein Produkt von lauter gleichen Faktoren
zu einer \emph{kürzeren Schreibweise} Veranlassung. Man
schreibt nämlich diesen Faktor nur einmal und stellt die
Zahl, welche angiebt, wie oft der Faktor als gesetzt gedacht
werden soll, \emph{höher} und \emph{kleiner} rechts daneben. Z.~B.
schreibt man statt $b\,b\,b\,b\,b$ kürzer $b^5$ (gelesen: ``$b$ hoch
fünf'') und nennt dann ein derartig abgekürzt geschriebenes
Produkt eine \emph{Potenz.} Die Zahl, \emph{welche} dabei als
Faktor gedacht ist, heisst \emph{Basis}, und die Zahl, welche
zählt, \emph{wie oft} die Basis als Faktor zu denken ist, heißt
\emph{Exponent}. Man nennt $b^5$ auch die fünfte Potenz von $b$,
und sagt deshalb auch ``$b$ zur fünften Potenz'' oder kürzer
``$b$ zur fünften.''

Aus dieser Definition der Potenz ergiebt sich unmittelbar,
wie Potenzen von gleicher Basis zu multiplizieren sind. Z.~B.:
\begin{align*}
  b^5 \cdot b^8 &= (b b b b b) (b b b) = b b b b b b b b = b^8; \\
  3^7 \cdot 3^4 &= 3^{11}; \quad 8^3 \cdot 8 = 8^4.
\end{align*}

Wenn also Potenzen gleicher Basis multipliziert werden
sollen, müssen ihre Exponenten addiert werden. Ist die
Basis einer Potenz eine Summe, eine Potenz oder ein
Produkt, so hat man sie einzuklammern, z.~B.:
\begin{equation*}
  (a + b)^4; \quad (a - b)^3;\quad (a \cdot b)^5.
\end{equation*}

So wie die abgekürzt geschriebenen Summen eine neue
Rechnungsart, die Multiplikation, hervorriefen, so rufen auch
die abgekürzt geschriebenen Produkte eine neue Rechnungsart,
die Potenzierung, hervor, die später (§~\ref{ch:29}) für sich behandelt
werden wird. Demgemäß] nennt man die Addition,
Multiplikation, Potenzierung direkte Rechnungsarten bezw.
erster, zweiter und dritter Stufe.

Aus den bisher entwickelten Definitionen und Resultaten
läßt sich erkennen, daß, wenn beliebig viele Zahlen, die
Null oder relativ sind, durch Addition, Subtraktion und
Multiplikation in beliebiger Weise verbunden werden, das
schließliche Ergebnis immer Null oder relativ, also eine
der bisher definierten Zablen sein muß.

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:10}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Man soll kürzer ausdrücken:}

\item $7 + 7 + 7 + 7$;
\item $d + d + d + d + d$;

\item $(- 4) + (- 4) + (-4)$.

\label{p:056}
\exercisegoal{Man soll in ein Produkt verwandeln:}

\item $5 a + 7 a$;
\item $43 p - 13 p$;
\item $e p + f p$;
\item $a v - b v$;
\item $217 \cdot 96 + 217 \cdot 4$;
\item $6 a - 6 b + 6 c$;
\item $7 d + 7 e - 7$;
\item $a p - a q + a r - a s$;
\item $a b - a c + a d + a$.

\exercisegoal{Man soll die Klammern lösen:}

\item $(b + c) m$;
\item $(a - b) r$;
\item $(13 - a) b$;
\item $m (b + c)$;
\item $r (a - b)$;
\item $p (a - b + c)$;
\item $5 (a - 4 + b - c)$;
\item $4 (a - b - c + 25)$.

\exercisegoal{Man soll die folgenden Schlüsse ausführen, in
denen die Buchstaben positive Zablen bedeuten:}

\item $\begin{aligned}[t]
  a &= b \\
  f &= g \text{ (mult.)} \\
  \hline
\end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
  7 &> 6 \\
  p &= q \text{ (mult.)} \\
  \hline
\end{aligned}$
\item $\begin{aligned}[t]
  10 &< 20 \\
  a &< b \text{ (mult.)} \\
  \hline
\end{aligned}$

\exercisegoal{Man soll berechnen:}

\item $0 \cdot 9 - 8$;
\item $7 \cdot 0 + 50 \cdot (a - a)$;

\item $(b - b) (c - c)$;
\item $(- 3) \cdot 5$;
\item $[a - (a + 2)] \cdot 5$;

\item $5 \cdot (- 6) + 6 \cdot (- 5)$;

\item $(7 - 9) \cdot 3 + (8 - 20) \cdot 5 + (- 10) (- 10)$;

\item $(- 5) (- 6) (- 7)$;
\item $(- 1) (- 1) (- 1) (- 1)$;

\item $(- 4) \cdot [6 \cdot 2 - (- 6 \cdot 3) + (- 2) (- 3)]$;

\item $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 0 - 5 \cdot 6 + (- 7) (- 8)] (3 - 5)
     + (- 4) (- 13)$.

\item Welche Formeln für die Addition sind analog
  Formeln für die Multiplikation?

\exercisegoal{Berechne auf kürzeste Weise:}

\item $2 \cdot (a \cdot 5)$;
\item $5 \cdot 37 \cdot 20$;
\item $(8 a)(125 b)$;

\item $5 \cdot [5 \cdot (5 \cdot 2)] [2 \cdot (5 \cdot 2)] \cdot 2$;

\item $4 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 2$.

\exercisegoal{Klammern lösen und dann vereinfachen:}

\item $7 (a + b - 2 c) + 4 (a - b + 3c)$;

\item $13 (a - 2 b) - 5 (2 a - b) + 18 (3 a - 4 b$);

\item $4 (p + 2 q - s) - 13 (p - q + 3 s) + 5 (2 p + q - s)$;

\item $6 \cdot [(a - 2 b + c) \cdot 3 - 2 (a - b + c)]
    - (a - 2 b + c) . 5$;

\item $a (b - c) - b (a + c) + c (a - b)$;

\item $a (b + c - d) - b (a + c - d) + d (a + b + c)$;

\item $3 a (4 - b) - 6 b (a + 4) + 24 (b + a)$.

\label{p:057}
\exercisegoal{In eine Summe von möglichst wenig Produkten
verwandeln:}

\item $(b+c)(d+e)$;
\item $(b-c)(d+e)$;

\item $(b-c)(d-e)$;
\item $(3a-2b)(c+d)$;

\item $(2a+5b)(4a - 10b)$;
\item $(a-b)(p+q+r)$;

\item $(a-b-c)(p-q)$;
\item $(a-2b+3c)(p-q-r)$;

\item $(a+b-c)(2x+2y-3z)$;

\item $(3a-4b)(c+d)+(a+b)(4c-d)$;

\item $(a-2b)(e-f)-(a-8b)(e+2f)+(5a+b)(e-f)$.

\exercisegoal{Sondere den gemeinsamen Faktor ab:}

\item $6a-6b+6c$;
\item $20a-30b-40c$;

\item $ap--aq+ar$;
\item $(4b)(3a)-(4b)(5c)+4b$;

\item $(2a-3b)(c+d)+(a+b)(c+d)-(a-5b)(c+d)$.

\exercisegoal{Verwandele in ein einziges Produkt:}

\item $af-ag+bf-bg$;
\item $5ab+5ac-bf-ef$;

\item $3a-pa+3-p$;
\item $6ab-7b+6ac-7c$;

\item $2pq+2pr-2ps+7aq+7ar-7as$;

\item $ad+ae-af-bd-be-bf+cd+ce-cf$.

\exercisegoal{Berechne:}

\item $3^4$;
\item $7^3-3^5$;
\item $4^5-10^8$;
\item $0^3+2^8$;

\item $10^8 + 8 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10 + 9$;
\item $10^4-(-10)^4$;

\item $10^3+(-10)^3$;
\item $(-1)^7$;
\item $(-l)^{1899}$.

\exercisegoal{Klammern lösen und möglichst vereinfachen:}

\item $4a^2(5a^2-b)$;
\item $3a^2b^3(a+b-c)$;

\item $3a^2b(a+b)-3a^2(b^2-ab+1)$;

\item $(a+b)^2$;
\item $(a-b)^2$;
\item $(a+b)(a-b)$;

\item $(a^2+b^2)^2$;
\item $(a^2-b^2)^2$;
\item $(a+b+c)^2$;

\item $(a^4-a^3)(a-1)$;
\item $(e^7-e^6+e^3)(e^3+e^4)$;

\item $(2a+3b)^2$;
\item $(2a-5)^2$;

\item $(7a^2-3b^2)(4a^2-b^2)$.

\exercisegoal{Sondere den gemeinsamen Faktor ab:}

\item $a^6b^3-a^7b^4+a^5b^4-a^8b^8$;

\item $4m^2n^2-8m^8n8+12m^4n^4;$

\item $9a^2b^3c^2-7a^3b^2c^2-11a^2b^2c^3+a^2b^2c^2$.

\label{p:058}
\exercisegoal{Löse die Klammern und vereinfache:}

\item $(b + c)^3$;
\item $(a + b + c)(a-b-c)$;

\item $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$;
\item $(a + b)(a^2 - a b + b^2)$;

\item $(v + w) (v^4-v^3 w + v^2 w^2-v w^3 + w^4)$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Division.}\label{ch:11}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)  & $a : b \cdot b = a$; \\
    II) & $a \cdot b : b = a$.
  \end{tabular}
\end{center}

Die \emph{Division} entsteht aus der Multiplikation dadurch,
daß das Produkt und ein Faktor als bekannt, der andere
Faktor als unbekannt und deshalb als gesucht betrachtet
wird. Bei dieser Umkehrung erhält das bekannte Produkt
den Namen \emph{Dividendus}, der bekannte Faktor den Namen
\emph{Divisor}, der unbekannte Faktor den Namen \emph{Quotient}.
Eine Zahl $a$ durch eine Zahl $b$ dividieren, oder, was dasselbe
ist, eine Zahl $b$ in eine Zahl $a$ dividieren, heißt also,
die Zahl finden, welche mit $b$ multipliziert werden muß,
damit sich $a$ ergiebt. Dies spricht die Formel I der Überschrift
aus. $20:4$ bedeutet also die Zahl, welche, mit 4
multipliziert, 20 ergiebt, oder, was dasselbe ist, die Zahl,
welche für $x$ gesetzt werden muß, damit die Bestimmungsgleichung:
\begin{equation*}
  x \cdot 4 = 20
\end{equation*}
richtig wird. Hiernach besteht die Berechnung eines
Quotienten im \emph{Raten} des Wertes der Unbekannten einer
Gleichung. Um z.~B. $56:7$ zu bezeichnen, hat man den
Wert von $x$ aus der Gleichung $x \cdot 7 = 56$ zu raten. Im
Rechen-Unterricht wird dieses Raten derartig geübt, daß
es bei kleineren Zahlen lediglich gedächtnismäßig wird.
Die Division mehrziffriger Zahlen wird auf die Division
kleiner Zahlen durch eine Methode zurückgeführt, die auf
unsrer Schreibweise der Zahlen nach Stellenwert (§~\ref{ch:22})
beruht.

Statt des aus einem Doppelpunkte bestehenden Divisionszeichens,
vor das man den Dividendns und hinter das man
den Divisor setzt, schreibt man auch einen \emph{wagerechten
Strich}, üher den man den Dividendus und unter den man
den Divisor setzt. Diese Schreibweise macht Klammern
\label{p:059}
überflüssig, wenn der Divisionsstrich die Reihenfolge der
Rechnungsarten unzweifelhaft macht. Z.~B.:
\begin{align*}
  (19+6) : 5 &= \frac {19+6} {5} ; \\
  [a+b(c-d)] : (e+f) &= \frac{a+b(c-d)} {e+f} .
\end{align*}

Wie jede Rechnungsart, die aus zwei Zablen eine dritte
finden läßt, muß auch die Multiplikation zwei Umkehrungen
haben. Man kann nämlich sowohl nach dem Multiplikandus
wie auch nach dem Multiplikator fragen. In der That kann
man diese beiden Fälle durch zwei verschieden lautende
Fragestellungen unterscheiden. Wenn man fragt, \emph{welche}
Zahl mit 7 multipliziert, 56 ergiebt, so fragt man nach der
passiven Zahl, dem Multiplikandus. Wenn man aber fragt,
\emph{mit} welcher Zahl 7 multipliziert werden muß, damit sich
das Produkt 56 ergiebt, so fragt man nach dem Multiplikator.
Wegen des Kommutationsgesetzes der Multiplikation
braucht man bei unbenannten Zablen die beiden Umkehrungen
der Multiplikation nicht zu unterscheiden. Wohl
aber zeigt sich die Verschiedenheit, wenn der eine der
beiden Faktoren eines Produkts \emph{benannt} ist. Da dieser
Faktor dann Multiplikandus sein muß, so ergeben sich bei
der Division die beiden folgenden Fälle:

1) Dividendus benannt, Divisor unbenannt; der Quotient
wird benannt und erhält dieselbe Benennung wie der Dividendus.
Z.~B.: $15\, \text{Meter} : 3 = 5\, \text{Meter}$.  In diesem Falle
nennt man das Dividieren auch \emph{``Teilen''}.

2) Dividendus und Divisor beide von gleicher Benennung;
der Quotient wird unbenannt. Z.~B. $15 \,\text{Meter} : 5 \,\text{Meter} = 3$.
In diesem Falle nennt man das Dividieren auch \emph{``Messen''}.

\separator

Eine Division ist nur dann ausfübrbar, wenn der Dividendus
als Produkt darstellbar ist, dessen einer Faktor der
Divisor ist. Es muß also der Dividendus ein \emph{Vielfaches}
(vgl. §~\ref{ch:10}) des Divisors sein, oder, was dasselbe ist, der
Divisor muß ein \emph{Teiler} des Dividendus sein. Wenn diese
Bedingung nicht erfüllt ist, ist die Verbindung der beiden
Zablen durch ein Divisionszeichen \emph{sinnlos}. So ist z.~B.
$18 : 5$ eine Quotientform, der keine der his jetzt definierten
\label{p:060}
Zahlen gleichgesetzt werden kann. Das in §~\ref{ch:8} eingeführte
Prinzip der Permanenz gestattet es jedoch, solchen sinnlosen
Quotientformen einen Sinn zu erteilen. Dadurch wird die
Sprache der Arithmetik wesentlich bereichert, und der
Zablenbegriff von neuem (§~\ref{ch:8} und~9) erweitert (vgl. §~\ref{ch:13}).

\separator

Die in §~\ref{ch:10} entwickelten Gesetze für das Multiplizieren
von positiven und negativen Zahlen ergeben für die Division
die Regel:

Zwei relative Zahlen werden dividiert, indem man dem
Quotienten ihrer absoluten Beträge das \emph{positive}
Vorzeichen giebt, wenn die relativen Zahlen \emph{gleiche}
Vorzeichen hatten, dagegen das \emph{negative} Vorzeichen, wenn
dieselben \emph{ungleiche} Vorzeichen hatten. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \begin{aligned}
    (+12) : (+8) &= +4; \\
    (-12) : (+3) &= -4;
  \end{aligned}
  \quad
  \begin{aligned}
    (+12) : (-3) &= -4; \\
    (-12) : (-3) &= +4.
  \end{aligned}
\end{gather*}

Der Beweis dieser Kegel wird dadurch erbracht, daß
das Produkt von Divisor und Quotient immer den Dividendus
mit dem richtigen Vorzeichen ergiebt.

\separator

Da $0\cdot a$ stets null ist, wenn $a$ eine positive oder eine
negative beliebige Zahl ist, so gilt die Regel:

1) \emph{Null dividiert durch eine positive oder
negative Zahl ergiebt immer null}.

Wenn man aber bei der Gleichung $0\cdot a = 0$ nicht $a$,
sondern~0 zum Divisor macht, so ergiebt sich $0 : 0= a$.
Also erhält man die Regel:

2) \emph{Null dividiert durch Null kann jeder beliebigen
Zahl gleichgesetzt werden}. Dieselbe
kann positiv, negativ und auch null sein, weil~0 mal~0
auch~0 ist.  Man nennt deshalb $0 : 0$ eine vieldeutige
Quotientenform.

Da das Produkt von~0 mit keiner der bis jetzt definierten
Zablen eine positive oder negative Zahl ergiebt, so muß
die \emph{Quotientenform $a : 0$ vorläufig als sinnlos}
erklärt werden. Wir erhalten also das folgende Resultat:

3) \emph{Eine Division fübrt immer zu einem einzigen
Ergebnis, wenn der Divisor nicht null ist. Ist der
\label{p:061}
Divisor null, der Dividendus auch null, so ist das
Ergebnis vieldeutig, d.~h. gleich jeder beliebigen
Zahl. Ist der Divisor null, der Dividendus nicht
auch null, so ist die Division sinnlos, d.~h. das
Ergebnis ist gleich keiner der bisher definierten
Zablen.}

Man darf daher $b : d$ nur dann gleich $b : d$ setzen, wenn
man weiß, daß $d$ nicht null ist. Ist $d$ nicht null, und
$a = b$ sowie $c = d$, so folgt aus $b : d$ = $b : d$ die Gleichung
$a : c$ = $b : d$, d.~h. in Worten:

4) \emph{Gleiches durch Gleiches dividiert, giebt
Gleiches, falls die Divisoren von null verschieden sind.}

Wenn man die bei 4) hinzugefügte Bedingung ``falls die
Divisoren von null verschieden sind'' nicht beachtet, so
kommt man zu \emph{Trugschlüssen}. Z.~B.: Das Doppelte
von $a$ sei $b$. Dann hat man $6 a = 3 b$, also auch $42 a - 36 a$
gleich $21 b-18 b$, woraus durch Transponieren folgt:
\begin{equation*} 42a-21b = 36a-18b \end{equation*}
oder:
\begin{equation*} 21 (2a-b) = 18 (2a-b),\end{equation*}
woraus man, wenn man links und rechts den Faktor $2 a-b$
fortläßt, den Schluß $21 = 18$ ziehen kann. Dieser Schluß
ist ein Trugsehluß, weil man, indem man den Faktor $2 a-b$
beiderseits fortläßt, durch denselben dividiert. Da aber
dieser Faktor, der Annahme gemäß, gleich null ist, so darf
man durch denselben nicht dividieren, wenn man wünscht,
durch die Division wiederum Gleiches zu erhalten.
Umgekehrt muß man aus $21 (2 a-b) = 18 (2 a-b)$ schließen,
daß $2 a-b$ gleich Null sein muß.

\separator

Von den beiden Formeln der Überschrift spricht die
erste die Definition der Division aus. Auch die zweite
$a\cdot b : b = a$ folgt aus dieser Definition, und zwar
folgendermaßen: Es muß $a\cdot b : b$ die Zahl bedeuten, die, mit
$b$ multipliziert, $a\cdot b$ ergiebt. Diese Bedingung erfüllt die
Zahl $a$, und zwar \emph{nur} die Zahl $a$, wenn $b$ von null
verschieden. Dagegen ist $a \cdot 0 : 0$ gleich jeder beliebigen Zahl,
aber nicht notwendig gleich $a$. So wie bei der ersten Stufe
\label{p:062}
(§~\ref{ch:6}) die Fortlassung eines Summanden und eines ihm
gleichen Subtrahenden ``Heben'' oder ``Aufheben'' genannt
wurde, so heißt auch die Fortlassung eines Faktors und
eines ihm gleichen Divisors ``Heben'' oder ``Aufheben''.
Man kann daher den Inhalt der Formeln I und II kurz so
aussprechen:

5) \emph{Multiplikation und Division mit derselben
Zahl heben sich auf, falls diese nicht Null ist.}

Aus dieser Regel ergiebt sich, wie Potenzen von gleicher
Basis zu dividieren sind, wenn der Exponent des Dividendus
größer als der des Divisors ist. Man hat nämlich die
Basis beizubehalten und als Exponenten die Differenz der
Exponenten des Dividendus und des Divisors zu nehmen. Z.~B.:
\begin{equation*}
  a^7 : a^3
  = (a \cdot a \cdot a \cdot a) \cdot (a \cdot a \cdot a) : (a \cdot a \cdot a)
  = a \cdot a \cdot a \cdot a = a^4.
\end{equation*}

\separator

Nach der Definition der Division ist $a : b = c$ nur eine
andere Ausdrucksweise für $a = c \cdot b$. Hieraus ergiebt sich
die für die Lösung von Bestimmungsgleichungen wichtige
\emph{Transpositionsregel zweiter Stufe: Wenn eine
Zahl auf der einen Seite einer Gleichung Faktor
ist, so kann sie dort fortgelassen werden, wenn
sie auf die andere Seite als Divisor gesetzt
wird, und umgekehrt.} Z.~B.:
\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{ }l}
    1) & Aus $x \cdot  5 = 60$ folgt $x=60 : 5$; \\
    2) & Aus $7 \cdot  x = 91$ folgt $x=91 : 7$; \\
    3) & Aus $x : 6 =  4$ folgt $x= 6 \cdot  4$.
  \end{tabular}
\end{center}

Diese Beispiele zeigen, wie durch die Transposition die
\emph{Isolierung} einer Unbekannten, d.~h. die Lösung von Bestimmungsgleichungen
bewerkstelligt werden kann.

Zu demselben Ziele, wie durch Transponieren, gelangt
man auch durch Anwendung der beiden Sätze: \emph{``Gleiches
mit Gleichem multipliziert, giebt Gleiches''} und
\emph{``Gleiches durch Gleiches dividiert, giebt Gleiches,
falls die Divisoren nicht null sind.''} Dividiert man
z.~B. $7 \cdot x = 91$ durch $7 = 7$, so erhält man links $7 \cdot x : 7$,
also $x$, rechts $91 : 7$, demnach $x = 91 : 7 = 13$.

\label{p:063}
\section*{\"{U}bungen zu §~\ref{ch:11}.}

\begin{exercise}
\item 20 kg : 4 kg;
\item 16 Stunden : 4 Stunden;

\item 24 kg : 6;
\item 24 Stunden : 4;

\item 110 Volt : 11;
\item 110 Volt : 11 Volt;

\item 70 Mark : 14 Pfennige;
\item 16 Stunden : 4 Minuten;

\item $(b + c)a:a$;
\item $(a + b + c) \cdot (ef):(ef)$;

\item $\frac{7ab}b$;
\item $\frac{1899}{211}\cdot 211$;
\item $\frac{20a^3b}{c^2d} \cdot c^2d$.

\item $a$ Liter kosten $b$ Mark. Wieviel kosten $a'$ Liter?

\item $a$ Arbeiter leisten eine Arbeit in $b$ Tagen. In
wieviel Tagen $a'$ Arbeiter?

\item $(a:p + b:p) \cdot p$;

\item $a + \frac{c+d}e \cdot e - \frac{c}{f} \cdot f - \frac{a}{g} \cdot g$.

\item $(ab) (cd) (ef): (ace)$;
\item $\left(a + \frac b c -\frac f c\right) c$;

\item $a-\left(\frac a v - \frac b v \right) v$;
\item $ab+ac-\left(\frac{a(b+c)} e e+f\right)$

\item $\frac{-20}{+4}$;
\item $\frac{-20}{-4}$;
\item $\frac{15}{-3}+\frac{-72}{-18}+\frac{+23}{+23}$;

\item $\frac{(-3)(-4)}{(-2)(-6)}
- \frac {7\cdot 8 \cdot 9 (-10)}{14\cdot 18\cdot (-20)}
+ \frac 0 {+13}$;

\item $\frac {0-8} 8
- \frac{0\cdot 8 \cdot 4} 2
+ \frac{(a-a) \cdot 3} 9
+ \frac{3b-3b} 7$;

\item $\frac{5c-5c}{2a-2a}$;
\item $\frac{4x-12}{3-x}$ für $x=3$;

\item $\frac{8 \cdot 9 - 3\cdot 24}{8 \cdot 9 + 3\cdot 24}$;
\item $\frac{x^{15}}{x^8}$;
\item $\frac{a^7-a^7}{a^3}$;

\item $b^7 \cdot b^4 \cdot b : b^6$;

\item $a^8b^9c^{10}:a^8b^9c^{10}$.

\separator

\exercisegoal{Die folgenden Gleichungen sollen durch Transponieren
gelöst werden:}

\item $\frac{8}{x} = 9$;
\item $\frac{x}{p} = 9$;
\item $x:(c+d)=e$;

\label{p:064}
\item $36 = 9x$;
\item $4x = 20a$;
\item $(a+b+c)x = d$;

\item $\frac{64}{x} = 16$;
\item $\frac{111}{x} = 37$;
\item $16 = \frac{160}{x}$.

\item $6x-7 = 5$;
\item $29 = 15x-1$;

\item $(3+4x) \cdot 5 = 75$;
\item $\frac{7-x}{3} = 2$;

\item $\frac{9+3x}{6} = 4$;
\item $\frac{19-3x}{13} = 1$;

\item $\frac{-16}{x} = -2$;
\item $\frac{3x-7}{-16} = 1$;

\item $\frac{0+x}{-10} = +2$.
\end{exercise}

\separator

\chapter{Verbindung von Multiplikation und Division.}\label{ch:12}
\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)   & $a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c$
    (Assoc. Gesetz der Mult., §~\ref{ch:10}), \\
    II)  & $a \cdot (b : c) = a \cdot b : c$, \\
    III) & $a : (b \cdot c) = a : b : c$, \\
    IV)  & $a : (b : c) = a : b \cdot c$; \\
    V)   & $a : b = (a \cdot m) : (b \cdot m)$, \\
    VI)  & $a : b = (a : m) : (b : m)$.
  \end{tabular}
\end{center}

Die Formeln der Überschrift entsprechen genau den
Formeln I bis VI in §~\ref{ch:7}, indem nur die Multiplikation an
die Stelle der Addition, die Division an die Stelle, der
Subtraktion tritt. Ebenso müssen also auch die Übersetzungen
in Worte und die Beweise entsprechend sein.
Beispielsweise ist Formel III bewiesen, wenn von der rechten
Seite $a : b : c$ gezeigt werden kann, daß sie, mit $b \cdot c$
multipliziert, $a$ ergiebt. Dies ist der Fall, da $(a : b : c) \cdot (b \cdot c)
= (a : b : c) \cdot (c \cdot b) = (a : b : c) \cdot c \cdot b = a : b \cdot b = a$ ist.

Formel V spricht aus, daß der Wert eines Quotienten
sich nicht ändert, wenn man ihn erweitert, d.~h. Dividendus
und Divisor mit derselben Zahl multipliziert. Formel VI
spricht aus, daß der Wert eines Quotienten sich nicht ändert,
wenn man ihn \emph{hebt}, d.~h. Dividendus und Divisor durch
dieselbe Zahl dividiert.

Auch den vier in §~\ref{ch:7} abgeleiteten Regeln entsprechen
hier genau vier auf Multiplikation und Division bezügliche
\label{p:065}
Regeln. Namentlich sei hier die der vierten Regel in §~\ref{ch:7}
entsprechende Regel hervorgehoben:

\emph{Ein Ausdruck, der, außerhalb der etwa vorhandenen
Klammern, nur Multiplikationen und
Divisionen enthält, wird berechnet, indem das
Produkt aller Faktoren durch das Produkt aller
Divisoren dividiert wird. Z.~B.:}
\begin{align*}
  7\cdot 16\cdot 9:12\cdot 10:15 &= \frac{7\cdot 16\cdot 9\cdot 10}{12\cdot 15}
  =\frac{7\cdot 4\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 5}
  {3\cdot 4\cdot 3\cdot 5}\\
  &= 7\cdot 4\cdot 2 = 56.
\end{align*}

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:12}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Löse die Klammern und berechne dann:}

\item $36\cdot (4: 2)$;
\item $36: (4: 2)$;
\item $144: (4\cdot 9)$;

\item $25\cdot 8: 10: 10$;
\item $1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5: (6\cdot 10)$;

\item $8\cdot 9\cdot 10: (20: 4)$;
\item $2^3\cdot 5^2: [100: (4\cdot 5)]$.

\exercisegoal{Verwandele in einen Quotienten, dessen Dividendus
und Divisor ein Produkt ist, und berechne
dann:}

\item $8\cdot 9\cdot 12: (4\cdot 8\cdot 3)$;
\item $\frac{11\cdot 12\cdot 16}{24}\cdot 5\cdot 5$;

\item $\frac{111}{37}\cdot \frac{64}{16}\cdot \frac{125}{25}$;

\item $\frac{52\cdot 51\cdot 50}{2\cdot 3\cdot 4}\cdot \frac{3\cdot 4\cdot 5}{6\cdot 5}$;

\item $\frac{(-1)(-2)(-3)(-4)}{(-6)(-2)}$;
\item $\frac{(-1)^4(-2)^5(-3)^7}{(-6)^3\cdot(+9)^2}$.

\exercisegoal{Es soll vereinfacht werden:}

\item $\frac{7a b}{cd}\cdot (cd)$

\item $\frac{16pq}{8a}\cdot (4ab)$;

\item $\frac{4ab}{25c}(5c)$;

\item $p^3q^3r^3\cdot \frac{st}{p^2q^2r^2}$;

\item $144a^6b^7: (9a^4b): (8a b^6)$;

\item $\frac{16(b+c)}{d+e}\cdot \frac{d+e}{b+c}$;

\item $\frac{7ab}{c}\cdot \frac{c}{de}
\cdot \frac{de}{a\cdot b}$;

\item $abc:\frac{abc}{de}$;

\item $\frac{24ab}{8m}:\frac{6a}{4m}$;

\item $\frac{48p^3q^3}{6a^2b^2}:\frac{16p^2q^2}{3ab}$

\item $(a+3b)\cdot \frac{p}{a+3b}$.
\label{p:066}
\exercisegoal{Die folgenden Quotienten sollen gehoben
werden:}

\item $\frac{24a}{36b}$;
\item $\frac{abcfg}{abdef}$;
\item $\frac{15a^3b^2c}{5a^2b}$;

\item $\frac{10p - 10q}{5a}$;
\item $\frac{(a - b)^2}{ac - bc}$;
\item $\frac{ab + ac - ad}{pb + pc - pd}$;

\item $\frac{(a^2 + ab)p}{(a + b)^2}$;
\item $\frac{3ab + 3ac - bd - cd}{3a - d}$;

\item $\frac{ab - ad + bc - cd}{eb - ed + fb - fd}$.
\end{exercise}

\separator

\chapter{Verbindung der Rechnungsarten erster und
zweiter Stufe.}\label{ch:13}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)   & $(a + b) m = am + bm$
    \vbox to0pt{\vss\hbox{$\Bigl\}$
        (vgl. §~\ref{ch:10}, Distrib.-Gesetze),}\vss} \\
    II)  & $(a - b) m = am - bm$ \\
    III) & $(a + b) : m = a : m + b : m$, \\
    IV)  & $(a - b) : m = a : m - b : m$.
  \end{tabular}
\end{center}

Die Formeln I und II sind schon in §~\ref{ch:10} bei der
Multiplikation bewiesen. Der Beweis von III beruht auf I
und der von IV auf II. Denn $(a + b): m$ ist gleich jeder
Zahl, die mit $m$ multipliziert, $a + b$ ergiebt. Diese
Bedingung erfüllt aber die rechte Seite $a: m + b: m$ nach
Formel I, weil $(a: m + b: m) \cdot m = a: m \cdot m + b: m \cdot m =
a + b$ ist. In derselben Weise wird Formel IV mit Benutzung
von Formel II bewiesen. Die Übersetzung der
Formel III in Worte lautet folgendermaßen:

\emph{Eine Summe wird dividiert, indem man jeden
Summanden dividiert und die erhaltenen Quotienten
addiert.}

Von rechts nach links gelesen, liefert Formel III die
folgende Regel:

\emph{Zwei Quotienten von gleichem Divisor werden
addiert, indem man die Summe der Dividenden
durch den gleichen Divisor dividiert.}

Analog lauten die beiden Übersetzungen der Formel IV.
\label{p:067}
Aus beiden Formeln folgt ohne weiteres, wie ein
Quotient, dessen Dividendus eine algebraische Summe ist,
in eine algebraische Summe von Quotienten verwandelt
werden kann, die alle den Divisor des ursprünglichen
Quotienten zum Divisor haben, und wie umgekehrt eine
algebraische Summe von Quotienten mit gleichem Divisor
in einen Quotienten zu verwandeln ist. Z.~B.:

1) $\frac{a + b-c+3d}{m} = \frac{a}{m}+\frac{b}{m}-\frac{c}{m}+\frac{3d}{m}$;

2) $\frac{e}{p}-\frac{f}{p}+\frac{g}{p}=\frac{e-f+g}{p}$;

Wenn im zweiten Falle die Divisoren \emph{noch nicht
gleich} sind, so kann ein übereinstimmender Divisor durch
das in §~\ref{ch:12} erörterte \emph{Erweitern} der Quotienten erzielt
werden. Z.~B.:

1) $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{cb}{bd} = \frac{ad+cb}{bd}$;

2) $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}-\frac{cb}{bd}=\frac{ad-cb}{bd}$.


Die Formel III kommt auch bei dem im Rechen-Unterricht
gelehrten Verfahren in Anwendung, welches die Division
einer mehrziffrigen Zahl bewerkstelligt. Z.~B.:

\smallskip
$\frac{8432}{8}=\frac{84 \cdot 100+32}{8}
= \frac{(8\cdot 10 + 4 )\cdot 100}{8} + \frac{32}{8}$ \\[\smallskipamount]
$= 10 \cdot 100 + \frac{4 \cdot 100 + 32}{8}
= 10 \cdot 100 + \frac{43 \cdot 10 +  2}{8}$ \\[\smallskipamount]
$= 10 \cdot 100 + \frac{(8 \cdot 5 + 3 )\cdot 10 + 2 }{8}
= 10 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + \frac{32}{8}$ \\[\smallskipamount]
$= 10 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 4
= 1054;$\\[\smallskipamount]
\parbox{.45\hsize}{%
  \noindent oder kürzer: \\[\smallskipamount]
  $\begin{array}{r@{\:}l}
    8432 & : 8 = 1000 + 50 + 4 \\
    \underline{8000} \\
    432 \\
    \underline{400} \\
    32 \\
    \underline{32}
  \end{array}$}\hfil \vrule \hfil
\parbox{.45\hsize}{%
  \noindent oder noch kürzer: \\[\smallskipamount]
  $\begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{\:}l}
    8&4&3&2 & : 8 = 1054. \\
    \underline{8} & \underline{\phantom{0}} & \underline{\phantom{0}} \\
    & 4&3 \\
    & \underline{4} & \underline{0} \\
    & & 3&2 \\
    & & \underline{3} & \underline{2}
  \end{array}$}\hfil

\label{p:068}
Dasselbe Verfahren wird auch angewandt, um einen
Quotienten, dessen Dividendus und Divisor algebraische
Summen sind, in eine algebraische Summe zu verwandeln,
wobei vorausgesetzt ist, daß der Dividendus das Produkt
des Divisors mit einer algebraischen Summe ist. Beispiele:

1) $\begin{array}[t]{l@{\:}r}
\llap{(} 2a^3 - 75ab^2 + 18b^3) & : (a - 6b) = 2a^2 + 12ab - 3b^2; \\
2a^3 - 12a^2b \rlap{ (subt.)} \\
\overline{12a^2b - 75ab^2} \\
\underline{12a^2b-72ab^2} \rlap{ (subt.)}\\
-3ab^2 + 18b^3 \\
\underline{-3ab^2 + 18b^3} \\
\end{array}$

2) $\begin{array}[t]{l@{\:}r}
\llap{(} 21x^4 - 17x^3 - 6x - 8) & :(7x^2-x+4) = 3x^2 - 2x - 2. \\
\underline{21x^4 - 3x^3 + 12x^2} \rlap{ (subt.)} \\
-14x^3 - 12x^2 - 6x \\
\underline{-14x^3 + \phantom{0}2x^2 - 8x} \rlap{ (subt.)} \\
\multicolumn{1}{r}{-14x^2 + 2x - 8} \\
\multicolumn{1}{r}{\underline{-14x^2 + 2x - 8}} \\
 \end{array}$


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:13}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Verwandele in eine algebraische Summe:}

\item $\frac{9a-9b+9c}{9}$;
\item $\frac{14a+21b-35c}{7}$;

\item $\frac{22a-22b+11}{11}$;
\item $\frac{e+f-g}{h}$;

\item $\frac{14ac-4ad+8ae}{a}$;
\item $\frac{3ab-4bc}{b}+\frac{7ac+bc}{c}$;

\item $\frac{4ab-a^2}{a}-\frac{b^2-ab}{b}$;

\item $\frac{16a-12b}{4}-\frac{15a+10b}{5}-\frac{14a+42b}{7}$;

\item $\frac{4a^3-7a^2b+8a^2c}{a^2}-\frac{3ab^2+b^3}{b^2}+\frac{ac-bc}{c}$;

\item $\frac{avw-7bvw+cvw}{vw}$;
\item $\frac{3apq+6bpq-21cpq}{3pq}$;

\item $a-\frac{42ap-48bp}{6p}$;
\item $7a-b-\frac{6av+10bv}{2v}$.

\label{p:069}
\exercisegoal{Vereinfache:}

\item $\frac{9a}{11} - \frac{4a}{11} + \frac{6a}{11}$;
\item $\frac{4a}{p}  - \frac{a}{p}   + \frac{3a}{p}$;

\item $\frac{7a - 2b}{c} + \frac{5b}{c} - \frac{7a}{c}$;
\item $\frac{2ab - 3ac}{v} + \frac{4ab + 3ac}{v}$;

\item $\frac{7a}{13} - \frac{b + c - 6a}{13}$;
\item $\frac{2a + b}{3} + \frac{a + 2b}{3}$;

\item $\frac{3a - b}{2a - b} + \frac{a - b}{2a - b}$;
\item $\frac{7a - 3b}{a + b} - \frac{a + 3b}{a + b}$;

\item $\frac{3p -  q}{p + q} + \frac{2p -  2q}{p + q}
    - \frac{4p - 4q}{p + q} - \frac{ p + 11q}{p + q}$;

\item $\frac{a + b}{v} + (4a - b) : v + \frac{3a - b}{w} - (a - b) : w$;

\item $(7p - 5) : (p + 1) - (2q + 1) : (q + 1)
    - (6p + 1) : (p + 1) + ( q + 2) : (q + 1)$.

\exercisegoal{Erst auf gleichen Divisor bringen und dann
zusammenfassen:}

\item $\frac{v}{w} - \frac{p}{q}$;
\item $\frac{a}{bc} + \frac{f}{cd}$;
\item $\frac{2ef}{ab} - \frac{d}{a}$;

\item $\frac{a}{de} - \frac{b}{df} - \frac{c}{ef}$;
\item $a + \frac{b}{c}$
\item $x - \frac{x - y}{2}$;

\item $\frac{x + y}{2} - y$;
\item $p - q + \frac{p - 6q}{3}$;

\item $\frac{a + b}{4} + \frac{a - b}{2}$;
\item $\frac{2a - b}{7} - \frac{a + b}{3}$;

\item $\frac{a + b - 2c}{3} + \frac{2a - 7b + c}{6}$;

\item $\frac{a - b + c}{4} - \frac{a + b}{6} + \frac{-a + 5b}{12}$;

\item $\frac{p - q}{15} + \frac{q}{4} - \frac{2p - q}{6}
    + \frac{4p - q}{12} - \frac{2p - 3q}{10}$;

\item $\frac{3b}{a} - \frac{a^2 + b^2}{ab} + \frac{a^2c + b^2c - c}{c}$;

\label{p:070}
\item $\frac{2a+3}{a+1}-\frac{5a-13}{a-1}$;

\item $\frac{3a-b}{a+2b}-\frac{3a+b}{a+b}$;

\exercisegoal{Die folgenden Ausdrücke sollen nach dem allgemeinen
Divisionsverfahren vereinfacht werden:}

\item $\frac{11a-22}{a-2}$;
\item $\frac{ap-bp}{a-b}$;
\item $\frac{16ab-12ac}{4b-3c}$;

\item $\frac{ab+a+cb+c}{b+1}$;
\item $\frac{3ax-4ay+3bx-4by}{3x-4y}$;

\item $\frac{7a^2-14ab+7ac}{a-2b+c}$;
\item $\frac{pq-2p-2q+4}{q-2}$;

\item $\frac{x^2-7x+12}{x-3}$;
\item $\frac{v^2-v-30}{v-6}$;

\item $\frac{a^2-3ab+2ac-6bc}{a+2c}$;

\item $\frac{a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc}{a+b-c}$;

\item $\frac{a^2-b^2}{a-b}$;
\item $\frac{a^3-b^3}{a-b}$;
\item $\frac{a^4-b^4}{a^2+b^2}$;

\item $\frac{27a^3-b^3}{3a-b}$;
\item $\frac{p^3+8q^3}{p+2q}$;
\item $\frac{a^4-b^4}{a^2+b^2}$;

\item $(a^2-5ab+6b^2+ac-2bc) : (a-3b+c)$;

\item $(6a^3-26a^2b+32b^3) : (6a-8b)$;

\item $(81p^4-18p^2+1) : (9p^2-6p+1)$;

\item $(x^4-24x+55) : (x^2-4x+5)$;

\item $(x^4-9x^3+13x^2-43x+24) : (x-8)$;

\item $(216p^3-125) : (36p^2+30p+25)$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Gebrochene Zablen.}\label{ch:14}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I) & Erweiterung des Zahlbegriffs: \\
    & $\frac{a}{b} \cdot = a$, auch wenn $b$ kein Teiler von $a$ ist; \\[\bigskipamount]
    II) & $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$; \\[\bigskipamount]
\label{p:071}
    III) & $\frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m}$, \\[\bigskipamount]
    IV) & $\frac{a}{p} + \frac{b}{p} = \frac{a+b}{p}$, \\[\bigskipamount]
    V) & $\frac{a}{p} - \frac{b}{p} = \frac{a-b}{p}$, \\[\bigskipamount]
    VI) & $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$, \\[\bigskipamount]
    VII) & $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$, \\[\bigskipamount]
    VIII) & $\frac{a}{b} = g + \frac{a-gb}{b}$, wo $a-gb < b$ ist.
  \end{tabular}
\end{center}

Das in §~\ref{ch:8} eingefübrte \emph{Permanenz-Prinzip} verlangt,
daß man $a: b$ auch in dem Falle Sinn erteilt, wo b kein
Teiler von a ist. Indem wir auch in diesem Fall $\frac{a}{b}\cdot b=a$
definieren, erreichen wir, daß wir mit der Qnotientenform
$\frac{a}{b}$ nach denselben Gesetzen rechnen dürfen, wie mit Quotienten,
die eine der bisher definierten Zahlen darstellen. Wenn
also $a$ und $b$ einen gemeinsamen Teiler haben, so kann man
nach Formel VI in §~\ref{ch:12} durch diesen Teiler heben. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \frac{18}{12} = \frac{3}{2}; \quad
  \frac{60}{100} = \frac{3}{5}; \quad
  \frac{13}{117} = \frac{1}{9}.
\end{equation*}
Indem man diese Quotientenformen auch Zahlen nennt, erweitert
man den Zahlbegriff. Man nennt die neu definierten
Zahlen \emph{gebrochene Zablen} oder \emph{Brüche} im Gegensatz
zu den in §~\ref{ch:4}, §~\ref{ch:8} und §~\ref{ch:9} definierten Zahlen, die \emph{ganze}
genannt werden. Die ganzen Zahlen können durch Erweitern
auch die Form der Brüche erhalten. Z.~B.:
\begin{equation*}
6 = \frac{6}{1} = \frac{12}{2} = \frac{60}{10}
\end{equation*}
Deshalb müssen alle für Brüche geltenden Rechenregeln
auch für ganze Zahlen gelten, wenn dieselben in Bruchform
gedacht sind. Beim Schreiben der gebrochenen Zahlen
wendet man als Divisionszeichen meist den wagerechten
\label{p:072}
Strich und nicht den Doppelpunkt an. Statt Dividendus
sagt man meist ``\emph{Zähler}'', statt Divisor ``\emph{Nenner}''. Statt
$a: b$ sagt man auch $a$-$b$-tel (tel entstanden aus \emph{Teil}),
z.~B. vier Fünftel. Einen Bruch \emph{umkehren} heißt, einen
neuen Bruch bilden, dessen Zähler uud Nenner beziehungsweise
Nenner und Zähler des ursprünglichen Bruches sind.
Der Bruch, welcher durch Umkehrung eines andern entsteht,
heißt sein \emph{reziproker Wert}. So sind $\frac 3 5$ und $\frac 5 3$ sowie $\frac 1 4$
und 4 zu einander reziproke Werte oder kurz \emph{reziprok}.

Die Regeln, nach denen Brüche durch Addition, Subtraktion,
Multiplikation und Division zu verbinden sind,
müssen dieselben sein, wie die für Quotienten, die ganze
Zablen darstellen, weil beide auf derselben Definitionsformel
beruhen. Diese Regeln lauten:

1) \emph{Zwei Brüche addiert oder subtrahiert man,
indem man sie durch Erweitern auf gleichen und
möglichst kleinen Nenner bringt, dann von den so
erhaltenen Brüchen die Zähler addiert oder subtrahiert,
und schließlich einen Bruch bildet, dessen
Zähler die erhaltene Summe oder Differenz ist, und
dessen Nenner der gemeinsame Nenner der erweiterten
Brüche ist.} Z.~B.:
\begin{gather*}
  \frac {1}{3} + \frac {7} {12}
  = \frac {4} {12} + \frac {7} {12}
  = \frac {11} {12}; \\
  \frac {7}{6} - \frac {2} {9}
  = \frac {21} {18} - \frac {4} {18}
  = \frac {17} {18}; \\
  5 + \frac {2} {7}
  = \frac{35} {7} + \frac {2} {7}
  = \frac {37} {7}; \\
  \frac {1} {3} + \frac {1}{2} - \frac {1}{4}
  = \frac {4} {12} + \frac {6} {12} - \frac {3} {12}
  = \frac 7 {12};
\end{gather*}

Der bei der Addition und Subtraktion von Brüchen zu
bestimmende gemeinsame Nenner heißt \emph{Generalnenner}.
Bei der algebraischen Summe von Brüchen mit den Nennern
16, 12 und 8 ist 48 der Generalnenner, weil 48 die kleinste
Zahl ist, von der 16, 12 und 8 zugleich Teiler sind.

2) \emph{Zwei Brüche multipliziert man, indem man
einen Bruch bildet, dessen Zähler das Produkt
\label{p:073}
ihrer Zähler und dessen Nenner das Produkt ihrer
Nenner ist.} Z.~B.:
\begin{align*}
  \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} &= \frac{24}{35};\\
  \frac{5}{8} \cdot 9 &= \frac{45}{8};\\
  \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{25} &=
  \frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 25} =
  \frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}.
\end{align*}

3) \emph{Ein Bruch wird durch einen andern dividiert,
indem man den Bruch, der Divisor ist, umkehrt,
und mit dem so entstandenen neuen Bruch den
Bruch, der Dividendus ist, multipliziert.} Z.~B.:
\begin{align*}
\frac{3}{5} : \frac{7}{9} &= \frac{3}{5} \cdot \frac{9}{7} =
  \frac{27}{35};\\
\frac{5}{4} : 7 &= \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{28};\\
8 : \frac{2}{3} &= \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{2} =
  \frac{8 \cdot 3}{1 \cdot 2} = 12;\\
\frac{24}{35} : \frac{6}{49} &= \frac{24}{35} \cdot \frac{49}{6} =
  \frac{24 \cdot 49}{35 \cdot 6} = \frac{28}{5}.
\end{align*}

\separator

Wenn man die Betrachtungen, welche in §~\ref{ch:8} und §~\ref{ch:9}
zu der Zahl Null und den negativen Zahlen führten, für
gebrochene Zahlen wiederholt, so gelangt man zum Begriff
der \emph{positiven, negativen und relativen gebrochenen
Zahl}. Das Rechnen mit solchen relativen gebrochenen
Zahlen geschieht nach denselben Gesetzen wie das Rechnen
mit relativen ganzen Zahlen. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \begin{aligned}
    \left( -\frac{4}{5}\right) + \left( -\frac{1}{10}\right) &=
    -\left(\frac{4}{5} + \frac{1}{10}\right) = -\frac{9}{10};\\
    \left( -\frac{5}{3}\right) + \left( +\frac{1}{6}\right) &=
    -\left(\frac{5}{3} - \frac{1}{6}\right) = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2};\\
    \left( -\frac{1}{6}\right) - \left(-\frac{1}{3}\right) &=
    +\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{6}\right) = +\frac{1}{6}; \\
\label{p:074}
    \left( +\frac{5}{8} \right) \cdot \left( -\frac{12}{7} \right)
    &= -\frac{5 \cdot 12}{8 \cdot 7} = -\frac{15}{14}; \\
    \left( -\frac{7}{9} \right) : \left( -\frac{1}{4} \right)
    &= +\frac{7}{9} \cdot \frac{4}{1} = \frac{28}{9}; \\
  \end{aligned} \\
  0 \cdot  \frac{3}{2}  = 0;   \\
  0 : \frac{5}{11} = 0.
\end{gather*}

Jede der bisher definierten Zahlen ist also:
\begin{center}
  \begin{minipage}{5cm}
    entweder \emph{positiv-ganz}   \\
    oder \emph{null}   \\
    oder \emph{negativ-ganz}   \\
    oder \emph{positiv-gebrochen}   \\
    oder \emph{negativ-gebrochen}.
  \end{minipage}
\end{center}

Der gemeinsame Name für alle solche Zahlen heißt
\emph{rationale Zahl}. Wenn man rationale Zablen in beliebiger
Ordnung den Grundrechnungsarten erster und zweiter Stufe
unterwirft, so erscheint immer wieder eine rationale Zahl,
falls eine Division durch Null nicht vorkommt. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \left[13 - \left(-\frac{5}{6}\right)\right] \cdot \frac{12}{5}:(-3)
  = \left(13 + \frac{5}{6}\right) \cdot \frac{12}{5} : (-3)   \\
  = \frac{83}{6} \cdot \frac{12}{5} : (-3) = \frac{166}{5}:(-3)
  = -\left(\frac{166}{5} \cdot \frac{1}{3}\right) = -\frac{166}{15} .
\end{gather*}

\separator

So wie die Einführung der Null und der negativen
Zahlen eine Ausdehnung der Begriffe ``größer'' und ``kleiner''
hervorrief, so macht auch die Einführung der Brüche eine
Erweiterung dieser Begriffe nötig. Allgemein soll $a$ \emph{größer}
als $b$ heißen, wenn $a - b$ eine positive ganze \emph{oder
gebrochene} Zahl ist, und $a$ \emph{kleiner} als $b$, wenn $a - b$ eine
negative ganze oder gebrochene Zahl ist. Mit Hilfe dieser
Begriffs-Erweiterung lassen sich für die Division die
folgenden 6 Vergleichungs-Schlüsse aufstellen:
\begin{equation*}
  \left|
    \begin{aligned}
      a &> b \\
      c &= d \text{ (div.)} \\
      \hline
      \frac a c &> \frac b d
    \end{aligned}
  \right. \left|
    \begin{aligned}
      a &= b \\
      c &> d \text{ (div.)} \\
      \hline
      \frac a c &< \frac b d
    \end{aligned}
  \right. \left|
    \begin{aligned}
      a &< b \\
      c &> d \text{ (div.)} \\
      \hline
      \frac a c &< \frac b d.
    \end{aligned}
  \right|
\end{equation*}
\label{p:075}
und, umgekehrt gelesen:
\begin{equation*}
  \left|
    \begin{aligned}
      b &< a \\
      d &= c \text{ (div.)} \\
      \hline
      \frac b d &< \frac a c
    \end{aligned}
  \right. \left|
    \begin{aligned}
      b &= a \\
      d &< c \text{ (div.)} \\
      \hline
      \frac b d &> \frac a c
    \end{aligned}
  \right. \left|
    \begin{aligned}
      b &> a \\
      d &< c \text{ (div.)} \\
      \hline
      \frac b d &< \frac a c
    \end{aligned}
  \right|.
\end{equation*}

Diese Schlüsse gelten jedoch nur unter der \emph{Bedingung,
daß $a$, $b$, $c$ und $d$ positiv sind}.

Um den ersten Schluß zu beweisen, verwandeln wir
$a > b$ in die Gleichung $a = b+p$, die wir dann mit der
Gleichung $c = d$ durch Division verbinden. So erhalten
wir nach dem in §~\ref{ch:11} aufgestellten Schluß: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}+\frac{p}{d}$,
also $\frac{a}{c} > \frac{b}{d}$.

Um den zweiten Schluß zu beweisen, dividieren wir
$a = b$ durch $c = d+q$. Dann erhalten wir $\frac{a}{c} = \frac{b}{d+q}$.
Für $\frac{b}{d+q}$ kann man aber setzen:
\begin{equation*}
  \frac{b}{d}-\frac{bq}{d(d+q)},
\end{equation*}
woraus folgt, daß $\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$ ist.

Für den dritten Schluß setzen wir $a = b-p$, $c = d+q$
und erhalten zunächst $\frac{a}{c} = \frac{b}{d+q}-\frac{p}{d+q}$, also $\frac{a}{c} < \frac{b}{d+q}$.

Setzt man dann wieder $\frac{b}{d+q} = \frac{b}{d}-\frac{bq}{d(d+q)}$ so erhält
man, daß $\frac{a}{c}$ um so mehr kleiner als $\frac{b}{d}$ sein muß.

In Worten kann man den Inhalt der drei bezw. sechs
Schlüsse so aussprechen:

\emph{Man gelangt zu Größerem, wenn man erstens
Größeres durch Gleiches, zweitens Gleiches durch
Kleineres, drittens Größeres durch Kleineres
dividiert. Man gelangt zu Kleinerem, wenn man
\label{p:076}
erstens Kleineres durch Gleiches, zweitens Gleiches
durch Größeres, drittens Kleineres durch Größeres
dividiert. Dabei ist vorausgesetzt, daß die vier in
Betracht kommenden Zahlen positiv sind.}

Wenn man mit Beachtung der soeben bewiesenen Regel
$a > b$, $a = b$, $a < b$ durch $b = b$ dividiert, so erkennt man,
daß der Bruch $\frac ab$ größer, gleich oder kleiner als 1 zu
setzen ist, je nachdem der Zähler $a$ größer als der Nenner
$b$ oder gleich dem Nenner $b$ oder kleiner als der Nenner $b$
ist. Brüche, deren Zähler und Nenner positive Zahlen sind,
und die kleiner als 1 sind, heißen \emph{echte}. Wenn solche
Brüche aber größer als 1 sind, heißen sie unechte Brüche.
Wenn $\frac ab$ unecht ist, so kann man $\frac{a}{b}=1+\frac{a-b}{b}$ setzen,
wo nun $a - b$ positiv ist. Wenn nun auch $\frac{a-b}{b}$ sich als
unecht erweisen sollte, so kann man wieder $\frac{a-b}{b}$ gleich
$1 + \frac{a - 2 b}{b}$ setzen. Dann erhält man $\frac {a}{b} = 2 + \frac{a-2b}{b}$.
So kann man fortfahren, bis der auf die ganze Zahl rechts
folgende Summand ein positiver echter Bruch wird. Dadurch
erhält man schließlich:
\begin{equation*}
  \frac ab = g + \frac {a - g b}b \quad\text{(F. VIII der Überschrift),}
\end{equation*}
wo $\frac {a - g b}{b}$ ein echter Bruch ist. Dieses Ergebnis lautet
in Worten:

\emph{Jeder positive unechte Bruch ist entweder
gleich einer positiven ganzen Zahl oder gleich der
Summe einer positiven ganzen Zahl und eines
positiven echten Bruches.} Z.~B.:
\begin{equation*}
  \frac 75 = 1 + \frac 25,\quad
  \frac{48}3 = 16;\quad
  \frac {95}6 = 15 + \frac 56.
\end{equation*}

Die Summe einer positiven ganzen Zahl und eines
positiven echten Bruches nennt man \emph{gemischte Zahl}.
Jeder unechte Bruch läßt sich also in eine gemischte Zahl
\label{p:077}
verwandeln, und liegt deshalb zwischen zwei aufeinanderfolgenden
ganzen Zahlen, d.~h. er ist größer als eine ganze
Zahl, aber kleiner als die nächstfolgende ganze Zahl. Bei
gemischten Zahlen pflegt man das Pluszeichen fortzulassen,
wenn kein Mißverständnis möglich ist. Z.~B.: $\frac{95}{6} = 15\smallfrac{5}{6}$.
Einen \emph{negativen} Bruch kann man auch immer als Summe
einer negativen Zahl und eines positiven oder negativen
echten Bruchs darstellen, z.~B.:
\begin{equation*}
  -\frac{19}{8} = -2 - \frac{3}{8} = -3 + \frac{5}{8} .
\end{equation*}

Wir erhalten also das folgende Resultat:

\emph{Jeder Bruch, mag er positiv oder negativ sein,
ist Summe einer ganzen Zahl und eines positiven
echten Bruchs.} Z.~B.:
\begin{gather*}
  \frac{21}{8} = 2 + \frac{5}{8}, \quad
  \frac{4}{5} = 0 + \frac{4}{5}, \quad
  -\frac{4}{5} = -1 + \frac{1}{5},   \\
  -\frac{43}{8} = -6 + \frac{5}{8}, \quad
  -\frac{111}{40} = -3 + \frac{9}{40} .
\end{gather*}

Wenn man die Verwandelung eines unechten Bruches
$\frac{a}{b}$ in eine gemischte Zahl $g + \frac{r}{b}$ als eine Division auffaßt,
so nennt man $g$ die \emph{Ganzen}, $r$ den \emph{Rest}. Der Rest
ist immer kleiner als der Divisor.

Wie ein unechter Bruch in eine gemischte Zahl verwandelt
werden kann, so kann auch der Quotient zweier
algebraischer Summen als Summe dargestellt werden, deren
einer Summand eine algebraische Summe ist, während der
andere Summand ein Quotient ist, der denselben Divisor
und den Rest als Dividendus hat, wie folgende Beispiele
zeigen:

\medskip
1) $\begin{array}[t]{r@{\:}l}
  \llap{(} a^4 + 1) & : (a^2 - 1) = a^2 + 1 + \smash{\frac{2}{a^2 - 1}}\\
  \underline{a^4 - a^2} \\
  a^2 + 1 \\
  \underline{a^2 - 1} \\
  +2 \rlap{ (Rest)}
  \end{array}$

\label{p:078}
2) $\begin{array}[t]{%
    r@{\:}r@{\:}r@{\:}r@{\:}r@{\:}r@{\:}r@{\:}r@{\:}r@{\:}l@{\:}c|l}
    %%                5  4  3  2  1  0
    \llap{(} x^5&-&x^4&+& 3x^3&\multicolumn{7}{@{}l}{-2x+5):(x^2 + x + 1)}  \\
    x^5 &+& x^4 &+& x^3 & & & & & & & = x^3 - 2 x^2 + 4x   \\
    \cline{1-7}
    &-&2x^4 &+&2x^3 &-&2x   & &    & &   &   \\
    &-&2x^4 &+&2x^3 &-&2x^2 & & & & &-2 + \frac{-4x+7}{x^2+x+1} \\
    \cline{2-9}
    & &     &+&4x^3 &+&2x^2 &-& 2x & &   &   \\
    & &     &+&4x^3 &+&2x^2 &+& 4x & &   &   \\
    \cline{4-11}
    & &     & &     &-&2x^2 &-& 6x &+& 5 &   \\
    & &     & &     &-&2x^2 &-& 2x &-& 2 &   \\
    \cline{6-11}
    \multicolumn{7}{r}{\text{(Rest)}}   &-& 4x &+& 7 &   \\
  \end{array}$

Man erkennt an diesen Beispielen, daß, wenn Dividendus
und Divisor algebraische Summen sind, deren Glieder
Vielfache von Potenzen eines und desselben Buchstabens
sind, es sich immer erreichen läßt, daß die höchste Potenz
des Restes kleiner als die höchste Potenz des Divisors ist.

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:14}.}

\begin{exercise}

\exercisegoal{Berechne:}

\item $\frac{5}{12} - \frac{1}{12}$;
\item $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$;
\item $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2}$;

\item $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{7}$;
\item $\frac{4}{5} : \frac{3}{7}$;
\item $\left( 5 + \frac{1}{7} \right) \cdot \frac{7}{12}$;

\item $5 + \frac{1}{7}\cdot \frac{7}{12}$;
\item $18-\left(7- \frac{1}{2}\right) - \left(11- \frac{3}{8}\right)$;

\item $\left( \frac{11}{12} - \frac{1}{4} \right) \left( 8 - \frac{13}{2} \right)$;
\item $\frac{2}{5} : \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right)$;

\item $\left( -\frac{3}{4} \right) \left( -\frac{5}{8} + 2 \right)
      \left( -\frac{32}{33} \right)$;
\item $1 : \frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{8}$;

\item $37 : \left( 4 + \frac{5}{8} \right)
    - 31 : \left( \frac{1}{2} + \frac{15}{32} \right)$;

\item $4\smallfrac{1}{4} : \left( -5\smallfrac{2}{3} \right) + \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}
      - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{24} \right)$.

\exercisegoal{Vereinfache:}

\item $\left( \frac{3}{4}a - \frac{1}{2}b \right): (3a - 2b)$;
\item $p \cdot \frac{s}{p} - 6(3s + p)$;

\label{p:079}
\item $\left[ \frac{4}{5}a
      - \left( \frac{2}{3}b - \frac{1}{6}b + \frac{7}{15}a \right) \right]
    : \left( \frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b \right) \cdot 1899$;

\item $\frac{7}{4pq} - \frac{3}{8pr} + \frac{5}{6rq}
    + \frac{p + q + r}{pqr}$;

\item $\frac{ \frac{1}{2}a  - \frac{1}{3}b }{6}
    - \frac{ \frac{1}{5}a  - \frac{3}{10}b }{8}
    + \frac{ \frac{1}{10}a + \frac{2}{15}b }{12}$;

\item $\left( \frac{3}{4}a + \frac{1}{5}b \right)
      \left( \frac{16}{3}a - \frac{5}{12}b \right)
      \cdot \frac{15}{16}$;

\item $\left( \frac{1}{3}x - \frac{3}{4}y \right)^2$;
\item $\left( \frac{1}{2}a + \frac{1}{4}b \right)^3$.

\exercisegoal{Verwandele in eine algebraische Summe:}

\item $\left( \frac{3}{4}a^3 - \frac{5}{4}a^2b
           + \frac{5}{8}ab^2 - \frac{1}{8}b^3 \right)
      : (a - b)$;

\item $\left( \frac{7}{16}p^3 + q^3 + \frac{11}{8}p^2q - 5pq^2 \right)
    : \left( \frac{1}{2}p - q \right)$;

\item $\left( \frac{1}{8}a^3 + 1 \right) : \left( \frac{1}{2}a + 1 \right)$;

\item $\left( x^2 - x + \frac{1}{4} \right)
    : \left( \frac{x}{7} - \frac{1}{14} \right)$;

\item $\left( \frac{1}{16}x^4 - \frac{81}{25}y^4 \right)
    : \left( \frac{1}{4}x^2 + \frac{9}{5}y^2 \right)$;

\item $\left( \frac{27}{8}a^3 - \frac{8}{27}b^3 \right)
    : \left( \frac{3}{2}a - \frac{2}{3}b \right)$;

\item $\left( \frac{1}{16}a^4 - b^4 \right)
    : \left( \frac{1}{8}a^4 + \frac{1}{4}a^2b + \frac{1}{2}ab^2 + b^3 \right)$;

\exercisegoal{Wende das Verfahren der Bestimmung der gemischten
Zahl auf die folgenden Quotienten an:}

\item $\left(8a^3 - 20a^2b + 4ab^2 - 3b^3 \right) : (4a^2 - 3b^2)$;
\item $(7a^4 + a^2b^2 - b^4) : \left( a^2 - \frac{1}{2}b^2 \right)$;

\label{p:080}
\item $(3a^3-l) : (3a--1)$;

\item $\left(1\smallfrac{7}{9}a^2+\frac{1}{25}b^2\right)
    : \left(\frac{4}{3}+\frac{1}{5}\right)$.

\exercisegoal{Die folgenden Gleichungen sollen durch die
Transpositionsregeln erster und zweiter Stufe gelöst
werden:}

\item $7x-\frac{5}{3}=\frac{37}{3}$;
\item $8\left(x-\frac{3}{4}\right) = 2 : \frac{5}{8}$;

\item $\frac{5}{x-3}+\frac{4}{9} = 1$;
\item $39 = \frac{1}{3}\left(15-\frac{x}{17}\right)$.

\end{exercise}

\separator

\label{p:081}
\part{Anwendungen der Bechnungsarten erster und zweiter Stufe.}

\chapter{Formeln für die Umwandlung von Ausdrücken.}\label{ch:15}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)   & $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$; \\
    II)  & $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$; \\
    III) & $(a+b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$; \\
    IV)  & $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$; \\
    V)   & $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$; \\
    VI)  & $(a-b)(a^2-ab+b^2) = a^3-b^3$; \\
    VII) & $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. \\
  \end{tabular}
\end{center}

Wenn man nach den in §~\ref{ch:10} aufgestellten Regeln die
in den Formeln der Überschrift links stehenden Klammern
auflöst, so ergeben sich ihre rechten Seiten. Die Anwendung
dieser Formeln zeigen folgende Beispiele:

1) $(a+1)^2 = a^2+2a+1$;

2) $(4a-3)^2 = (4a)^2-2(4a){\cdot}3+3^2 = 16a^2-24a+9$;

3) $\left(2p+\frac{1}{2}\right)^3
   = (2p)^3 + 3 \cdot (2p)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}q\right)
   + 3 \cdot (2p) \cdot \left( \frac{1}{2} q \right)^2 + \left( \frac{1}{2} q \right)^3
   = 8 p^3 + 6 p^2 q + \frac{3}{2} p q^2 + \frac{1}{8} q^3$;

4) $(3x-1)^3 = (3x)^3-3\cdot(3x)^2{\cdot}1+3\cdot(3x){\cdot}1^2-1^3
   = 27x^3-27x^2+9x-1$;

5) $(3a-2b)(3a+2b) = (3a)^2-(2b)^2 = 9a^2-4b^2$;

\label{p:082}
6) $(2x - 1) ( 4x^2 + 2x + 1 )
   = (2x - 1) \left[ (2x)^2 + (2x) \cdot 1 + 1^2 \right]
   = (2x)^3 - 1^3 = 8x^3 - 1$;

7) $\left( a + \frac{1}{2} \right) \left( a^2 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{4} \right)
   = \left( a + \frac{1}{2} \right) \left[ a^2 - a \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \right]
   = a^3 + \left( \frac{1}{2} \right)^3 = a^3 + \frac{1}{8}$.

Wenn man bei den Formeln V his VII den links
stehenden ersten Faktor transponiert und die entstehenden
Formeln rückwärts liest, so entstehen Formeln, die bei
Divisionen brauchbar sind, nämlich:
\begin{align*}
  \frac{ a^2 - b^2 }{a - b} &= a + b;   \\
  \frac{ a^3 - b^3 }{a - b} &= a^2 + ab + b^2;   \\
  \frac{ a^3 + b^3 }{a + b} &= a^2 - ab + b^2.
\end{align*}

Nach Analogie von Formel VI lassen sich folgende
Formeln aufstellen:

$(a - b) (a^3 + a^2 b + a b^2 + b^3) = a^4 - b^4;$

$(a - b) (a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + a b^3 + b^4) = a^5 - b^5$ \\
u.~s.~w.

Hieraus erkennt man die Richtigkeit der folgenden
Regel:

1) \emph{Die Differenz von zwei Potenzen mit gleichem
Exponenten ist durch die Differenz der Basen
teilbar.}

Wenn man bei den soeben aufgestellten sich an VI
anschließenden Formeln $-b$ statt $b$ setzt, so erscheint
links $a + b$ statt $a - b$ als Faktor. Rechts aber muß
unterschieden werden, ob der Exponent gerade oder ungerade
ist. Ist der Exponent gerade, so bleibt rechts eine
Differenz; ist er aber ungerade, so wird aus der Differenz
eine Summe. Daher gelten die beiden Regeln:

2) \emph{Die Differenz von zwei Potenzen mit gleichem
Exponenten ist durch die Summe der Basen teilbar,
wenn der Exponent gerade ist.}

\label{p:083}
3) \emph{Die Summe von zwei Potenzen mit gleichem
Exponenten ist durch die Summe der Basen teilbar,
wenn der Exponent ungerade ist.}

\separator

Auch die Formeln~I bis IV lassen Verallgemeinerungen
zu. Wenn man nämlich $(a + b)^3 = a^3+ 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
beiderseits mit $a+b$ multipliziert, so erhält man links
$(a+b)^4$ und rechts eine Summe von fünf Summanden. Der
erste Summand ist $a^4$, der fünfte $b^4$, während die drei
übrigen Vielfache von $a^3b$, von $a^2b^2$ und von $ab^3$ sein
müssen. Da $a^3 b$ sowohl aus $a^3$ durch Multiplikation mit $b$,
als auch aus $a^2b$ durch Multiplikation mit $a$ entsteht, so
muß der Koeffizient von $a^3b$ die Summe der Koeffizienten
von $a^3$ und von $a^2 b$, also $1+3 = 4$ sein. Ebenso ergiebt
sich als Koeffizient von $a^2b^2$ die Summe der Koeffizienten
von $a^2b$ und von $ab^2$, also $3+3 = 6$. Man erhält so aus:
\begin{equation*} (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2+b^3 \end{equation*}
die neue Formel:
\begin{align*}
  (a+b)^4&= a^4 +(1 + 3)a^3 b + (3 + 3) a^2b^2 + (3 + 1)ab^3+b^4\\
  &= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3+b^4.
\end{align*}

In derselben Weise gewinnt man aus dieser Formel:
\begin{align*}
  (a+ b)^5 &= a^5 + (1 + 4) a^4b + (4 + 6) a^3 b^2
  + (6 + 4) a^2 b^3 + (4 + 1) a b^4 + b^5\\
  &= a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5
\end{align*}

Da man so beliebig weit fortfahren kann, so ergiebt
sich die folgende Regel:

4) \emph{Die $n$-te Potenz der Summe $a+b$ ist gleich
einer Summe von $n+1$ Summanden. Der erste
Summand ist die $n$-te Potenz von $a$, der letzte die
$n$-te Potenz von $b$, während jeder übrige Summand
Produkt eines Zahl-Koeffizienten, einer Potenz von
$a$ und einer Potenz von $b$ ist. Die Summe der
Exponenten dieser Potenzen ist stets $n$. Der Zahl-Koeffizient
ergiebt sich als Summe zweier
Koeffizienten der $(n-1)$-ten Potenz, und zwar derjenigen
beiden, die in der folgenden Zusammenstellung
der Koeffizienten über dem gesuchten
stehen:}\\
\label{p:084}
\begin{tabular}{l@{ }rc}
Zweite   &   Potenz: &               1,\quad 2,\quad 1;   \\
Dritte   & ,,\quad : &             1,\quad 3,\quad 3,\quad 1;   \\
Vierte   & ,,\quad : &           1,\quad 4,\quad 6,\quad 4,\quad 1;   \\
Fünfte   & ,,\quad : &         1,\quad 5,\quad 10,\quad 10,\quad 5,\quad 1;   \\
Sechste  & ,,\quad : &       1,\quad 6,\quad 15,\quad 20,\quad 15,\quad 6,\quad 1;   \\
Siebente & ,,\quad : &     1,\quad 7,\quad 21,\quad 35,\quad 35,\quad 21,\quad 7,\quad 1;   \\
Achte    & ,,\quad : &   1,\quad 8,\quad 28,\quad 56,\quad 70,\quad 56,\quad 28,\quad 8,\quad 1.   \\
\multicolumn{2}{c}{ u.~s.~w. } &    u.~s.~w.
\end{tabular}


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:15}.}

\begin{exercise}

\exercisegoal{Löse die Klammern mit Anwendung der Formeln I bis VII:}

\item $(e + f)^2$;
\item $(a - 1)^2$;
\item $(3x + 1)^2$;
\item $(4x - 5)^2$;

\item $(6p + 5q)^2$;
\item $\left( a - \frac{1}{2} \right)^2$;
\item $\left( 3a + \frac{1}{6}b \right)^2$;

\item $(c - d)^3$;
\item $(2a + 3b)^3$;
\item $\left( 1\smallfrac{1}{3}a - 1\right)^3$;

\item $\left( 1 - \frac{1}{4}w \right)^3$;
\item $\left( a - \frac{1}{3} \right)\left( a + \frac{1}{3} \right)$;

\item $\left( \frac{3}{2}c + \frac{2}{3}d \right)
     \left( \frac{3}{2}c - \frac{2}{3}d \right)$;

\item $(b^2 - 1)(b^2 + 1)$;
\item $(3ab + c)(3ab - c)$;

\item $(c - 1)(c^2 + c + 1)$;

\item $\left( p - \frac{1}{2} \right)
     \left( p^2 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4} \right)$;

\item $(2a + b)(4a^2 - 2ab + b^2)$;

\item $(ab - x)(a^2b^2 + abx + x^2)$.

\exercisegoal{Vereinfache die folgenden Quotienten mit Anwendung
der
Formeln I bis VII:}

\item $\frac{ a^2 + 2ab + b^2 }{ 3(a + b) }$;
\item $\frac{ 4x - 4y }{ x^2 - 2xy + y^2 }$;

\item $\frac{ 4a^2 + 4ab + b^2 }{ c(b + 2a) }$;
\item $\frac{ e^2 - f^2 }{ e + f }$;
\item $\frac{ a^3 + 1 }{ a + 1 }$;

\item $\frac{ p^3 + 8 }{ p + 2 }$;
\item $\frac{ 8x^3 - 1 }{ 2x - 1 }$;
\item $\frac{ 9a^2 + 6a + 1 }{ 9a^2 - 1 }$;

\label{p:085}
\item $\frac{125x^3-8}{25x^2-20x+4}$;
\item $\frac{(p^3-q^3)16b^2}{64\cdot b\cdot(p-q)}$;

\item $\frac{\frac{2}{3}a^2-\frac{3}{2}b^2}{2a-3b}$;
\item $\frac{a^2+2ab+b^2-p^2}{a+b+p}$;

\item $\frac{a^2+b^2-2ab-c^2}{a-c-b}$;
\item $\frac{a^3-3a^2+3a-1}{a^3-1}$;

\item $\frac{p^2+q^2+2pq-25s^2}{p+q+5s}$;

\item $\frac{d^2-e^2-f^2+2ef}{d^2+e^2-f^2+2de}$;
\item $\frac{a^3-2a^2b+ab^2}{a^2c-b^2c}$.

\exercisegoal{Verwandele in ein Produkt von zwei Faktoren:}

\item $c^2-d^2$;
\item $p^3 + s^3$;
\item $p^4-q^4$;

\item $9c^2-25d^2$;
\item $27a^3 + 64$;

\item $16a^2-24ab+9b^2$;

\item $p^3-a^3-b^3-3a^2b-3ab^2$;
\item $\frac{81}{16}a^4-1$;

\item $a^4b^4-c^4d^4$;
\item $16p^4+8p^2+1$;

\item $p^6-2p^3q^3+q^6$.

\exercisegoal{Verwandele in einen Quotienten:}

\item $\frac{1}{b+c}-\frac{1}{b-c}-\frac{2c}{b^2-c^2}$;

\item $\frac{b}{3a+2b}+\frac{b}{3a-2b}$;
\item $\frac{p+1}{9p^2-9}-\frac{2}{3p+3}$;

\item $\frac{a}{2a+1}+\frac{a}{4a^2-1}-1$;

\item $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}+\frac{a}{a^2-b^2}-\frac{b}{(a+b)^2}+\frac{2a}{(a-b)^2}$.

\exercisegoal{Die folgenden Quadrate sollen berechnet
werden, und zwar nach dem Muster von
\begin{center}
  $68^2 = (68+2)(68-2)+2^2 = 70\cdot 66 + 2^2 = 4624$
\end{center}
oder von
\begin{center}
  $91^2 = (91+9)(91-9) + 9^2 = 100\cdot 82 + 81 = 8281$:
\end{center}}

\item[] %% Kludge
\item $88^2$;
\item $93^2$;
\item $46^2$;
\item $109^2$;
\item $73^2$;

\item $201^2$;
\item $498^2$;
\item $1024^2$.
\label{p:086}
\exercisegoal{Führe die Divisionen aus:}

\item $\frac { a^4 - x^4 } { a - x }$;

\item $\frac { a^4 - x^4 } { a + x }$;

\item $\frac { a^5 - e^5 } { a - e }$;

\item $\frac { a^5 + e^5 } { a + e }$.

\exercisegoal{Vereinfache:}

\item $( a + b ) ( a^5 - a^4 b + a^3 b^2 - a^2 b^3 + a b^4 - b^5 )$;

\item $( x + 1 ) ( x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 )$;

\item $( 2a - b ) ( 16 a^4 + 8 a^3 b + 4 a^2 b^2 + 2 a b^3 + b^4 )$;

\item $( 2a + \frac{1}{2} b ) ( 8 a^3 - 2 a^2 b + \frac{1}{2} a b^2 - \frac{1}{8} b^3 )$.

\exercisegoal{Zerlege in Faktoren:}

\item $( p^4 - s^4 )$;

\item $p^5 + s^5$;

\item $16 a^4 - 81 b^4$;

\item $243 a^5 - 1$;

\item $\frac{a^4}{81} - b^4$;

\item $a^5 b^5 + c^5 d^5$.

\exercisegoal{Löse die Klammern der Ausdrücke:}

\item $( a - b )^4$;

\item $( a + 1 )^5$;

\item $( 2a - b )^6$;

\item $( x - 1 )^7$;

\item $( 1 + 1 )^8$;

\item $( a + b + c )^4$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Entwickeln und Vereinfachen.}\label{ch:16}

Ein Ausdruck heisst \emph{entwickelt}, wenn derselbe in
eine klammerlose algebraische Summe von möglichst wenig
Gliedern verwandelt ist dergestalt, dass jedes dieser Glieder
ein Produkt von einem oder mehreren Faktoren ist, und
dass jeder dieser Faktoren eine rationale Zahl oder ein
Buchstabe oder eine Potenz eines solchen ist. Entwickelt
sind z.~B. die folgenden algebraischen Summen:
\begin{gather*}
    7 a b c - c + 13 e - 18; \quad
    5 a^4 - 3 a^3 b + 6 a^2 b^2 + b^4; \\
    x^4 - x^3 + x^2 - x + 1; \quad
    a^4 + 12 a^2 b^2 + b^4.
\end{gather*}

Jeder Ausdruck, der keine unausführbaren Divisionen
enthält, lässt sich durch Auflösen der Klammern entwickeln.
Z.~B.:

1) $\begin{gathered}[t]
  7 ( a - b ) c + b ( 7 c - d ) - ( a + b )( c - d ) \\
  = 7 a c - 7 b c + 7 b c - b d - a c + a d - b c + b d \\
  = 6 a c + a d - b c;
\end{gathered}$

\label{p:087}
2) $\begin{gathered}[t]
  [(a + b)^2 - 15a b : 5] \cdot \frac{a^4 - b^4}{a^3 - a^2b + ab^2 - b^3}\\
  = [a^2+2ab+b^2-3ab](a+b) = (a^2 - ab + b^2)(a + b) \\
  =a^3+b^3.
\end{gathered}$

Jeder Ausdruck, in welchem nur die Rechnungsarten
erster und zweiter Stufe auftreten, läßt sich auf die \emph{Hauptform}
bringen, d.~h. in einen Quotienten verwandeln, dessen
Dividendus und dessen Divisor entwickelte algebraische
Summen sind. In besonderen Fällen kann sich eine solche
Summe auf ein einziges Glied reduzieren, und dieses kann
auch ein bloßer Buchstabe oder eine Zahl sein. Ferner
kann der Divisor 1 sein und deshalb die Hauptform eine
entwickelte algebraische Summe sein.

Um einen Ausdruck auf die Hauptform zu bringen,
hat man ausser dem Lösen von Klammern namentlich noch
zweierlei zu thun. Erstens hat man immer eine algebraische
Summe von Quotienten in einen einzigen Quotienten zu
verwandeln. Zweitens hat man immer aus einem Quotienten,
dessen Dividendus und Divisor selbst noch Quotienten enthält,
diese letztern fortzuschaffen. Dies geschieht dadurch,
daß man Dividendus und Divisor mit einem passend gewählten
Faktor multipliziert. Wie ein Ausdruck auf die
Hauptform gebracht wird, zeigen folgende Beispiele:

1) $\begin{gathered}[t]
  \frac{7}{12}a
  -\frac{\frac{9}{2}a^2-ab + \frac{b^2}{4}}{3(\frac{3}{4}a-b)}
  = \frac{7a}{12}-\frac{18a^2-4ab+b^2}{3(3a-4b)}\\
  = \frac{7a(3a-4b)-4(18a^2-4ab+b^2)}{12(3a-4b)}\\
  = \frac{21a^2-28ab-72a^2+16ab-4b^2}{12(3a-4b)}\\
  = \frac{-51a^2-12ab-4b^2}{36a-48b};
\end{gathered}$

2) $\begin{gathered}[t]
  \frac{5a+3}{5}
  -\frac{3a^2+a-1}{3a}-\frac{5+3a}{15a}\\
  = \frac{15a^2+9a-15a^2-5a+5-5-3a}{15a}
  = \frac{a}{15a} = \frac{1}{15};
\end{gathered}$

\label{p:088}
3) $\begin{gathered}[t]
  \left[\frac{a-1}{3b}+\frac{b\cdot (-3)}{a-1}\right]
  : \left(\frac1{3b}-\frac1{a-1}\right) \\
  = \frac{(a-1)^2-(3b)^2}{3b(a-1)}
  : \frac{(a-1)-(3b)}{3b(a-1)}
  = \frac{(a-1)^2-(3b)^2}{(a-1)-(3b)} \\
  = a - 1 + 3b;
\end{gathered}$

4) $\begin{gathered}[t]
  \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \left(\frac1{a-b}-\frac1{a+b}\right)
  -\frac{(a+b)^2-a^2-b^2}{a^3+ab^2} \\
  = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2} \cdot \frac{2b}{a^2-b^2} - \frac{2ab}{a(a^2+b^2)} \\
  =\frac{2b}{a^2+b^2}-\frac{2b}{a^2+b^2} = 0.
\end{gathered}$


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:16}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Entwickele in eine klammerlose algebraische
Summe:}

\item $(a + b-c)^2$;
\item $(a+b-c-d)^2$;

\item $(a + 2b)^3-(a-2b)^3$;
\item $(2a-3b)^4$;

\item $(2a-l)^5 + (2a + 1)^5-a(8a)^2$;

\item $\left(\frac12a-b-c\right)^3$
\item $(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a+b)^3$;

\item $(2a-b-c)(a + b)-(2a-b)(a + 3b-c)$;

\item $(a + 1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) - a^3(a + 10)$;

\item $(a + b + c)(-a + b + c)(a-b + c) (a + b-c)$;

\item $\frac{a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc}{a-b+c}+\frac{a^2+2ac+c^2-b^2}{a+b+c}$;

\item $\left[ (a + b)^6 + (a-b)^6 \right] : 2 - 15a^2b^2 (a^2 + b^2)$.

\exercisegoal{Bringe auf die Hauptform:}

\item $\frac{a-b}{4}+\frac{a-2b}{3}+\frac{3a-4b}{6}$;

\item $4+\frac{a+2b}{a-2b}-\frac{3a-7b}{a-2b}$;

\label{p:089}
\item $\left(\frac{2a}3-\frac{b}4+\frac{6a^2}b\right) \left(\frac{4a}{a+b}+\frac{b-4a}{a+b}\right)$;

\item $(ab+cd)^2 + (ac+bd)^2 - 2(ad+bc)^2$;

\item $\frac{5ab-5cd}{a-b} : \frac{(a+c)(b-d)+ad-bc}{a+b}$;

\item $\frac{3a+7}{6a-9} - \frac{3a^2-5a+1}{4a^2-9} + \frac{a}{2a+3}$;

\item $\frac{p-\frac{9q^2}p}{1-\frac{3p}q} - \frac{7p-21q}{(4^2-3^2)[(a+1)^2-a(a+2)]}$;

\item $\frac{9a^2-12ab+4b}{3a-4b} - \frac{7a^2-5ab-2b^2}{a-b} - 3(3a-b)$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Gleichungen ersten Grades mit einer
Unbekannten.}\label{ch:17}

Schon in §~\ref{ch:6} und §~\ref{ch:11} sind die \emph{Transpositionsregeln}
erster und zweiter Stufe dazu verwandt, um solche
Bestimmungsgleichungen zu lösen, in denen die Unbekannte
nur einmal vorkommt. Hier sollen nun auch solche Gleichungen
gelöst werden, in denen die Unbekannte an \emph{mehreren}
Stellen vorkommt. Dann sind die folgenden Operationen
vorzunehmen, um die \emph{Isolierung} der Unbekannten $x$ und
dadurch die Lösung der Gleichung zu bewerkstelligen:

1) Man stelle rechts und links eine algebraische Summe
von Quotienten her, deren Divisoren Zahlen sind;

2) Man schaffe durch Multiplikation mit dem Generalnenner
die Brüche fort;

3) Man löse die Klammern, in denen die Unbekannte $x$
vorkommt;

4) Man transponiere alle Glieder, die $x$ als Faktor enthalten,
nach links;

5) Man vereinige, d.~h. man verwandele die rechte Seite
in eine bekannte Zahl, die linke Seite in das Produkt von $x$
mit einer bekannten Zahl;

6) Man transponiere den Koeffizienten von $x$ nach rechts.

\label{p:090}
Es liege z.~B. die folgende Gleichung vor:
\begin{equation*}
\frac{\frac{3}{2}x - \frac{5}{2}}{2} + \left(\frac{x}{3} - 1\right) = \frac{4 - x}{2} + \frac{3 - \frac{2}{3}x}{2}.
\end{equation*}

1) Durch die erste der sechs Operationen entsteht:
\begin{equation*}
\frac{3x-5}{4} + \frac{x}{3} - 1 = \frac{4-x}{2} + \frac{9-2x}{6};
\end{equation*}

2) Brüche fortschaffen durch Multiplikation mit 12:
\begin{equation*}
3 (3x - 5) + 4x-12 = 6 (4-x)+ 2 (9-2x);
\end{equation*}

3) Klammern lösen:
\begin{equation*}
9x-15 + 4x-12 = 24-6x+18-4x;
\end{equation*}

4) Transponieren:
\begin{equation*}
9x + 4x + 6x + 4x = 24 + 18 + 15 + 12;
\end{equation*}

5) Vereinigen:
\begin{equation*}
  23x = 69;
\end{equation*}

6) Den Koeffizienten von x transponieren:
\begin{equation*}
x = 69 : 23 = \textbf{3}.
\end{equation*}

Die \emph{Probe} geschieht durch Einsetzen der für x gefundenen
Zahl in die vorliegende Gleichung.

Dadurch kommt links:
\begin{gather*}
  \frac{\frac{3}{2}x - \frac{5}{2}}{2} + \left(\frac{x}{3} - 1 \right)
  = \frac{\frac{3}{2} \cdot 3 - \frac{5}{2}}{2}
  + \left(\frac{3}{3} - 1\right) \\
  = \frac{\frac{9}{2}-\frac{5}{2}}{2} + \left(1 - 1\right)
  = \frac{2}{2} + 0 = \textbf{1}.
\end{gather*}

Rechts kommt:
\begin{gather*}
  \frac{4-x}{2} + \frac{3 - \frac{2}{3}x}{2}
  = \frac{4-3}{2} + \frac{3 - \frac{2}{3} \cdot 3}{2} \\
  = \frac{1}{2} + \frac{3 - 2}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \textbf{1}.
\end{gather*}

Wenn Gleichungen außer der Unbekannten $x$ noch
sonstige Buchstaben enthalten, die als bekannte Zahlen
\label{p:091}
gelten sollen, hat man die Vereinigung der $x$ enthaltenden
Glieder durch \emph{Absondern} zu bewerkstelligen. Z.~B.:
\begin{equation*}
  ax + 3c - 3b = bx - cx + 6c - 6b + 3a
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  ax - bx + cx = 3a - 3b + 3c
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  x (a-b+c) = 3 (a-b+c)
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  x = \frac{3(a-b+c)}{a-b+c} = 3.
\end{equation*}

Das Fortschaffen der Brüche kann unterbleiben, wenn
kein Nenner die Unbekannte $x$ enthält. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \frac{x}{11} + \frac{x}{3} - 5 = \frac {2}{3}
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  x \left( \frac{1}{11}+\frac{1}{3} \right) = 5 + \frac {2}{3} ;
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  x \cdot \frac{14}{33} = \frac{17}{3} ;
\end{equation*}
also:
\begin{equation*}
  x = \frac{17}{3} : \frac{14}{33}
  = \frac{17\cdot 33}{3\cdot 14}
  = \frac{187}{14} = 13 \smallfrac{5}{14} .
\end{equation*}

Wenn eine Gleichung \emph{mehrere} Buchstaben enthält, so
kann man jeden als Unbekannte betrachten und deshalb
jeden durch die übrigen ausdrücken. Z.~B.:
\begin{equation*}
  4x - y + \frac1{3}{z} = 13
\end{equation*}
ergiebt:
\begin{equation*}
  x = \frac{13+y-\frac{1}{3}z}{4} = \frac{39+3y-z}{12} ;
\end{equation*}
ferner:
\begin{equation*}
  y = 4x + \frac{1}{3}z - 13 ;
\end{equation*}
und:
\begin{equation*}
  z = 3 (13-4x+y) = 39-12x + 3y .
\end{equation*}

\label{p:092}
Mit Hilfe der Gesetze der Rechnungsarten erster und
zweiter Stufe kann man nur solche Gleichungen lösen, welche
sich auf die \emph{eingerichtete} Form
\begin{equation*}
  A\cdot x = B
\end{equation*}
bringen lassen, wo $A$ und $B$ bekannt, und zwar entweder
Zahlen oder auch Buchstaben-Ausdrücke sind. Die Lösung
von Gleichungen, welche auf andere Formen, z.~B.:
\begin{equation*}
  Ax^2+Bx = C
\end{equation*}
führen, kann erst später (§~\ref{ch:27}) erörtert werden. Doch
können hier solche Gleichungen behandelt werden, bei denen
Glieder, die $x^2$, $x^3$ u.~s.~w. enthalten, sich fortheben, z.~B.:
\begin{equation*}
  (4x-3) (3x-5) = (2x-3) (6x-7)
\end{equation*}
ergiebt:
\begin{equation*}
  12x^2-9x-20x+15 = 12x^2-18x-14x+21
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  -9x-20x + 18x + 14 x = 21-15
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  3x = 6 , \text{ d.~h.} x = 2 .
\end{equation*}

\separator

Wenn in der eingerichteten Form $Ax = B$ die bekannten
Zablen $A$ und $B$ beide null sind, so ergiebt sich $x=\frac{0}{0}$,
also eine \emph{vieldeutige} Quotientenform (§~\ref{ch:11}). Dadurch
werden wir darüber belehrt, daß $x$ jede beliebige Zahl sein
kann, daß also die vorgelegte Gleichung keine Bestimmungsgleichung,
sondern eine \emph{identische} Gleichung war. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \frac{2}{3}x - 5m = \frac{1}{2} (x-9m) + \frac{x}{6} - \frac{1}{2} m
\end{equation*}
ergiebt:
\begin{equation*}
  4x - 30m = 3 (x-9m) + x - 3m
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  4x - 30m = 3x - 27m + x - 3m
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  4x - 4x = 30m - 30m ,
\end{equation*}
d.~h.:
\begin{equation*}
  0 \cdot x = 0 \text{ oder } x = 0:0,
\end{equation*}
\label{p:093}
d.~h. die vorgelegte Gleichung war eine identische. In der
That läßt sich die rechte Seite durch Umformung in die
linke verwandeln. Es ist nämlich:
\begin{gather*}
  \frac{1}{2} (x-9m) + \frac{x}{6} - \frac{1}{2} m
  = x \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \right)
  - m \left( \frac{9}{2} + \frac{1}{2} \right) \\
  = \frac{2}{3} m - 5 m.
\end{gather*}

Wenn in der eingerichteten Form $Ax = B$, $B = 0$, aber
$A$ nicht Null ist, so ergiebt sich $x = 0$. Wenn aber umgekehrt
$A = 0$ und $B$ nicht Null ist, so kann $x$ keiner der
bisher definierten Zahlen gleichgesetzt werden.

\separator

Wenn auf beiden Seiten einer Gleichung \emph{ein und derselbe
die Unbekannte $x$ enthaltender Faktor steht,
so kann man diesen Faktor gleich null setzen}, weil
dadurch beide Seiten der Gleichung null werden, die
Gleichung also erfüllt wird. Das Nullsetzen des $x$ enthaltenden
gemeinsamen Faktors ergiebt dann eine Gleichung
zur Bestimmung von $x$. Wenn durch Fortlassen des gemeinsamen
Faktors eine immer noch $x$ enthaltende Gleichung
entsteht, so kann man auch diese lösen, und erhält dann
zwei Werte für $x$, welche beide die vorgelegte Gleichung
befriedigen. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \tag*{\indent 1)} 4 (x-9) = \frac{5}{2} (x-9) - x + 9 \\
  \intertext{oder:}
  4 (x-9) = (x-9) \left( \frac{5}{2} - 1 \right) . \\
  \intertext{Dies ergiebt:}
  x - 9 = 0 \text{ oder } x = 9 .
\end{gather*}

\begin{equation*}
  \tag*{\indent 2)} \frac{x}{5} \left( x + \frac{7}{2} \right) = (2x+7)(x-9) \\
\end{equation*}
ergiebt:
\begin{equation*}
  \frac{x}{5} \left( x + \frac{7}{2} \right)
  = 2 \left( x + \frac{7}{2} \right)(x-9),
\end{equation*}
woraus zunächst
\begin{equation*}
  x + \frac{7}{2} = 0 \text{ oder } x = - \frac{7}{2} \text{ folgt.}
\end{equation*}

\label{p:094}
Andrerseits erhält man aus:
\begin{equation*}
  \frac{x}{5} = 2 ( x - 9 )
\end{equation*}
zunächst:
\begin{equation*}
  x = 10x - 90 \text{, woraus } 90 = 9 x \text{, also } x = 10 \text{ folgt.}
\end{equation*}

Aufgaben, welche in Worte gekleidet sind und Fragen
enthalten, die durch Lösung einer Gleichung beantwortet
werden können, heißen ``\emph{eingekleidete Gleichungen}.''
Um eine eingekleidete Gleichung zu lösen, hat man zunächst
die in Worten gemachten Angaben in die arithmetische
Zeichensprache so zu übersetzen (\emph{Ansatz}), daß eine Bestimmungsgleichung
entsteht, aus deren Lösung die Antwort
hervorgeht. Hierzu das folgende Beispiel:

\emph{Aufgabe}: Von zwei Dörfern, die 1 Kilometer von einander
entfernt sind, gehen zwei Fußgänger A und B gleichzeitig
ab, um sich zu begegnen. Sie treffen sich nach
6 Minuten. B legt aber in jeder Minute $6 \smallfrac{2}{3}$ Meter mehr
zurück, als A. Wieviel Meter legt A in der Minute zurück?

\emph{Auffindung des Ansatzes}: A geht in 1 Minute
$x$ Meter, B also $\left( x + \frac{20}{3} \right)$ Meter. Nach 6 Minuten hat A
einen Weg von $6 \cdot x$ Metern, B einen Weg von $6 \left( x + \frac{20}{3} \right)$
Metern gemacht. Die Summe beider Wege muß 1 Kilometer,
also 1000 Meter betragen. Also ist:
\begin{equation*}
  6 x + \left( x + \frac{20}{3} \right) = 1000
\end{equation*}

\emph{Lösung der Gleichung}:
\begin{equation*}
  6 x + 6 x + 40 = 1000 .
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  12 x = 960 \text{, also } x = 80 .
\end{equation*}

\emph{Beantwortung der Frage}: A legt 80 Meter in der
Minute zurück.

\emph{Probe}: Der Weg von A beträgt 480 Meter, der von
B beträgt $6 \left( 80 + \frac{20}{3} \right)$ Meter oder $\left( 6 \cdot \frac{260}{3} \right)$ Meter oder
520 Meter. Die Summe beider Wege beträgt 1000 Meter.

\label{p:095}
Um den Ansatz aufzufinden, bat man namentlich folgendes
zu beachten:

1) Man suche sowohl danach, welche Zahl als Unbekannte
einzuführen ist, wie auch danach, welche Zahl
auf doppelte Weise ausgedrückt werden kann. Dies ist
selten die Unbekannte selbst.

2) Wenn mehrere Zahlen unbekannt sind, so betrachte
man doch nur die eine als die Unbekannte $x$ der aufzustellenden
Gleichung, und suche die andern unbekannten
Zahlen durch $x$ auszudrücken.

3) Nicht immer ist es geschickt, die Zahl, nach der
gefragt ist, als Unbekannte anzusehen. Oft thut man besser,
eine andere Zahl, durch welche die gesuchte Zahl ausgedrückt
werden kann, als Unbekannte zu betrachten.

4) Wenn eine Angabe zwei benannte Zahlen verschiedener
Benennung enthält, so führe man immer die Angabe
auf die Einheit \emph{jeder} der beiden Benennungen zurück.
Z.~B.: 1 Kilo kostet 13 Mark ergiebt auch, daß man für
1 Mark $\frac{1}{13}$ Kilo erhält. Ferner bedeutet die Angabe, daß
7 Personen mit einem Vorrat 5 Wochen reichen, zweierlei:
erstens, daß 1 Person 35 Wochen reichen würde, zweitens
daß 35 Personen 1 Woche reichen würden.


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:17}.}

\begin{exercise}

\exercisesection{A. Keine Klammern, keine Brüche.}

\item $8 x - 5 = 3 x + 10$;
\item $4 + 13 x = x + 28$;

\item $x + 5 x + 7 x = 7 + 6x$;
\item $-4 = 8 x + 3 x + 37$;

\item $x + 3 x + 5 x + 7 x = 6 x + 50$;

\item $0 = 8 x + 9 x - 102$.

\exercisesection{B. Klammern, aber keine Brüche.}

\item $5 x - ( x - 6 ) = 26$;

\item $9 x + 5 = 13 - ( 4 x - 5 )$;

\item $107 - 7 ( x - 8 ) = 63 + 3 x$;

\item $5 ( 8 x - 1 ) = 3 ( 12 x + 1 )$;

\item $7 ( 20 - 5 x - 8 ) - 17 ( x + 8 ) = 0$;

\item $4 ( x + 1 ) - 7 ( x + 2 ) = 11 ( x - 6 )$;

\item $2\cdot 4\cdot (x - 3) - 3\cdot 5\cdot (x - 7) = 9(9 - x) + 14$.

\label{p:096}
\exercisesection{C. Brüche, aber $x$ nicht im Nenner.}

\item $\frac {x}{5} - 7 = x-15$;
\item $x-\frac{x}{9}+7 = \frac{4-x}{3}$;

\item $7+\frac{x}{3}=\frac{x}{2}-6$;
\item $\frac{7-8(x-5)}{9} = \frac{x+9}{18}$;

\item $\frac{x}{2} + \frac{x}{3}+ \frac{x}{4} + \frac{x}{5} = 11 \left(x-\frac{53}{60} \right)$;

\item $\frac{4x-5}{8} + \frac{7x-12}{6} = \frac{3x+5}{12} + \frac{9x+2}{24}$;

\item $4(x-5) - \frac{x+3}{8} = \frac{x+7}{12} - \frac{7x-23}{6}$;

\item $1 - \frac{7-x}{8} = \frac{5x-1}{14} - \frac{3-x}{28}$;

\item $\frac{4(x-13)}{5} - \frac{5(7-x)}{3} - 8 \left[ \frac{9x}{5} - \frac{x+1}{15}\right]=0$.

\exercisesection{D. $\mathbf{x}$ in Nenner.}

\item $\frac{7}{x}-\frac{6}{x} = \frac{1}{42}$;
\item $\frac{4}{x+1}=2$;
\item $\frac{1}{x} - \frac{2}{x} + \frac{3}{x} = \frac{1}{2}$;
\item $\frac{7}{x} - \frac{5}{2x} = 4 \smallfrac{1}{2}$;
\item $\frac{30}{x-6} + \frac{2}{x-6} = 32$;
\item $\frac{1}{x+3} - \frac{1}{2(x+3)} = \frac{1}{8}$;
\item $\frac{3}{2x+2} - \frac{1}{3x+3} = \frac{7}{24}$;
\item $\frac{3(1+{1}{x}) }{1 - \frac{1}{x}}
    + \frac{1 + \frac{1}{2-x} }{ 1 - \frac{1}{2-x}} = 2$.

\exercisesection{E. Glieder, die $\mathbf{x}^2, \mathbf{x}^3, \dots$ enthalten, aber sich fortheben.}

\item $(4x-1)(6x+1)=12(x-1)(2x+3)$;

\item $(2x+7)(2x-7)=(4x-1)(x-3)$;

\label{p:097}
\item $\frac{2x-5}{4x-9}  = \frac{x-2}{2x-3}$;
\item $\frac{8x-3}{16x+9} = \frac{28x-19}{28(2x-1)}$;

\item $\left(7-\frac{x}{3}\right) \left(7+\frac{x}{3}\right) + \frac{x^2}{9} = x-1$;

\item $\left(3x+\frac{1}{3}\right) \left(4x+\frac{1}{4}\right)
    =               \left(6x-\frac{1}{3}\right) \left(2x+\frac{1}{2}\right)$;

\item $(x + 2)^2 + (x + 3)^2 = (x + 5)^2 + (x-2)^2$;

\item $\frac{10x+1}{2x-1} - \frac{2x-9}{2x+1} = 4$;

\item $x (x+1) (x+2) = (x-1) (x-2) (x+6)$;

\item $(x+1)^3 = x^3+ 3x^2 + 10$.

\exercisesection{F. Buchstaben-Gleichungen.}

\item $7x + a = m$;
\item $a = bx-c$;

\item $3x+32a = 2(a+x)$;

\item $a-b+c = ax-(b-c)$;

\item $5 (x-p) = 9 - 3 (x + p) - (x-7p)$;

\item $3 (b-2a-x) - 5 (a-3b+4x) = 6a+b$;

\item $\frac{3a-b-5x}{2} + \frac{x-9a}{6} = \frac{7x-b}{3}$;

\item $(x-a)(p+q) = p^2-q^2$;

\item $x +  \frac{x+a}{1-a} + \frac{x-a}{1+a} + 2 = 0$;

\item $1 + a^3 -  \frac{a^3-x}{a^3} + \frac{a^2-x}{a^2} - \frac{a-x}{a} = 0$.

\exercisesection{G. $\mathbf{x}$ gleich 0 oder $\frac{0}{0}$ oder unm\"oglich.}

\item $4x + 3 = 3 (x + 1)$;

\item $\frac{9x + 5}{4} = \frac{7x + 6}{6} + \frac{2 + x}{8}$;

\item $9 (x-3) + 7 (x+3) = 4x + 6 (2x-1)$;

\item $3ax + b = a (x + 1) + a (x-1) +a \left(x+\frac{b}{a}\right)$;

\item $4x + 5 = 4x + 3$;
\item $(x + 1)^2 - x^2 = 2(x + 1)$;

\label{p:098}
\item $(x+1)^2 = 2x(x+1)-(x+1)(x-1)$;

\item $x^3 + a^3 = (x+a) (x^2-ax+a^2)$;

\item $\frac{4}{x+5} + \frac{1}{x+10} = \frac{5(x+9)}{(x+5)(x+10)}$;

\item $\frac{3x+1}{2} + \frac{x+2}{4} = \frac{1+x}{3} + \frac{4-5x}{6}$.

\exercisesection{H. Zerlegung in Faktoren.}

\item $8(x-3) = (x+4)(x-3)$;

\item $5(x-p)+7x(x-p) = 12(x-p)$;

\item $x^2+x = 5x$;
\item $\frac{x+3}{x+1}-3\cdot\frac{x+3}{x+1} = 4\cdot\frac{x+3}{x}$;

\item $(x-1)(2x+5) = (x-1)(x+6)$;

\item $9(x+1) = x^2-1$;

\item $\left(\frac{x}{3}+4\right)(5x-1) = x+12$;

\item $x^3-1 = (x-1)(x^2+11)$;

\item $\frac{9x-8}{9} = \left(-\frac{8}{9}\right)(2x-7)$.

\exercisesection{J. Nach mehreren Buchstaben auflösen.}

\exercisegoal{Jeder vorkommende Buchstabe soll als Unbekannte
betrachtet und durch die übrigen Buchstaben
ausgedrückt werden.}

\item $5a-2b = 3(a+b)$;

\item $7(a-b+1) = 3a+5b-4$;

\item $\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2} = b+1$;

\item $\frac{5c-d}{3}+\frac{c+2d}{3} = \frac{c+d+1}{12}$;

\item $x(y-2) = 5+y$;

\item $5x-y+z = 4+5(2x+y+z)$.

\exercisesection{K. Ungleichungen.}

\exercisegoal{Wie eine Gleichung auf $x = C$ zurückgeführt werden
kann, wo $C$ eine bekannte Zahl ist, so läßt sich in derselben
\label{p:099}
Weise eine Ungleichung auf $x > C$ oder $x < C$
zurückfuhren, wo $C$ bekannt ist.}

\item $5x - 4 > 4(x + 1)$;
\item $9(x - 5) - 7(x - 1) > 0$;

\item $x + 8 < 9 (x + 5) + 10(7 - x)$;

\item $\frac{5x + 1}{3} < \frac{x - 1}{6}$;

\item $\frac{1 - 7x}{12} - \frac{x + 1}{9} > x$;
\item $x + a < 5x - 7a$.

\exercisesection{L. Eingekleidete Gleichungen.}

\item Eine Zahl zu bestimmen, die, mit 3 multipliziert,
dasselbe ergiebt, als wenn man sie um 10 vermehrt.

\item Das um 8 verminderte Vierfache einer gesuchten
Zahl ist gleich dem um 1 verminderten Dreifachen der Zahl.

\item Teilt man das um 8 vermehrte Doppelte einer gesuchten
Zahl durch 3, so erhält man die um 1 größere Zahl.

\item Eine gemischte Zahl zu bestimmen, die um ihr
Fünftel kleiner ist als die Zahl 7.

\item Um welche Zahl muß man Zähler und Nenner des
Bruches $\frac{3}{7}$ vermehren, damit der absolute Betrag des Bruches
zwei Drittel werde.

\item Die Zahl 87 in zwei Summanden zu zerlegen, von
denen der eine um 9 größer ist, als der andere.

\item Die Zahl 111 in drei Summanden zu zerlegen, von
denen der eine das Doppelte eines andern ist und zugleich
um 11 kleiner als der dritte Summand ist.

\item Welche Zahl ist um $a$ größer als ihr $b$-ter Teil?

\item An einem Orte ist der längste Tag 5 mal so lang
als die kürzeste Nacht. Wieviel Stunden hat dieser Tag?

\item Anna putzt in jeder Minute 4 Rüben, Bertha nur 3,
arbeitet aber eine halbe Stunde länger als Anna. So bewältigen
sie beide 1000 Rüben. Wie lange hat Anna geputzt?

\item Elsa und Hildegard haben in ihrem Ansichts-PostkartenAlbum
zusammen 1000 Postkarten, Elsa 10 mehr als
das Doppelte der Zahl, die Hildegard hat. Wieviel hat
letztere?

\item Von zehn Häusern gleichen Wertes besitzt A sieben,
B drei. A hat außerdem hunderttausend Mark in Staatspapieren,
\label{p:100}
B zweihunderttaugend Mark. So kommt es, daß
das Vermögen beider gleich ist. Wie groß ist der Wert
jedes Hauses?

\item Jemand hatte in der rechten Tasche doppelt so
viel Mark wie in der linken. Als er aber 9 Mark aus der
rechten Tasche genommen und in die linke gesteckt hatte,
ergab es sich, daß er in beiden gleichviel Mark hatte.
Wieviel Mark hatte er \emph{im ganzen?}

\item Bei einer Wahl hatte der Gewählte 6 Stimmen
mehr erhalten, als die Hälfte der abgegebenen Stimmen,
alle übrigen zusammen 44 Stimmen mehr, als der dritte
Teil der abgegebenen Stimmen beträgt. Wieviel Stimmen
waren abgegeben?

\item An einer polytechnischen Hochschule studierten
14 mal soviel Inländer als Ausländer. Als aber 15 Ausländer
neu hinzugekommen waren und 15 Inländer abgegangen
waren, hatte die Hochschule zwar noch dieselbe Gesamtziffer,
aber nur noch 11 mal soviel Inländer, als Ausländer.
Wie groß war die Gesamtzahl?

\separator

\item Ein Kapital von 11\,000 Mark hatte nach einer gewissen
Anzahl von Jahren 12\,100 Mark Zinsen eingebracht,
indem es die Hälfte der Zeit zu 4\%, ein Drittel der Zeit
zu $3\smallfrac{1}{2}$\% und ein Sechstel der Zeit zu 3\% gestanden hatte.
Wieviel Jahre stand das Kapital auf Zinsen?

\item Am 1.\ Januar 1899 hat jemand ein Kapital von
7000 Mark zu $4\smallfrac{1}{2}$\% auf Zinsen gegeben. Zwei Jahre später,
am 1.\ Januar 1901, gab ein Andrer 10\,000 Mark zu $3\smallfrac{1}{2}$\%
auf Zinsen. Zu welcher Zeit haben beide Kapitalien gleichviel
Zinsen abgeworfen?

\item Jemand verkauft eine Ware zu 312 Mark. Dadurch
hat er ebenso viel Prozent gewonnen, wie er verlieren
würde, wenn er sie zu 288 Mark verkaufen sollte. Wieviel
Prozent gewann er?

\separator

\item Unter fünf Personen sollen 5000 Mark so verteilt
werden, daß die zweite Person 100 Mark mehr erhält als
die erste, die dritte 100 Mark mehr als die zweite usw.
Wieviel Mark erhält die erste Person?

\label{p:101}
\item In einem Fünfeck beträgt die Winkelsumme bekanntlich
540 Grad. Wie groß ist jeder Winkel, wenn die
fünf Winkel sich wie 1 zu 2 zu 3 zu 4 zu 5 verhalten?

\item 9 Liter Wasser werden durch den galvanischen
Strom in 8 Kilo Sauerstoff und 1 Kilo Wasserstoff zerlegt.
Nun hatte Jemand bei einer solchen Zerlegung an Sauerstoff
42 Kilo mehr erhalten, als an Wasserstoff. Wieviel Liter
Wasser hatte er zerlegt?

\item Eine Quantität Alkohol ist 70-prozentig und wiegt
80 Kilogramm. Wieviel Kilogramm Wasser muß man zusetzen,
um zu erreichen, daß der Alkohol 50-prozentig werde.

\separator

\item Einem Boten, der um 6 Uhr morgens abgegangen
ist, wird um 8 Uhr ein berittener Bote nachgesandt, der in
jeder Stunde 10 Kilometer zurücklegt, und es dadurch erreicht,
daß er den ersten Boten um 10 Uhr einholt. Wieviel
Kilometer hatte der erste Bote in der Stunde zurückgelegt?

\item Ein Weg von Eisenach auf die Hohe Sonne beträgt
9 Kilometer. Gleichzeitig, um 6 Uhr morgens, brechen zwei
Touristen von den beiden Endpunkten dieses Weges auf.
Um welche Zeit treffen sie sich, wenn der aufwärts gehende
Tourist 63 Meter in der Minute zurücklegt, der abwärts
gehende aber 87 Meter in der Minute macht?

\item Von zwei Radfahrern, die sich entgegenfahren,
fäbrt der eine in der Sekunde 4 Meter, der andere $4\smallfrac{1}{2}$ Meter.
Sie sind jetzt 2 Kilometer von einander entfernt. Nach
wieviel Minuten sind sie 300 Meter von einander entfernt?

\item Jemand, der zum Kilometer 12 Minuten braucht,
legt die Entfernung zwischen zwei Dörfern in derselben Zeit
zurück, wie ein Radfahrer einen 10 Kilometer längeren Weg,
falls der Radfahrer $4\smallfrac{1}{2}$ Minuten zum Kilometer braucht.
Wieviel Kilometer sind die Dörfer von einander entfernt?

\separator

\item Um 12 Uhr stehen die beiden Zeiger einer Uhr
übereinander. Wieviel Minuten nach 1 Uhr stehen sie wieder
übereinander?

\item Wie lang ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen
Dreiecks, dessen größere Kathete 24 Centimeter lang ist,
\label{p:102}
während die kleinere Kathete 18 Centimeter kürzer als die
Hypotenuse ist?

\item Wie lang ist die Seite eines Quadrats, dessen
Inhalt um 63 Quadratcentimeter wächst, wenn die Seite um
3 Centimeter wächst?

\item Ein Teich hat die Form eines Quadrats. Jede
Seite desselben beträgt 80 Decimeter. Genau in der Mitte
wächst eine Pflanze, die 32 Decimeter üher den Spiegel des
Teiches hinaufragt. Als man die Pflanze an das Ufer nach
der Mitte einer Seite hinzog, reichte ihre Spitze nur his an
den Rand des Teiches. Welche Tiefe hat der Teich?

\separator

\item An dem 30 Centimeter langen Arm eines Hebels
hängen 7 Kilo mehr als an dem 40 Centimeter langen Arm.
Der Hebel zeigt Gleichgewicht. Wieviel Kilo hängen an
jedem Arm?

\item Wieviel Ohm Widerstand hat ein Strom, der bei
200 Volt Spannung dieselbe Stromstärke aufweist, wie ein
anderer Strom, der bei 100 Volt Spannung 5 Ohm weniger
Widerstand hat, als der erste Strom?

\item Ein Hohlspiegel von 100 Centimeter Krümmungsradius
entwirft ein Bild, das nur ein Zehntel so weit von
ihm entfernt ist, wie das Objekt. Wie weit ist letzteres
vom Hohlspiegel entfernt?

\end{exercise}

\separator

\chapter{Gleichungen ersten Grades mit mehreren
Unbekannten.}\label{ch:18}


Wenn eine Gleichung zwei Unbekannte x und y enthält,
so kann immer die eine Unbekannte, etwa x, durch
die andere Unbekannte y ausgedrückt werden (vgl. §~\ref{ch:17}, J).
Wenn man dann für y irgend eine Zahl einsetzt, so ergiebt
sich für x ein zugehöriger Wert, so dass \emph{unzählig
viele Wertepaare} von x und y die Gleichung befriedigen.
Beispielsweise wird $9 x - 7 y = 1$ erfüllt für
\begin{gather*}
     x = 1 ,           y = \frac {8}{7}
     x = 2 ,           y = \frac {17}{7}
     x = \frac{1}{9} , y = 0
     x = 4 ,           y = 5 \\
     x = 704 ,         y = 905 \text{ u.~s.~w.}
\end{gather*}

\label{p:103}
Wenn nun zu einer vorliegenden Gleichung zwischen
$x$ und $y$ noch eine zweite solche Gleichung zwischen denselben
Unbekannten hinzutritt, so entsteht die Aufgabe, diejenigen
Wertepaare herauszufinden, welche das entstandene
\emph{Gleichungssystem} befriedigen, d.~h. die, für $x$ und $y$ eingesetzt,
beide Gleichungen zu identischen machen. Man löst
diese Aufgaben dadurch, daß man eine neue Gleichung
bildet, welche die eine Unbekannte gar nicht mehr enthält.
Letztere heißt dann \emph{eliminiert}. Die Lösung der nur die
eine Unbekannte enthaltenden neuen Gleichung liefert dann
den Wert dieser Unbekannten, und die Einsetzung dieses
Wertes in eine der beiden verliegenden Gleichungen führt
dann zum Werte der anderen Unbekannten.

Die \emph{Elimination} der einen Unbekannten kann auf
mannigfache Weise bewerkstelligt werden. Namentlich aber
sind drei Methoden üblich, die zu diesem Ziele führen,
nämlich:

1) \emph{Gleichsetzungsmethode}. Um $x$ zu eliminieren,
drücke man $x$ durch $y$ zermittelst beider Gleichungen aus.
Dann setze man die beiden für $x$ erhaltenen Ausdrucke, in
denen nur $y$ vorkommt, einander gleich. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \left\{
    \begin{aligned}
      9x-7y & = 13 \\
      \frac{5x-1}{6} & = 2y-\frac{5}{8}
    \end{aligned}
  \right\}
  \text{ führt zu }
  \left\{
    \begin{aligned}
      x & = \frac{13+7y}{9} \\
      x & = \frac{12y-9}{5}
    \end{aligned}
  \right\}.
\end{equation*}

Daher ist:
\begin{equation*}
  \frac{13+7y}{9} = \frac{12y-9}{5} \text{ oder } 65+35y=108y-81
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  146 = 73y, \text{ d.~h. } y = 2.
\end{equation*}

Hieraus findet man $x=3$ aus $x=\frac{13+14}{9}$ oder aus
$x=\frac{24-9}{5}$.

2) \emph{Einsetzungsmethode}. Vermittelst einer der beiden
Gleichungen drücke man die eine Unbekannte, etwa $x$, durch
die andere ans und setze den erhaltenen Ausdruck in der
andern Gleichung überall da ein, wo jene Unbekannte $x$
vorkommt. Z.~B.:
\label{p:104}
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      4 x - y = 2 y - 5 x - \frac{33}{2} \\
      10 ( x + y ) = 7 y + 26
    \end{gathered}
  \right\} \text{ ergibt zunächst:} \\
  x = { 3 y - \frac{33}{2} \over 9 }
  = { y - \frac{11}{2} \over 3 }
  = { 2 y - 11 \over 6 }.
\end{gather*}

Setzt man diesen Ausdruck in die zweite Gleichung ein,
so erhält man:
\begin{gather*}
 10 \left[ \frac{2 y - 11}{ 6 } \right] = 7 y + 26 \text{ oder:} \\
 20 y - 110 + 60 y = 42 y + 156 ,
\end{gather*}
oder $38 y = 266$, d.~h. $y = \textbf{7}$, also $x = \frac{2\cdot 7-11}{6} = \frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}$.

3) \emph{Methode der gleichgemachten Koeffizienten.}
Man bringe beide Gleichungen auf die \emph{geordnete Form},
d.~h. auf die Form:
\begin{equation*}
  a x + b y = c,
\end{equation*}
wo $a$, $b$, $c$ ganze Zablen sind, die positiv, null oder negativ
sein können. Dann multipliziert man, um etwa $x$ zu eliminieren,
beide Gleichungen derartig mit möglichst kleinen ganzen
Zahlen, daß die Koeffizienten von $x$ in den beiden entstandenen
Gleichungen sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden.
Dann ergiebt die Addition beider Gleichungen
eine von x freie Gleichung. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      4 x - y = 2 y - 5 x - \frac{33}{2} \\
      10 ( x + y ) = 7 y + 26
    \end{gathered}
  \right\}
\end{equation*}
ergiebt zunächst in geordneter Form:
\begin{equation*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      18 x - 6 y = -33 \\
      10 x + 3 y =  26
    \end{gathered}
  \right\}.
\end{equation*}
Um nun $x$ zu eliminieren, multipliziert
man die erste Gleichung mit $-5$, die zweite mit 9. Dann
erhält man:
\begin{equation*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      -90 x + 30 y = +165 \\
      90 x + 27 y = +234
    \end{gathered}
  \right\} \text{, woraus durch Addition folgt:}
\end{equation*}
$57 y = 399$, d.~h. $y = \textbf{7}$, worauf man durch Einsetzen
$x = \frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}$ erhält.

\label{p:105}
Um aus den beiden Gleichungen in geordneter Form $y$
zu eliminieren, hat man die erste Gleichung unverändert zu
lassen und die zweite mit 2 zu multiplizieren. So erhält man:
\begin{gather*}
  \left\{ \begin{aligned}
      18 x - 6 y &= -33 \\
      20 x + 6 y &= +52
    \end{aligned}
  \right\}
  \text{, woraus durch Addition folgt:} \\
  38x = 19 \text{ oder } x = \frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}.
\end{gather*}

Der Koeffizient, welcher bei der zu eliminierenden Unbekannten
erzielt werden muß, ist immer die kleinste Zahl,
von welcher die Koeffizienten der beiden Gleichungen beide
Teiler sind.

Wenn in der geordneten Form $a x + b y = c$ die ganzen
Zahlen $a$, $b$, $c$ einen gemeinsamen Teiler haben, so hat man
durch denselben zu dividieren, um kleinere Koeffizienten zu
erhalten.

Oft erleichtert die Einfübrung andrer Unbekannter die
Berechnung. Wenn z.~B.:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{split}
      \frac{3}{x} + \frac{5}{y-2} &= \frac{3}{2} \\
      \frac{2}{x} - \frac{1}{y-2} &= \frac{2}{15}
    \end{split} \right\}
\end{gather*}
gegeben ist, so betrachtet man am
besten nicht $x$ und $y$, sondern $\frac{1}{x}$ und $\frac{1}{y-2}$ als Unbekannte.

So erhält man $\frac{1}{x} = \frac{1}{6}$, also $x = \textbf{6}$ und $\frac{1}{y-2} = \frac{1}{5}$, also
\begin{equation*}
  y-2 = 5 \text{ oder } y = \textbf{7}.
\end{equation*}

\separator

Um drei Unbekannte $x$, $y$, $z$ aus drei Gleichungen
I, II, III zu bestimmen, eliminiert man zunächst eine und
dieselbe Unbekannte, z.~B. $x$, aus zwei Paaren der gegebenen
Gleichungen, z.~B. sowohl aus I und II als auch aus I
nnd III. Dadurch erhält man zwei Gleichungen, die nur
noch $y$ und $z$ enthalten, und aus denen man $y$ und $z$, wie
oben erörtert ist, bestimmen kann. Analog verfährt man
bei vier Gleichungen mit vier Unbekannten und überhaupt bei
$n$ Gleichungen mit $n$ Unbekannten. Man hat bei der
Elimination namentlich darauf zu achten, daß immer \emph{eine
und dieselbe} Unbekannte aus allen Gleichungen verschwindet,
\label{p:106}
und das neue Gleichungs-System, das die eliminierte
Unbekannte nicht mehr enthält, nur eine Gleichung
weniger hat, als das voraufgegangene System.

Aus einem Gleichungssysteme folgen nur dann bestimmte
Werte der Unbekannten, wenn die Gleichungen
des Systems von einander unabhängig sind, d.~h. nicht
eine der Gleichungen aus den andern durch bloße Umformung
gewonnen werden kann. Bei mehr als zwei
Gleichungen ist es oft schwer, zu erkennen, daß dieselben
von einander abhängen. Die Elimination ist jedoch ein
Mittel, um diese Abhängigkeit erkennen zu lassen, wie das
folgende Beispiel zeigt:
\begin{equation*}
  \left\{
    \begin{aligned}
      3  x - y + \phantom{0}5 z & =           16 \\
      12 x + y - \phantom{0}7 z & = \phantom{0}8 \\
      42 x + y -           11 z & =           56
    \end{aligned}
  \right\}.
\end{equation*}
Wenn man hier y eliminiert, sowohl
aus der ersten und zweiten, als auch aus der ersten
und dritten Gleichung, so erhält man:
\begin{equation*}
  \left\{
    \begin{aligned}
      15 x - 2 z & = 24 \\
      45 x - 6 z & = 72
    \end{aligned}
  \right\},
\end{equation*}
wo man erkennt, daß die zweite Gleichung
entsteht, wenn man die erste mit 3 multipliziert. Wollte
man eine Unbekannte, etwa $z$, aus diesen beiden Gleichungen
eliminieren, so würde man erhalten, daß $x = 0:0$ ist,
d.~h. jede beliebige Zahl sein kann. Dies verrät, daß die
gegebenen drei Gleichungen nicht von einander unabhängig
sein können. In der That erhält man aus dem Doppelten
der ersten Gleichung und dem Dreifachen der zweiten
Gleichung die dritte Gleichung.

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:18}.}

\begin{exercise}

\exercisesection{A. Ganzzahlige Unbekannte.}

\item $\left\{ \begin{aligned}
    x +   y =           19 \\
    x - y = \phantom{0}7
    \end{aligned}
\right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
    \phantom{0}x - 5 y = \phantom{0}4 \\
             3 x + 5 y =           32
    \end{aligned}
 \right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
    \phantom{-}4x + \phantom{0}3 y = \phantom{-}47 \\
             -4 x + 10 y =           -34
    \end{aligned}
 \right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
    9 x -          7 y = 11 \\
    9 x + \phantom{1}y = 19
    \end{aligned}
 \right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
    5 x - 4 y = 1 \\
    6 x + 2 y = 8
    \end{aligned}
 \right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
   16 x -           15 y = 18 \\
    2 x + \phantom{0}5 y = 16
    \end{aligned}
 \right.$;

\label{p:107}
\item $\left\{ \begin{aligned}
      x = y + \phantom{0}9 \\
    7 x - y =           69
    \end{aligned}
 \right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
          3 ( 2 y - x ) - 5 y &= \phantom{0}2 \\
    5 ( x + y ) + 4 ( y - x ) &=           46
    \end{aligned}
 \right.$;

\item $\left\{ \begin{aligned}
          x &=  5 y \\
    5 x - y &=  48
    \end{aligned}
 \right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
    108 x + 13 y & =           147 \\
     81 x - 17 y & = \phantom{0}30
    \end{aligned}
 \right.$.

\exercisesection{B. Die Werte der Unbekannten werden auch
gebrochene Zahlen.}

\item $\left\{ \begin{aligned}
     7 x - 5 y - 1 & = 0 \\
     5 x + 7 y     & = 6
    \end{aligned}
 \right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
               8 x - \frac{1}{3} y & = 3 \\
     \frac{1}{2} x + \frac{y}{4}   & = 1
    \end{aligned}
 \right.$;

\item $\left\{ \begin{aligned}
     1 \smallfrac{1}{5} x - 2 y - \frac{6}{5} = 0 \\
     y = 3 x - 1
    \end{aligned}
 \right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
     5\left( \frac{x}{3} + \frac{x}{4} \right) = y + \frac{1}{2} \\
     4x - 2\left( y - \frac{1}{3} \right) = 1
    \end{aligned}
 \right.$;

\item $\left\{ \begin{aligned}
      8 x - \frac{y}{3} & = \frac{4}{3} \\
      9 x + \frac{y}{8} & = 1
    \end{aligned}
 \right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
     19 - \frac{1}{2} ( x + y ) & = 75 x \\
     23 - 2           ( x - y ) & =  2 y
    \end{aligned}
 \right.$.

\exercisesection{C. Buchstaben-Gleichungen.}

\item $\left\{ \begin{aligned}
     7 x - y & =      a + b \\
     6 x + y & = 12 ( a + b )
    \end{aligned}
 \right.$;

\item $\left\{ \begin{aligned}
     2 x - 3 y & = 5 ( b + c ) - a \\
       x +   y & = 2 a
    \end{aligned}
 \right.$;

\item $\left\{ \begin{aligned}
     3 x + y & = 4 c + d   \\
     3 x - y & = 2 c + 5 d
    \end{aligned}
 \right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
       a x - 5 y & =   a^2 - 5 b \\
     3 a x + b y & = 3 a^2 + b^2
    \end{aligned}
 \right.$;

\item $\left\{ \begin{aligned}
     ( a - b ) x -     c     y & = a^2 - a b \\
         a     x - ( c - b ) y & = a^2
    \end{aligned}
\right.$;
\item $\left\{ \begin{aligned}
     a  x + b  y & = c \\
     a' x + b' y & = c'
    \end{aligned}
 \right.$.

\exercisesection{D. Brüche fortschaffen und Klammern Lösen.}

\item $\left\{
    \begin{aligned}
      7 ( 9 x - 4 )  - 3 ( y - x ) &= 221 \\
      5 ( 4 x - 3 y ) - \frac{1}{3} ( x + x ) &= \phantom{00}2
    \end{aligned}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{aligned}
      \frac{x}{3} + \frac{y}{4} &=             3 \\
      \frac{x}{2} + \frac{y}{6} &= \phantom{00}2 \smallfrac{5}{6}
    \end{aligned}
  \right.$;

\label{p:108}
\item $\left\{
    \begin{aligned}
      \frac{3}{8}(x-2y)+\frac{1}{9}(x-y) & = 4 \\
      \frac{1}{10}x+(2x-15y)             & = 6
    \end{aligned}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{aligned}
      \frac{x+2y}{x-3y}     & = 6\\
      7(x-3y)-\frac{1}{4} x & = 6
    \end{aligned}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{aligned}
      \frac{3x+4}  {4} - \frac{x+2+8y}{8} & = \frac{9}{4} \\
      \frac{x+2y+1}{6} - \frac{10y+x} {9} & = 0
    \end{aligned}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      \frac{x+y}{10}-\frac{1}{15}=\frac{2x}{15}        \\
      -2 = \frac{x}{7}-y+3\left(x-\frac{7}{3}y\right)
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
 \begin{aligned}
   \frac{2x-5y+9}{10} &- \frac{x+2y+1}{15} = \frac{3x-8y}{25} \\
   \frac{x+y+1}{12}   &= \frac{4x+y+1}{18} - \frac{4x-y-2}{27}
 \end{aligned}
\right.$.

\exercisesection{E. Unbestimmbare Unbekannte.}

\item $\left\{
 \begin{aligned}
  8x-3y            &= 29 \\
  12x-\frac{9}{2}y &= 14
 \end{aligned}
\right.$;
%
\item $\left\{
 \begin{aligned}
  19x-(x-9y)  &= 9 \\
  17y-2(8y-x) &= 1
 \end{aligned}
\right.$;

\item $\left\{
 \begin{aligned}
   ax+by         &= a \\
   \frac{1-x}{y} &=  \frac{b}{a}
 \end{aligned}
\right.$;

\item $\left\{
 \begin{gathered}
   4 (x+y-p) - 3 (x+y) = 3 (p-y) \\
   \frac{x}{4} + y = \frac{7}{4} p
 \end{gathered}
\right.$.

\label{p:109}
\exercisesection{F. Drei Unbekannte.}

\item $\left\{
    \begin{aligned}
      2 x + 3 y + \phantom{1} z & = 12 \\
      5 x - 2 y + 3 z & = 13 \\
      x   + 9 y - \phantom{1} z & = 15
    \end{aligned}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{aligned}
      4 ( x - y )   & = y - ( z + 1 ) \\
      3 ( x + y )   & = 5 x + y + z - 2 \\
      \frac{1}{6} z & = 5 x - 6 y
    \end{aligned}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      \frac{x}{7} - \frac{2y+z+2}{6}  =  2 x + 2 y - 5 z \\
      x + 3 y  =  \frac{17}{2} ( x - 2 z ) \\
      1   =  x - 4 y - ( z + 1 )
    \end{gathered}
\right.$;

\item $\left\{
    \begin{aligned}
      x + y & = 4 \\
      y + z & = 8 \\
      z + x & = 6
    \end{aligned}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{aligned}
      4 x - y  & = 1 \\
      \frac{y}{3} + \frac{z}{5}  & =  4 \\
      z - x  & =  4
    \end{aligned}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      \frac{x+y+9z}{12} + \frac{3x-6z+y}{18}
      = \frac{z+3y+x+2}{24} + \frac{1}{18} \\
      \frac{4x-y+z}{10} - \frac{x+y+z-8}{15}
      = \frac{4x+5z+y-10}{20} \\
      \frac{x+1}{3}
      = \frac{y-1}{6} + \frac{z+1}{9}
    \end{gathered}
  \right.$;

\exercisesection{G. Eingekleidet.}

\item Wie heißen die beiden Zablen, deren Summe 19
und deren Differenz 11 beträgt?

\item Welche beiden Zablen geben subtrahiert die Zahl 2
und dividiert auch?

\item Wenn man Zähler und Nenner eines gesuchten
Bruches um 1 vermehrt, so erhält man einen Bruch, dessen
absoluter Betrag $\smallfrac{3}{4}$ ist. Wenn man aber Zäbler und Nenner
um 1 vermindert, ergiebt sich ein Bruch mit dem absoluten
Betrage $\smallfrac{2}{3}$.
\label{p:110}
\item Ein Antrag wurde mit einer Majorität von 40
Stimmen angenommen, indem $\smallfrac{2}{3}$ aller Abstimmenden dafür,
$\smallfrac{1}{3}$ dagegen stimmten. Wieviel Stimmen waren für, wieviel
gegen den Antrag?

\item Welche zweiziffrige Zahl mit der Quersumme 13
hat die Eigenschaft, daß durch Vertauschung ihrer Ziffern
eine Zahl entsteht, die um 45 kleiner ist?

\item Jemand hat zwei Kapitalien ausgeliehen, das erste
zu $3\smallfrac{1}{2}$\%, das zweite zu 3\%. Dadurch hatte er eine jährliche
Zinsen-Einnahme von 550 Mark. Hätte er umgekehrt das
erste zu 3\%, das zweite zu $3\smallfrac{1}{2}$\% ausgeliehen, so würde er
jährlich einen Zinsengenuß von 555 Mark haben. Wie
groß waren die Kapitalien?

\item Auf derselben Strecke bewegen sich zwei Punkte,
die jetzt 4000 Meter von einander entfernt sind. Bewegen
sie sich in derselben Richtung, so wird der vordere in
40 Sekunden eingeholt. Bewegen sie sich aber in entgegengesetzten
Richtungen, so treffen sie sich schon nach
25 Sekunden. Welche Geschwindigkeiten haben die Punkte?

\item Von zwei Städten, die durch eine Chaussee verbunden
sind, gehen zwei Freunde einander entgegen. Nachdem
jeder 6 Stunden unterwegs war, trafen sie sich. Sie
würden sich schon nach 5 Stunden 24 Minuten getroffen
haben, wenn jeder von beiden in 1 Stunde ein halbes Kilometer
mehr gemacht hätte, als er wirklich gemacht hat.
Wenn der eine ein halbes Kilometer in der Stunde mehr,
der andre weniger gemacht hätte, so wurden sie sich gerade
in der Mitte zwischen den beiden Städten getroffen haben.
Wieweit sind diese von einander entfernt? Wieviel Kilometer
legte jeder in der Stunde zurück?

\item Eine Strecke ist um 1 Centimeter kürzer als eine
andere. Das üher sie errichtete Quadrat ist aber 19 Quadratcentimeter
kleiner, als das Quadrat über der andern Strecke.
Wie lang sind beide Strecken?

\item Über einer Strecke als Hypotenuse steht ein rechtwinkliges
Dreieck, dessen Katheten-Summe 97 Centimeter
beträgt. Über derselben Hypotenuse ließe sich noch ein
zweites rechtwinkliges Dreieck errichten, dessen größere
Kathete 7 Centimeter kürzer wäre, als die größere Kathete
des ursprünglichen Dreiecks, wäbrend die kürzere Kathete
\label{p:111}
23 Centimeter länger wäre, als die kürzere Kathete des
ursprünglichen Dreiecks. Wie groß sind dessen Katheten?

\item Wenn die Besatzung einer Festung um 3000 Mann
stärker wäre, so würde der vorhandene Proviant 2 Wochen
weniger ausreichen. Wenn die Besatzung aber um 2000
Mann schwächer wäre, so würde der Proviant 2 Wochen
länger ausreichen. Wie stark war die Besatzung wirklich
und auf wieviel Wochen konnte der Proviant ausreichen?

\separator

\item Wenn man von drei gesuchten Zahlen immer nur
zwei addiert, so ergeben sich 28, 30 und 36.

\item Drei Personen A, B, C, nehmen eine solche Verteilung
ihres Geldes vor, daß zunächst A von B und von
C sich soviel Mark geben läßt, wie er selbst besitzt. Darauf
läßt B sich soviel Mark von A und C geben, wie er nunmehr
besitzt. Endlich läßt C sich soviel Mark von A und von B
geben, wie er selbst nach der zweimaligen Teilung noch
besitzt. Schließlich haben alle drei gleichviel Mark, nämlich
27 Mark. Wieviel hatte ursprünglich jeder?

\item Ein Wasser-Bassin kann durch drei Röhren gefüllt
werden, durch die erste und zweite allein in $6\smallfrac{6}{7}$ Minuten,
durch die zweite und dritte allein in $8\smallfrac{8}{17}$ Minuten, durch
die erste und dritte allein in $7\smallfrac{1}{5}$ Minuten. In wieviel Minuten
durch jede einzelne?

\item Wenn man von vier gesuchten Zablen immer je
drei addiert, so ergeben sich die Summen 22, 25, 29, 32.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Arithmetische Reihen.}\label{ch:19}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
  I)   & $z = a + (n - 1) d$, \\
  II)  & $s = \frac{n}{2}(a + z)$, \\
  III) & $s = n a + \frac{1}{2} n (n - 1) d$.
  \end{tabular}
\end{center}

Eine geordnete Folge von Zahlen, in der jede Zahl,
vermindert um die vorhergehende, eine und dieselbe Differenz
ergiebt, heißt \emph{arithmetische Reihe}, z.~B.: $4, 7, 10, 13,
16, \dots$ oder $5, 1, -3, -7, -11, \dots$ oder $0, \smallfrac{4}{5}, 1\smallfrac{3}{5},
\label{p:112}
2\smallfrac{2}{5}, \dots$ Wenn $d$ die \emph{konstante Differenz} einer solchen
Reihe bezeichnet, $a$ das erste Glied (\emph{Anfangsglied}), so
ist das zweite Glied gleich $a+d$, das dritte gleich $a+2d$,
u.~s.~w., also das $n$-te Glied $z$ (\emph{Endglied}) gleich $a+(n-1)d$.
Dies spricht Formel I aus. Um Formel II zu beweisen,
schreibe man die Summe aller $n$ Glieder in richtiger
Ordnung, darunter die Summe aller $n$ Glieder in genau
umgekehrter Ordnung und addiere dann immer jedes Glied
der unteren Reihe zu den darüher stehenden der oberen
Reihe. So erhält man aus:
\begin{align*}
  s & = a + (a+d) + (a+2d) + \ldots + (z-d) + z \\
  \text{und }  s & = z + (z-d) + (z-2d) + \ldots + (a+d) + a
\end{align*}
durch Addition:
\begin{equation*}
  2s  =  (a+z) + (a+z) + (a+z) + \ldots + (a+z)
\end{equation*}
Da die Summe $a+z$ rechts $n$ mal erscheint, so ergiebt sich:
\begin{equation*}
  2 \cdot s  =  n (a+z)
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
   s  =  \frac{n}{2} (a+z)
\end{equation*}
wodurch Formel II bewiesen ist. Formel III ergiebt sich
aus I und n durch Elimination von $z$.

Zwischen den fünf Zahlen $a, d, n, z, s$ bestehen zwei
von einander unabhängige Gleichungen. Daher müssen drei
von ihnen bekannt sein, damit sich die andern beiden bestimmen
lassen. Wenn z.~B. nach der Summe der dreiziffrigen
ungeraden Zahlen gefragt ist, so hat man $a = 101$,
$z = 999$, $d = 2$ zu setzen und $s$ als gesucht zu betrachten.
Dann findet man zunächst $n$ aus I, indem $n = \frac{z-a}{d}+1$
ist, nämlich $n = 450$. Die Einsetzung von $n = 450$ in
Formel II liefert $s = \frac{450 \cdot 1100}{2} = 247500$. Jede von den
drei Fonneln I, II, III verknüpft vier von den fünf Buchstaben
$a, n, d, z, s$ mit einander. In jeder Formel fehlt
also einer dieser Buchstaben, nämlich $s$ in I, $d$ in II, $z$ in III.
Durch Elimination erhält man leicht die beiden Formeln, in
denen $n$ bezw. $a$ fehlt. Diese lauten:
\label{p:113}
\begin{align*}
  s & = \frac{(z+a)(z-a+d)}{2d}, \\
  s & = n \cdot z - \frac{1}{2}n(n-1)d.
\end{align*}

In den beiden Fällen, wo $a$, $s$, $d$ und wo $s$, $d$, $z$ gegeben
sind, ist die Bestimmung der beiden noch fehlenden
Zahlen nur durch Auflösung einer Gleichung zweiten Grades
möglich. In allen übrigen Fällen ist die Lösung einer
Gleichung ersten Grades ausreichend, um die unbekannten
Zahlen zu bestimmen.

Wenn bei einer arithmetischen Reihe das erste Glied $a$,
das letzte Glied $z$ und die Anzahl $n$ der Glieder gegeben
ist, so nennt man die Auffindung der übrigen $n-2$ Glieder
``\emph{Interpolation}''. Aus I ergiebt sich, daß die zu interpolierenden
Glieder $a + \frac{z-a}{n-1}$, $a+2\cdot \frac{z-a}{n-1}$, $a+3\cdot \frac{z-a}{n-1}$,
u.~s.~w. sind. Wenn z.~B. zwischen 7 und 22 neun Glieder
interpoliert werden sollen, so ist $n = 11$, $a = 7$, $z = 22$ zu
setzen, so daß sich ergiebt:
\begin{equation*}
  7+\frac{15}{10} = 8\smallfrac{1}{2}
  \text{, ferner } 10, 11\smallfrac{1}{2}
  \text{ u.~s.~w. bis } 20\smallfrac{1}{2}.
\end{equation*}

Wenn $b$ irgend ein Glied einer arithmetischen Reihe
ist, deren konstante Differenz $d$ ist, so ist das vorhergehende
Glied $b-d$, das nachfolgende $b+d$. Da nun
$\frac{(b-d)+(b+d)}{2}=b$ ist, und da man die halbe Summe
zweier Zahlen ihr \emph{arithmetisches Mittel} nennt, so kann
man den Satz aussprechen:

\emph{Jedes Glied einer arithmetischen Reihe ist
arithmetisches Mittel der beiden ihm benachbarten
Glieder.}

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:19}.}

\begin{exercise}

\exercisegoal{Berechne die beiden nicht gegebenen der fünf
Zablen $a$, $d$, $n$, $z$, $s$, wenn gegeben sind:}

\item $a=7$, $d=3$, $n=10$;
\item $a=9$, $s=450$, $n=10$;

\item $s=1000$, $n=20$, $d=4$;
\item $a=3\smallfrac{1}{2}$, $n=27$, $d=\frac{1}{4}$;

\label{p:114}
\item $a=-4$, $n=101$, $z=696$;

\item $d=-5$, $a=100$, $z=10$;

\item $s=-220\smallfrac{1}{2}$, $a=-8$, $z=-13$;

\item $s=999$, $a=7$, $z=30$.

\separator

\item Wie groß ist die Summe aller ganzen Zahlen von
1 bis $z$?

\item Bei einem Dominospiel, dessen Steine von Null-Null
bis Sechs-Sechs gehen, ist jede Zahl achtmal vorhanden.
Wie groß ist daher die Summe aller Augen?

\item Wie groß ist die Summe aller zweiziffrigen Zahlen,
die, durch drei geteilt, den Rest eins lassen?

\item In einem Bergwerks-Schachte ist an der Erdoberfläche
eine jährliche Durchschnitts-Temperatur von 8°. Bei
einem Herabgehen um je 12 Meter Tiefe steigt die Temperatur
um 1°. Wie groß ist sie bei 400 Meter Tiefe?

\item Zwischen 4 und 5 neun Glieder zu interpolieren.

\item Zwischen 12 und 15 sind 7 Glieder interpoliert.
Wie groß ist die Summe aller neun Glieder, 12 und 15
mitgerechnet?

\item Die Summe des vierten und fünften Gliedes einer
arithmetischen Reihe beträgt 29, die des sechsten und
siebenten Gliedes 41. Wie groß ist das achte Glied?

\item Von der obersten his zur untersten Dachhälfte sind
11 parallele Ziegelstein-Reihen. Jede folgende Reihe hat
immer zwei Steine mehr, als die unmittelbar darüher befindliche
Reihe. Im ganzen hat die Dachhälfte 253 Ziegelsteine.
Wieviel hat die oberste und wieviel die unterste Kante?

\item Ein Diener bekam im ersten Jahre 250 Mark Lohn
und in jedem Jahre eine Zulage von 20 Mark. Da er nun
20 Jahre im Dienst blieb, hat er im ganzen 8800 Mark
Lohn erhalten. Beweise es.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Proportionen.}\label{ch:20}

Aus $a:b = c:d$ folgt:
\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)   & $a \cdot d = b \cdot c$ oder $d = b \cdot c : a$, $c = a \cdot d : b$ etc. \\
    II)  & $a : c = b : d$ oder $b : a = d : c$, $b : d = a : c$ etc. \\
    III) & $(ma) : (mb) = c : d$ oder $(ma) : b = (mc) : d$ etc. \\
\label{p:115}
    IV)  & $(a\pm b):(c\pm d) = a:c$ oder $(a\pm c):(b \pm d)=a:b$ etc. \\
    V)   & $(a+b):(a-b) = (c+d):(c-d)$;\\
    VI)  & $(pa+qb):(va+wb) = (pc+qd):(vc+wd)$.
  \end{tabular}
\end{center}

Den Quotienten zweier Zahlen nennt man auch ihr
\emph{Verhältnis} und die Gleichsetzung zweier Verhältnisse
eine \emph{Proportion}. Die allgemeine Form jeder Proportion
ist also:
\begin{equation*}
  a : b = c : d,
\end{equation*}
gelesen: ``$a$ verhält sich zu $b$ wie $c$ zu $d$''. Es heißen
dann $a$ und $b$ \emph{Vorderglieder}, $c$ und $d$ \emph{Hinterglieder},
$a$ und $c$, sowie $b$ und $d$ \emph{homologe} Glieder, $a$ und $d$
\emph{äußere} Glieder, $b$ und $c$ \emph{innere} Glieder. Das vierte
Glied heißt``\emph{vierte Proportionale}'' der drei andern.
So ist in $5:3=20:12$ die Zahl 12 die vierte Proportionale
zu 5, 3 und 20.

Wenn man $a:b=c:d$ beiderseits mit $b\cdot d$ multipliziert,
so erhält man:
\begin{equation*}
    a \cdot d = b \cdot c,
\end{equation*}
d.~h. in Worten: \emph{Bei jeder Proportion ist das Produkt
der äußeren Glieder gleich dem Produkte der
inneren Glieder}. Umgekehrt kann man aus jeder Gleichheit
zweier Produkte auf achtfache Weise eine Proportion
erschließen, indem man nämlich die Faktoren des einen
Produkts zu inneren, die des anderen zu äußeren Gliedern
macht. Wenn z.~B. die Gleichheit $14 \cdot 5 = 7 \cdot 10$ vorliegt,
so folgen daraus die acht Proportionen:
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    14  : \*7 &= 10  : \*5; \\
    \*5 : \*7 &= 10  :  14; \\
    \*7 : 14  &= \*5 :  10; \\
    10  : 14  &= \*5 : \*7;
  \end{aligned}\quad
  \begin{aligned}
    14  :  10 &= \*7 : \*5; \\
    \*5 :  10 &= \*7 :  14; \\
    \*7 : \*5 &=  14 :  10; \\
    10  : \*5 &=  14 : \*7.
  \end{aligned}
\end{equation*}

Die Gleichsetzung des Produkts der inneren Glieder
mit dem Produkt der äußeren Glieder läßt auch aus drei
bekannten Gliedern einer Proportion das vierte unbekannte
Glied finden. Es folgt z.~B. aus:
\begin{equation*}
  9:21 = 24:x, \text{ daß } x = 21 \cdot 24 : 9 = 56
\end{equation*}
ist.

\separator

\label{p:116}
Da aus $a\cdot d = b\cdot c$ auch $(ma)\cdot d = (mb)\cdot c$ oder
$(ma)\cdot d = b\cdot (mc)$ u.~s.~w. folgt, so ergiebt sich, daß bei
einer Proportion zwei Vorderglieder oder zwei Hinterglieder
oder zwei homologe Glieder mit derselben Zahl $m$ multipliziert
oder dividiert werden dürfen.

Bei einer Proportion dürfen die beiden Vorderglieder
oder die beiden Hinterglieder auch \emph{gleichbenannte} Zahlen
sein, ja es kann auch die Benennung der Vorderglieder
eine andere sein, als die der Hinterglieder, z.~B.:
\begin{equation*}
  20 \text{ kg}: 36 \text{ kg} = 35 \text{ M.}: 63 \text{ M.}
\end{equation*}

\separator

Aus $a:b=c:d$ folgt auch, daß das Verhältnis $a:c$
mit dem Verhältnis $b:d$ übereinstimmen muß. Wenn man
nun den Wert dieses Verhältnisses $\alpha$ nennt, so hat man
$a:c=\alpha$ und $b:d=\alpha$, woraus $a=\alpha\cdot c$ und $b=\alpha\cdot d$
folgt. Wenn man dann die erste dieser beiden Gleichungen
mit $p$, die zweite mit $q$ multipliziert, so erhält man durch
Addition:
\begin{equation*}
    pa + qb = \alpha ( pc + qd ).
\end{equation*}

Wenn man ebenso mit $v$ statt mit $p$ und mit $w$ statt
mit $q$ multipliziert, erhält man:
\begin{equation*}
    va + wb = \alpha ( vc + wd ).
\end{equation*}

Durch Division der beiden abgeleiteten Gleichungen
erhält man die Formel VI der Überschrift. Indem man den
Buchstaben $p$, $q$, $v$, $w$ besondere Werte, wie $+1$, $-1$,
0 erteilt, erhält man die in IV und V genannten Formeln
als Spezialfälle. Ist z.~B. $p=1$, $q=1$, $v=1$, $w=0$,
erhält man $(a+b):a = (c+d):c$, woraus durch Vertauschung
der inneren Glieder folgt: $(a+b):(c+d)=a:c$.

\separator

Wenn die mittleren Glieder einer Proportion gleich
sind, so nennt man dieselbe \emph{stetig}, z.~B. $4:8 = 8:16$.
Das letzte Glied, hier 16, heißt dann die \emph{dritte
Proportionale} der beiden andern Glieder, und das mittlere Glied,
hier 8, die \emph{mittlere Proportionale} oder das
\emph{geometrische Mittel} der beiden andern. So ist 6 das
geometrische Mittel zu 4 und 9, weil $4:6 = 6:9$ ist. Im
Gegensatz zum geometrischen Mittel steht das arithmetische
\label{p:117}
Mittel. Das letztere hat seinen Ursprung in der \emph{arithmetischen
Proportion}. So nannte man früher die
Gleichsetzung zweier \emph{Differenzen}, z.~B. $4-6 = 6-8$.
Wenn bei einer arithmetischen Proportion die mittleren Glieder
gleich sind, so ist jedes die halbe Summe der beiden
äußeren. Denn aus $a-b = b-c$ folgt $a+c = 2\cdot b$
oder $b = \frac{1}{2} (a+c)$. Daher nennt man die halbe Summe
zweier Zahlen ihr \emph{arithmetisches} Mittel. Das
\emph{geometrische} Mittel zweier Zahlen $a$ und $c$ ist dagegen die
Zahl, die man mit sich selbst multiplizieren muß, um das
Produkt $a\cdot c$ zu erhalten. Ein drittes Mittel zu $a$ und $c$ ist
das \emph{harmonische} Mittel, das gleich $2ac : (a+c)$ ist.
Nennt man dasselbe $h$, so ergiebt sich:
\begin{equation*}
  \frac{1}{h} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{c} \right),
\end{equation*}
d.~h. in Worten: \emph{Das arithmetische Mittel der reziproken
Werte von $a$ und $c$ ist der reziproke Wert
des harmonischen Mittels zu $a$ und $c$}.

Wenn man das arithmetische Mittel $m$, das geometrische
$g$, das harmonische $h$ nennt, so kann man $m\cdot h = g\cdot g$
setzen.  Denn $m\cdot h = \frac{2ac}{a+c} \cdot \frac{a+c}{2} = a \cdot c$, andrerseits
$g\cdot g = a\cdot c$. \emph{Das geometrische Mittel irgend zweier
Zahlen ist also auch geometrisches Mittel zwischen
ihrem harmonischen und ihrem arithmetischen Mittel.}

Wenn $a:a' = b:b' = c:c' = d:d'$ u.~s.~w. ist, so faßt
man diese Gleichsetzung mehrerer Verhältnisse in eine einzige
Gleichung in folgender Weise zusammen:
\begin{equation*}
  a:b:c:d: \ldots = a':b':c':d': \ldots ,
\end{equation*}
und nennt das so abgekürzte Gleichungssystem eine \emph{laufende}
Proportion. Viele Eigenschaften der gewöhnlichen Proportionen
lassen sich auf laufende übertragen. So kann
aus $a:b:c = a':b':c'$ geschlossen werden, daß auch
\begin{equation*}
  (ma):(nb):(pc) = (ma'): (nb'): (pc')
\end{equation*}
ist, oder daß:
\begin{equation*}
  (a + b + c) : (a' + b' + c') = a:a' = b:b' = c:c'
\end{equation*}
\label{p:118}
ist, eine Beziehung, die man in der \emph{Gesellschaftsrechnung}
und \emph{Teilungsrechnung} anwendet.

Proportionen \emph{zusammensetzen} heißt, eine neue
Proportion bilden, deren Glieder die Produkte der entsprechenden
Glieder der ursprünglichen Proportionen sind.
Die aus $a : b = c : d$ und $a' : b' = c' : d'$ zusammengesetzte
Proportion lautet also: $(a a') : (b b') = (c c') : (d d')$. Beim
Zusammensetzen der Proportionen pflegt man gemeinsame
Faktoren zweier Verhältnis-Glieder von vornherein zu heben,
z.~B.:

1) $\left\{
  \begin{aligned}
    \*3 : \*5 &= \*4 : x \\
    10  :  21 &= \*9 : y \\
    \hline
  \end{aligned}
\right.$ \\
ergiebt: $\*2 : 21 = 36 : (xy)$

2) $\left\{
  \begin{aligned}
    a : b &= 3 : 4 \\
    b : c &= 5 : 6 \\
    c : d &= 7 : 8 \\
    \hline
  \end{aligned}
\right.$ \\
ergiebt: $a : d = (3 \cdot 5\cdot 7): (4\cdot 6\cdot 8)
= (5\cdot 7): (4\cdot 2\cdot 8) = 35: 64.$

\separator

\emph{Direkt proportional} nennt man zwei Dinge, wenn
eine Vervielfachung des einen eine Vervielfachung des andern
mit einem und demselben Faktor herbeiführt. So sind
direkt proportional: Weg und Zeit bei gleicher Geschwindigkeit,
Gewicht und Preis einer Ware. \emph{Indirekt proportional}
heißen dagegen zwei Dinge, wenn eine Vervielfachung
des einen eine Teilung des andern in der Weise
herbeiführt, daß der Divisor gleich dem Multiplikator wird.
So sind indirekt proportional: Geschwindigkeit und Zeit
bei gleichem Wege, Konsumentenzahl und Verbrauchszeit
bei gleichem Vorrat, Spannung eines elektrischen Stroms
und Stromstärke bei gleichem Effekt.

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:20}.}

\begin{exercise}

\exercisegoal{Welche Produkt-Gleichheit folgt aus:}

\item $4 : 18 = 32 : 144$;

\item $7\smallfrac{1}{2} = 9 : 6$ ?

\exercisegoal{Welche 7 Proportionen sagen dasselbe aus wie:}

\item $16 : 7 = 4 : 1\smallfrac{3}{4}$?;

\item $5 : 22 = 25 : 110$;

\item $(-9) : (-21) = 21 : 49$;

\item $8\smallfrac{1}{3} : 2\smallfrac{1}{2} = 70 : 21$.

\label{p:119}
\exercisegoal{Aus den folgenden Produkten--Gleichheiten
sollen je acht Proportionen gebildet werden}:

\item $20 \cdot 25 = 125 \cdot 4$;

\item $(3\smallfrac{1}{2}) \cdot (2\smallfrac{1}{7}) = 30 \cdot \frac{1}{4}$.

\exercisegoal{Berechne das unbekannte Glied $x$ aus den
Proportionen}:

\item $4 : 42 = 6 : x$;

\item $70 : x = 63 : 9$;

\item $4 : 5 = x : 75$;

\item $x : 39 = \frac{7}{3} : 117$;

\item $\frac{7}{2} : 12\smallfrac{3}{5} = 1\smallfrac{2}{3} : x$;

\item $5\smallfrac{2}{3} : x = 4\smallfrac{1}{4} : 3$;

\item $5 a : b = 15 c : x$;

\item $\frac{4a}{3b} : x = \frac{8ac}{9bd} : \frac{3c}{2d}$;

\item $(a^2-b^2) : (a + b) = x : l$;

\item $(-5a) : (-a^2 - 2ab - b^2) = x : (a+b)$.

\exercisegoal{Berechne das $x$ enthaltende Glied und dann
$x$ selbst}:

\item $(x-5) : 7 = 9 :21$;

\item $( 4 x - 3 ) : 9\smallfrac{1}{2} = \frac{5}{19} : 2\smallfrac{1}{2}$;

\item $\frac{8}{7x-1} = \frac{72}{99}$;

\item $5\smallfrac{1}{3} : 3\smallfrac{1}{5} = 15 : ( 5 x - 11 )$;

\item $\frac{a-b}{5} : \frac{1}{5}
= \left( \frac{a^2}{b}-\frac{b^2}{a} \right) : \frac{a^2+ab+b^2}{abx}$.

\exercisegoal{Die folgenden Verhältnisse sollen durch möglichst
kleine ganze Zahlen ausgedrückt werden}:

\item $728 : 273$;

\item $5\smallfrac{1}{4} : 1\smallfrac{8}{13}$;

\item $\frac{7}{8} : \frac{8}{7}$;

\item $1: \frac{13}{5}$;

\item $4\smallfrac{3}{4} : ( -2\smallfrac{3}{8} )$;

\item $( -5\smallfrac{1}{5} ) : ( -15\smallfrac{1}{6} )$.

\exercisegoal{Die Glieder der folgenden Proportionen sollen
möglichst kleine ganze Zahlen werden, ohne daß
das Glied a geändert wird}:

\item $96 : 112 = a : 14$;

\item $a : 84 = 5 : 175$;

\item $3\smallfrac{1}{7} : a = 5\smallfrac{1}{2} : 7$;

\item $2\smallfrac{2}{3} : 72 = 1\smallfrac{1}{9} : a$.

\exercisegoal{Wie heißt die vierte Proportionale zu}:

\item $4, 5, 8$;

\item $13, 14, 15$;

\item $5\smallfrac{1}{3}, 8, 9$?

\label{p:120}
\exercisegoal{Bilde zwei stetige Proportionen aus:}

\item $b^2 = c \cdot d$;
\item $x^2 = 4 \cdot 81$;
\item $(a+b)(a-b) = c^2$.

\item 18 ist das geometrische Mittel zu 6 und einer
zweiten Zahl. Wie heißt dann das arithmetische und wie
das harmonische Mittel?

\exercisegoal{Aus $a : b = c : d$ folgt $(a+b) : (a-b)=(c+d) : (c-d)$.
Wende diese Ableitung bei den folgenden Proportionen
an:}

\item $7 : 3 = 28 : 12$;
\item $270 : 63 = 390 : 91$.

\exercisegoal{Suche die vierte Proportionale zu:}

\item 8~m, 18~m, 12~M;
\item 100~M, $p$~M, $c$~M;

\item 5~hl, 7~hl, $5a$~Pf.;
\item 9 Amp\`ere, 21 Amp\`ere,
63 Volt.

\exercisegoal{Die folgenden Proportionen zusammensetzen
und dabei möglichst heben:}

\item $\left\{
 \begin{aligned}
  \*4 : \*5 &= x : 21           \\
  10  :  16 &= 7 : \frac{56}{5}
 \end{aligned}
\right.$;
%
\item $\left\{
 \begin{aligned}
  a : b &= 5 : \*9 \\
  b : c &= 3 : 25
 \end{aligned}
\right.$;

\item $\left\{
 \begin{aligned}
  a : b &= 2 : 3 \\
  b : c &= 3 : 4 \\
  c : d &= 4 : 5
 \end{aligned}
\right.$;
%
\item $\left\{
 \begin{aligned}
  p : q &= \*7 : \*9 \\
  q : r &= 13  : 14 \\
  r : s &= 18  : 65
 \end{aligned}
\right.$.

\exercisegoal{Bestimme die mit $a : b : c$ beginnende und dann
möglichst kleine ganze Zahlen enthaltende laufende
Proportion aus:}

\item $\left\{
 \begin{aligned}
  a : b &= 4 : 7 \\
  b : c &= 7 : 9
 \end{aligned}
\right.$;
%
\item $\left\{
 \begin{aligned}
  a : b &= 5 : 6 \\
  b : c &= 7 : 9
 \end{aligned}
\right.$;
%
\item $\left\{
 \begin{aligned}
  a : c &= 3 : 8 \\
  a : b &= 5 : 6
 \end{aligned}
\right.$;

\item $\left\{
 \begin{aligned}
  a : b &= \*5 : \*8            \\
  b : c &= \*8 : \*3\smallfrac{1}{3} \\
  c : d &=  10 :  11
 \end{aligned}
\right.$;
%
\item $\left\{
 \begin{aligned}
  a : c &= \*9 : 10 \\
  a : d &=  18 : 11 \\
  b : d &= \*7 : 22
 \end{aligned}
\right.$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Eigenschaften der natürlichen Zahlen.}\label{ch:21}

Unter ``Zahl'' soll hier immer eine Zahl im Sinne des
§~\ref{ch:4} verstanden werden. Jede Zahl, die nur 1 und sich
selbst zu Teilern hat, heisst \emph{Primzahl}, z.~B. 11, 13, 17,
\label{p:121}
19, 83. Jede Zahl, die noch außerdem Teiler hat, heißt
\emph{zusammengesetzt}, z.~B. 12, 15,16, 91. Wenn man fortgesetzt durch solche Teiler dividiert, so werden die
Quotienten immer kleiner, und es muß schließlich eine
Primzahl erscheinen. Deshalb ist jede zusammengesetzte
Zahl als Produkt von Primzahlen darstellbar. Wenn man
diese Primzahlen nach ihrer Größe ordnet und gleiche
\emph{Primfaktoren} durch Exponenten zusammenfaßt, so heißt
die zusammengesetzte Zahl ``\emph{in ihre Primfaktoren
zerlegt},'' z.~B.:
\begin{gather*}
   24 = 2^3 \cdot 3^1;
   75 = 3^1 \cdot 5^2;
  384 = 2^7 \cdot 3^1;\\
 1800 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2;
 1898 = 2^1 \cdot 13^1 \cdot 73^1.
\end{gather*}
Wenn man in der natürlichen Zahlenreihe vorwärts geht,
so stößt man, wenn auch allmählich seltener, immer wieder
auf Primzahlen, sodaß \emph{keine Primzahl denkbar ist, zu
welcher nicht eine noch größere gefunden werden
kann}. Denn, wenn $a$ die größte aller Primzablen wäre,
so müßte das Produkt $2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 \cdots a$ aller existierenden
Primzahlen durch jede existierende Primzahl teilbar sein.
Deßhalb müßte die auf dieses Produkt folgende Zahl den
Rest 1 lassen, sobald man sie durch irgend eine existierende
Primzahl dividiert, also selbst eine Primzahl sein, was der
Annahme, daß $a$ die größte Primzahl ist, widerspricht.

Die Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren fübrt
auch zu sämtlichen \emph{Teilern} der Zahl, wie aus folgenden
Beispielen ersichtlich ist:

1) $60 = 2^2 \cdot 3\cdot 5$, daher sind Teiler:
\begin{gather*}
  1 , 2, 2^2; 3, 3\cdot 2, 3\cdot 2^2; \\
  5, 5\cdot 2, 5\cdot 2^2; 3\cdot 5, 3\cdot 5\cdot 2, 3\cdot 5\cdot 2^2;
\end{gather*}

2) $288 = 2^5\cdot 3^2$, daher sind Teiler:
\begin{gather*}
  1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5; \\
  3, 3\cdot 2, 3\cdot 2^2, 3\cdot 2^3, 3\cdot 2^4, 3\cdot 2^5; \\
  3^2, 3^2\cdot 2, 3^2\cdot 2^2, 3^2\cdot 2^3, 3^2\cdot 2^4,
  3^2\cdot 2^5.
\end{gather*}

Auch die Summe aller Teiler findet man aus der Zerlegung
einer Zahl, wie aus folgendem ersichtlich ist:

1) $60 = 2^2\cdot 3\cdot 5$, daher \emph{Teilersumme} von 60 gleich:
\begin{equation*}
  (1 + 2 + 2^2) (1 + 3) (1 + 5) = 7 \cdot 4 \cdot 6 = \textbf{168};
\end{equation*}

\label{p:122}
2) $288 = 2^5\cdot 3^2$, daher Teilersumme von 288 gleich:
\begin{equation*}
  (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5) (1 + 3 + 3^2)
    = 63 \cdot 13 = \textbf{819} .
\end{equation*}
Hierbei ist immer 1 und die Zahl selbst als Teiler mitgerechnet.

Wenn die Teilersumme einer Zahl doppelt so groß ist
wie sie selbst, so heißt die Zahl \emph{vollkommen}. Alle
geraden vollkommenen Zahlen ergeben sieh aus
\begin{equation*}
  2^{a-1} \cdot ( 2^a - 1 ),
\end{equation*}
wo $2^a - 1$ Primzahl ist. Für $a = 2$ ergiebt sich 6, für
$a = 3$ ergiebt sich 28. Für $a = 4$ ist $2^a - 1$ keine Primzahl.
Für $a = 5$ erhält man $16 \cdot 31 = 496$, u.~s.~w.

\separator

Wenn die Zahl $a$ bei der Division durch $t$ den
Quotienten $q$ und den Rest $r$ ergiebt (vgl. §~\ref{ch:14}), so ist:
\begin{equation*}
    a = t \cdot q + r.
\end{equation*}

Man nennt dann $a$ in der Form $t \cdot q + r$ dargestellt.
\emph{Gerade} Zahlen, d.~h. solche, die durch 2 teilbar sind,
haben die Form $2\cdot n$, ungerade Zahlen, d.~h. solche, die
nicht durch 2 teilbar sind, haben die Form $2\cdot n + 1$.

\emph{Daß gleiche Zahlen bei der Division durch
denselben Teiler $t$ auch gleiche Reste lassen}, läßt
sich auf folgende Weise einsehen. Die beiden gleichen
Zahlen mögen bei der Teilung durch $t$ die Quotienten $q$ und
$q'$ sowie die Reste $r$ und $r'$ ergeben. Dann ist also:
\begin{equation*}
  t\cdot q + r = t\cdot q' + r'
\end{equation*}
oder $r-r' = t\cdot (q'-q)$, woraus folgt, daß $r-r'$ durch
$t$ teilbar ist. Nun sind aber $r$ und $r'$ beide kleiner als $t$,
also auch ihre Differenz. Die einzige Zahl, die kleiner als
$t$ und durch $t$ teilbar ist, ist aber Null. Also ist $r-r' = 0$,
d.~h. $r = r'$.

\separator

Wenn Zahlen außer 1 keinen Teiler gemeinsam haben,
so heißen sie \emph{teilerfremd}, z.~B. 15 und 16. Wenn Zahlen
nicht teilerfremd sind, so entsteht die Aufgabe, ihren \emph{größten
gemeinsamen Teiler} zu finden. Dies geschieht dadurch,
daß man die Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt, und dann
ein Produkt bildet, das jeden Primfaktor so oft enthält,
wie er da steht, wo er am \emph{seltensten} vorkommt. Z.~B.:
\label{p:123}
\begin{equation*}
  \left\{
    \begin{aligned}
      800 &= 2^5 \cdot 5^2        \\
      560 &= 2^4 \cdot 5 \cdot  7 \\
      440 &= 2^3 \cdot 5 \cdot 11
    \end{aligned}
  \right\}
\end{equation*}
Der größte gemeinsame Teiler muß die
2 dreimal, die 5 einmal, die 7 und die
11 gar nicht enthalten, er ist also gleich:
\begin{equation*}
  2^3 \cdot 5 = \mathbf{40}.
\end{equation*}

Um das \emph{kleinste gemeinsame Vielfache} zu finden,
d.~h. um die kleinste Zahl zu finden, von welcher alle gegebenen
Zahlen Teiler sind, muß man ein Produkt bilden,
das jeden Teiler so oft enthält, wie er da steht, wo er am
\emph{häufigsten} vorkommt. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \left\{
    \begin{aligned}
      800 &= 2^5 \cdot 5^2        \\
      560 &= 2^4 \cdot 5 \cdot  7 \\
      440 &= 2^3 \cdot 5 \cdot 11
    \end{aligned}
  \right\}
\end{equation*}
Das kleinste gemeinsame Vielfache muß
die 2 fünfmal, die 5 zweimal, die 7 einmal,
die 11 einmal enthalten, ist also gleich:
\begin{equation*}
  2^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 = \mathbf{61\,600}.
\end{equation*}
Die Aufgabe, das kleinste gemeinsame Vielfache zu
finden, muß namentlich bei der Addition und Subtraktion
von Brüchen mit verschiedenen Nennern gelöst werden.

\separator

Wenn bei einer Division $a$ der Dividendus, $t$ der Divisor,
$r$ der Rest ist, also $r < t$ ist, und wenn $q$ der dabei auftretende
ganzzahlige Quotient ist, so besteht die schon
oben benutzte Beziehung
\begin{equation*}
   a = q \cdot t + r
\end{equation*}
zwischen den eingeführten vier Zahlen. Wenn man diese
Gleichung durch $m$ dividiert, erhält man:
\begin{equation*}
    \frac{a}{m} = q \cdot \frac{t}{m} + \frac{r}{m}.
\end{equation*}

Hieraus erkennt man erstens, daß $\frac{a}{m}$ ganzzahlig ist, sobald
es $\frac{t}{m}$ und $\frac{r}{m}$ sind, zweitens $\frac{r}{m}$ ganzzahlig ist, sobald
es $\frac{a}{m}$ und $\frac{t}{m}$ ist. Also in Worten:

1) Wenn Divisor und Rest einen gemeinsamen Teiler
haben, so hat ihn auch der Dividendus.

2) Wenn Divisor und Dividendus einen gemeinsamen
Teiler haben, so hat ihn auch der Rest.

\label{p:124}
Mit Hilfe dieser Sätze erkennt man die Richtigkeit des
im Rechen-Unterricht gelehrten Verfahrens, um den größten
gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden, ohne dieselben
in Primfaktoren zu zerlegen. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \begin{array}{c@{\:}c@{\:}c@{\:}c@{\:}c@{\:}c@{\:}c@{\:}c@{\:}c}
    1161 & | &     16856 \rlap{ = 14} \\
    &&  \underline{1161\*} \\
    &&            \*5246 \\
    && \underline{\*4644} \\
    &&             \*602 &|&  1161 \rlap{ = 1} \\
    &&         && \underline{\*602} \\
    &&         &&            \*559 &|& 602 \rlap{ =1}\\
    &&         &&        && \underline{559} \\
    &&         &&        &&           \*43 &|& 559 \rlap{ = 13}\\
    &&         &&        &&      && \underline{43\*} \\
    &&         &&        &&      &&            129 \\
    &&         &&        &&      && \underline{129} \\
    &&         &&        &&      &&          \*\*0
  \end{array}
\end{equation*}

Daher ist 43 als letzter Divisor der größte gemeinsame
Teiler von 1161 und 16856.


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:21}.}

\begin{exercise}

\exercisegoal{Zerlege in Primfaktoren}:

\item 648;
\item 5000;
\item 7700;
\item 3072;
\item 1899;
\item 7168.

\exercisegoal{Welche Teiler hat}:

\item 60;
\item 240;
\item 154;
\item 1750;
\item 3072;
\item 999?

\exercisegoal{Wieviel Teiler hat}:

\item 10000;
\item $5\cdot 7^3\cdot 13^2$;
\item $2^{10}\cdot 3^4$;
\item $2^3\cdot 3^4\cdot 5^5\cdot 19^2$?

\exercisegoal{Berechne die Teilersumme von}:

\item 72;
\item 496;
\item 5000;
\item 1331;
\item 28000.

\exercisegoal{Schreibe in der Form $4n + r$, wo $r < 4$ ist, die
Zahlen}:

\item 23;
\item 73;
\item 701;
\item 462;
\item 999.

\exercisegoal{Bestimme den größten gemeinsamen Teiler
der folgenden Zahlengruppen durch Faktoren-Zerlegung}:
\label{p:125}
\item 243, 108;
\item 44, 121, 1100;
\item 384, 1024, 640;

\item 147, 245, 4900, 19600;
\item 500, 375, 1250, 1000.

\exercisegoal{Verfahre ebenso bei den folgenden Gruppen
von Ausdrücken:}

\item $p^2-q^2$, $p^2-2pq + q^2$;
\item $a^5 + b^5$, $a^3 + b^3$;

\item $a^3-b^3$, $a^4-b^4$, $a^5-b^5$;
\item $a^2-2ab + b^2-c^2$,
$a^2-ab+ac$.

\exercisegoal{Bestimme durch Faktoren-Zerlegung das
kleinste gemeinsame Vielfache zu:}

\item 14, 21, 210;
\item 125, 400, 300;
\item 7, 8, 9, 10 ,12;

\item $a^2-1$, $a^2+2a + 1$, $a^2-2a + 1$, $a^2+1$.

\exercisegoal{Berechne durch das Divisions-Verfahren die
größte Zahl, durch welche sich die folgenden
Brüche heben lassen:}

\item $\frac{2352}{6125}$;
\item $\frac{1296}{2835}$;
\item $\frac{a^3+8b^3}{a^5+32b^5}$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Zahl-Darstellung.}\label{ch:22}

Fast alle Sprachen stellen die Zahlen in \emph{Worten} nach
dem folgenden Schema dar:
\begin{equation*}
  a_0 + a_1 \cdot b + a_2 \cdot b^2 + a_3 \cdot b^3 + \cdots,
\end{equation*}
wo $a_0, a_1, a_2, a_3, \dots$ die Zahlwörter für die Zahlen sind,
die kleiner als $b$ sind. Dabei werden die Potenzen von $b$
in der Reihenfolge von den größeren Exponenten zu den
kleineren hin genannt. In den meisten Sprachen ist $b$, die
\emph{Basis} des Zahlwort-Systems, gleich zehn, weil der Mensch
zehn Finger hat. Daneben treten auch zwanzig und fünf
als Basis auf, selten noch andere Zahlen. Die Potenzen
der Basis heißen Stufenzahlen. Im Deutschen heißen die
Stufenzahlen der Reihe nach: zehn, hundert, tausend, zehntausend,
hunderttausend, millionen, zehnmillionen u.~s.~w.
Für $b^6$ sagt man millionen, für $b^{12}$ billionen, für $b^{18}$
trillionen u.~s.~w.

Ausser der Addition und Multiplikation tritt, obwohl
seltener, auch die Subtraktion bei der Bildung der Zahlwörter
\label{p:126}
auf, z.~B. duodeviginti gleich ``zwei von zwanzig'',
also achtzehn.

Die Kulturvölker alter und neuer Zeiten haben außer
ihrem Zahl\emph{wort}-System auch ein Zahl\emph{zeichen}-System
ausgebildet.

Das römische Zahlzeichen-System ist rein \emph{additiv},
besteht aus natürlichen Zahlzeichen, bei denen je fünf, je
zehn, je fünfzig, je hundert u.~s.~w. durch kurze Zeichen
zusammengefafst sind. Z.~B.:
\begin{center}
  MDCCCLXXXXVIII\:=\:1898.
\end{center}

Die subtraktive Schreibweise IV für IIII, XC für
LXXXX ist nicht alt-römisch.

Das ursprüngliche chinesische Zahlzeichen-System ist
\emph{multiplikativ}. Es ist dem Zahl\emph{wort}-System nachgebildet.
Für die Stufenzahlen sind besondere Zeichen da.
Wenn etwa M das Zeichen für tausend, C für hundert, X
für zehn wäre, so würde nach dem multiplikativen System
1898 so geschrieben werden:
\begin{center}
    M 8 C 9 X 8,
\end{center}
d.~h.: Ein Tausender acht Hunderter neun Zehner und acht.
Das jetzt bei allen Kulturvölkern übliche Zahlzeichen-System
beruht auf dem Prinzip des Stellenwerts. In diesem
System bedeutet z.~B. 57038:
\begin{equation*}
    8 + 3 \cdot b + 0 \cdot b^2 + 7 \cdot b^3+ 5 \cdot b^4 \text{, wo $b$ zehn ist.}\\
\end{equation*}

Das Stellenwert-System geht aus dem multiplikativen
System dadurch hervor, daß man die Zeichen für die Stufenzahlen
fortläßt, und das Ausfallen einer Stufenzahl durch
ein besonderes \emph{Vakat-Zeichen}, das Zeichen 0, andeutet.
Die Stellenwertzifferschrift mit der Basis $b$ ermöglicht es,
mit Hilfe eines Zeichens für Null und $b-1$ sonstiger Zahlzeichen
für die natürlichen Zablen von 1 bis $b-1$, jede
noch so große Zahl zu schreiben, während in der additiven
und in der multiplikativen Zifferschrift es nötig ist, für
immer größere Zahlen auch immer mehr Zeichen für die
höheren Stufenzahlen einzuführen.

Das Stellenwert-System mit der Basis Zehn ist von
indischen Brahma-Priestern etwa im vierten Jahrhundert nach
Chr. Geb. erfunden, durch die Araber zu den christlichen
\label{p:127}
Völkern gelangt und am Ausgang des Mittelalters allenthalben
üblich geworden. Im Mittelalter rechnete das Volk in
Europa noch überall in römischer Zifferschrift. Durch die
indisch-arabische Zifferschrift ist alles Rechnen viel bequemer
und übersichtlicher geworden.

\separator

Die Basis der üblichen Stellenwert-Schrift ist, in Übereinstimmung
mit dem Zahlwort-System, zehn. Man kann
jedoch auch jede andere Basis wählen. Wenn man beispielsweise
die Basis sechs wählt und die Zahlen von eins bis
fünf durch die Zeichen 1, 2, 3, 4, 5 bezeichnet, so bedeutet:

1) $\*\*14$ die Zahl sechs und vier, also zehn;

2) $\*\*43$ die Zahl viermal sechs und drei, also siebenundzwanzig;

3) 4025 die Zahl vier mal sechs hoch 3 plus zweimal
         sechs plus fünf, also die Zahl achthundertundeinundachtzig.

\separator

Auf der Stellenwert-Schrift mit der Basis zehn beruhen
die im Rechnen gelehrten \emph{Restregeln} und \emph{Teilbarkeitsregeln}.
Um dieselben abzuleiten, bezeichnen wir die Einer
einer Zahl $N$ mit $n_0$, die Zehner mit $n_1$ die Hunderter
mit $n_2$, die Tausender mit $n_3$ u.~s.~w., so daß:
\begin{equation*}
  N = n_0 + 10^1 \cdot n_1 + 10^2 \cdot n_2 + 10^3 \cdot n_3 + \dots
\end{equation*}

Da nun 10 durch 2, also $10^2$ durch $2^2$, $10^3$ durch $2^3$
u.~s.~w. teilbar ist, so ergiebt sich nach dem in §~\ref{ch:21} abgeleiteten
Satze von den gleichen Resten die folgende

\textbf{Restregel für $\mathbf{2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, \dots}$}: \emph{Eine Zahl
läßt, durch 2 dividiert, denselben Rest wie ihre
letzte Ziffer, durch 4 dividiert, denselben Rest,
wie die aus den beiden letzten Ziffern bestehende
Zahl, und überhaupt, durch $2^n$ dividiert, denselben
Rest wie die aus den $n$ lezten Ziffern bestehende
Zahl.}

Da 10 auch durch 5, also $10^n$ durch $5^n$ teilbar ist, so
lautet analog die Restregel für die Potenzen von fünf,
nämlich:

\textbf{Restregel für $\mathbf{5, 5^2 = 25, 5^8 = 125, \dots}$}: \emph{Eine Zahl
läßt, durch 5 dividiert, denselben Rest wie ihre
\label{p:128}
letzte Ziffer, durch 25 dividiert, denselben Rest, wie
die aus den beiden letzten Ziffern bestehende Zahl,
und überhaupt, durch $5^n$ dividiert, denselben Rest,
wie die aus den $n$ letzten Ziffern bestehende Zahl.}

Wenn man $N = n^0 + 10^1 \cdot n_1 + 10^2 \cdot n_2 + \dots$ in der Form:
\begin{gather*}
  N = ( n_0 + n_1 + n_2 + n_3 + \dots ) \\
  + 9 \cdot ( n_1 + 11 \cdot n_2 + 111 \cdot n_3 + \dots )
\end{gather*}
schreibt, so erkennt man die Richtigkeit der folgenden

\textbf{Restregel für 3 und 9}: \emph{Eine Zahl läßt, durch 3,
bezw. 9 dividiert, denselben Rest wie die Summe
ihrer Ziffern (Quersumme).}

Wenn man ferner $N$ in der Form
\begin{gather*}
  N = ( a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots ) \\
  + ( 11 \cdot a_1 + 99 \cdot a_2 + 1001 \cdot a_3 + \dots )
\end{gather*}
schreibt und beachtet, daß $10^2 - 1$, $10^3 + 1$, $10^4 - 1$,
$10^5 + 1$ u.~s.~w. nach den Formeln des §~\ref{ch:15} durch 11
teilbar sind, so erhält man eine Restregel für 11.

Aus den Restregeln ergeben sich die im Rechnen gelehrten
Teilbarkeitsregeln dadurch, daß der Rest gleich null
gesetzt wird.

\separator

Die Restregel für 9 liefert den Rest, der bei der
Teilung durch 9 bleibt, schneller, als wenn man die Division
ausfübrt. Um z.~B. den Neun-Rest der Zahl 3'478251 zu
finden, rechnet man so: $3 + 4 = 7$, $7 + 7 = 14$, $1 + 4 = 5$,
$5 + 8 = 13$, $1 + 3 = 4$, $4 + 2 = 6$, $6 + 5 = 11$, $1 + 1 = 2$,
$2 + 1 = 3$.

Da jede Zahl, die $r$ als Neunrest besitzt, von der Form
$9a + r$ ist, und da $(9a + r) \cdot (9a' + r') = 9 (9aa' + ar'+a'r)
+ rr'$ ist, so erhält man den Satz:

\emph{Das Produkt zweier Zahlen hat denselben Neunrest
wie das Produkt ihrer Neunreste.}

Die Anwendung dieses Satzes heißt Neunerprobe. Z.~B.:
\begin{center}
  \begin{tabular}{r|c|}
    Faktor:  3482 & Neunrest: 8 \\
    Faktor: \*734 & Neunrest: 5 \\
    \hline
    13928 & Produkt: 40 \\
    10446\* & Neunrest: \textbf{4} \\
    \underline{24374\*\*} & \\
    2555788 & Neunrest: 4
  \end{tabular}
\end{center}

\label{p:129}
\section*{Übungen zu §~\ref{ch:22}.}

\begin{exercise}

\item Welche Basis liegt dem Zahlwort quatre-vingts für
achtzig zu Grunde?

\item Die Azteken hatten ein besonderes, nicht aus zwei
und zehn abgeleitetes Zahlwort für zwanzig, bildeten daraus
die Zahlwörter für die Zahlen unter 400, und hatten dann
für 400 wieder ein neues Zahlwort. Welche Basis hatte
also das Zahlwort-System der Azteken?

\item Mehrere Negervölker sagen ``fünfundeins'' für sechs,
fünfundzwei für sieben u.~s.~w. Welche Zahlwort-Basis liegt
hier zu Grunde?

\item Lies die folgende 16-stelligeZahl: $2345''678901'234567$.

\exercisegoal{Schreibe in römischen Zahlzeichen:}

\item 37;
\item 83;
\item 341;
\item 875;
\item 1815.

\exercisegoal{Schreibe in multiplikativer Zifferschrift mit
Benutzung der Zeichen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und
der Zeichen X, C, M für $10^1$, $10^2$, $10^3$:}

\item 27;
\item 84;
\item 576;
\item 203;
\item 2003.

\exercisegoal{Schreibe in üblicher Stellenwert-Schrift:}

\item LXXVUH;
\item CCCXXVIII;
\item 4M5C7X.

\exercisegoal{Wie heißen in dekadischer Stellenwert-Schrift
die folgenden hexadisch (Basis 6) geschriebenen
Zahlen:}

\item 341;
\item 3204;
\item 111004.

\exercisegoal{Schreibe mit Benutzung der Zeichen 0, 1, 2, 3,
4, 5 hexadisch die Zahlen, die in üblicher Zifferschrift
folgendermaßen geschrieben werden:}

\item 748;
\item 4019;
\item 1297;
\item 7782.

\exercisegoal{Schreibe mit Benutzung der Zeichen 0 und 1
dyadisch die folgenden Zahlen:}

\item 15;
\item 64;
\item 403;
\item 1025.

\separator

\exercisegoal{Bestimme, ohne zu dividieren, die Reste, welche
die folgenden Zahlen bei der Division durch 8
lassen:}

\item 7324;
\item 4873;
\item 23807;
\item $3'467915$.

\label{p:130}
\exercisegoal{Ebenso für die folgenden Zahlen bei der Division
durch 25:}

\item 727;
\item 4879;
\item 34513;
\item 778472.

\exercisegoal{Bestimme, ohne zu dividieren, den Neunrest bei:}

\item 4783;
\item 193478;
\item $343'476528$.

\exercisegoal{Bestimme, ohne zu dividieren, den Elferrest bei:}

\item 7819;
\item 2753405;
\item 19241.

\exercisegoal{Welchen Neunrest muß das Resultat der folgenden
Multiplikationen lassen:}

\item 74 mal 503;
\item 843 mal 792;

\item 5 mal 5 mal 5 mal 5;
\item $34l^3$;
\item $2^{20}$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Dezimalbrüche.}\label{ch:23}

Die auf der Basis Zehn beruhende Stellenwert-Zifferschrift
stellt jede natürliche Zahl als Summe von Vielfachen
der Stufenzahlen 1, 10, $10^2$, $10^3$, \dots dar. Setzt man diese
Reihe der Stufenzablen nach rückwärts fort, so gelangt man
zu $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{10^2}$, $\frac{1}{10^3}$, \dots Es liegt daher nahe, auch noch Vielfache
dieser gebrochenen Stufenzahlen zu den natürlichen
Zahlen hinzuzufügen. Dadurch entstehen die \emph{Dezimalbrüche}.
Ein Dezimalbruch entsteht also dadurch, daß
man das Prinzip des Stellenwerts auch nach rückwärts über
$l$ hinaus anwendet. Wenn die Einer $a_0$, die Zehner $a_1$
die Hunderter $a_2$ u.~s.~w., die Zehntel $b_1$, die Hundertel $b_2$
u.~s.~w. heißen, so läßt sich die allgemeine Form eines
Dezimalbruchs folgendermaßen schreiben:
\begin{gather*}
  \ldots + a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10^1 + a_0
  + b_1 : 10^1 \\
  + b_2 : 10^2 + \ldots,
\end{gather*}
wo jeder Koeffizient eine der neun Zahlen von 1 bis 9 ist.
Man schreibt einen Dezimalbruch, indem man die Koeffizienten:
\begin{equation*}
  \ldots a_3,\ a_2,\ a_1,\ a_0,\ b_1,\ b_2,\ b_3, \ldots
\end{equation*}
unmittelbar nebeneinander setzt und die den Koeffizienten
angehörigen Stufenzahlen dadurch kenntlich macht, daß man
hinter $a_0$ ein Komma setzt. Z.~B.:
\label{p:131}
\begin{align*}
  41,74 &= 4 \cdot  10^1 + 1 + 7 : 10^1 + 4 : 10^2; \\
  0,345 &= 3 : 10^1 + 4 : 10^2 + 5 : 10^3; \\
  0,0079 &= 7 : 10^3 + 9 : 10^4; \\
  1,203 &= 1 + 2 : 10^1 + 0 : 10^2 + 3 : 10^3.
\end{align*}

Wenn ein Dezimalbruch kleiner als 1 ist, so setzt
man 0 vor das Komma. Wenn eine Stufenzahl ausfällt,
also der ihr angehörige Koeffizient null ist, so muß derselbe
auch in der abgekürzten Schreibweise durch eine Null
vertreten werden. Eine ganze Zahl kann als Dezimalbruch
aufgefaßt werden, der 0 Zehntel, 0 Hundertel u.~s.~w. enthält.

Die durch einen Dezimalbruch dargestellte Summe kann
immer als Bruch aufgefaßt werden, dessen Nenner mit dem
Nenner des letzten Summanden übereinstimmt, und dessen
Zähler eine ganze Zahl ist, die den Zähler des letzten
Summanden zu Einern hat. Jeder Dezimalbruch ist also
gleich dem Bruche, dessen Zähler der ohne Komma
geschriebene Dezimalbruch ist, und dessen Nenner $10^n$ ist,
wenn $n$ \emph{``Dezimalstellen''} auf das Komma folgen, z.~B.:
\begin{align*}
   41,74   &= \frac{4174}{100};& 0,345 &= \frac{345}{1000}; \\
    0,0079 &= \frac{79}{10000};& 1,203 &= \frac{1203}{1000}.
\end{align*}

\separator

Da die Dezimalbrüche das Prinzip des Stellenwerts befolgen,
so hat das Rechnen mit ihnen dieselben Vorzüge,
wie das Rechnen mit ganzen Zahlen in unsrer Stellenwert-Zifferschrift.
Aus der Erklärung der Dezimalbrüche gehen
die folgenden Regeln für das Rechnen mit ihnen hervor:

1) Ein Dezimalbruch bleibt, seinem Werte nach, ungeändert,
wenn man rechts beliebig viele Nullen anhängt
oder fortläßt; denn dies bedeutet weiter nichts als ein
\emph{Erweitern} bezw. \emph{Heben} des Bruches mit einer Potenz
von zehn;

2) Einen Dezimalbruch multipliziert bezw. dividiert man
mit $10^n$, indem man das Komma um $n$ Stellen nach rechts
bezw. links rückt. Nicht vorhandene Stellen werden dabei
durch Nullen ausgefüllt, z.~B.:
\label{p:132}
\begin{gather*}
  7,38 \cdot 10 = 73,8;\quad 5,9 : 10 = 0,59; \\
  0,0159 \cdot 10^3 = 15,9;\quad 12,405 : 10^4 = 0,0012405.
\end{gather*}

3) Dezimalbrüche \emph{addiert} bezw. \emph{subtrahiert} man,
indem man immer die Stellen gleicher Stufenzahl addiert
oder subtrahiert und aus den Summen bezw. Differenzen
wieder einen Dezimalbruch bildet. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \begin{array}{r @{,} l | r @{,} l}
    \quad 53&42          &\quad 6&534(0)   \\
    0&157\text{ (add.) } &      0&0596 \text{ (subtr.) } \\
    \hline
    53&577               &      6&4744
  \end{array}\
\end{equation*}

4) Zwei Dezimalbrüche \emph{multipliziert} man, indem man
die durch Fortlassung der Kommata entstehenden Zahlen
multipliziert und im Produkte so viele Zahlen von rechts
nach links abschneidet, als beide Dezimalbrüche zusammen
Stellen haben. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \begin{array}{rr c|c rr}
    23,47          &\quad&\ &\ &  0,0034 &\quad   \\
    4,16          &     &  &  &    13,7   \\
    \cline{1-2}                    \cline{5-6}
    14082          &     &  &  &     238   \\
    2347\phantom{0}&     &  &  &    102\phantom{0}   \\
    9388\phantom{00}&     &  &  &    34\phantom{00}   \\
    \cline{1-2}                    \cline{5-6}
    \ 97,6352          &     &  &  & 0,04658
  \end{array}
\end{equation*}

\separator

Ein gewöhnlicher Bruch ist nur dann \emph{genau} gleich
einem Dezimalbruch, wenn der Nenner des Bruches keine
anderen Primfaktoren als 2 und 5 enthält, weil nur solche
Brüche durch Erweitern in einen Bruch verwandelt werden
können, dessen Nenner eine Potenz von zehn ist. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \frac{19}{40}
  = \frac{19}{2^2 \cdot 10}
  = \frac{19 \cdot 5^2}{10^2 \cdot 10}
  = \frac{475}{10^3}
  = 0,475; \\
  \frac{7}{64}
  = \frac{7}{2^6}
  = \frac{7 \cdot 5^6}{10^6}
  = \frac{109\,375}{1\,000\,000}
  = 0,109\,375.
\end{gather*}

Wenn der Nenner eines Bruches andere Primfaktoren,
als 2 und 5, enthält, der Bruch also nicht genau gleich
einem Dezimalbruch ist, so begnügt man sich damit, für
einen solchen Bruch Dezimalbrüche anzugeben, die dem
Bruch möglichst nahe kommen. Das Verfahren, um solche
\label{p:133}
Dezimalbrüche zu finden, beruht auf einer steten Erweiterung
eines Bruches mit zehn, wie folgendes Beispiel zeigt:
\begin{equation*}
  \let\ul\underline
  \let\ol\overline
  \let\p\phantom
  \begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c|c}
    \ul1 & \ul1 & \ul: & 1 & 4 & \: = 0,7857\ldots  \\
    1 & 1 & 0 &&&& 0,7\p{000} < \smash{\frac{11}{14}} < 0,8\p{000}\\
    & \ul9 & \ul8 & \ul\* && \\
    & 1 & 2 & 0 &&& 0,78\p{00} < \smash{\frac{11}{14}} < 0,79\p{00}\\
    & \ul1 & \ul1 & \ul2 && \\
    &  & 8 & 0 &&& 0,785\p{0} < \smash{\frac{11}{14}} < 0,786\p{0}\\
    &  & \ul7 & \ul0 & \ul\* & \\
    &  & 1 & 0 & 0 &&  0,7857 < \smash{\frac{11}{14}} < 0,7858.
  \end{array}
\end{equation*}

Wie man erkennt, kann man durch dieses Verfahren
jeden Bruch in zwei Grenzen einschließen, welche Dezimalbrüche
sind, die sich nur um $\frac{1}{10}$ oder $\frac{1}{100}$ oder $\frac{1}{1000}$  u.~s.~w.
unterscheiden.

Auf die Verwandelung eines gewöhnlichen Bruches in
einen ihm genau oder nahezu gleichen Dezimalbruch ist auch
die Division zweier Dezimalbrüche zurückführbar, nämlich:

5) Zwei Dezimalbrüche \emph{dividiert} man, indem man
beide durch Anhängen von Nullen auf gleichviel Stellen
bringt, dann die Kommata fortläßt, die entstandenen ganzen
Zahlen zum Zähler und Nenner eines Bruches macht, und
endlich diesen Bruch nach dem zuletzt erwähnten Verfahren
in einen Dezimalbruch verwandelt.

\separator

Je nachdem die Stellenzahl eines Dezimalbruchs eine
beschränkte oder unbeschränkte ist, nennt man ihn \emph{geschlossen}
oder \emph{ungeschlossen}. Ungeschlossene Dezimalbrüche
liefern alle diejenigen Brüche, deren Nenner andere
Primfaktoren als 2 und 5 enthalten. Wenn man die Berechnung
der Stellen eines solchen ungeschlossenen Dezimalbruchs
hinlänglich weit fortsetzt, so muß \emph{eine gewisse
Reihe von Ziffern in derselben Aufeinanderfolge
unaufhörlich wiederkehren}, weil bei dem
fortgesetzten Dividieren durch $N$ endlich einmal ein Rest
erscheinen muß, der schon einmal da war, da ja nur $N-1$
verschiedene Reste, nämlich $1, 2, 3, \ldots N-1$ vorkommen
können. Z.~B.:
\label{p:134}
\begin{align*}
  \frac {9}{11} &= 0, \overline{81}     \, \overline{81}     \ldots ; \\
  \frac{40}{13} &= 3, \overline{076923} \, \overline{076923} \ldots
\end{align*}

Eine solche immer wiederkehrende Reihe von Ziffern
heißt \emph{Periode} und ein Dezimalbruch, in dessen Stellen
eine Periode erscheint, heißt \emph{periodisch}. Bei $\frac{9}{11}$ ist 81
die Periode, bei $\frac{40}{13}$ ist es 076923. Man schreibt die Stellen,
die eine Periode bilden, meist nur einmal und \emph{deutet durch
einen darüber gesetzten Strich den Umfang der
Periode} an. Ein Dezimalbruch heißt \emph{rein-periodisch},
wenn die Periode sogleich mit der ersten Dezimalstelle
anfängt, dagegen \emph{unrein-periodisch}, wenn der Periode
Dezimalstellen vorangehen, die nicht zur Periode gehören.
Diese Stellen selbst heißen dann \emph{vorperiodisch}. Es hat z.~B.:
\begin{align*}
  \frac{17}{12} &= 1,41 \overline{6}      \, \text{ zwei vorperiodische Stelle} \,41 ; \\
  \frac {9}{14} &= 0,6  \overline{428571} \, \text{ eine vorperiodische Stelle} \,6  .
\end{align*}

Wie rein- und unrein-periodische Dezimalbrüche in
gewöhnliche Brüche zu verwandeln sind, zeigen die folgenden
Beispiele:

1) $\begin{aligned}[t]
  x &=   0, \overline{756}, \rlap{ also:}    \\
  1000x &= 756, \overline{756}  \rlap{ (subt.)}  \\
  \hline
  999x &= 756, \rlap{ also:}    \\
  x &= \frac{756}{999} = \frac{28}{37}.
\end{aligned}$

2) $\begin{aligned}[t]
  x         &= 0,03\overline{04878}, \rlap{ also} \\
  100x      &= 3,\overline{04878} \rlap{ und} \\
  10000000x &= 304878,\overline{04878} \rlap{ (subt.)} \\
  \hline
  9999900x  &= 304875 \text{ also} \\
  x         &= \frac{304875}{9999900} = \frac{5}{164},
\end{aligned}$\\[\medskipamount]
nachdem durch $60975 (= 3^2\cdot5^2\cdot271)$ gehoben ist.

\label{p:135}
\section*{Übungen zu §~\ref{ch:23}.}

\begin{exercise}

\exercisegoal{Schreibe als Dezimalbruch:}

\item $7 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 4 + 3 : 10^3$;

\item $9 + 8 : 10^1 + 7 : 10^2 + 5 : 10^3$;

\item $6 : 10^1 + 7 : 10^2 + 9 : 10^2$;

\item $9 : 10^4 + 5 : 10^5 + 6 : 10^6$;

\item $243 + 1 : 10^1 + 2 : 10^3$;

\item $5 + 1 : 10^6$;
\item $728 : 10^2$;

\item $1493 :  10^4$;
\item $15 :  10^6$.

\exercisegoal{Schreibe als gewöhnlichen Bruch:}

\item $3,14$;
\item $0,918$;
\item $432,01$;
\item $0,007$;

\item $0,1003$.

\exercisegoal{Berechne:}

\item $7,146 + 5,854$;
\item $0,0135 + 4,52$;

\item $9,78 - 0,12 + 5,17$;
\item $11,012 - 10,0487$;

\item $5,12 \cdot 2,13$;
\item $0,127 \cdot 4,13$;
\item $0,04 \cdot 0,78$;

\item $(4,13)^2 + (1,02)^2$;
\item $(74,32 - 0,78) \cdot 0,06$;

\item $(19 - 17,12) \cdot 0,5$;
\item $17 - 15,3 + 3,2 \cdot 4,01$.

\exercisegoal{Erweitere so, daß der Nenner eine dekadische
Stafenzahl, der Bruch also ein Dezimalbruch wird:}

\item $\frac{3}{5}$;
\item $\frac{11}{25}$;
\item $\frac{19}{40}$;
\item $\frac{211}{160}$;
\item $\frac{1}{640}$.

\exercisegoal{Verwandele in einen Dezimalbruch auf drei
Stellen nach dem Komma:}

\item $\frac{7}{9}$;
\item $\frac{6}{7}$;
\item $\frac{13}{11}$;
\item $\frac{17}{26}$;
\item $\frac{7}{55}$.

\exercisegoal{Führe die folgenden Divisionen auf drei
Dezimalstellen aus:}

\item $\frac{8,14}{13}$;
\item $\frac{7,9}{15}$;
\item $\frac{423,517}{7}$;
\item $\frac{0,0017}{76}$;

\item $\frac{7,813}{0,56}$;
\item $\frac{107,83}{10,45}$;
\item $\frac{47,89}{0,003}$;
\item $\frac{0,00058}{0,87}$.

\exercisegoal{Berechne auf drei Dezimalstellen:}

\item $4,56 - 7,81 : 5$;
\item $(9,837 + 0,163) : 4,1$;

\item $7,83 \cdot 0,14 : 5,01$;
\item $9,8 : 0,07 - 1,2 \cdot 3,56$.

\label{p:136}
\exercisegoal{Verwandele so in einen Dezimalbruch, daß
Periode und etwaige vorperiodische Stellen erkennbar
werden:}

\item $\frac{2}{3}$;
\item $\frac{11}{6}$;
\item $\frac{3}{7}$;
\item $\frac{5}{28}$;
\item $\frac{9}{22}$;

\item $\frac{1}{35}$;
\item $\frac{9}{13}$;
\item $\frac{11}{37}$;
\item $\frac{2}{21}$;
\item $\frac{7}{41}$.

\exercisegoal{Verwandele die folgenden geschlossenen
Dezimalbrüche in gemeine Brüche, die möglichst
gehoben sind:}

\item $0,25$;
\item $1,28$;
\item $4,125$;
\item $37,5$;

\item $0,0192$;
\item $4,096$;
\item $0,00016$.

\exercisegoal{Verwandele die folgenden periodischen Dezimalbrüche
in möglichst gehobene gemeine Brüche:}

\item $0,\overline{42}$;
\item $0,\overline{56}$;
\item $0,\overline{14634}$;
\item $2,\overline{259}$;

\item $1,6\overline{8}$;
\item $2,8\overline{648}$;
\item $0,0\overline{285714}$;
\item $0,347\overline{2}$.

\exercisegoal{Berechne $x$:}

\item $7,5 : \frac{15}{7} = 7x :3$;
\item $0,\overline{142857} \cdot \frac{x}{7} = 16$;

\item $\frac{7,2}{x} + 11,4 = 25 \cdot 0,76$;
\item $\frac{1}{4} x - 0,125 \cdot x = 1$.

\end{exercise}

\separator

\label{p:137}
\part{Quadratwurzeln und quadratische Gleichungen.}

\chapter{Quadrierung und Quadratwurzel-Ausziehung.}\label{ch:24}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)    & $(a \cdot b)^2 = a^2 \cdot b^2;$ \\
    II)   & $(a : b^)2 = a^2 : b^2;$ \\
    III)  & $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2;$ \\
    IV)   & $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2;$ \\
    V)    & $(a + b + c)^2= a^2+ 2ab + b^2+ 2 (a + b) c + c^2;$ \\
    VI)   & $(\sqrt{d})^2 = d;$ \\
    VII)  & $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b};$ \\
    VIII) & $\sqrt{a:b} = \sqrt{a} : \sqrt{b};$
  \end{tabular}
\end{center}

Eine Zahl \emph{quadrieren} heißt, sie mit sich selbst
multiplizieren. Das Ergebnis heißt Quadrat. Z.~B.: Das
Quadrat von:
\begin{center}
  17 ist 289,
  von $\frac{3}{4}$ ist $\frac{9}{16}$,
  von $1\smallfrac{2}{3}$ ist $2\smallfrac{7}{9}$,
  von $-\frac{1}{2}$ ist $+\frac{1}{4}.$
\end{center}

Die Formeln I und II folgen ohne weiteres aus den
Gesetzen der Multiplikation, die Formeln III und IV sind
schon in §~\ref{ch:15} erörtert. Die Formel V folgt aus III auf
folgende Weise:
\begin{gather*}
     (a + b + c)^2
  =  [(a + b) + c]^2
  =  (a + b)^2 + 2(a+b)c + c^2 \\
  =  a^2 + 2ab + b^2 + 2(a+b)c + c^2 .
\end{gather*}

Außerdem folgt aus den Gesetzen der Multiplikation
die allgemeine Regel:
\label{p:138}
\emph{Eine algebraische Summe quadriert man, indem
man eine Summe aus den Quadraten aller
Glieder und aus allen möglichen doppelten Produkten
je zweier Glieder bildet, und zwar so,
daß jedes Quadrat positiv wird, jedes doppelte
Produkt aber positiv oder negativ wird, je nachdem
die Glieder, aus denen es entsteht, gleiche
oder ungleiche Vorzeichen hatten.} Z.~B.:

1) $(p + q - r + s)^2  =  p^2 + q^2 + r^2 + s^2 + 2pq - 2pr
+ 2ps - 2qr + 2qs - 2rs$;

2) $(2a - 3b + 5c)^2  =  4a^2 + 9b^2 + 25c^2 - 12ab + 20ac - 30bc$.

\separator

Wenn man in $a^2 = d$ nicht, wie beim Quadrieren, $a$ als
gegeben, $d$ als gesucht, sondern umgekehrt $d$ als gegeben,
$a$ als gesucht betrachtet, so erhält man die zur Quadriernng
\emph{umgekehrte} Operation, die man \emph{Quadratwnrzel-Ausziehung}
oder kurz \emph{Wurzel-Ausziehung} oder \emph{Radizierung}
nennt. Man versteht also unter Quadratwurzel
ans $d$, geschrieben:
\begin{equation*}
  \sqrt{d}
\end{equation*}
eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert, $d$ ergiebt. Dies
spricht Formel VI aus.

\separator

Da das Produkt $+25$ nicht nur aus $+5$ mal $+5$,
sondern auch aus $-5$ mal $-5$ entsteht, so giebt es zwei
Zahlen, deren Quadrate beide die Zahl $+25$ ergeben.
Deshalb ist die Quadratwurzel aus $+25$ sowohl $+5$, als
auch $-5$. Ebenso folgt aus:
\begin{gather*}
  x \cdot x =100 \text{ sowohl }   x = +10
                 \text{ als auch } x = -10; \\
  x \cdot x  = \frac{25}{16} \text{ sowohl }    x = +\frac{5}{4}
                             \text{, als auch } x = -\frac{5}{4}; \\
  x \cdot x = c^2 - 2cd + d^2 \text{ sowohl }   x = c - d
                              \text{ als auch } x = d - c.
\end{gather*}

\emph{Man darf daher aus $x^2 = a^2$ nicht ohne weiteres
$x = a$ schließen, sondern muß schließen, daß x
entweder gleich $+a$ oder gleich $-a$ ist.}

\label{p:139}
Um die beiden Werte, welche bei einer Quadratwurzel-Ausziehung
entstehen, recht deutlich hervortreten zu lassen,
setzt man vor das Wurzelzeichen das Doppelzeichen $\pm$
(gelesen: \emph{``plus oder minus''}), sodaß das Wurzelzeichen
an sich immer nur den positiven Wert bedeutet. Z.~B.:
\begin{gather*}
 \text{Aus } x^2 = 256 \text{ folgt } x = \pm\sqrt{256} = \pm 16 ;  \\
 5 \pm \sqrt{9} = 5 \pm 3 \text{, also entweder } +8 \text{ oder } +2; \\
 \text{aber: } 5 + \sqrt{9} = 5 + 3 \text{, also nur } +8  \\
 \text{und }   5 - \sqrt{9} = 5 - 3 \text{, also nur } +2 .
\end{gather*}

Da die Quadratwurzel-Ausziehung immer \emph{zwei} Werte
liefert, so nennt man diese Rechnungsart \emph{doppeldeutig}.
Im Gegensatz hierzu bezeichnet man die im Abschnitt II
und III behandelten Rechnungsarten erster und zweiter Stufe
als \emph{eindeutig}. Es giebt nämlich immer nur eine einzige
Zahl, welche gleich $a + b$, gleich $a - b$, gleich $a \cdot b$ oder
gleich $a : b$ ist. Ausgenommen ist dabei nur die Zeichen-Verknüpfung
$0 : 0$, die jeder beliebigen Zahl gleichgesetzt
werden kann und deshalb in §~\ref{ch:11} vieldeutig genannt ist.
Aus dieser Eindeutigkeit entsprangen die Sätze, welche aussprachen,
daß Gleiches mit Gleichem, durch eine der
Rechnungsarten erster und zweiter Stufe verknüpft, immer
wieder Gleiches liefert. Da die Quadratwurzel-Ausziehung
aber doppeldeutig ist, so muß der jenen Sätzen analoge
Satz hier folgendermaßen lauten:

\emph{Die Quadratwurzel-Ausziehung zweier gleicher
Zahlen liefert entweder zwei gleiche Zahlen oder
zwei Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen
unterscheiden.}

Wenn man bei der Quadratwurzel-Ausziehung zweier
gleicher Zahlen auf gleiche Ergebnisse schließt, kann man
zu \emph{Trugschlüssen} gelangen, wie der folgende sogenannte
Beweis, daß $9 = 5$ ist, zeigt:

Es ist $9 + 5 = 2 \cdot 7$. Hieraus folgt durch Multiplikation
mit $9-5$ die Gleichung $9^2 - 5^2 = 2 \cdot 7 \cdot 9 - 2 \cdot 7 \cdot 5$,
woraus folgt:
\begin{equation*}
  9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 7 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7.
\end{equation*}

Wenn man nun $7^2$ beiderseits addiert, erhält man:
\begin{equation*}
  9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 7 + 7^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 + 7^2.
\end{equation*}
\label{p:140}
Nun steht links das Quadrat von $9 - 7$, rechts von $5 - 7$,
woraus man schließt:
\begin{equation*}
  9-7 = 5-7.
\end{equation*}
Wenn man nun noch 7 beiderseits addiert, erhält
man $9 = 5$.

\separator

Wenn man das Quadratwurzelzeichen immer als eindeutig
auffaßt, sind auch die Formeln VII und VIII als
richtig zu erkennen. Nämlich:
\begin{gather*}
  \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \text{, weil }
  ( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} )^2 = (\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2  \\
  = a \cdot b \text{ ist;}   \\
  \sqrt{a : b}     = \sqrt{a} :     \sqrt{b} \text{, weil }
  ( \sqrt{a} :     \sqrt{b} )^2 = (\sqrt{a})^2 :     (\sqrt{b})^2  \\
  = a :     b \text{ ist.}
\end{gather*}
Ferner beachte man, daß $\sqrt{a\pm b}$ nicht $\sqrt{a}\pm\sqrt{b}$ ist,
weil $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2$ zu $a \pm 2\sqrt{ab} + b$, aber nicht zu $a \pm b$
führt.

Die Quadrate der natürlichen Zahlen heißen \emph{Quadratzahlen},
es sind dies also: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,
81, \dots$. Da $(a : b)^2 = a^2 : b^2$ ist, so ist jedes Quadrat entweder
eine Quadratzahl oder der Quotient zweier Quadratzahlen.
Deshalb hat $\sqrt{d}$ vorläufig nur Sinn, wenn $d$ eine Quadratzahl
oder der Quotient zweier Quadratzahlen oder endlich
ein Quotient ist, der sich durch Heben in den Quotienten
zweier Quadratzahlen verwandeln läßt. In allen andern
Fällen ist $\sqrt{d}$ eine sinnlose Wurzelform, der keine der
bisher definierten Zahlen, also keine rationale Zahl (§~\ref{ch:13})
gleichgesetzt werden kann, der aber in §~\ref{ch:25} und §~\ref{ch:26}
Sinn erteilt werden wird.

Da $10^2$ die erste dreiziffrige, $10^4$ die erste fünfziffrige
Zahl u.~s.~w. darstellt, so ergiebt sich der Satz:

\emph{Das Quadrat einer natürlichen Zahl hat entweder
doppelt soviel Ziffern wie diese oder eine
Ziffer weniger als doppelt soviel.} Umgekehrt ist also
die Quadratwurzel ans einer
\begin{center}
  1 ziffrigen oder 2 ziffrigen Zahl: 1 ziffrig, \\
  3 ziffrigen oder 4 ziffrigen Zahl: 2 ziffrig, \\
  5 ziffrigen oder 6 ziffrigen Zahl: 3 ziffrig. \\
  u.~s.~w.
\end{center}

\label{p:141}
Zum Quadrieren einer zweiziffrigen Zahl kann Formel III,
einer dreiziffrigen Zahl Formel V benutzt werden. Die
Formel V läßt sich auf beliebig viele Summanden ausdehnen,
und kann in dieser ausgedehnten Form dazu dienen,
vielziffrige Zahlen zu quadrieren. Es ist nämlich z.~B.:
\begin{align*}
  (a + b + c + d + e)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 \\
  &+ 2 (a + b) c + c^2        \\
  &+ 2 (a + b + c) d + d^2    \\
  &+ 2 (a + b + c + d) e + e^2.
\end{align*}

Das hierauf beruhende Quadrieren einer mehrziffrigen
Zahl zeigt folgendes Beispiel:
\begin{center}
  \begin{tabular}{c|c}
    Ausführlich: & Abgekürzt: \\
    $\begin{array}{r@{\:}l}
      478^2 &= (a + b + c)^2, \smash{\text{ wo }
        \begin{aligned}[t]
          a &= 400 \\
          b &= \*70 \\
          c &= \*\*8 \text{ ist.}
        \end{aligned}} \\
      a^2   &=           160000 \\
      2ab   &= \phantom{0}56000 \\
      b^2   &= \phantom{00}4900    \\
      2(a+b)c &= \phantom{00}7250    \\
      c^2 &= \phantom{0000}64    \\
      \hline
      & \phantom{=\:} 228484
    \end{array}$ &
    $\begin{array}{c}
      478^2   \\
      = \left\{
        \begin{array}{l}
          16   \\
          \phantom{0}56   \\
          \phantom{00}49   \\
          \phantom{00}752   \\
          \phantom{0000}64   \\
          \hline
          228484
        \end{array}
      \right.
    \end{array}$
  \end{tabular}
\end{center}

Durch Umkehrung des soeben dargestellten Verfahrens
entsteht das Verfahren der Quadratwurzel-Ausziehung aus
Zahlen, die in dekadischer Zifferschrift gegeben sind, wie
das folgende Beispiel zeigt:
\begin{gather*}
  \text{Ausführlich:} \\
  \begin{aligned}
    \sqrt{228484} & = a + b + c
    \smash{\text{, wo }
      \begin{aligned}[t]
        a &= 400 \\
        b &= \*70 \\
        c &= \*\*8 \text{ ist.}
      \end{aligned}} \\
    \ul{160000} &= a^2 \\
    \ul{68484} \\
    2a = 800 \mid \ul{56000} &= 2ab \\
    12484 \\
    \ul{4900} &= b^2 \\
    \ul{7584} \\
    2 (a + b) = 940 \mid \ul{7520} &= 2 (a + b) c \\
    64 \\
    \ul{64} &= c^2
  \end{aligned}
\end{gather*}

\label{p:142}
%%%% FIXME!!!
\begin{equation*}
  \begin{array}{r|l}
    \begin{array}{ r r r r c l }
      \multicolumn{6}{c}{\text{Abgekürzt:}}   \\
      \multicolumn{4}{r}{\sqrt{22'84'84}} & = & 478   \\
      & 16    \\
      \cline{2-2}
      &  6 & 8'4   \\
      \cline{2-3}
      \multicolumn{3}{r}{ $8 \;|\; 5$} & 6\phantom{0}   \\
      &    &  49   \\
      \cline{2-3}
      &  6 &  09   \\
      \cline{2-3}
      &    &  75 & 8'4   \\
      \cline{3-4}
      \multicolumn{3}{r}{$94 \;|\; 75$} & 2\phantom{0}   \\
      &    &     &  64   \\
      \cline{3-4}
      &    &  75 &  84
    \end{array}
    &
    \begin{array}{rrrrcl }
      \multicolumn{6}{c}{\text{Noch kürzer, da } 2ab + b^2 }   \\
      \multicolumn{6}{c}{= (2a + b)b \text{ ist:}}   \\
      \multicolumn{4}{r}{\sqrt{22'84'84}} & = & 478   \\
      & 16   \\
      \cline{2-3}
      &  6 & 8'4   \\
      \cline{2-3}
      \multicolumn{2}{r}{87 \;|\; 6} & 09   \\
      \cline{2-4}
      &    &  75 & 8'4   \\
      \cline{2-4}
      \multicolumn{3}{r}{948 \;|\; 75} & 84  \\
      \cline{3-4}
    \end{array}
  \end{array}
\end{equation*}

Nach derselben Methode findet man auch zu jeder
\emph{beliebigen} natürlichen Zahl die Quadratwurzel aus der
\emph{nächst kleineren Quadratzahl}. Z.~B.:
\begin{equation*}
  (a + b + c)^2 <
  \begin{array}[t]{@{}r@{}}
    100000 \\
    \ul{\*9\phantom{0000}} \\
    \ul{10'0}\*\* \\
    \llap{61} \ul{\mid 61 \*} \*\* \\
    \ul{\*390'0} \\
    \llap{626} \ul{\mid 3756 \*} \\
    \llap{Rest: } 144
  \end{array}
  < [a + b + (c + d)]^2,
  \begin{aligned}[t]
    & \text{wo} \\
    a &= 300 \\
    b &= \*10 \\
    c &= \*\*6 \\
    & \text{ist.}
  \end{aligned}
\end{equation*}

Also ist:
\begin{equation*}
  316^2 < 100000 < 317^2,  \\
\end{equation*}
demnach auch:
\begin{gather*}
  31,6^2 < 1000 <31,7^2;   \\
  3,16^2 < 10 < 3,17^2;    \\
  0,316^2 < 0,1 < 0,317^2 \text{ u.~s.~w.}
\end{gather*}

Hieraus folgt der Satz:

\emph{Jede ganze oder gebrochene Zahl, die kein
Quadrat ist, läßt sich in zwei Grenzen einschließen,
welche Quadrate von zwei gebrochenen
Zahlen sind, die sich nur um $\frac{1}{10}$, um $\frac{1}{100}$, um $\frac{1}{1000}$
oder überhaupt um einen beliebig kleinen Bruch
unterscheiden.} Soll dieser Bruch etwa $\frac{1}{500}$ und 20 die
\label{p:143}
gegebene Zahl sein, so ist, wenn $x^2$ die kleinere der beiden
Grenzen bedeutet, in folgender Weise anzusetzen:
\begin{equation*}
  x^2 < 20 < \left( x + \frac{1}{500} \right)^2,
\end{equation*}
woraus durch Multiplikation mit $500^2$ folgt:
\begin{equation*}
  (500x)^22 < 20 \cdot 500^2 < (500x+1)^2.
\end{equation*}

Man hat also die Quadratwurzel aus der nächst kleineren
Quadratzahl unter $20 \cdot 500^2 = 5000000$ aufzusuchen und
durch 500 zu dividieren. So ergiebt sich
\begin{gather*}
  x = \frac{2236}{500} \text{, also:} \\
  \left( \frac{2236}{500} \right)^2 < 20 < \left( \frac{2237}{500} \right)^2.
\end{gather*}

So ist also 20 in zwei Grenzen eingeschlossen, die Quadrate
von Zablen sind, die sich nur um $\frac{1}{500}$ unterscheiden.

\separator

Das Quadrieren und Radizieren von entwickelten Buchstaben-Ausdrücken
zeigen folgende Beispiele:

1) $(3a-2b+c)^2 = 9a^2-12ab+4b^2 + 6ac-4bc+c^2$,

\noindent
also umgekehrt:
\begin{align*}
 \sqrt{9a^2 - 12ab + 4b^2 + 6ac - 4 bc + c^2} &= 3a - 2b + c, \\
 \ul{9a^2 \phantom{{} - 12ab}} \phantom{{} + 4b^2 + 6ac - 4 bc + c^2} \\
 \ul{{} - 12ab + 4b^2} \phantom{{} + 6ac - 4 bc + c^2} \\
 \llap{$6a \mid$} \ul{{} - 12ab + 4b^2 \phantom{{} + 6ac - 4 bc + c^2}} \\
 \ul{6ac - 4 bc + c^2} \\
 \llap{$6a - 4b \mid$} \ul{6ac - 4 bc + c^2}
\end{align*}

2) $\begin{aligned}[t]
  \left( 2x^3 + x^2 - 3x - \frac{1}{2} \right)^2
  &= 4x^6 + 4x^5 + x^4 \\
  & -12x^4 - 6x^8 + 9x^2 \\
  & -2x^{3}-x^{2}+3x+\frac{1}{4}
\end{aligned}$
\begin{equation*}
  = 4x^{6}+4x^{5}-11x^{4}-8x^{3}+8x^{2}+3x+\frac{1}{4},
\end{equation*}
\label{p:144}
also umgekehrt:
\begin{align*}
  \sqrt{4x^6 + 4x^5 - 11x^4 - 8x^3 + 8x^2 + 3x + \frac{1}{4}}
  & = 2x^3 + x^2 - 3x - \frac{1}{2} \\
  \ul{4x^6 \phantom{{} + 4x^5}} \phantom{{} - 11x^4 - 8x^3 + 8x^2 + 3x + \frac{1}{4}} \\
  \ul{4x^5 - 11x^4} \phantom{{} - 8x^3 + 8x^2 + 3x + \frac{1}{4}} \\
  \llap{$4x^3 \mid$} \ul{4x^5 + \*\*x^4} \phantom{{} - 8x^3 + 8x^2 + 3x + \frac{1}{4}} \\
  \ul{-12x^4 - 8x^3 + 8x^2} \phantom{{} + 3x + \frac{1}{4}} \\
  \llap{$4x^3 + 2x^2 \mid$} \ul{-12x^4 - 8x^3 + 8x^2} \phantom{{} + 3x + \frac{1}{4}} \\
  \ul{- 2x^3 - \*x^2 + 3x + \frac{1}{4}} \\
  \llap{$4x^3 + 2x^2 - 6x \mid$} \ul{- 2x^3 - \*x^2 + 3x + \frac{1}{4}}
\end{align*}

Ein Dezimalbruch kann nur dann ein Quadrat sein,
wenn er eine gerade Anzahl von Dezimalstellen hat, weil
der Nenner das Quadrat einer Potenz von zehn sein muß.
Ein solcher Dezimalbruch wird radiziert, indem man ihn,
abgesehen vom Komma, radiziert, und im Ergebnis von
rechts nach links halb soviel Stellen abschneidet, als der
gegebene Dezimalbruch Stellen hatte. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \sqrt{2,89} = 1,7; \quad
  \sqrt{0,4096} = 0,64; \quad
  \sqrt{0,000009} = 0,003.
\end{equation*}

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:24}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Die folgenden Quadrierungen sollen ausgeführt
werden:}

\item $(1\smallfrac{1}{3})^2$;
\item $(-5)^2$;
\item $(abc)^2$;
\item $\left( \frac{-ab}{3} \right)^2$;

\item $\left( \frac{3a}{5b} \right)$;
\item $(3a : 5b\ : c)^2$;
\item $(4a^2)^2$;

\item $(c+d)^2$;
\item $(e-pq)^2$;
\item $(2a-b)^2$;

\item $(3a+5bc)^2$;
\item $\left( \frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b \right)^2$;

\item $(a+b-c)^2$;
\item $\left( 2a+\frac{1}{2}b+c \right)^2$;

\item $\left( 3a-\frac{1}{3}b+\frac{1}{4}c \right)^2$;
\item $(ab+ac-bc)^2$;

\item $(a+b-c-d)^2$;
\item $\left( 2a+b+c-\frac{1}{2}d \right)^2$.

\label{p:145}
\exercisegoal{Vereinfache:}

\item $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}$;
\item $( \sqrt{4a + 3b})^2$;
\item $(\sqrt{25600})^2$;

\item $\sqrt{p + s} \cdot \sqrt{p + s}$;
\item $\sqrt{ab - ac} \cdot \sqrt{a(b-c)}$.

\exercisegoal{Welche zwei Zahlen haben zum Quadrat:}

\item $36$;
\item $121$;
\item $\frac{9}{16}$;
\item $2 \smallfrac{7}{9}$;
\item $1,44$;

\item $16 + 9$;
\item $\frac{1}{12^2} - \frac{1}{13^2}$;
\item $0,05^2-0,04^2$?

\exercisegoal{Gieb zwei Ausdrücke an, die den folgenden
Ausdruck zum Quadrat haben:}

\item $e^2 - 2ef + f^2$;
\item $\frac{16}{a^2 + 2ab + b^2}$;

\item $\sqrt{ \frac{a^2 b^2 c^2}{d^2 e^2} }$.

\exercisegoal{Verwandele in eine Wurzel:}

\item $\frac{a}{b} \sqrt{ \frac{b^2 c^2}{a^2(f+g)} }$;
\item $\frac{4a}{3b} \sqrt{ \frac{9 b^2 c}{16 a^2} }$.

\exercisegoal{Berechne nach den Formeln für $(a+b)^2$ und für
$(a + b + c)^2$:}

\item $(300 + 2)^2$;\
\item $(300 + 30 + 3)^2$;
\item $47^2$;

\item $738^2$;
\item $982^2$;
\item $(5a + b)^2$;
\item $(a + b - 3c)^2$;

\item $\left( a - \frac{1}{3}b + \frac{1}{4}c \right)^2$;
\item $(a^2 + a + 1)^2$.

\exercisegoal{Berechne:}

\item $\sqrt{729}$;
\item $\sqrt{6724}$;
\item $\sqrt{66564}$;
\item $\sqrt{147456}$;

\item $\sqrt{136161}$;
\item $\sqrt{340402500}$;
\item $\sqrt{866595844}$;

\item $\sqrt{4096 \cdot 1849}$;
\item $\sqrt{0,001681}$;
\item $\sqrt{104,8576}$;

\item $\sqrt{ \frac{40}{8,1} }$;
\item $\sqrt{ \frac{12,1}{1000} }$;
\item $\sqrt{ \frac{ 2 + \frac{2}{49} }{ 2 - \frac{62}{81} } }$.

\label{p:146}
\exercisegoal{Wie heißt die mittlere Proportionale (§~\ref{ch:20}) zu:}

\item 6 und 54;
\item 490 und 810;
\item 2,048 und 3,2;

\item $\frac{18}{49}$ und $\frac{25}{72}$;
\item $\frac{1728}{343}$ und $\frac{12}{847}$?

\exercisegoal{Schließe in zwei Grenzen ein, die aufeinanderfolgende
Quadratzahlen sind:}

\item 59;
\item 728;
\item 1000;
\item 44000.

\exercisegoal{Schließe in zwei Grenzen ein, welche Quadrate
von Zahlen sind, die sieh um $\frac{1}{100}$ unterscheiden:}

\item 3;
\item 7;
\item 19;
\item 325.

Schließe in zwei Grenzen ein, welche Quadrate
von Zahlen sind, die sich um $\frac{1}{700}$ unterscheiden:

\item 2;
\item 0,6;
\item $7\smallfrac{1}{7}$.

\exercisegoal{Verwandele in algebraische Summen:}

\item $\sqrt{81a^2 + 18ab + b^2}$;
\item $\sqrt{49a^2 - 14a + 1}$;

\item $\sqrt{4 + 24b + 36b^2}$;
\item $\sqrt{ \frac{1}{4}a^2 + \frac{9}{10}ab + \frac{81}{100}b^2 }$;

\item $\sqrt{ 25a^2 + 200ab + 400b^2 + 30ac + 120bc + 9c^2 }$;

\item $\sqrt{ 16a^2 - 8ab - 24ac + b^2 + 6bc + 9c^2 }$;

\item $\sqrt{ a^4 + 2a^3 + 7a^2 + 6a + 9 }$;

\item $\sqrt{ a^4 + 25a^2 + 4 + 10a^4 - 4a^3 - 20a }$;

\item $\sqrt{ \frac{x^8}{256} - \frac{3}{64}x^7 + \frac{9}{64}x^6
         - \frac{7}{16}x^5  + \frac{11}{4}x^4 - \frac{3}{4}x^3
         + \frac{49}{4}x^2 - 7x + 1 }$

\exercisegoal{Berechne durch Zerlegung in Faktoren:}

\item $\sqrt{9216}$;
\item $\sqrt{ 98 \cdot 242 }$;
\item $\sqrt{ 6 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 21 \cdot 3 \cdot 7}$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Irrationale Zahlen.}\label{ch:25}

\textbf{Definition:} $(\sqrt{a})^2 = a$, \emph{wo $a$ positiv, aber kein
Quadrat ist.}

Nach dem in §~\ref{ch:8} eingefübrten \emph{Prinzip der
Permanenz} muß man $\sqrt{a}$ auch dann Sinn erteilen, wenn $a$
\label{p:147}
kein Quadrat ist. Damit man in diesem Falle mit $\sqrt{a}$ nach
denselben Gesetzen zu rechnen habe, wie mit $\sqrt{a}$, wenn a
ein Quadrat ist, muß man $\sqrt{a}$ der der in der Überschrift
genannten Definitionsformel der Radizierung unterwerfen.
Wenn man bei der neu gewonnenen Zahlform $\sqrt{a}$ die Erörterungen
wiederholt, die in §~\ref{ch:9} zu den negativen Zahlen
und in §~\ref{ch:14} zu den gebrochenen Zahlen geführt haben,
gelangt man zur Definition von $-\sqrt{a}$ und $\frac{1}{\sqrt{a}}$, nämlich
$-\sqrt{a} + \sqrt{a} = 0$ und $\frac{1}{\sqrt{a}} \cdot \sqrt{a} = 1$. Da die in §~\ref{ch:24} aufgestellten
Gesetze lediglich auf die Definitionsformel $(\sqrt{a})^2 = a$
beruhen, so gelten diese Gesetze auch für die neuen Zahlformen,
z.~B.:
\begin{equation*}
  \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15}, \quad
  \sqrt{99} = \sqrt{9 \cdot 11} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{11} = 3\sqrt{11}
\end{equation*}

Nach der Definition ist $\sqrt{7}$ die positive Wurzel der
Gleichung $x^2 = 7$. Wenn man in diese Gleichung $x = 2$
setzt, so ergiebt sich $2^2 < 7$, und wenn man $x = 3$ setzt,
so ergiebt sich $3^2 > 7$. Deshalb überträgt man die Begriffe
``größer'' und ``kleiner'' auch auf die neue Zahlform, und
sagt, daß $\sqrt{7} > 2$ und $\sqrt{7} < 3$ ist, also zwischen 2 und 3
liegt. Mit der Ungleichung
\begin{equation*}
  2 < \sqrt{7} < 3
\end{equation*}
meint man also eigentlich nur, daß $2^2 < 7 < 3^2$ ist.

In §~\ref{ch:24} wurde gezeigt, wie jede rationale Zahl, die
kein Quadrat ist, in zwei Grenzen eingeschlossen werden
kann, welche Quadrate von Zahlen sind, die sich um einen
\emph{beliebig kleinen} Bruch unterscheiden. Folglich lassen
sich für die Quadratwurzel aus einer Zahl, die kein Quadrat
ist, die Grenzen beliebig nahe bringen. Soll z.~B. bei
$\sqrt{3}$ der Unterschied der Grenzen $\frac{1}{1000}$ betragen, so hat man
nach §~\ref{ch:24} die Zahl $x$ zu suchen, welche die Bedingung
$x^2 < 3 < \left( x + \frac{1}{1000} \right)^2$ erfüllt. Man findet $x = 1,732$ und
erhält:
\begin{equation*}
  1,732 < \sqrt{3} < 1,733.
\end{equation*}

\label{p:148}
Hieraus ergiebt sich der Satz:

\emph{Die Quadratwurzel aus einer Zahl, die kein
Quadrat ist, läßt sich zwar nicht gleich einer
rationalen Zahl setzen, wohl aber in zwei Grenzen
einschließen, die gebrochene Zahlen sind und deren
Unterschied \textbf{beliebig klein} gemacht werden kann.}

Zahlformen, welche die soeben genannte Eigenschaft
besitzen, heißen \textbf{irrationale} Zahlen. Den Charakter der
irrationalen Zahlen haben nicht nur die hier gewonnenen
Quadratwurzelformen, sondern auch noch manche andere
Zahlformen (vgl. hier §~\ref{ch:31} und 32). Auch die Zahl, welche
bei jedem Kreise angiebt, wievielmal so lang seine Peripherie
ist als sein Durchmesser, ist irrational, ohne gleich der
Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl zu sein.

Eine irrationale Zahl kann sowohl nach der Art ihrer
Entstehung, z.~B. $\sqrt{3}$, als auch \emph{numerisch} angegeben
werden, d.~h. \emph{gleich} einer ihr nahen rationalen Grenze
gesetzt werden, z.~B. $\sqrt{3} = 1,732$.

\separator

Wenn irrationale Zahlen negativ sind, so lassen sie
sich in negative rationale Grenzen einschließen. So folgt
aus $x^2 = 3$ sowohl:
\begin{equation*}
  1,732 < x < 1,733,
\end{equation*}
als auch:
\begin{equation*}
  -1,732 > x > -1,733.
\end{equation*}

Wenn man die Rechnungsarten erster und zweiter
Stufe, sowie die Quadratwurzel-Ausziehung auf irrationale
Zahlen anwendet, so gelangt man immer wieder zu irrationalen
oder zu rationalen Zahlen, also zu keiner neuen
Zahlform, |emph{falls die Radikanden der Quadratwurzeln
nie negativ werden}. Z.~B. $\sqrt{8} \cdot 5 = 10 \cdot \sqrt{2} = 14,14$,
$\sqrt{5} + \sqrt{2} = 3,650$, $\sqrt{ 8 - \sqrt{32} } = 1,530$.

Bezüglich des Rechnens mit Quadratwurzel-Formen ist
insbesondere folgendes zu beachten:

1) Bei $\sqrt{a}$, wo $a$ eine positive ganze Zahl ist, läßt
sich jeder mehr als einmal vorkommende Primfaktor vor
das Wurzelzeichen setzen, z.~B. $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \sqrt{3}$;
$\sqrt{1152} = \sqrt{ 2^7 \cdot 3^2 }
              = \sqrt{ 2 \cdot 2^6 \cdot 3^2 }
              = 2^3 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}
              = 24 \sqrt{2}$.

\label{p:149}
2) Umgekehrt läßt sich der Koeffizient einer Wurzel
unter das Wurzelzeichen bringen, z.~B.: $5 \sqrt{3} = \sqrt{75}$.

3) Einen Quotienten, dessen Divisor eine irrationale
Quadratwurzel ist, pflegt man durch Erweitern so
umzugestalten, daß der Divisor rational wird. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{ 7 \sqrt{3} }{ (\sqrt{3})^2 }
  = \frac{7}{3} \sqrt{3}; \quad
  \frac{9}{ \sqrt{21} } = \frac { 9 \sqrt{21} }{21}
  = \frac{3}{7} \sqrt{21}.
\end{equation*}

4) Die Wurzel aus einem Bruche pflegt man so umzugestalten,
daß das Produkt eines Bruches mit der Quadratwurzel
aus einer möglichst kleinen positiven ganzen Zahl
entsteht. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \sqrt{ \frac{6}{7} } = \sqrt{ \frac{6 \cdot 7}{7^2} }
  = \frac{1}{7} \sqrt{42};
  \quad
  \sqrt{ \frac{27}{98} } = \frac{ 3 \sqrt{3} }{ 7 \sqrt{2} }
  = \frac{3}{7} \sqrt{\frac{3 \cdot 2}{ 2^2 }}
  = \frac{3}{14} \sqrt{6};         \\
  \frac{4}{15}\sqrt{ \frac{63}{176} }
  = \frac{4}{15} \cdot \frac{ 3 \cdot \sqrt{7} }{ 4 \cdot \sqrt{11} }
  = \frac{1}{5} \sqrt{ \frac{7}{11} }
  = \frac{1}{5} \sqrt{\frac{ 7 \cdot 11 }{ 11^2 }}
  = \frac{1}{55} \sqrt{77}.
\end{gather*}

5) \emph{Aus dem Nenner eines Bruches pflegt man
Quadratwurzeln auch dann fortzuschaffen, wenn
dieselben Teile einer Summe oder einer Differenz
sind.} Es gelingt dies vermittelst der beiden Formeln:
\begin{gather*}
  \begin{aligned}
    (a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) &= a^2 - b^2   \\
    \text{und }
    (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) &= a - b. \quad
    \text{Z.~B.:}
  \end{aligned} \\
  \frac{7}{ 4 - \sqrt{2} } = \frac{ 7(4 + \sqrt{2}) }{4^2 - 2}
  = \frac{ 7(4 + \sqrt{2}) }{14} = \frac{ 4 + \sqrt{2} }{2}
  = 2 + \frac{1}{2} \sqrt{2} \\
%%%
  \frac{ \sqrt{5} + \sqrt{3} }{ \sqrt{5} - \sqrt{3} }
  = \frac{ (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 }{ (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 }
  = \frac{ 5 + 2\sqrt{15} + 3 }{ 5 - 3 }   \\
  = \frac{ 8 + 2\sqrt{15} }{2} = 4 + \sqrt{15};   \\
%%%
  \frac{ \sqrt{7} + \sqrt{5} - 2\sqrt{3} }{ 4\sqrt{21} + \sqrt{15} }
  = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5} - 2\sqrt{3})(4\sqrt{21} - \sqrt{15})}
  { (4\sqrt{21})^2 - (\sqrt{15})^2 } \\
  = \frac{ 28\sqrt{3} - \sqrt{105} + 4\sqrt{105} - 5\sqrt{3}
    - 24\sqrt{7} + 6\sqrt{5} }{ 16 \cdot 21 - 15 }   \\
%%%
  = \frac{ 23\sqrt{3} + 3\sqrt{105} - 24\sqrt{7} + 6\sqrt{5} }{321}.
\end{gather*}

\label{p:150}
\section*{Übungen zu §~\ref{ch:25}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Vereinfache:}

\item $(\sqrt{7})^2$;
\item $(\sqrt{7})^4$;
\item $\left( \sqrt{\frac{3}{7}} \cdot \sqrt{14} \right)^2$;

\item $(\sqrt{33} \cdot \sqrt{3} : \sqrt{11})^2$.

\exercisegoal{Verwandele in eine einzige Quadratwurzel:}

\item $\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$;
\item $\sqrt{ \frac{1}{13} } \cdot \sqrt{39}$;

\item $\sqrt{12} : \sqrt{21} : \sqrt{7} \cdot \sqrt{2}$.

\exercisegoal{Zwischen welchen aufeinanderfolgenden ganzen
Zablen liegt der Wert von:}

\item $\sqrt{11}$;
\item $\sqrt{72}$;
\item $\sqrt{1000}$;
\item $\sqrt{5,2}$;
\item $\sqrt{0,9}$?

\exercisegoal{Schließe in rationale Grenzen ein, die sich um
$\frac{1}{1000}$ unterscheiden:}

\item $\sqrt{5}$;
\item $\sqrt{10}$;
\item $\sqrt{2,5}$;
\item $\sqrt{14,4}$;

\item $\sqrt{330,5}$;
\item $\sqrt{0,144}$;
\item $\sqrt{9 + 49}$;

\item $\sqrt{ \frac{1}{3} }$;
\item $\sqrt{25 \cdot 27}$;
\item $\sqrt{ 4\smallfrac{1}{9} }$.

\exercisegoal{Berechne auf zwei Dezimalstellen:}

\item $\sqrt{7} + \sqrt{8}$;
\item $-\sqrt{2}$;
\item $9 - \sqrt{5}$.

\exercisegoal{Berechne auf zwei Dezimalstellen die mittlere
Proportionale zu:}

\item 1 und  8;
\item 3 und  5;
\item 15 und 16;

\item $\frac{1}{4} \sqrt{2}$ und $\sqrt{ \frac{8}{9} }$.

\exercisegoal{Berechne auf zwei Dezimalstellen:}

\item $\sqrt{ \sqrt{3} }$;
\item $\frac{1}{2} \sqrt{ 10 + 2\sqrt{5} }$;

\item $\sqrt{ 2 + \sqrt{ 2 - \sqrt{2} } }$.

\label{p:151}
\exercisegoal{Verwandele in das Produkt aus einer rationalen
Zahl und der Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl,
die keine quadratischen Faktoren mehr enthält:}

\item $\sqrt{45}$;
\item $\sqrt{175}$;
\item $\sqrt{160}$;
\item $\sqrt{1000}$;

\item $\frac{5}{16} \sqrt{128}$;
\item $0,14 \cdot \sqrt{ 9\smallfrac{1}{7} \cdot 8 }$;
\item $\frac{3}{4} : \sqrt{27}$.

\exercisegoal{Verwandele in eine Wurzel:}

\item $\frac{5}{8} \sqrt{ \frac{32}{5} }$;
\item $3\smallfrac{3}{10} \cdot \sqrt{ \frac{4000}{121 \cdot 27} }$;

\item $0,18 \cdot \sqrt{ \frac{15}{7} \cdot \frac{35}{3} }$.

\exercisegoal{Vereinfache:}

\item $\sqrt{5} + \sqrt{75}$;
\item $3 \sqrt{7} - \sqrt{28} - \sqrt{63} + \sqrt{112}$;

\item $\sqrt{24} + \sqrt{54} - \frac{1}{2} \sqrt{600} + 7 \cdot \sqrt{726}$;

\item $\sqrt{9b} + \sqrt{144b} - 3 \cdot \sqrt{16b}$.

\exercisegoal{Verwandele in das Produkt ans einer rationalen
Zahl und der Quadratwurzel aus einer ganzen
Zahl, die keine quadratischen Faktoren mehr enthält,
oder in eine algebraische Summe solcher
Produkte:}

\item $\sqrt{ \frac{7}{5} }$;
\item $\sqrt{ \frac{19}{24} }$;
\item $\sqrt{ \frac{120}{7} }$;
\item $\sqrt{2,5}$;

\item $\sqrt{ \frac{17}{12} }$;
\item $\frac{10}{7} \cdot \sqrt{ \frac{7}{9} }$;
\item $\sqrt{ 1 - \frac{1}{64} } \cdot \sqrt{28}$;

\item $\sqrt{ \frac{3}{4} } : \frac{3}{4}
    + \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{1}{3} } - \frac{1}{4} \sqrt{3}$;

\item $\sqrt{ \frac{5}{6} } \cdot \sqrt{ \frac{6}{7} } \cdot \sqrt{ \frac{7}{5} } : \sqrt{10}
    + \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{ 4\smallfrac{1}{4} } \cdot 2 : \sqrt{17}$.

\exercisegoal{Führe die angedeuteten Multiplikationen aus
und vereinfache dann:}

\item $\sqrt{3} (\sqrt{27} - \sqrt{3} + \sqrt{75})$;

\label{p:152}
\item $\left( \frac{3}{4} \sqrt{2} - \frac{1}{2} \sqrt{8} \right) (-\sqrt{18})$;

\item $( \sqrt{5} - \sqrt{3} ) ( \sqrt{5} + 2 \sqrt{3} )$;

\item $( \sqrt{3} + \sqrt{6} ) ( \sqrt{3} - \sqrt{2} )$;

\item $( \sqrt{15} - 3 ) ( \sqrt{15} + 3 )$;

\item $\left( \frac{1}{2} \sqrt{15} - \frac{1}{3} \sqrt{10} \right) ( 3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} )$;

\item $( \sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2} ) ( \sqrt{15} - \sqrt{10} )$;

\item $( 7 + 4 \sqrt{2} ) ( \sqrt{6} - \sqrt{3} + 4 )$;

\item $( 6 + 2 \sqrt{6} + \sqrt{60} ) ( 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{5} )$;

\item $( 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{2} + 3 ) \left( \sqrt{ \frac{15}{2} } - \frac{3}{\sqrt{2}} - \sqrt{3} \right)$;

\item $( 1 + \sqrt{3} )^2 : 2$;
\item $( \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} )^2$;

\item $( \sqrt{10} - \sqrt{6} )^2$;
\item $( \sqrt{6} + 2 - \sqrt{2} )^2$;

\item $( \sqrt{3} - 1 )^3$;
\item $( 4 \sqrt{5} - \sqrt{15} )^3$;

\exercisegoal{Schaffe die Wurzelzeichen ans dem Nenner:}

\item $\frac{ 4 }{ \sqrt{5} + \sqrt{3} }$;
\item $\frac{ 1 }{ \sqrt{7} - \sqrt{2} }$;
\item $\frac{ 7 }{ \sqrt{11} - 2 }$;

\item $\frac{ 6\sqrt{2} }{ \sqrt{22} - \sqrt{10} }$;
\item $\frac{ 7\sqrt{3} }{ 2 - \sqrt{3} }$;
\item $\frac{5}{ 5 - 2\sqrt{5} }$;

\item $\frac{ \sqrt{7} + \sqrt{3} }{ \sqrt{7} - \sqrt{3} }$;
\item $\frac{ \sqrt{14} + \sqrt{2} }{ 8 \sqrt{2} - 3 \sqrt{14} }$;

\item $\frac{ 5 \sqrt{6} (\sqrt{5} + 1) }{ (2\sqrt{5} - \sqrt{7}) \sqrt{3} }$;
\item $\frac{ \sqrt{14} - 2 + 4\sqrt{2} }{ 4 - 7\sqrt{2} }$;

\item $\frac{ 1 }{ \frac{8}{3} \sqrt{3} - 4 }$;
\item $\frac{ 46 \sqrt{2} }{ \sqrt{6} + 2 - 2\sqrt{2} }$;

\item $\frac{ 72\sqrt{3} - 18\sqrt{15} + 24 - 6\sqrt{2} - 6\sqrt{5} }
           { 12\sqrt{2} - 6 - 3\sqrt{10} }$;

\label{p:153}
\item $\frac{ \sqrt{e} + \sqrt{f} }{ \sqrt{e} - \sqrt{f} }$;
\item $\frac{ 1 }{ \sqrt{a + 1} - \sqrt{a} }$;

\item $\frac{ a - \sqrt{b} }{ a + \sqrt{b} }$;
\item $\frac{ a + \sqrt{b} + \sqrt{c} }{ a - \sqrt{b} + \sqrt{c} }$;
\end{exercise}

\separator

\chapter{Imaginäre Zahlen.}\label{ch:26}

\begin{tabular}{r@{\ }l}
  I)   & \emph{Definition}: $(\sqrt{a})^2 = a$, wo a negativ ist;  \\
  II)  & $(+\sqrt{-b}) \cdot (+\sqrt{+c}) = +\sqrt{-bc}$
  \vbox to0pt{\vss\hbox{$\Bigl\}$, wo $b$ und $c$ positiv sind;}\vss} \\
  III) & $(+\sqrt{-b}) \cdot (+\sqrt{-c}) = -\sqrt{+bc}$    \\
  IV)  & $-\sqrt{-c} = (+\sqrt{-1}) \cdot (+\sqrt{c}) =  i \sqrt{c}$;   \\
  V)   & $+\sqrt{-c} = (-\sqrt{-1}) \cdot (+\sqrt{c}) = -i \sqrt{c}$.
\end{tabular}

Bisher ist $\sqrt{a}$ nur in dem Falle in die Sprache der
Arithmetik aufgenommen, wo $a$ eine positive Zahl ist. Von
nun an soll die Wurzelform $\sqrt{a}$ auch dann Sinn erhalten,
wenn $a$ \emph{negativ} ist. Indem man solche Wurzelformen auch
als Zahlen anffaßt, erweitert man von neuem den Zahlbegriff
(Vgl. §~\ref{ch:8}, §~\ref{ch:9}, §~\ref{ch:14}, §~\ref{ch:25}). Z.~B. $\sqrt{-36}$ ist die
Zahl, deren Quadrat $-36$ ist. Dies ist weder $+6$ noch
$-6$, da beide durch Quadrierung auf $+36$ führen. Die
hiermit neu gewonnenen Zahlen heißen \emph{imaginär} im
Gegensatz zu allen bisher definierten Zahlen, einschließlich
der in §~\ref{ch:25} eingeführten irrationalen Zahlen, welche \emph{reell}
heißen. Um kenntlicher zu machen, daß der Radikand
negativ ist, bezeichnen wir ihn mit $-b$, wo nun $b$ an sich
positiv zu denken ist. Da $\sqrt{-b}$ eine Zahl ist, für deren
Quadrat man $-b$ setzen soll, so ist $\sqrt{-b}$ eine Wurzel
der Gleichung:
\begin{equation*}
x^2 = -b.
\end{equation*}
Da diese Gleichung ungeändert bleibt, wenn $-x$ an
die Stelle von $x$ gesetzt wird, so hat man die zweite Wurzel
der Gleichung $x^2 = -b$ mit $-\sqrt{-b}$ zu bezeichnen, sobald
man die erste mit $+\sqrt{-b}$ bezeichnet hat.

\label{p:154}
Um die Formeln II und III zu beweisen, beachte man,
daß man, der Definition gemäß, $-b$ für das Quadrat von
$+\sqrt{-b}$ und auch für das Quadrat von $-\sqrt{-b}$ zu setzen
hat. Um die Richtigkeit von II zu erkennen, betrachte man
$+\sqrt{-b}$ als eine Folgerung aus der Gleichung $x^2 = -b$
und $+\sqrt{+c}$ als eine Folgerung aus der Gleichung $y^2 = +c$.
Durch Multiplikation beider Gleichungen erhält man $(xy)^2 =
-(b \cdot c)$, woraus folgt, daß $x \cdot y$ entweder $+\sqrt{-bc}$ oder
$-\sqrt{-bc}$ sein muß. Da $+\sqrt{-b}$ und $+\sqrt{+c}$ eindeutig
waren, so kann man auch ihrem Produkte nur einen einzigen
Wert geben, wenn man auch bei imaginären Zahlen
an der \emph{Eindeutigkeit} der Multiplikation festhalten will.
\emph{Welchen} von den beiden gefundenen Werten man zu
wählen hat, entscheidet man dadurch, daß man $c = 1$ setzt.
Dadurch kommt:
\begin{equation*}
  (+\sqrt{-b}) \cdot (+\sqrt{1}) = +\sqrt{-b} \text{ oder } -\sqrt{-b}.
\end{equation*}
Wenn man demnach auch für imaginäre Zahlen den
Satz aufrecht erhalten will, daß eine Zahl durch Multiplikation
mit 1 unverändert bleibt, so ergiebt sich $+\sqrt{-b}$. Damit
ist Formel II bewiesen.

Um die Richtigkeit von Formel III einzusehen, verfährt
man ähnlich, indem man $x^2 = -b, y^2 = -c$ setzt und
aus $x^2 y^2 = +bc$ findet, daß $x \cdot y$ entweder gleich
$+\sqrt{bc}$ oder gleich $-\sqrt{bc}$ ist. Die Entscheidung darüber,
welches Vorzeichen zu nehmen ist, wird dadurch getroffen,
daß $c = b$ gesetzt wird. Man erhält dann links $(\sqrt{-b})^2$.
Nach der Definition der imaginären Zahlen ist aber $(\sqrt{-b})^2$
nur gleich $-b$. Dieses Resultat erreicht man rechts aber
nur, wenn man$-\sqrt{b \cdot c}$ wählt.

Wenn man Formel II umkehrt und dann $b = 1$ setzt,
erhält man:
\begin{gather*}
  \sqrt{-c} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{c}, \\
\text{woraus auch folgt: } -\sqrt{c} = (-\sqrt{-1}) \cdot \sqrt{c};
\end{gather*}
oder in Worten: \emph{Jede imaginäre Zahl ist gleich dem
Produkte einer reellen und zwar positiven Zahl
mit der Zahl $+\sqrt{-1}$ oder mit der Zahl $-\sqrt{-1}$.}

\label{p:155}
Deshalb nennt man $+\sqrt{-1}$ und $-\sqrt{-1}$ die imaginären
Einheiten und gebraucht für dieselben die besonderen Zeichen:
\begin{equation*}
  +i \textrm{ und } -i.
\end{equation*}
Z.~B.:
\begin{gather*}
  \sqrt{-9} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{9} = i \cdot \sqrt{9} = 3i;   \\
%
  \sqrt{-\frac{5}{16} } = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{ \frac{5}{16} }
  = i \cdot \sqrt{ \frac{5}{16} } = \frac{1}{4}i \cdot \sqrt{5};   \\
%
  -\sqrt{-\frac{1}{2} } = -i\sqrt{ \frac{1}{2} }
  = -i \cdot \sqrt{\frac{2}{4} } = -\frac{1}{2} i \sqrt{2}.
\end{gather*}

Man rechnet mit imaginären Zahlen, indem man sie
als positive oder negative Produkte von $i$ und einer reellen
Zahl betrachtet und immer beachtet, daß man $(+i)^2 = -1$
und $(-i)^2 = -1$ zu setzen hat. Z.~B.:
\begin{gather*}
  3 \cdot \sqrt{-3} \cdot 7 \cdot \sqrt{12}
  =  21 \, i \sqrt{3} \sqrt{12}
  =  21 \, i \sqrt{36}
  = 126 \, i;   \\
%%%
  \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-12}
  = 3 \cdot i \cdot 12 \cdot i
  = 36 \, i^2
  = -36;   \\
%%%
  (\sqrt{-1})^3
  = i^3
  = i^2 \cdot i
  = -i;   \\
%%%
  i^4 = +1, \quad
  i^5 = +i, \quad
  i^6 = -1; \\
%%%
  i^{4n} = +1, \quad
  i^{4n+1} = +i, \quad
  i^{4n+2} = -1, \quad
  i^{4n+3} = -i.
\end{gather*}

\separator

Wenn $a$ und $b$ reell sind, so ist die Gleichung $i \, a = b$
nur dann möglich, wenn $a$ und $b$ beide null sind. Denn
$i \, a=b$ führt durch Quadrierung zu $i^2 \, a^2 = b^2$, d.~h. $-a^2 = b^2$.
Dies ist aber eine Gleichung, deren linke Seite null oder
negativ sein muß, da $a$ reell ist und das Quadrat einer
reellen Zahl nicht negativ sein kann. Andrerseits ist die
rechte Seite $b^2$ null oder positiv. Also enthält die Gleichung
$i \, a = b$ nur dann keinen Widerspruch, wenn $a$ und $b$ null
sind. Also gilt der Satz:

\emph{Das Gebiet aller reellen Zahlen und das Gebiet
aller imaginären Zahlen haben die Zahl Null,
aber auch nur die Zahl Null, gemeinsam.}

Die Verknüpfung von Zahlen, die reell oder imaginär
sind, durch Multiplikation oder Division führt immer wieder
zu Zahlen, die reell oder imaginär sind, z.~B.:
\begin{gather*}
  a (i\,b) = i\,(ab); \quad (ia) (ib) = i^2 \, (ab) = -ab; \\
  a : (i\,b) = (i\,a) : (i^2 b) = i\,a : (-b) = -i \cdot (a : b);   \\
  i \, a : (-i \, b) = -(a : b).
\end{gather*}
\label{p:156}
Ebenso fübrt die additive oder subtraktive Verknüpfung
zweier Zahlen, die beide imaginär sind, zu einer
imaginären Zahl, z.~B.:
\begin{equation*}
  i \, a + i \, b = i \, (a+b); \quad i \, a - i \, b = i \, (a-b).
\end{equation*}

\emph{Wenn man aber zwei von Null verschiedene
Zahlen, von denen die eine reell, die andere
imaginär ist, durch Addition oder Subtraktion mit
einander verknüpft, so gelangt man zu einer Zahlform,
die weder reell noch imaginär ist.} Denn
$a+i\,b$, wo $a$ und $b$ nicht Null sind, kann nicht gleich
einer reellen Zahl $r$ sein; denn dann müßte $i \, b = r - a$,
also $b$ null sein. Es kann aber $a+i\, b$ auch nicht gleich
einer imaginären Zahl $i\,s$ sein, wo $s$ reell ist, denn dann
müßte $a=i\,(s-b)$, also $a$ null sein. Die so entstehende
neue Zahlform $a+ib$ nennt man \emph{imaginär-komplex}
oder kurz \emph{komplex}. Oft nennt man auch die komplexen
Zahlen imaginär und nennt dann die Produkte von $i$ mit
reellen Zahlen \emph{rein-imaginär}.

Die Zahlform $a+i \, b$, wo $a$ und $b$ beliebige positive
oder negative, rationale oder irrationale Zahlen oder auch
Null sind, ist \emph{arithmetisch die allgemeinste Zahlform,
die sich denken läßt}, da die Verknüpfung zweier solcher
Zahlen durch irgend eine Rechnungsart immer wieder zu
einer solchen Zahl führt; sodaß auch die im VI. Abschnitte
behandelten Rechnungsarten dritter Stufe auf keine neuen
Zahlformen führen.

Aus $a+i\, b = a'+i \, b'$ folgt $a-a' = i \, (b'-b)$. Da
aber das reelle und das rein-imaginäre Zahlengebiet nur
die Zahl Null gemeinsam haben, so folgt aus $a-a' = i \, (b'-b)$,
daß $a=a'$ und $b=b'$ ist. Wir erhalten also den Satz:

\emph{Wenn zwei komplexe Zahlen gleich sind, so
folgt daraus, daß sowohl die reellen Bestandteile
wie auch die rein-imaginären Bestandteile für sich
einander gleich sind.}

Daß die Anwendung der bisher definierten Rechnungsarten
auf zwei komplexe Zahlen $a+i \, b$ und $a'+i \, b'$, wo
$a$, $b$, $a'$, $b'$, beliebige reelle Zahlen sind, immer wieder zu
einer komplexen Zahl führt, geht aus folgendem hervor:

1) \emph{Addition:} $(a+i\, b)+(c+i\, d)=(a+c)+i\, (b+d)$;

\label{p:157}

2) \emph{Subtraktion:} $(a + i \, b) - (c + i \, d) = (a - c)
+ i \, (b-d)$;

3) \emph{Multiplikation:} $(a + i \, b) (c + i \, d) = (ac - bd)
+ i \, (ad + be)$;

4) \emph{Division:} $(a + i \, b) : (c + i \, d)
= (a + i \, b) (c - i \, d) : [ (c + i \, d) (c-i \, d) ]
= [ (ac + bd) + i \, (bc - ad) ] : (c^2 + d^2)
= [ (ac + bd) : (c^2 + d2)] + i \cdot [(bc - ad) : (c^2 + d^2) ]$;

5) \emph{Quadrierung:} $(a + i \, b)^2 = (a^2 - b^2) + i \cdot (2ab)$;

6) \emph{Radizierung:} $\sqrt{a \pm i \, b} =
\sqrt{ \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^2+b^2} }
\pm i \cdot \sqrt{ - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^2+b^2} }$,
welche Gleichung bewiesen wird, indem man nachweist, daß
das Quadrat der rechten Seite zu $a + i \, b$ führt, nämlich:
\begin{gather*}
  \left(
    \sqrt{ \frac{a}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2} }
  \right)^2 + i^2 \cdot \left(
    \sqrt{-\frac{a}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2} }
  \right)^2 \\
  \pm 2 i \sqrt{ (\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2})^2 - \frac{a^2}{4} }
  = \frac{a}{2}
  + \frac{1}{2} \sqrt{a^2+b^2} \\
  + \frac{a}{2}
  - \frac{1}{2} \sqrt{a^2+b^2}
  \pm 2 \, i \cdot \frac{b^2}{4}
  = a \pm 2 i \cdot \frac{b}{2}
  = a \pm i \, b.
\end{gather*}

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:26}.}

\begin{exercise}

\exercisegoal{Was bedeutet:}

\item $\sqrt{-25}$;
\item $\sqrt{-7}$;
\item $\sqrt{ -\frac{3}{4} }$;
\item $-\sqrt{ -\frac{1}{2} }$?

\exercisegoal{Welche Ungleichung muß $x$ erfüllen, damit
imaginär wird:}

\item $\sqrt{3-x}$;
\item $\sqrt{7-2x}$;
\item $\sqrt{x\sqrt{5}-1}$;
\item $\sqrt{ 1 + \frac{3}{4} x }$?

\exercisegoal{Gieb die beiden Zahlen an, deren Quadrate
gleich einer der folgenden Zahlen sind:}

\item $-9$;
\item $-\frac{4}{9}$;
\item $-0,25$;
\item $-5 \smallfrac{1}{16}$.

\label{p:158}
\exercisegoal{Welche reellen Zahlen sind gleich:}

\item $( \sqrt{-5} )^2$;
\item $\left( \sqrt{ -\frac{3}{4} }\right)^2$;
\item $\sqrt{-6} \cdot \sqrt{-6}$;

\item $\left( \sqrt{ 2 - \sqrt{5} } \right)^2$?

\exercisegoal{Verwandele in eine reelle oder rein-imaginäre
Zahl:}

\item $\sqrt{-6} \cdot \sqrt{-24}$;
\item $4 \cdot \sqrt{-5} \cdot \frac{1}{8}\sqrt{-20}$;

\item $\sqrt{-11} \cdot \sqrt{-44}$;
\item $\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-3} \cdot \sqrt{-5}$;

\item $3 \cdot \sqrt{-9} \cdot \sqrt{-5} \cdot \sqrt{5}$;
\item $\sqrt{-21} : \sqrt{-7}$;

\item $\sqrt{-21} : \sqrt{7}$;
\item $1 : \sqrt{-25}$;
\item $\frac{ i\,\sqrt{5} }{ \sqrt{-5} }$;

\item $\frac{125}{ i\sqrt{5} }$;
\item $\frac{ (-\sqrt{5}) (-i \, \sqrt{3}) }{ -\sqrt{15} }$;
\item $( 4\sqrt{-3} )^2$;

\item $i \, \sqrt{-3}$;
\item $\left( \sqrt{ 1 - \sqrt{2} } \right)^2$;
\item $1 - i^2$;

\item $i^8 + i^{12}$;
\item $i^5 \cdot i^6 \cdot i^7$;
\item $-i^{13}$;

\item $(-1) : (-i)^{17}$;
\item $5i + i\, \sqrt{-16}$.

\exercisegoal{Die folgenden Ausdrücke sollen in der Form
$a \pm i\,b$, wo $a$ und $b$ reell sind, dargestellt und dabei
möglichst vereinfacht werden:}

\item $(3 - 2\,i) - (1 - i) - (7 + 2\,i)$;
\item $\sqrt{-32} - i\,\sqrt{2}$;

\item $(5 - i) (3 + 2\,i)$;
\item $(\sqrt{5} + i\,\sqrt{2}) (\sqrt{5} - i\,\sqrt{2})$;

\item $( \sqrt{-8} - \sqrt{-2} + 6 ) i$;
\item $\left( 4 \smallfrac{1}{4} - \frac{1}{3} i \right) \sqrt{-3}$;

\item $\left( \frac{7}{2} + 2\, i \right)
      \left( \frac{2}{7} + \frac{3}{7} i \right)$;
\item $(1 + i)^2 + (1 - i)^2$;

\item $(-1 + i\sqrt{3})^2 - (-1 - i\sqrt{3})^2$;

\item $(p + i\, q) (s + i\, t)$;
\item $(a + i\, b)^3$;

\item $(a + i\, e) (a - i \, e) : (a^2 + e^2)$;
\item $\frac{2}{3\,i}$;
\item $\frac{3\,i}{i^3}$;

\item $\frac{ \sqrt{5} }{ i\,\sqrt{20} }$;
\item $\frac{2}{1 - i}$;
\item $\frac{169}{12 + 5\, i}$;
\item $\frac{1 + i}{1 - 2\,i}$;

\label{p:159}
\item $\frac{3i}{4 + i}$;
\item $\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\sqrt{3}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\sqrt{3}}$;
\item $\frac{3 - i\sqrt{15}}{\sqrt{3} + i\sqrt{5}}$;

\item $\frac{(1+i)^3}{1-i^3}$;
\item $\frac{4}{1-3i} + \frac{7i}{1+3i} - \frac{1-2i}{2}$;

\item $\frac{a+ib}{a-ib}$;
\item $\frac{\sqrt{a}-i\sqrt{e}}{\sqrt{a}+i\sqrt{e}}$;
\item $\frac{(a-ib)^2}{a^2-b^2-i(2ab)}$.

\exercisegoal{Berechne nach der Radizierungsformel:}

\item $\sqrt{-3+4i}$;
\item $\sqrt{16-30i}$;
\item $\sqrt{168+26i}$;

\item $\sqrt{-1+2i\sqrt{2}}$;
\item $\sqrt{8i}$;
\item $\sqrt{\sqrt{-1}}$;

\item $\sqrt{\frac{5}{16}-\frac{3}{4}i}$;
\item $\sqrt{1+2i\sqrt{6}}$;

\item $\sqrt{2\, i} + \sqrt{-2\,i}$;
\item $\sqrt{10-\frac{21}{2}i}$;

\item $\sqrt{32-24\, i} - \sqrt{32+24 \, i}$;
\item $\sqrt{ \frac{46+9\, i}{2-3\, i}}$;

\item $\frac{7-2\, i}{7+2\, i} - 1 - \frac{28}{45\,i} + \sqrt{\frac{15}{4}+2\, i}$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Quadratische Gleichungen mit einer
Unbekannten.}\label{ch:27}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)  & Wenn $A x^2 = B$ ist, so ist $x = \pm \sqrt{\frac{B}{A}}$; \\
    II) & Wenn $x^2 + ax + b = 0$ ist, \\
    & so ist $x = -\frac{a}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{a}{2} \right)^2 - b }$.
  \end{tabular}
\end{center}

Alle Gleichungen, welche sich auf die Form $Ax^2 = B$
bringen lassen, wo $A$ und $B$ bekannte Zablen oder Zahl-Ausdrücke
sind, heißen \emph{rein-quadratisch}. Transponiert
\label{p:160}
man $A$ und radiziert dann, so erhält man nach §~\ref{ch:24} die
beiden Werte
\begin{equation*}
  x = +\sqrt{ \frac{B}{A} } \text{ und } x = -\sqrt{ \frac{B}{A} },
\end{equation*}
welche beide die gegebene Gleichung erfüllen. Z.~B.:
\begin{equation*}
    \frac{7}{4x + 1} = \frac{4x - 1}{5} \text{ ergiebt:}
\end{equation*}
$35 = 16 x^2 - 1$ oder $16x^2 = 36$, also $x = \pm \sqrt{ \frac{36}{16} } = \pm \frac{3}{2}$.

\emph{Gemischt-quadratisch}, allgemein-quadratisch oder
auch schlechthin \emph{quadratisch} heißt jede Gleichung, welche
sich durch Anwendung der Umformungs-Regeln schließlich
auf die \emph{geordnete} Form:
\begin{equation*}
    x^2 + ax + b = 0
\end{equation*}
bringen läßt, wo $a$ und $b$, die beiden \emph{Koeffizienten} der
quadratischen Gleichung, bekannte Zahlen oder Zahl-Ausdrücke
sind. Die Lösung dieser Gleichung, d.~h. die Darstellung
der Zahl $x$ in ihrer Abhängigkeit von $a$ und $b$,
gelingt dadurch, daß man durch Hinzufügung von $\left( \frac{a}{2} \right)^2$
zu $x^2 + ax$ das Quadrat der Summe $x + \frac{a}{2}$ erhält, woraus
dann durch Radizierung $x + \frac{a}{2}$ und daraus $x$ folgt. Demgemäß
kommt nacheinander:
\begin{gather*}
  x^2 + ax = - b,   \\
  x^2 + ax + \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 - b,   \\
  \left( x + \frac{a}{2} \right)^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 - b,   \\
  x   + \frac{a}{2} = \pm \sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 - b },   \\
  x = - \frac{a}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{a}{2}\right)^2 - b }.
\end{gather*}

\label{p:161}
Es sei z.~B. die folgende Gleichung zu lösen:
\begin{equation*}
  \frac{2x + 13}{x + 3} + \frac{x - 6}{x - 3} = 1.
\end{equation*}

Dann erhält man durch Fortschaffung der Brüche:
\begin{equation*}
  2 x^2 + 7 x - 39 + x^2 - 3 x - 18 = x^2 - 9.
\end{equation*}
Hieraus erhält man:
\begin{equation*}
  2 x^2 + 4 x - 48 = 0,
\end{equation*}
woraus sich
\begin{equation*}
  x^2 + 2 x - 24 = 0
\end{equation*}
als geordnete Form ergiebt. Aus derselben erkennt man,
daß $a = +2$, $b = -24$ ist. Also ist:
\begin{equation*}
  x = -1 \pm \sqrt{1 + 24} = -1 \pm 5.
\end{equation*}

Die Gleichung wird also sowohl durch $x = +4$ als
auch durch $x = -6$ erfüllt.

Aus dem doppelten Vorzeichen $\pm$ vor der Wurzel ergiebt
sich, daß es immer zwei Werte giebt, welche, für $x$
in eine quadratische Gleichung eingesetzt, dieselbe erfüllen.
Diese beiden Werte nennt man die ``\emph{Wurzeln}'' der
quadratischen Gleichung.

Wenn man die beiden Wurzeln einer quadratischen
Gleichung dadurch unterscheidet, daß man die eine $x_1$, die
andere $x_2$ nennt, so hat man:
\begin{align*}
  x_1 &= -\frac{a}{2} + \sqrt{ \left( \frac{a}{2} \right)^2 - b } \\
  \text{und }
  x_2 &= -\frac{a}{2} - \sqrt{ \left( \frac{a}{2} \right)^2 - b }
\end{align*}

Durch \emph{Addition} erhält man hieraus:
\begin{equation*}
    x_1 + x_2 = -a,
\end{equation*}
und durch Multiplikation:
\begin{align*}
  x_1 \cdot x_2 &= \left( -\frac{a}{2} \right)^2
  - \left(\sqrt{ \left( \frac{a}{2} \right)^2 - b }\right)^2   \\
  &= \left( \frac{a}{2} \right)^2
  - \left[ \left( \frac{a}{2} \right)^2 - b \right] \\
\label{p:162}
  &= \left( \frac{a}{2} \right)^2
  - \left( \frac{a}{2} \right)^2 + b   \\
  &= +b.
\end{align*}


Aus diesen beiden Resultaten ergeben sich die beiden
Sätze:

1) \emph{Die Summe der beiden Wurzeln einer
quadratischen Gleichung ist gleich dem negativ
gesetzten Koeffizienten von $x$ in der geordneten
Form.}

2) \emph{Das Produkt der beiden Wurzeln einer
quadratischen Gleichung ist gleich dem von $x$
freien Gliede der geordneten Form.}

So ist bei dem obigen Beispiele:
\begin{align*}
  x_1   +   x_2 =  +4  -6  &= -2 \\
 \text{und } x_1 \cdot x_2 = (+4)(-6) &= -24.
\end{align*}

Wenn man umgekehrt in $xa + ax + b$ den Koeffizienten
$a$ durch $-(x_1 + x_2)$, $b$ durch $x_1 \cdot x_2$, ersetzt, so erhält man:
\begin{equation*}
  x^2 + ax + b = x^2 - (x_1 + x_2) x + x_1 x_2
\end{equation*}
oder gleich:
\begin{equation*}
  ( x - x_1 ) ( x - x_2 ).
\end{equation*}

Wir erhalten also:
\begin{equation*}
  x^2 + ax + b = (x - x_1) (x - x_2).
\end{equation*}

Diese Formel lehrt, wie man einen Ausdruck zweiten
Grades, d.~h. von der Form $x^2 + ax + b$, in zwei Faktoren
zerspalten kann, die beide ersten Grades, d.~h. von der
Form $x + c$ sind. Man hat nämlich nur den Ausdruck
zweiten Grades gleich null zu setzen, und die entstandene
quadratische Gleichung zu lösen. Wenn dann $x_1$ und $x_2$
die gefundenen Wurzeln derselben sind, so ist:
\begin{equation*}
    x^2 + ax + b = (x - x_1) (x - x_2).
\end{equation*}

Wenn z.~B. der Ausdruck zweiten Grades $x^2 + 15x + 36$
in dieser Weise zerlegt werden soll, so hat man die Gleichung:
\begin{equation*}
    x^2 + 15x + 36 = 0
\end{equation*}
zu lösen. Man erhält:
\begin{equation*}
  x = -\frac{15}{2} \pm \sqrt{ \frac{225}{4} - 36 }
  = -\frac{15}{2} \pm \frac{9}{2}
  = \begin{cases}
      -3   \\
      -12
    \end{cases} .
\end{equation*}

\label{p:163}
Also ist $x_1 = -3$, $x_2 = -12$. Daher:
\begin{equation*}
    x^2 + 15 x + 36 = (x + 3) (x + 12).
\end{equation*}

Wenn $x^2$ einen andern Koeffizienten als 1 hat, so hat
man denselben vorher abzusondern. Z.~B.:
\begin{equation*}
 2x^2 - x - 15 = 2\left( x^2 - \frac{1}{2} x - \frac{15}{2} \right) .
\end{equation*}

Nun zerlegt man $x^2 - \frac{1}{2} x - \frac{15}{2}$, findet $
 (x-3) \left(x + \frac{5}{2}\right)$
dafür, und erhält daraus:
\begin{equation*}
  2x^2 - x - 15 = 2 (x-3) \left(x + \frac{5}{2} \right)
                = (x-3) (2x + 5) .
\end{equation*}

Wenn die Koeffizienten einer quadratischen Gleichung
rational sind, so können ihre Wurzeln trotzdem irrational
sein. Z.~B.: $x^2-8x+13 = 0$ liefert die Wurzeln
$x_1 = 4 + \sqrt{3} = 5,732$ und $x_2 = 4 - \sqrt{3} = 2,268$.

Wenn aber von den Koeffizienten einer quadratischen
Gleichung einer oder beide irrational sind, so muß auch
mindestens eine der beiden Wurzeln irrational sein. Denn,
wären beide Wurzeln rational, so wäre ihre Summe und
ihr Produkt rational, also nach den obigen Sätzen auch
beide Koeffizienten der Gleichung. Z.~B.:
\begin{gather*}
 x^2 - 2x \sqrt{5} + 1 = 0 \textrm{ ergiebt }
                   x_1 = \sqrt{5} + 2 = 4,236   \\
    \textrm{ und } x_2 = \sqrt{5} - 2 = 0,236 .
\end{gather*}

Wenn die Koeffizienten einer quadratischen Gleichung
reell sind, so können trotzdem ihre Wurzeln \emph{komplexe
Zahlen} sein. Dann aber müssen sie \emph{konjugiert-komplex}
sein, d.~h. sich nur durch das Vorzeichen der imaginären
Einheit $i$ unterscheiden. Z.~B.:
\begin{equation*}
    x^2 - 6 x + 11 = 0
\end{equation*}
liefert die Wurzeln
\begin{equation*}
    x_1 = 3 + i \sqrt{2},\  x_2 = 3 - i \sqrt{2} .
\end{equation*}

Wenn aber von den Koeffizienten einer quadratischen
Gleichung einer oder beide imaginär sind, so muß auch
mindestens eine der beiden Wurzeln imaginär sein, weil
man sonst durch Anwendung der Sätze über den Zusammenhang
der Koeffizienten und Wurzeln in Widerspruch mit
der Annahme käme.
\label{p:164}
Die Bedingungs-Ungleichung, die zwischen den reellen
Koeffizienten $a$ und $b$ bestehen muß, damit die beiden
Wurzeln reell werden, ergiebt sich aus der Gestalt der Formel:
\begin{equation*}
    x = - \frac{a}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{a}{2} \right)^2 - b } .
\end{equation*}

Man erkennt so:

1) Wenn $\left( \frac{a}{2} \right)^2 > b$ ist, so sind die Wurzeln beide reell;

2) Wenn $\left( \frac{a}{2} \right)^2 = b$ ist, so sind sie auch reell und
beide gleich;

3) Wenn $\left( \frac{a}{2} \right)^2 < b$ ist, so sind sie konjugiert-komplex.

Wenn insbesondere die Koeffizienten und die Wurzeln
reell sind, erkennt man mit Hilfe der Beziehungen $x_1 + x_2 = -a$
und $x_2 \cdot x2 = +b$ die Richtigkeit der folgenden Sätze:

1) Wenn das von~$x$ freie Glied in der eingerichteten
Form negativ ist, so ist die eine Wurzel positiv, die
andere negativ.

2) Wenn das von~$x$ freie Glied in der eingerichteten
Form positiv ist, so haben die beiden Wurzeln dasselbe
Vorzeichen, und zwar haben sie beide das entgegengesetzte
Vorzeichen des Koeffizienten von~$x$.

\separator

Bezüglich der Lösung von Gleichungen, die sich auf
quadratische Gleichungen zurückführen lassen, sind namentlich
folgende Fälle von Wichtigkeit:

1) Die Gleichung habe die Form $x^4 + cx^2 + d = 0$.
Dann betrachtet man $x^2$ als \emph{Unbekannte}, findet für $x^2$
zwei Werte und aus jedem derselben durch Radizierung
zwei Werte von $x$. Z.~B.:
\begin{gather*}
  x^4 - 9x^2 + 20 = 0 \text{ liefert } x^2 = + 4 \text{ und }  x^2 = +5, \\
  \text{also } x_1 = +2, x_2 = -2, x_3 = +\sqrt{5} = +2{,}236, \\
  x_4 = -\sqrt{5} = -2{,}236 .
\end{gather*}

2) \emph{Symmetrische} Gleichungen vierten Grades, d.~h.
solche von der Form $x^4 + ax^3 + bx^2 \pm ax + 1 = 0$, löst
man dadurch, daß man $x \pm \frac{1}{x} = y$ setzt. Dann entsteht
\label{p:165}
für $y$ eine quadratische Gleichung, aus der man für $y$ zwei
Werte enthält. Um dann aus ihnen durch die Substitutionsgleichnng
$x \pm \frac{1}{x} = y$ die Werte von $x$ zu finden, hat man
noch zwei quadratische Gleichungen zu lösen. Z.~B.:
\begin{equation*}
  10 x^4 - 77 x^3 + 150 x^2 - 77 x + 10 = 0,
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  10 (x^4 + 1) - 77 (x^3 + x) + 150 x^2 = 0,
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  10 \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)
  - 77 \left( x   + \frac{1}{x}   \right) + 150 = 0 .
\end{equation*}

Setzt man nun $x + \frac{1}{x} = y$, so erhält man:
\begin{equation*}
  10 (y^2 - 2) - 77 y + 150 = 0
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  y^2 - \frac{77}{10} y + 13 = 0,
\end{equation*}
woraus folgt:
\begin{equation*}
  y = \frac{77}{20} \pm \sqrt{ \frac{ 5929 - 5200 }{20^2} }
  = \frac{77}{20} \pm \frac{27}{20} .
\end{equation*}

Daher kommt:
\begin{equation*}
  y_1 = \frac{26}{5}; \quad  y_2 = \frac{5}{2}.
\end{equation*}
Also ist noch zu lösen:
\begin{equation*}
  x + \frac{1}{x} = \frac{26}{5} \text{ und }
  x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}.
\end{equation*}

So erhält man schließlich die vier Wurzeln:
\begin{equation*}
    x_1 = 5, \quad x_2 = \frac{1}{5}, \quad x_3 = 2, \quad x_4 = \frac{1}{2} .
\end{equation*}

Eine symmetrische Gleichung läßt sich immer auf die
Form $c \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right)
     + d \left( x \pm \frac{1}{x}   \right) + e = 0$ bringen. Da
diese Form aber durch Vertauschung von $x$ mit $\pm\frac{1}{x}$ in
sich selbst übergeht, so muß, wenn $x = \frac{f}{g}$ Wurzel einer
\label{p:166}
symmetrischen Gleichung ist, auch der positive oder negative
reziproke Wert $x = \pm \frac{g}{f}$ eine solche Wurzel sein. Deshalb
nennt man die symmetrischen Gleichungen auch \emph{reziproke}.

3) Quadratwurzeln, deren Radikand die Unbekannte $x$
enthält, müssen zunächst durch Transponieren ``\emph{isoliert}''
werden. Denn erst muß quadriert werden. Z.~B.:

a) $20 + \sqrt{x} = x$ ergiebt zunächst $\sqrt{x} = x - 20$, woraus
$x = x^2 - 40x + 400$ folgt. Aus $x^2 - 41 x + 400 = 0$ folgt
$x_1 = 25$, $x_2 = 16$ folgt. Die Substitution dieser Werte in
die ursprüngliche Gleichung zeigt, daß nur $x_1 = 25$ dieselbe
erfüllt. Der Wert $x_2 = 16$ erfüllt dagegen die Gleichung
$20 - \sqrt{x} = x$, welche ebenfalls zu $x^2 - 41x + 400 = 0$
geführt hätte.

b) $\sqrt{ 3x + 8 } - \sqrt{ \frac{x}{3} } = \sqrt{ 7 + \frac{x}{3} }$
ergiebt durch Quadrieren:
\begin{equation*}
      3x + 8 + \frac{x}{3} - 2\sqrt{ (3x + 8)\frac{x}{3} }
    = 7 + \frac{x}{3}
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
    3x + 1 = 2 \sqrt{ x^2 + \frac{8x}{3} },
\end{equation*}
woraus folgt:
\begin{equation*}
    9 x^2 + 6 x + 1 = 4 x^2 + \frac{32}{3} x
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
    5 x^2 - \frac{14}{3} x + 1 = 0
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
      x^2 - \frac{14}{15} x + \frac{1}{5} = 0,
\end{equation*}
woraus sich ergiebt:
\begin{equation*}
    x = \frac{7}{15} \pm \sqrt{ \frac{ 49 - 45 }{15^2} }
      = \frac{7}{15} \pm \frac{2}{15} .
\end{equation*}

Beide Werte $x_1 = \frac{3}{5}$ und $x_2 = \frac{1}{3}$ erfüllen die ursprünglich
gegebene Gleichung.

\label{p:167}
4) Wenn beide Seiten einer Gleichung einen \emph{gemeinsamen},
$x$ enthaltenden Faktor enthalten, so zerfällt die
Gleichung in zwei Gleichungen. Die eine entsteht, indem
man jenen Faktor gleich null setzt. Nimmt man zweitens
an, daß dieser Faktor nicht null ist, so darf man beide
Seiten der Gleichung durch ihn dividieren und erhält dadurch
eine zweite Gleichung, aus welcher man weitere Wurzeln
der gegebenen Gleichung erhalten kann. Z.~B.:
\begin{equation*}
  (x^2 - 9) x = (x - 3) (x + 24)
\end{equation*}
ergiebt die beiden Gleichungen:
\begin{equation*}
  x - 3 = 0 \text{ und } (x + 3) x = x + 24,
\end{equation*}
aus denen man erstens $x_1 = 3$, zweitens $x_2 = +4$ und
$x_3 = -6$ erhält.

Bei symmetrischen Gleichungen fünften Grades, d.~h.
solchen von der Form:
\begin{equation*}
  a x^5 + b x^4 + c x^3 \pm c x^2 \pm b x \pm a = 0
\end{equation*}
erscheint immer $x + 1$ oder $x - 1$ als gemeinsamer Faktor,
und es entsteht durch Unterdrückung dieses Faktors immer
eine symmetrische Gleichung vierten Grades. Z.~B.:
\begin{equation*}
  10 x^5 - 67 x^4 + 73 x^3 + 73 x^2 - 67 x + 10 = 0
\end{equation*}
ergiebt:
\begin{equation*}
  10 (x^5 + 1) - 67 x (x^3 + 1) + 73 x^2 (x + 1) = 0.
\end{equation*}
Der gemeinsame Faktor $x + 1$ ergiebt $x_1 = -1$. Ist
$x + 1$ nicht null, so erhält man durch Division:
\begin{equation*}
  10 (x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) - 67 x (x^2 - x + 1) + 73 x^2 = 0,
\end{equation*}
woraus folgt:
\begin{equation*}
  10 x^4 - 77 x^3 + 150 x^2 - 77 x + 10 = 0.
\end{equation*}
Aus dieser Gleichung, die mit der oben gelösten symmetrischen
Gleichung vierten Grades identisch ist, ergeben sich dann
die weiteren Wurzeln $x_2 = 5$, $x_3 = \frac{1}{5}$,
$x_4 = 2$, $x_5 = \frac{1}{2}$.


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:27}.}

\begin{exercise}

\exercisesection{A. Rein-quadratisch.}

\item $\frac{x}{12} = \frac{3}{x}$;
\item $\left( x + \frac{3}{4} \right) \left( x - \frac{3}{4} \right) = 1$;

\label{p:168}
\item $\frac{x^2}{5} - 7 \smallfrac{1}{5} = 0$;
\item $x (x + 4) = 2 \left( 2x + \frac{32}{9} \right)$;

\item $(x + 5)(x - 4) = x + 29$;
\item $(4x + 3)^2 + (4x - 3)^2 = 146$;
\item $x (x + e) = f^2 + e ( e + 2f + x )$.

\exercisesection{B. Wurzeln ganzzahlig.}

\item $x^2 - 9x = -20$;
\item $x^2 - 7x + 12 = 0$;

\item $x (x - 12) + 27 = 0$;
\item $x^2 - x = 12$;

\item $x^2 - 19x = 20$;
\item $x^2 + 4x = 45$;

\item $x^2 + 26 x + 133 = 0$;
\item $x^2 - 132 x + 1331 = 0$;

\item $(x + 4) (x + 13) = 90$;
\item $(x + 3)^2 + (x - 4)^2 = 65$;

\item $(x + 8)(x - 3) + (x + 1)(x + 3) = (x + 5) x$;

\item $\frac{ 5x - 13 }{ x + 3 } - \frac{ 2(x - 4) }{ x - 3 } = \frac{ x + 3 }{ x^2 - 9 }$.

\exercisesection{C. Wurzeln rational.}

\item $3 x^2 - 7 x = 2$;
\item $(5x - 3)(3x - 1) + \frac{1}{4} = 0$;

\item $15 x^2 + 4 = 17 x$;
\item $x^2 - \frac{1}{2} x = \frac{1}{12} (x + 12)$;

\item $\frac{-4}{ 3x - 5 } + \frac{5}{ 6x - 1 } = 6$;
\item $\frac{5}{2x} + \frac{8}{ 2x + 1 } = 9$;

\item $\frac{x}{2} \left( \frac{x}{2} + 1 \right) \left( \frac{x}{2} + 3  \right)
    = \frac{1}{8} \left( x + \frac{2}{3} \right) \left( x + \frac{14}{3} \right) (x + 1)$.

\exercisesection{D. Wurzeln Irrational.}

\item $x^2 + 8 x = 1$;
\item $x (x - 6) + 7 = 0$;

\item $\frac{ 3x - 5 }{8} - \frac{ x - 2 }{12} = \frac{x^2}{24}$;
\item $x^2 - x\sqrt{2} - 3 = 0$.

\exercisesection{E. Wurzeln komplex.}

\item $\frac{ x - 8 }{ x - 3 } = x$;
\item $x^2 - \frac{1}{5}x + 1 = 0$;

\item $x^2 + x + 1 = 0$;
\item $(2x - 3)^2 + 7 + 4x = 0$.

\label{p:169}
\exercisesection{F. Zerspalte in zwei Faktoren ersten Grades:}

\item $x^2 + 10 x + 21$;
\item $x^2 - 10 x + 21$;

\item $x^2 - x - 12$;
\item $x^2 + 13 x - 140$;

\item $x^2 + 2 x - 323$;
\item $x^2 - \frac{5}{6} x + \frac{1}{6}$;

\item $5 x^2 + x - 4$;
\item $12 x^2 - x - 35$;

\item $14 x^2 + 65 x + 9$;
\item $x^2 \smallfrac{17}{4} x + 1$;

\item $2 x^2 - \frac{1}{2} x - \frac{3}{4}$;
\item $x \left( x - \frac{7}{20} \right) - \frac{3}{20}$;

\item $x^2 - ax - bx + ab$;
\item $x^2 - 2cx + c^2 - 4d^2$.

\exercisesection{G. Lösung durch Erkennen von $x$ enthaltenden
Faktoren.}

\item $(x - 7)(x - 10) = 0$;
\item $(x + 5)(x - 1) = 2x + 10$;

\item $\left( 5 - \frac{1}{x} \right) (5x + 8) = 5x - 1$;

\item $(2x - a)(3x + b) = 0$;

\item $(3x - 1)(4x + 5) = 9x^2 - 1$;

\item $x^2 + 5x = 3(x + 1) - 3$.

\separator

\item $(x - 1) (x^2 + 4x + 5) = 10x - 10$;

\item $(x^2 - 16) (x + 7) = x + 4$.

\exercisesection{H. $x^2$ als Unbekannte.}

\item $x^4 - 29x^2 + 100 = 0$;
\item $x^4 = 125 (x^2 - 20)$;

\item $(x - 3)^4 + (x + 3)^4 = 272$;

\item $(3x^2 - 7) (5x^2 - 13) = 9x^2 - 1$;

\item $(x +1)^5 - (x - 1)^6 = 992$;
\item $x^4 - e^2 x^2 + f^4 = 0$.

\exercisesection{J. Ein $x$ enthaltender Ausdruck als Unbekannte.}

\item $\frac{16}{x^2} - \frac{12}{x} + 2 = 0$;
\item $\frac{x + 7}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 7} = \frac{5}{2}$;

\label{p:170}
\item $(4x-3)^2 + 2 \left(x- \frac{3}{4} \right) = 5$;

\item $(x^2+3x+1)^2 - 12 x (x+3) = 1$.

\exercisesection{K. Symmetrische Gleichungen vierten Grades.}

\item $15x^4-128x^3+290x^2-128x+15=0$;

\item $3x^4-8x^3-6x^2+8x+3=0$;

\item $4x^4-25x^3+42x^2-25x+4=0$;

\item $x^4+x^3+x^2+x+1=0$.

\exercisesection{L. Symmetrische Gleichungen von höherem als dem vierten Grade.}
\item $15x^5-113x^4+162x^3+162x^2-113x+15=0$;

\item $x^5 - 5\smallfrac{1}{2} x^4 + 11 \smallfrac{1}{2} x^3 - 11 \smallfrac{1}{2} x^2 + 5 \smallfrac{1}{2} x - 1 = 0$;

\item $x^5=1$;
\item $x^6-1=0$;
\item $x^8=1$;
\item $x^{10}=1$.

\exercisesection{M. Gleichungen mit Wurzeln, deren Radikand $x$ enthält.}

\item $\sqrt{x^2+x+3}=x+1$;
\item $\sqrt{x^2+7}-1=x$;

\item $(7+\sqrt{x})(3-\sqrt{x})=x+5$;

\item $x-\sqrt{x^2-\frac{7}{3} x - 1 } = 2$;

\item $\sqrt{x+9}=x-3$;
\item $x+\sqrt{x+5}=15$;

\item $\sqrt{3x+\sqrt{x-4}}=4$;

\item $\sqrt{5x-6}+\sqrt{7x+4}=8$;

\item $\sqrt{3x-8}+\sqrt{10x+9}=\sqrt{20x+1}$.

\exercisesection{N. Gleichungen in Worten:}

\item Welche Zahl ist um $\frac{7}{12}$ kleiner als ihr
reziproker Wert?

\item Die Zahl 72 in zwei Faktoren zu zerlegen, deren
Summe 17 ist.


\label{p:171}
\item Die reziproken Werte zweier aufeinanderfolgender
natürlicher Zahlen unterscheiden sich um $\frac{1}{12}$. Wie heißen
die Zahlen?

\item Welche Zahl ist um $\frac{3}{16}$ kleiner als ihre Quadratwurzel?

\item Die Summe der Quadrate von vier aufeinanderfolgenden
Zahlen beträgt 126. Welches ist die größte
dieser Zahlen?

\separator

\item Wie groß ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen
Dreiecks, wenn die eine Kathete um 1 Centimeter, die
andere um 18 Centimeter kürzer ist, als die Hypotenuse?

\item Wie groß ist der Radius eines Kreises, wenn eine
Sehne desselben um 11 Centimeter länger ist, als der
Radius, während ihr Centralabstand 8 Centimeter kürzer
ist, als der Radius?

\item Zwei Würfel unterscheiden sich um 218 Kubikcentimeter,
ihre Kantenlängen nur um 2 Centimeter. Wie
groß ist das Verhältnis ihrer Oberflächen?

\separator

\item Eine Gesellschaft, die aus Erwachsenen und Kindern
bestand, machte einen Ausflug. Jeder Erwachsene sollte
zu den Kosten 2 Mark mehr beisteuern, als jedes Kind.
Die Zahl der Kinder war um 2 größer, als die der Erwachsenen.
Schließlich zahlten die Erwachsenen zusammen
30 Mark, die Kinder nur 12 Mark. Wieviel Erwachsene
und wieviel Kinder beteiligten sich an dem Ausflug? Wieviel
Mark betrug der Beitrag für einen Erwachsenen und
wieviel für ein Kind?

\item Zu einem Wohlthätigkeits-Konzert waren im ganzen
110 Karten ausgegeben. Der numerierte Platz kostete
1 Mark 50 Pfennig mehr als der unnumerierte. Dadurch
kam es, daß die numerierten Sitze 90 Mark, die
unnumerierten 120 Mark einbrachten. Wieviel kostete ein
numerierter Sitz?

\item Die Schriftsetzer einer Stadt hatten eine Strike-Kasse,
die eine Summe von 7200 Mark enthielt. Da jeder
\label{p:172}
Strikende pro Woche 18 Mark Unterstützung haben sollte,
so hätte die Kasse für die vorhandene Zahl von Schriftsetzern
eine gewisse Anzahl von Wochen ausgereicht. Wären
aber nur 10 Schriftsetzer mehr vorhanden gewesen, so hätte
die Kasse 2 Wochen weniger die Unterstützung zahlen
können. Wieviel Schriftsetzer gehörten der Kasse an?

\item Bei einem Diner hörte man nach einem Toaste
253 mal zwei Gläser zusammenklingen, da jeder mit jedem
anstieß. Wieviel Personen nahmen an dem Diner teil?

\separator

\item Ein Badfahrer verfolgt einen Fußgänger, der ihm
jetzt 1 Kilometer voraus ist. Da der Radfahrer zu einem
Meter $\frac{15}{28}$ Sekunde weniger braucht, als der Fußgänger, so
holt er ihn in 5 Minuten ein. Wieviel Meter hatte der Radfahrer
zurückzulegen, um den Fußgänger einzuholen?

\item Aus zwei Dörfern, die 6250 Meter Entfernung von
einander hatten, gingen zwei Bauern sich entgegen. Beide
waren um 6 Uhr morgens aufgebrochen, der eine aber
brauchte zu einem Kilometer 1 Minute länger, als der
andere. Sie trafen sich um 6 Uhr 39 Minuten gerade an
der Feldergrenze der beiden Dörfer. Wie weit ist die
Feldergrenze von jedem der beiden Dörfer entfernt?

\item Bei einem Wegweiser trennen sich zwei Wanderer,
von denen der eine in der Minute $11 \smallfrac{2}{3}$ Meter mehr
zurücklegt, als der andere. Der eine geht nordwärts, der andere
westwärts. Nach 6 Minuten sind sie in der Luftlinie
730 Meter entfernt. Wieviel Meter legt jeder in der Stunde
zurück?

\separator

\item An einem zweiarmigen Hebel war Gleichgewicht,
als an einem Arm ein Gegenstand, am ändern Arm $7 \smallfrac{1}{9}$
Kilogramm aufgehängt waren. Hängte man den Gegenstand an
diesen andern Arm, so mußte man 9 Kilogramm am ersten
Arm anhängen, um Gleichgewicht zu erzielen. Wieviel wog
der Gegenstand?

\item Ein Stein wurde mit einer Anfangsgeschwindigkeit
von 20 Meter senkrecht in die Höhe geworfen.  Nach
wieviel Sekunden befand er sich 20,4 Meter hoch? [Ein
\label{p:173}
senkrecht in die Höhe geworfener Körper hat nach $t$ Sekunden
die Höhe von $\left( ct - \frac{1}{2}gt^2 \right)$ Meter erreicht, wenn $c$ Meter
pro Sekunde seine Anfangsgeschwindigkeit beträgt und
$g = 9,8$ ist.]

\item Vor einem Hohlspiegel von 1 Meter Brennweite
befand sich ein Objekt und weiterhin dessen Bild, und zwar
$1 \smallfrac{1}{2}$ Meter von einander entfernt. Wieviel Meter war das
Objekt vom Spiegel entfernt? [Ist $f$ die Brennweite eines
Spiegels, $a$ und $\alpha$ die Entfernungen des Spiegels von einem
Objekte und dessen Bilde, so ist $\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{\alpha}. ]$

\item Ein galvanischer Strom hatte 100 Volt Spannung.
Als man 5 Ohm Widerstand mehr einschaltete, sank die
Stromstärke um 1 Ampere. Wieviel Ohm Widerstand
waren anfänglich eingeschaltet?

\exercisesection{O. Buchstaben-Gleichungen.}

\item $x^2 + (a + b)x + ab = 0$;

\item $ex^2 + 2fx + g = 0$;
\item $x^2 + a^2 - 4b^2 = 2ax$;

\item $x^2 - 4ax - 4bx + 3a^2 - 12b^2 = 0$;

\item $x + \sqrt{x} = m$;

\item $x^4 + p^4 + q^4 = 2 [p^2q^2 + x^2p^2 + x^2q^2]$;

\item $x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0$;

\item $a - x + \sqrt{a^2 - 1} = \sqrt{x^2 - 1}$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Quadratische Gleichungen mit mehreren
Unbekannten.}\label{ch:28}

Eine Gleichung, die sich auf die Form
\begin{equation*}
    A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0
\end{equation*}
bringen läßt, wo $A, B, C, D, E, F$ bekannte Zahlen sind,
heißt eine quadratische Gleichung mit zwei Unbekannten.
Wenn man bei einer solchen Gleichung nur die eine der
beiden Zahlen $x$ und $y$ als unbekannt ansieht, so kann man
diese durch die andere Zahl ausdrücken, und zwar durch
Lösung einer quadratischen Gleichung. Daher giebt es zu
\label{p:174}
jedem Werte von $x$ emph{zwei} zugehörige Werte von $y$ derartig,
daß dieser Wert von $x$ und irgend einer der beiden Werte
von $y$ die vorliegende quadratische Gleichung erfüllen.
Wenn nun noch eine zweite solche quadratische Gleichung
zwischen $x$ und $y$ gegeben ist, so entsteht die Aufgabe,
diejenigen Wertepaare von $x$ und $y$ aufzufinden, welche
beide Gleichungen befriedigen. Die Lösung dieser Aufgabe
geschieht, wie bei den Gleichungen ersten Grades mit zwei
Unbekannten (§~\ref{ch:18}) dadurch, daß man durch Elimination
einer der beiden Unbekannten eine einzige Gleichung gewinnt,
welche nunmehr nur noch die andere Unbekannte
enthält. Wenn aber die beiden gegebenen Gleichungen ganz
allgemein sind, so gelangt man durch eine solche Elimination
zu einer Gleichung, die nicht vom zweiten, sondern vom
vierten Grade ist, also die folgende Form hat:
\begin{equation*}
    a x^4 +  b x^3 +  c x^2 +  d x + e = 0.
\end{equation*}
Da die Lösung der Gleichungen vierten Grades mit
einer Unbekannten nicht der elementaren Arithmetik angehört,
so können hier nur solche Systeme von quadratischen
Gleichungen mit zwei Unbekannten behandelt werden, bei
denen die Auffindung der Werte der Unbekannten durch
die Lösung von einer und von mehreren Gleichungen \emph{zweiten}
Grades gelingt. Die wichtigsten Fälle, in denen dies gelingt,
sind im Folgenden erörtert. Zu diesen Fällen rechnen wir
auch den, wo die eine Gleichung nur vom ersten Grade ist.
Andrerseits werden auch solche Fälle besprochen, in denen
die eine oder die andere Gleichung oder beide Gleichungen
von höherem als dem zweiten Grade sind, wenn nur die
Auffindung der Werte der Unbekannten lediglich von solchen
Gleichungen mit einer Unbekannten abhängt, deren Grad
den zweiten Grad nicht übersteigt.

\section*{A. Die eine Gleichung ist ersten Grades.}

Man drückt vermittelst der Gleichung ersten Grades
die eine Unbekannte durch die andere aus und setzt den
erhaltenen Ausdruck in der anderen Gleichung überall ein,
wo die ausgedrückte Unbekannte vorkommt. Wenn dann
diese andere Gleichung von nicht höherem, als dem zweiten
Grade ist, so ist auch die durch die Elimination gewonnene,
\label{p:175}
nur eine Unbekannte enthaltende Gleichung von nicht
höherem als dem zweiten Grade. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      3x - 5y = 1   \\
      x^2 - 3xy + 2y^2 + y = 1
    \end{gathered}
  \right\}.
\end{gather*}

Man erhält $x = \frac{1 + 5y}{3}$, und dann durch Einsetzen:
\begin{equation*}
    \frac{ (1 + 5y)^2 }{9} - 3 \cdot \frac{1 + 5y}{3} \cdot 2y^2 + y = 1;
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
    1 + 10y + 25y^2 - 9(1 + 5y)y + 18y^2 + 9y = 9;
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
    25y^2 - 45y^2 + 18y^2 +10y - 9y + 9y = 9 - 1;
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
    -2y^2 + 10 = 8 \text{ oder } y^2 - 5y + 4 = 0.
\end{equation*}

Durch Lösung der Gleichung $y^2 - 5 y + 4 = 0$ (§~\ref{ch:27})
erhält man: $y_1 = 4$, $y_2 = 1$, woraus durch Einsetzen dieser
Werte in die Substitationsgleichung $x = \frac{1 + 5y}{3}$ die zugehörigen
Werte von $x$ gefunden werden, nämlich $x_1 = 7$,
$x_2 = 2$. Das gegebene Gleichungssystem wird also durch
die beiden Wertepaare:
\begin{equation*}
  \begin{array}{cc|c|c|}
    x & = & 7 & 2   \\
    y & = & 4 & 1
  \end{array}
\end{equation*}
erfüllt.

\section*{B. Die Elimination der quadratisehen Glieder führt
auf eine Gleichung ersten Grades.}

Quadratisch heißen in der eingerichteten Form einer
Gleichung zweiten Grades die drei Glieder, welche $x^2$, $xy$,
$y^2$ enthalten. Wenn es gelingt, diese sämtlich zu eliminieren,
so entsteht eine dritte Gleichung, die keine quadratischen
Glieder mehr enthält, also ersten Grades ist. Diese kann
man dann mit einer der beiden gegebenen Gleichungen
verbinden und somit diesen Fall B auf den Fall A zurückführen.
Z.~B.:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      2(x + 1)(y - 4) = y + 11   \\
      (3x - 1)(2y - 9) = 5
    \end{gathered}
  \right\}.
\end{gather*}

\label{p:176}
Beim Einrichten dieser Gleichungen erhält man zunächst:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      2xy - 8x + 2y - 8 = y + 1   \\
      6xy - 27x - 2y + 9 = 5
    \end{gathered}
  \right\},
\end{gather*}
und dann:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      2xy - 8x + y = 9   \\
      6xy - 27x - 2y = -4
    \end{gathered}
  \right\}.
\end{gather*}

Um $xy$ zu eliminieren, hat man die erste Gleichung
mit 3 zu multiplizieren, und von der erhaltenen Gleichung
die zweite zu subtrahieren. So erhält man:
\begin{equation*}
  3x + 5y = 31 \text{ oder } x = \frac{31 - 5y}{3}.
\end{equation*}
Durch Substitution dieses für $x$ gefundenen Ausdrucks
in die erste der beiden eingerichteten Gleichungen erhält man:
\begin{equation*}
  \frac{62 - 10y}{3} \cdot y - \frac{248 - 40y}{3} + y = 9;
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  62y - 10y^2 - 248 + 40y + 3y = 27;
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  -10y^2 + 105y = 275;
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  y^2 - \frac{21}{2}y = -\frac{55}{2}.
\end{equation*}
Also:
\begin{equation*}
  y = \frac{21}{4} \pm \sqrt{ \frac{ 441 - 440 }{16} }
    = \frac{21}{4} \pm \frac{1}{4}.
\end{equation*}
Daher ist:\\[\medskipamount]
$y_1 = \frac{11}{2}$, $y_2 = 5$, woraus sich vermöge der Substitutionsgleichung
$x_1 = \frac{7}{6}$, $x_2 = 2$ ergeben.


\section*{C. Die eine Gleichung ist homogen, d.~h. sie enthält
nur quadratische Glieder.}

Wenn eine Gleichung sich auf die Form $ax^2 + bxy
 + c y^2 = 0$ bringen läßt, also nur quadratische Glieder
enthält, so erzielt man dadurch, daß man durch $y^2$ dividiert
\label{p:177}
nnd für $\frac{x}{y}$ eine neue Unbekannte $t$ einführt, eine quadratische
Gleichung, die nur diese eine Unbekannte enthält und deshalb
für diese gelöst werden kann. Nennt man eine der
beiden Lösungen $e$, so ist $x = ey$. Setzt man daher $ey$
für $x$ in der andern gegebenen Gleichung, so erhält man
eine Gleichung, die nur $y$ enthält und also leicht gelöst
werden kann. Ebenso hat man dann noch den andern
Wert von $t$ zu behandeln. Im ganzen erhält man \emph{vier}
Wertepaare. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      x^2 - 4xy + 3y^2 = 0   \\
      x^2 + y^2 = 5(y + 6)
    \end{gathered}
  \right\}.
\end{gather*}
Die erste Gleichung enthält nur quadratische Glieder
oder ist, wie man sagt, \emph{homogen}. Man erhält aus ihr,
wenn man $x : y = t$ setzt,
\begin{equation*}
  t^2 - 4t + 3 = 0,
\end{equation*}
woraus folgt:
\begin{equation*}
  t_1 = 3, t_2 = 1,\text{ d.~h. } x = 3 y \text{ und } x = y.
\end{equation*}
Zunächst setzt man $x = 3 y$ in die zweite Gleichung
ein. Dadurch erhält man:
\begin{equation*}
  10y^2 = 5(y + 6);
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  2y^2 - y - 6 = 0;
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  y^2 - \frac{1}{2}y - 3 = 0;
\end{equation*}
woraus folgt:
\begin{equation*}
  y = \frac{1}{4} \pm \sqrt{ \frac{1}{16} + \frac{48}{16} }
    = \frac{1}{4} \pm \frac{7}{4},
\end{equation*}
woraus sich die zwei Wertepaare ergeben:
\begin{equation*}
  x_1 = 6, \quad y_1 = 2, \quad x_2 = -\frac{9}{2}, \quad y_2 = -\frac{3}{2}.
\end{equation*}
Wenn man zweitens $x = y$ in die zweite Gleichung
einsetzt, so erhält man:
\begin{equation*}
2y^2 = 5y + 30
\end{equation*}
\label{p:178}
oder:
\begin{equation*}
  y^2 - \frac{5}{2}y = 15,
\end{equation*}
woraus man $y = \frac{5}{4} \pm \frac{1}{4}\sqrt{265}$ erhält. Demnach sind:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      x_3 = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{265}   \\
      y_3 = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}\sqrt{265}
    \end{gathered}
  \right\}  \text{ und }  \left\{
    \begin{gathered}
      x_4 = \frac{5}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{265}   \\
      y_4 = \frac{5}{4} - \frac{1}{4}\sqrt{265}
    \end{gathered}
  \right\}
\end{gather*}
zwei weitere Wertepaare, welche das ursprüngliche
Gleichungssystem erfüllen.


\section*{D. Die Einführung einer neuen Unbekannten
verursacht, daß die eine Gleichung nur noch diese,
also eine einzige Unbekannte, enthält.}

Schon in C war durch Einführung der neuen Unbekannten
$t$ für $x : y$ die Lösung des Gleichungssystems
bewirkt. Aber auch jeder andere von $x$ und $y$ abhängige
Ausdruck kann als Unbekannte betrachtet werden. Wenn
dadurch erreicht wird, daß die Gleichung dann lediglich
diese eine Unbekannte enthält und von höchstens dem
zweiten Grade ist, kann die Unbekannte bestimmt werden,
und dadurch ein Zerfallen des Gleichungssystems in zwei
Systeme bewirkt werden. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      x^4 - 2x^3y + x^2y^2 - 3x^2 + 3xy = 4   \\
      3x + y = 15
    \end{gathered}
  \right. .
\end{gather*}
Durch Umformung der ersten Gleichung erhält man:
\begin{equation*}
  x^2(x - y)^2 - 3x(x - y) = 4.
\end{equation*}
Man setzt deshalb $x(x - y) = t$. Dadurch erhält man:
\begin{equation*}
  t^2 - 3t = 4,
\end{equation*}
woraus folgt $t_1 = 4$, $t_2 = -1$. Man hat daher nun die
beiden folgenden Gleichungssysteme zu behandeln:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{split}
      x(x - y) &= \phantom{1}4   \\
      3x + y &=           15
    \end{split}
  \right\}  \text{ und }  \left\{
    \begin{split}
      x(x - y) &= -1   \\
      3x + y &= 15
    \end{split}
  \right\}
\end{gather*}

\label{p:179}
Aus diesen erhält man schließlich:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{array}{c|c|c|c}
      x = & 4 & -\frac{1}{4} & \frac{15}{8} \pm \frac{1}{8}\sqrt{209}
      \phantom{\Biggl|}\\
      \hline
      y = & 3 & +\frac{63}{4} & \frac{75}{8} \mp \frac{3}{8}\sqrt{209}
      \phantom{\Biggl|}
    \end{array}
  \right\}.
\end{gather*}

\section*{E. Benutzung des Zusammenhangs,
der zwischen der Summe, der Differenz, dem Produkt
und der Quadratsumme der beiden Unbekannten besteht.}

Da $(x + y)^2 = (x^2 + y^2) + 2(xy)$ und $(x - y)^2 =
(x^2 + y^2) - 2(x y)$ ist, so erhält man, wenn man $x + y = s$,
$x - y = d$, $x \cdot y = p$, $x^2 + y^2 = q$ setzt, die beiden folgenden
Gleichungen:
\begin{align*}
  s^2 &= q + 2p   \\
  \text{und } d^2 &= q - 2p.
\end{align*}

Wenn nun die beiden gegebenen Gleichungen so beschaffen
sind, daß sie zu zwei Gleichungen führen, die
allein zwischen $s$, $d$, $p$, $q$ bestehen, so erhält man ein
System von vier Gleichungen, aus denen sich oft $s$ und $d$
leicht berechnen läßt. Dann erhält man $x$ und $y$ aus $s$
und $d$ durch die Gleichungen $x = \frac{1}{2}(s + d)$ und
$y = \frac{1}{2}(s - d)$. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{split}
      3x^2 + 3y^2 &= 2(7 + 2x + 2y)   \\
      2x - xy + 2y &= 5
    \end{split}
  \right. .
\end{gather*}

Durch die erwähnte Einsetzung erhält man:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{split}
      3q &= 14 + 4s   \\
      p &= 2s - 5
    \end{split}
  \right. .
\end{gather*}

Zu diesen beiden Gleichungen hat man $s^2 = q + 2 p$
hinzuzugesellen. Dann erhält man durch Elimination von
$p$ und $q$:
\begin{equation*}
  s^2 = \frac{ 14 + 4s }{3} + 2(2s - 5)
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  s^2 - \frac{16}{3}s + \frac{16}{3} = 0,
\end{equation*}
\label{p:180}
woraus man $s_1 = 4$ und $s_2 = \frac{4}{3}$ erhält. Aus $s_1 = 4$ erhält
man dann nacheinander:
\begin{center}
  $p_1 = 3, q_1 = 10, d_1 = \pm 2$, woraus für $x$ und $y$ \\
  die Werte 3 und 1 bezw. 1 und 3 folgen.
\end{center}

Ebenso erhält man aus $s_2 = \frac{4}{3}$ nacheinander:
\begin{center}
  $p_2 = -\frac{7}{3}, q_2 = \frac{58}{9} d_2 = \pm\frac{10}{3}$,
  woraus für $x$ und $y$   \\
  die Werte $\frac{7}{3}$ und $-1$, bezw. $-1$ und $\frac{7}{3}$ folgen.
\end{center}

\section*{F. Summe oder Differenz gleich hoher Potenzen der
Unbekannten.}

Durch die in E eingeführten neuen Unbekannten $s$, $d$, $p$, $q$
lassen sich auch die Summen und Differenzen gleich hoher
Potenzen der Unbekannten leicht ausdrücken, wodurch oft
eine große Vereinfachung des gegebenen Gleichungs-Systems
herbeigeführt wird. Man beachte namentlich:
\begin{align*}
  x^2 + y^2 &= q,   \\
  x^2 - y^2 &= (x + y)(x - y) = s \cdot d,   \\
  x^3 + y^3 &= (x + y)(x^2 - xy + y^2) = s(q - p),   \\
  x^4 + y^4 &= (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 = q^2 - 2p^2,   \\
  x^4 - y^4 &= (x^2 + y^2) (x^2 - y^2) = qsd,   \\
  x^5 + y^5 &= (x + y) (x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)   \\
  &\quad = s(q^2 - p^2 - pq),   \\
  x^5 - y^5 &= (x - y) (x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)   \\
  &\quad = d(q^2 - p^2 + pq).
\end{align*}


Z.~B.:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{split}
      x^4 + y^4 &= 97   \\
      x^2 + y^2 - xy &= \phantom{9}7
    \end{split}
  \right.
\end{gather*}

Man erhält zunächst:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      q^2 - 2p^2 = 97   \\
      q = p + 7
    \end{gathered}
  \right\},
\end{gather*}
woraus folgt:
\begin{equation*}
  p^2 - 14p + 48 = 0,
\end{equation*}
\label{p:181}
also $p_1 = 8$, $p_2 = 6$, woraus sich $q_1 = 15$, $q_2 = 13$ ergiebt.
Hieraus folgt erstens $s^2 = 31$, $d^2 = -1$, zweitens auch
$s^2 = 25$, $d^2= 1$. Hiernach ergeben sich für $x$ und $y$ acht
Wertepaare, nämlich:
\begin{equation*}
  \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|}
    x = & \pm \frac{1}{2}\sqrt{31} + \frac{1}{2}i
    & \pm \frac{1}{2}\sqrt{31} - \frac{1}{2}i & 3 & 2 & -2 & -3 \\[\medskipamount]
    y = & \pm \frac{1}{2}\sqrt{31} - \frac{1}{2}i
    & \pm \frac{1}{2}\sqrt{31} + \frac{1}{2}i & 2 & 3 & -3 & -2
  \end{array}
\end{equation*}

\section*{G. Ein und derselbe $x$ und $y$ enthaltende Faktor auf
beiden Seiten der einen Gleichung.}

Wenn die eine Gleichung sich so umformen läßt, daß
auf ihren beiden Seiten ein und derselbe $x$ und $y$ enthaltende
Faktor erscheint, so wird die Gleichung dadurch erfüllt,
daß dieser Faktor gleich null gesetzt wird, wodurch eine
erste Gleichung entsteht, die mit der andern der beiden
gegebenen Gleichungen zu verbinden ist. Wenn man zweitens
annimmt, daß jener Faktor nicht null ist, so darf man durch
ihn auf beiden Seiten dividieren. Dadurch entsteht eine
zweite Gleichung, die wiederum mit der ändern der beiden
gegebenen Gleichungen zu verbinden ist. Auf solche Weise
zerfallt also das gegebene Gleichungssystem in zwei
einfachere Systeme. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      (x - y)(3x + y - 1) = 2(x^2 - y^2)   \\
      y^2 = 2x + 1
    \end{gathered}
  \right. .
\end{gather*}

Die erste Gleichung enthält beiderseits den Faktor $x - y$.
Also erhalten wir erstens das Gleichungssystem:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      x - y = 0   \\
      y^2 = 2x + 1
    \end{gathered}
  \right\} .
\end{gather*}

Nach Division durch $x - y$ erhält man: $3x + y - 1
= 2(x + y)$. Daher erhalten wir zweitens das Gleichungssystem:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{split}
      3x + y - 1 &= 2(x + y)   \\
      y^2 &= 2x + 1
    \end{split}
  \right\} .
\end{gather*}

Die Lösung der beiden Gleichungssysteme ergiebt die
folgenden Wertepaare:
\begin{equation*}
  \begin{array}{c|c|c|c|c|}
    x = & 1 + \sqrt{2} & 1 - \sqrt{2} & 4 & 0   \\
    y = & 1 + \sqrt{2} & 1 - \sqrt{2} & 3 & -1
  \end{array}.
\end{equation*}

\separator

\label{p:182}
Wenn ein Gleichungssystem mit \emph{mehr als zwei} Unbekannten
eine einzige Gleichung zweiten Grades und
anßerdem nur Gleichungen ersten Grades enthält, so entsteht,
gerade wie oben im Fall A, durch Elimination eine nur eine
Unbekannte enthaltende Gleichung zweiten Grades. Wenn
aber ein solches System mehrere quadratische Gleichungen
enthält, so muß man suchen, einfachere Gleichungen abzuleiten
oder durch Einführung neuer Unbekannten ein diese
neuen Unbekannten enthaltendes einfacheres Gleichungssystem
zu gewinnen, um so schließlich das Hauptziel, die
Außtellung einer quadratischen Gleichung mit nur einer
Unbekannten, zu erreichen. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \left\{
    \begin{gathered}
      3x + y + z = 18   \\
      3x^2 = 7 + yz   \\
      5x^2 = 4 + y^2 + z^2
    \end{gathered}
  \right\}.
\end{gather*}

Man drücke aus der ersten Gleichung $y + z$, ans der
zweiten $yz$ und aus der dritten $y^2 + z^2$ durch $x$ aus, und
benutze dann, daß
\begin{equation*}
  (y + z)^2 = 2 \cdot (yz) + (x^2 + z^2)
\end{equation*}
ist. So erhält man eine nur $x$ enthaltende Gleichung, nämlich:
\begin{equation*}
  x^2 + 54x - 171 = 0,
\end{equation*}
die zu $x_1 = 3$, $x_2 = -57$ fühlt. Setzt man den einen oder
den ändern dieser Werte von $x$ ein, so erhält man die zugehörigen
Werte von $y^2 + z^2$ und von $y \cdot z$, aus denen man
nach E dann $y - z$ und schließlich $y$ und $z$ einzeln gewinnt.
Die so ableitbaren Wert-Tripel sind folgende:
\begin{equation*}
  \begin{array}{r|c|c|l|}
    x = & 3 & 3 & -57   \\
    y = & 4 & 5 & \frac{189}{2} \pm \frac{1}{2}i\sqrt{3239} \\[\medskipamount]
    z = & 5 & 4 & \frac{189}{2} \mp \frac{1}{2}i\sqrt{3239}
  \end{array} .
\end{equation*}

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:28}.}

\begin{exercise}

\exercisesection{A.}

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x + 2y = \phantom{1}8   \\
      x^2 + y^2 = 13
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      xy = 10   \\
      x - y = \phantom{1}3
    \end{gathered} \right.$;

\label{p:183}
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      3x + 8y = 20   \\
      x^2 + 2y^2 + xy = 5x + y + 1
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      \frac{x}{5} + \frac{y}{5} = \phantom{3}2   \\
      x^2 + xy = 36
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      \frac{2x + y}{x - y} = \frac{3x - 1}{y - 1}   \\
      x + y = 5
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      \frac{x+y}{4} - \frac{x+1}{5} = \frac{2}{5} - \frac{4-3y}{20}   \\
      y^2 = x^2 + 5
    \end{gathered}
  \right.$.


\exercisesection{B.}

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      (x + y)^2 = x + y + 6   \\
      x^2 + y^2 = 4x + y - 2xy
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      xy + x = 18   \\
      xy + 2y = 25
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      (x + 1)(y - 3) = 24   \\
      (x - 2)(y + 1) = 24
    \end{gathered}
  \right.$.


\exercisesection{C.}

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^2 = xy + 2y^2   \\
      x^2 = 12 + 3x - 2y^2
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x(x - 5) = 175 - y^2   \\
      x(x + 6y) = 5y^2
    \end{gathered}
  \right.$.

\exercisesection{D.}

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      (x - y)^2 + x - y = 6   \\
      x^2 = y(2x + 1) + 2x - 18
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      \frac{x + 2}{y + 3} + \frac{y + 3}{x + 2} = 2   \\
      2x^2 - y^2 = 3x + 4y + 9
    \end{gathered}
  \right.$.


\exercisesection{E.}

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x + y = 12   \\
      xy = 32
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^2 + y^2 = 61   \\
      xy = 30
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^2 + y^2 = 53   \\
      x - y = \phantom{5}5
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^2 + y^2 + x + y + xy = 76   \\
      2x^2 - 5x - 56 = 5y - 2y^2 + 5
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x - xy + y = 1   \\
      x^2 + x^2y^2 + y^2 = 9
    \end{gathered}
  \right.$.


\exercisesection{F.}

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^3 + y^3 = 28   \\
      x + y = \phantom{2}4
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^3 - y^3 = 19   \\
      x - y = \phantom{1}1
    \end{gathered}
  \right.$;

\label{p:184}
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^4 + y^4 = 97\\
      x - y     = 1
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^5 + y^5 = 275\\
      x + y = 5
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^4 - y^4 = 80 \\
      x^2 - y^2 = 8
    \end{gathered}
  \right.$;
                                %
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^4 + y^4 = 257 \\
      x^2 + y^2 = xy + 13
    \end{gathered}
  \right.$.

\exercisesection{G.}

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      (x-4y-3) (x+y) = 0 \\
      x^2 + y^2 = 22 + 4xy
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      (x+y) (3y-2x-1) = x^2-y^2 \\
      x^2 - xy - 5    = 0
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^4 = y^4 + 9 (x^2 + y^2 ) \\
      xy  = 15
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      (x + y)^2 - 4 = (x + y + 2) (x - 1) \\
      4x + y        = 17
    \end{gathered}
  \right.$.

\separator

\exercisesection{Unbekannte unter Quadratwurzelzeichen.}

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      3 ( \sqrt{x} + \sqrt{y} ) = x - y \\
      xy = 324
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^2 + y \sqrt{xy} = 260 \\
      y^2 + x \sqrt{xy} = 65
    \end{gathered}
  \right.$.

\exercisesection{Buchstaben-Gleichungen.}

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x + y = s\\
      x^2 + y^2 = q
    \end{gathered}
  \right.$;
                                %
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^2 + y^2 + x + y = e \\
      xy + x + y = t
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      xy = a^2 \\
      x : y = b^2
    \end{gathered}
  \right.$;
                                %
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^2 - y^2 = c\\
      x - y = d
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x^2 + y^2 = q \\
      \sqrt{x} + \sqrt{y} = h
    \end{gathered}
  \right.$.

\exercisesection{Mehr als zwei Unbekannte.}

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      3x - y + z = 7\\
      x + y + 2z = 13\\
      x^2 + 2y^2 - z^2 = 6
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x  + y       = z\\
      x  + 3z      = 10\\
      xy + xz + yz = 11
    \end{gathered}
  \right.$;

\label{p:185}
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      xy = \phantom{1}2   \\
      xz = \phantom{1}5   \\
      yz = 10
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      (x + y)(x + z) = 54   \\
      (y + z)(y + x) = 66   \\
      (z + x)(z + y) = 99
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x(y + z) = 65   \\
      y(z + x) = 72   \\
      z(x + y) = 77
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x : y = y : z   \\
      x + y + z = 28   \\
      x^2 + y^2 + z^2 = 336
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $2xyz = 105(x + y) = 84(x + z) = 130(y + z)$.

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      xy + xz + yz = 19   \\
      x^2 + y^2 + z^2 = 26   \\
      x + y = z
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      xy = zu   \\
      x + y = 18   \\
      z + u = 17   \\
      x^2 + y^2 + z^2 + u^2 = 325
    \end{gathered}
  \right.$;

\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x + y = 4   \\
      x + z = 6   \\
      x + u = 8   \\
      yz + yu + zu = 71
    \end{gathered}
  \right.$;
\item $\left\{
    \begin{gathered}
      x + y + z + u = 16   \\
      xy + zu = 36   \\
      xz + yu = 28   \\
      xu + yz = 27
    \end{gathered}
  \right.$.

\separator

\exercisesection{Gleichungen in Worten.}

\item Von zwei gesuchten Zahlen ist die Summe 52, die
Summe ihrer Quadratwurzeln 10.

\item Zwei Polygone haben zusammen 13 Seiten und
29 Diagonalen. Wieviel Seiten hat jedes?

\item Welche zwei komplexen Zahlen haben dieselbe Summe,
dasselbe Produkt und dieselbe Quadratsumme?

\item Ein rechtwinkliges Dreieck hat 56 Meter Umfang
und 84 Quadratmeter Inhalt. Wie lang sind seine Seiten?

\item Von drei Zahlen, die eine stetige Proportion bilden,
beträgt die Summe 19, die Summe der Quadrate 133.
Wie heißen die drei Zahlen?

\item Eine Chaussee zwischen zwei Orten A und B ist
33 Kilometer lang. Auf ihr gehen von A und von B aus
um 8 Uhr zwei Fußgänger ab, die sich um 11 Uhr begegnen.
Der von A kommende Fufsgänger trifft aber
\label{p:186}
1 Stunde 6 Minuten früher in B ein, als der von B
kommende in A eintrifft. Wieviel Minuten braucht jeder
von beiden zu einem Kilometer?

\item Ein Pferdeverkäufer verkauft alle seine Pferde zu
gleichem Preise und nimmt dabei 4800 Mark ein. Er hätte
dieselbe Summe eingenommen, wenn er 1 Pferd mehr und
jedes 8 Mark billiger verkauft hätte. Wieviel Pferde
verkaufte er, und jedes zu welchem Preise?

\item Der Effekt eines galvanischen Stroms von 200 Volt
Spannung wurde um 600 Watt gesteigert, als 15 Ohm
Widerstand ausgeschaltet wurden. Wie groß war der
anfängliche Widerstand, die anfängliche Stromstärke und der
anfängliche Effekt? [l Watt gleich 1 Volt mal 1 Ampère.]
\end{exercise}

\separator

\label{p:187}
\part{Rechnungsarten dritter Stufe.}

\chapter{Potenzen mit ganzzahligen Exponenten.}\label{ch:29}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    \bfseries Definitionsformel: & $a^p = \ontop{1)}{a} \cdot \ontop{2)}{a}
    \cdot \ontop{3)}{a} \cdot \dots \ontop{p)}{a}$. \\
    \parbox{10em}{\centering\bfseries
      Distributions\-formeln bei gleicher Basis: } &
    $\left\{
      \begin{array}{@{}r@{\ }l}
        \text{  I)} & a^p \cdot  a^q = a^{p+q};   \\
        \text{ II)} & a^p : a^q = a^{p-q}, \text{ wenn$p > q$ist}; \\
        \text{III)} & a^p : a^q = 1, \text{ wenn$p = q$ist};   \\
        \text{ IV)} & a^p : a^q = 1: a^{q-p}, \text{ wenn$p < q$ist.}
      \end{array}
    \right.$ \\
    \parbox{10em}{\centering\bfseries
      Distributions\-formeln bei gleicher Exponenten:} &
    $\left\{
      \begin{array}{@{}r@{\ }l}
        \text{  V)} & a^q \cdot  b^q  = (a \cdot  b)^q;   \\
        \text{ VI)} & a^q : b^q  = (a : b)^q .
      \end{array}
    \right.$ \\
    \bfseries Associationsformel: & VII) $(a^p)^q = a^{p \cdot q} = (a^q)^p$.
  \end{tabular}
\end{center}

In §~\ref{ch:10} ist die Definition des Produktes dahin erweitert,
daß dasselbe beliebig viele Faktoren enthalten darf, und,
im Anschluß daran, eine abgekürzte Schreibweise für solche
Produkte eingeführt. Indem man diese zwei Zahlen enthaltende
Schreibweise als eine arithmetische Verknüpfung derselben
auffaßt, gelangt man zur \emph{direkten Rechnungsart
dritter Stufe. Eine Zahl $a$ mit einer Zahl $p$ potenzieren,
heißt also, ein Produkt von $p$ Faktoren
bilden, von denen jeder $a$ heißt.} Die Zahl $a$, \emph{welche}
als Faktor eines Produktes gesetzt wird, heißt Basis, die
Zahl $p$ welche angiebt, wie oft die andere Zahl $a$ als
Faktor eines Produktes gesetzt werdensoll, heißt \emph{Exponent}.
Das Resultat der Potenzierung, das man $a^p$ sehreibt und
``$a$ hoch $p$'' oder ``$a$ zur $p$-ten Potenz'' liest, heißt \emph{Potenz}.
Da der Exponent zählt, wie oft die Basis als Faktor zu
\label{p:188}
denken ist, so kann der Exponent nur eine positive ganze
Zahl sein. Dagegen kann die Basis jede beliebige Zahl
sein. Z.~B.:
\begin{gather*}
  (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 ;   \\
  \left(\frac{3}{5}\right)^4 =
  \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{3}{5}\right)
  \left(\frac{3}{5}\right) \left(\frac{3}{5}\right) = \frac{81}{625}; \\
  0^6 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 .
\end{gather*}

Da man $a$ als Produkt von \emph{einem} Faktor ansehen
kann, setzt man $a^1 = a$.

Potenzen, welche den Exponenten 2 haben, sind unter
dem Namen ``Quadrate'', schon im V. Abschnitt behandelt.
Die Potenzen mit dem Exponenten 3 heißen auch ``\emph{Kuben}''
und die dritten Potenzen der natürlichen Zahlen ``\emph{Kubikzahlen}''.
Diese Ausdrücke erklären sich dadurch, daß
man, behufs Bestimmung des Volumens eines ``\emph{Kubus}'',
d.~h. eines Würfels, die Maßzahl seiner Kantenlänge mit 3
zu potenzieren hat. Die ersten neun Kubikzahlen sind:
\begin{equation*}
  1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729.
\end{equation*}

Auch Potenzen von höheren Exponenten sind von §~\ref{ch:10}
an wiederholt vorgekommen, aber immer nur als abgekürzt
geschriebene Produkte behandelt. Von nun an wird aber
die Potenziemng als eine selbständige Rechnungsart
angesehen, die aus der Multiplikation ebenso hervorgeht, wie
diese ans der Addition entstand, und deshalb \emph{dritter} Stufe
heißen muß.

\separator

Die Formeln I und II entsprechen genau den Formeln
I und II des §~\ref{ch:10}, sind also auch analog zu beweisen.
Formel III ist richtig, weil ein Quotient, dessen Dividendus
und Divisor gleich sind, den Wert 1 hat. Bei der linken
Seite von Formel IV hat man sich einen Quotienten zu
denken, dessen Dividendus ein Produkt von $p$ Faktoren $a$
ist, während der Divisor ein Produkt von $q$ Faktoren $a$ ist.
Ist nun $p <q$, so heben sich alle Faktoren des Dividendus
fort, sodaß ein Quotient entsteht, dessen Dividendus 1 ist,
und dessen Divisor ein Produkt von $q - p$ Faktoren ist.

Formel V und VI sind richtig, weil man jeden von den
$q$ Faktoren $a$, die $a^q$ umfaßt, mit einem von den $q$ Faktoren
$b$, die $b^q$ umfaßt, durch Multiplikation bezw. Division vereinigen
\label{p:189}
kann, sodaß $q$ Produkte bezw. Quotienten entstehen,
deren jeder $a \cdot b$ bezw. $a : b$ heißt.

Formel VII ist richtig, weil ein Produkt von $q$ Faktoren,
deren jeder ein Produkt von $p$ Faktoren ist, ein Produkt
von $p \cdot q$ Faktoren darstellt, und zugleich als ein Produkt
von $p$ Faktoren aufgefaßt werden kann, deren jeder ein
Produkt von $q$ Faktoren ist.

Zwischen diesen Gesetzen der Potenzierung und denen
der Multiplikation besteht nur der wesentliche Unterschied,
daß bei der Potenzierung das Kommntationsgesetz ungültig
ist, da im allgemeinen $a^b$ \emph{nicht} gleich $b^a$ ist.

Wenn die Basis einer Potenz nicht eine bloße Zahl
oder ein einzelner Buchstabe, sondern ein Ausdruck ist, so
ist derselbe in eine Klammer einzuschließen. Dagegen
macht die höhere Stellung des Exponenten eine Klammer
um denselben überflüssig.

\separator

Nach der Definition der Potenzierung sind $a^0$ und $a^{-n}$,
wo $-n$ eine negative ganze Zahl ist, sinnlose Zeichen.
Auch Produkte, deren Multiplikator null oder negativ ist,
waren, nach der ursprünglichen Definition der Multiplikation,
sinnlose Zeichen. Doch erhielten solche Zeichen, gemäß
dem \emph{Prinzip der Permanenz}, dadurch Sinn, daß man
wünschte, mit solchen Differenzen ebenso multiplizieren zu
können, wie mit Differenzen, die ein Ergebnis des Zählens
darstellen. In derselben Weise verfährt man mit den
Potenzformen:
\begin{equation*}
  a^0 \text{ und } a^{-n} .
\end{equation*}

Man setzt also $a^0 = a^{p-p}$, hebt die Beschränkung
$p > q$ in Formel II auf, wendet dieselbe, umgekehrt gelesen,
an, und benutzt dann Formel III. So erhält man:
\begin{equation*}
  a^0 = a^{p-p} = a^p : a^p = 1 .
\end{equation*}

Ebenso setzt man $a^{-n} = a^{p-(p+n)}$, hebt die Beschränkung
$p > q$ in Formel II auf, findet dadurch $a^p : a^{p+n}$,
wendet nun Formel IV an, und erhält $1 : a^n$. Hiernach
haben auch Potenzen, deren Exponent null oder negativ ist,
Sinn bekommen, nämlich:
\begin{equation*}
  a^0 = 1 \text{ und } a^{-n} = 1 : a^n = (1 : a)^n .
\end{equation*}
\label{p:190}
Z.~B.:
\begin{gather*}
  7^0 = 1; \quad
  \left( -\frac{3}{4} \right)^0 = 1; \quad
  3^{-4} = 1 : 3^4 = \frac{1}{81};  \\
  \left( \frac{4}{5} \right)^{-2} = 1 : \left( \frac{4}{5} \right)^2
  = 1 : \frac{16}{25}
  = \frac{25}{16} .
\end{gather*}

Für derartige Potenzformen gelten dieselben Gesetze
wie für eigentliche Potenzen. Mit Hilfe der negativen
Exponenten kann man jede Potenz aus dem Nenner eines
Bruches in den Zähler und umgekehrt stellen, indem man
das \emph{Vorzeichen} des Exponenten in das entgegengesetzte
verwandelt. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \frac{a^4}{b^5} = a^4 \cdot b^{-5}; \quad
  \frac{c^3 d^{-4} e^{-5} }{ f^{-6} g^7 }
  = \frac{ c^3 f^6 }{ d^4 e^5 g^7 } .
\end{equation*}

Die Ausdehnung des Begriffs der Potenzierung auf den
Fall, daß der Exponent eine gebrochene Zahl ist, läßt sich
erst bewerkstelligen, nachdem die Gesetze der Radizierung,
der einen der beiden Umkehrungen der Potenzierung, festgestellt
sind.

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:29}.}

\begin{exercise}

\exercisegoal{Berechne:}

\item $2^6$;
\item $3^5$;
\item $(1\smallfrac{1}{3})^4$;
\item $0^14$;
\item $1^39$;
\item $39^1$;

\item $(-1)^3$;
\item $(-1)^{40}$;
\item $(-1)^{41}$;
\item $(-2)^10$;

\item $(-2)^9$;
\item $\left( -\frac{2}{3} \right)^5$;
\item $(-0,2)^4$;
\item $(\sqrt{2})^6$;

\item $i^{13}$;
\item $3 \cdot 4^2 - 2 \cdot 3^4 + 10^3$;
\item $(2^3 + 2)^8$;

\item $(3^2 - 2^3)^{1899}$.


\exercisegoal{Vereinfache:}

\item $a^3 \cdot a^4 \cdot a^5$;
\item $a^{19} \cdot a^3 : a^{20}$;
\item $a^7 : a^5 - b^5 : b^3$;

\item $a^p \cdot a^q \cdot a^r$;
\item $a^b : a^c \cdot a^d$;
\item $a^{b-c} \cdot a^{b+c}$;

\item $a^{p+q} : a^p : a^s$;
\item $\left( \frac{3}{4}a^2b \right) \left( \frac{4}{5}a b^2 \right) :
  \left( \frac{3}{5}a^2b^2 \right)$;

\item $(a^2bc) (a^3b^2c^3) (ab^3c^2)$;
\item $a^{3p} \cdot a^{4q} : (3p + 4q)$;

\item $\frac{ a^{3p-4q} \cdot b^{5p} \cdot c^{4q-p} }
  { a^{2p-3q} \cdot b^{4p-1} \cdot c^{p+q} } :
  \frac{ a^p \cdot b^{3p+1} \cdot c^{3q-1} }
  { a^q \cdot b^{2p} \cdot c^{2p-1} }$;

\label{p:191}
\item $\frac{ (a - b)^{p+q+1} }{ (a - c)^{p-q} }
  \cdot  \frac{ (a - c)^{p+q} }{ (a - b)^{p-2q} }
  : (a - b)$;

\item $\frac{ a^n - b^n }{a - b}$;
\item $\frac{ a^{2n} - b^{2n} }{a + b}$;
\item $\frac{ a^{2n+1} + b^{2n+1} }{a + b}$;

\item $\frac{ a^{3n} + b^{3n} }{ a^n + b^n }$;
\item $\frac{ a^{4m} - b^{4m} }{ a^{2m} - b^{2m} }$;

\item $(3\smallfrac{1}{3})^{2n} \cdot \left( \frac{6}{5} \right)^{2n}
  \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{2n}$;

\item $( 8^n \cdot 125^n ) : 10^{3n}$;
\item $4^{3n} \cdot 25^n \cdot 5^{4n} - 10^{6n}$;

\item $(a^2 bc^2 )^3 \cdot (ab^2 c)^4 : (b^3 c)^3 : b^2 c^7$;

\item $(a^3)^{2n} - (a^2)^{3n}$;
\item $(a^5)^{12} : (a^4)^{15}$;

\item $\frac{ (p^2 - q^2)^{p-q} }{ (p + q)^{p-q} }$;
\item $\frac{1}{a^n} - \frac{1}{ a^{n-2} }$;

\item $\frac{a}{a^{n-1}} + \frac{1}{a^{n-2}} - \frac{2a^4}{a^{n+2}}$;

\item $\frac{1+a}{a^2} + \frac{a+a^2}{a^3} - \frac{2(a^2+a^3)}{a^4}$;

\item $ab^2(a^2b + a^3b) - a^2b(ab^2 + a^2b^3)$;

\item $(a^m + a)^2$;
\item $\left( a + \frac{1}{a} \right)^2$;
\item $\left( a - \frac{1}{a} \right)^3$;

\item $\frac{a^p + a^q}{a^p - a^q} + \frac{a^p - a^q}{a^p + a^q}
    - \frac{ a^{2p} + a^{2q} }{ (a^2)^p - (a^2)^q }$.

\separator

\exercisegoal{Berechne:}

\item $4^0 + 7^0 + 10^0$;
\item $9^{-1}$;
\item $3^{-2}$;

\item $2^{-3} \cdot 5 + 2^{-4} \cdot 10 - 5 \cdot 2^{-2}$;
\item $6 : 6^{-1}$;

\item $(0,3)^{-2}$;
\item $(1 : 5)^{-3}$;
\item $(-3)^0 + 1^{-3} - 2^{a-a}$;

\item $3 \cdot 10^0 + 1 \cdot 10^{-1} + 4 \cdot 10^{-2} + 1 \cdot 10^{-3} + 6\cdot 10^{-4}$.

\exercisegoal{Schreibe mit positiven Exponenten:}

\item $(b : c)^{-n}$;
\item $\frac{ a^4b^{-3}c^2 }{ d^{-3} }$;
\item $\left( \frac{1}{a+b} \right)^{-n}$;

\item $\frac{ 4abc }{ a^{-4}b^{-3}c^{-2} }
    + \frac{ a^2b^3c^4 }{ a^{-3}b^{-1}c }$.

\label{p:192}
\exercisegoal{Vereinfache}:

\item $a^{2n-1} : a^{-1} + b^{3n-4} : b^{n-4}$;

\item $(a:b)^{-3} \cdot (b:c)^{-4} \cdot (c:a)^{-5}$;

\item $(a^{-2})^3 \cdot (b^{-4})^2 : ( a^{-3} b^{-4} )^2$;

\item $\left( \frac{ p+q }{ p-q } \right)^{-3}
  \cdot \frac{(p^2-q^2)^3}{(p-q)^6}$;

\item $\frac{ 3a^{3n}+ 2a^{2n}b+ b^{3n} }{ 3a^{2n}- a^nb^n+ b^{2n} }$;

\item $(a^{-8})^{-3} - (a^{-4})^{-6} + (a^{-2})^{-12}$;

\item $\left[(a^{-2})^{-3}\right]^{12} - \left[(a^4)^{-8}\right]^{-6}$.

\exercisegoal{Löse die Gleichungen}:

\item $x^{-1} - 7x^{-2} + 12x^{-3} = 0$;

\item $x + 5 x^{-1} = 6$;

\item $1 = (x + 2)^{-2} \cdot (8x + 1)$.

\end{exercise}

\separator

\chapter{Wurzeln.}\label{ch:30}

\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    \textbf{Definitionsformel:} &
    $\left( \sqrt[n]{a} \right)^n = a$; \\[\medskipamount]
    & \quad I) $\sqrt[n]{ a^n } = a$. \\[\medskipamount]
    \textbf{Distributionsformeln:} &
    $\begin{cases}
          \text{ II)} & \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a\cdot b} ;\\
          \text{III)} & \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a : b} .
        \end{cases}$ \\[\medskipamount]
    \textbf{Associationsformeln:} &
    $\begin{cases}
      \text{ IV)} & \sqrt[p]{ a^q } = ( \sqrt[p]{a} )^q   ;\\
      \text{  V)} & \sqrt[p]{ \sqrt[q]{a} } = \sqrt[pq]{a} .
    \end{cases}$ \\[\medskipamount]
    & \quad VI) $\sqrt[mp]{a^{mq}} = \sqrt[p]{a^q}$.
  \end{tabular}
\end{center}

\separator

\begin{equation*}
 \left( \sqrt[n]{a} \right)^n = a ,
\end{equation*}
auch wenn $a$ keine $n$\,te Potenz einer rationalen Zahl ist.

\separator

\label{p:193}
Da bei der Potenzierung das Kommutationsgesetz nicht
gilt, weil im allgemeinen $a^n$ nicht gleich $n^a$ ist, so müssen
die beiden Umkehrungen der Potenzierung nicht allein
logisch, sondern auch \emph{arithmetisch} unterschieden werden.
Die Rechnungsart, welche bei $b^n = a$ die Basis $b$, also die
passive Zahl, als gesucht, $a$ und $n$ aber als gegeben betrachtet,
heißt \emph{Radizierung} oder \emph{Wurzel-Ausziehnng};
die Rechnungsart aber, welche bei $b^n = a$ den Exponenten
$n$, also die aktive Zahl, als gesucht, $b$ und $a$ aber als gegeben
betrachtet, heißt \emph{Logarithmierung}. Hier soll nur
die erste der beiden genannten Umkehrungen behandelt
werden. Die Behandlung der Logarithmierung folgt erst
in §~\ref{ch:32}.

Die Darstellung der Basis $b$ aus der Potenz $a$ und
dem Exponenten $n$ sehreibt man:
\begin{equation*}
  b = \sqrt[n]{a},
\end{equation*}
gelesen: ``$b$ gleich der n-ten Wurzel aus $a$.'' Es ist also $\sqrt[n]{a}$
die Zahl, die, mit $n$ potenziert, $a$ ergiebt. Dies spricht die
in der Überschrift stehende Definitionsformel aus. Die Zahl
$a$, welche ursprünglich Potenz war, heißt bei der Radizierung
\emph{Radikandus}, die Zahl, welche Potenz-Exponent war, heißt
\emph{Wurzel-Exponent}, und die Zahl, welche Basis war, heißt
\emph{Wurzel}. Es ist z.~B. bei $\sqrt[3]{8}=2$ die Zahl 8 der
Radikandns, 3 der Wurzel-Exponent, 2 die Wurzel. Wenn
der Wurzel-Exponent die Zahl 2 ist, so pflegt man ihn
fortzulassen, z.~B. $\sqrt{25}=5$. Für diesen besonderen Fall
ist die Radizierung schon im V. Abschnitt behandelt. Die
Beweise der Formeln der Überschrift ergeben sich aus der
Definition der Radizierung in ähnlicher Weise, wie sich die
Formeln des §~\ref{ch:12} aus der Definition der Division ergaben.
Nämlich:

Formel I ist richtig, weil $\sqrt[n]{a^n}$ die Zahl bedeutet, welche
mit $n$ potenziert, $a^n$ ergiebt, und $a$ diese Zahl ist;

Formel II ist richtig, weil
\begin{equation*}
  \left( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \right)^n
  = \left( \sqrt[n]{a} \right)^n \cdot \left( \sqrt[n]{b} \right)^n
  = a \cdot b \text{ ist};
\end{equation*}

\label{p:194}
Formel III ist richtig, weil
\begin{equation*}
    \left( \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b} \right)^n
  = \left( \sqrt[n]{a} \right)^n : \left( \sqrt[n]{b} \right)^n
  = a : b \text{ ist};
\end{equation*}

Formel IV ist richtig, weil
\begin{equation*}
    \left[\left(\sqrt[p]{a}\right)^q\right]^p
  = \left[\left(\sqrt[p]{a}\right)^p\right]^q
  = a^q \text{ ist};
\end{equation*}

Formel V ist richtig, weil
\begin{equation*}
    \left( \sqrt[p]{ \sqrt[q]{a} } \right)^{pq}
  = \left[ \left( \sqrt[p]{ \sqrt[q]{a} } \right)^p \right]^q
  = \left( \sqrt[q]{a} \right)^q
  = a \text{ ist};
\end{equation*}

Formel VI ist richtig, weil
\begin{equation*}
    \left( \sqrt[p]{a^q} \right)^{mp}
  = \left[ \left( \sqrt[p]{a^q} \right)^p \right]^m
  = \left( a^q \right)^m
  = a^{mq} \text{ ist.}
\end{equation*}

Wie mit Anwendung dieser Formeln sich Ausdrücke,
die Wurzeln enthalten, umformen lassen, zeigen folgende
Beispiele:

1) $\begin{gathered}[t]
  \sqrt[n]{a^{3p-q}} \cdot \sqrt[n]{a^{4p+q-2}}
  = \sqrt[n]{a^{3p-q+4p+q-2}} \\
  = \sqrt[n]{a^{7p-2}}
\end{gathered}$;

2) $\sqrt[m]{a^5 b^4} : \sqrt[m]{a^4 b^3}
   = \sqrt[m]{a^{5-4}b^{4-3}}
   = \sqrt[m]{ab}$;

3) $\begin{gathered}[t]
  \sqrt[4]{a^{19} b^{21}}
  = \sqrt[4]{a^{16} \cdot a^3 \cdot b^{20} \cdot b}
  = \sqrt[4]{a^{16} b^{20}} \cdot \sqrt[4]{a^3 b} \\
  = a^4 b^5 \sqrt[4]{a^3 b}
\end{gathered}$;

4) $\begin{gathered}[t]
  \sqrt[4]{a^2 b^3} \cdot \sqrt[6]{a^5 b^5} \cdot \sqrt[9]{a^7 b^8} \\
  = \sqrt[36]{a^{18} b^{27}} \cdot \sqrt[36]{a^{30} b^{30}} \cdot \sqrt[36]{a^{28} b^{32}}
  = \sqrt[36]{a^{76} b^{89}} \\
  = \sqrt[36]{a^{72} b^{72} a^4 b^{17}}
  = a^2 b^2 \cdot \sqrt[36]{a^4 b^{17}}
\end{gathered}$;

5) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^5 b^{10}}}
   = \sqrt[3]{\sqrt[5]{a^5 b^{10}}}
   = \sqrt[3]{a b^2}$;

6) $\begin{gathered}[t]
  \frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{1}+1}
  = \frac {\left(\sqrt[3]{a}-1\right)\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1\right)}
  {\left(\sqrt[3]{a}+1\right)\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}+1\right)} \\
  = \frac{a-2\sqrt[3]{a^2}+2\sqrt[3]{a}-1}{a+1}
\end{gathered}$.

\separator

\label{p:195}
In §~\ref{ch:24} ist auf die dekadische Stellenwert-Zifferschrift
ein Verfahren gegründet, um die Quadratwurzel aus einer
dekadisch geschriebenen Zahl wiederum in dekadischer
Stellenwert-Schrift darzustellen. In analoger Weise kann
man verfahren, um die \emph{Kubikwurzel}, d.~h. dritte Wurzel,
aus einer gegebenen Zahl zu finden. Man hat dabei die
Entwickelung von
\begin{gather*}
  (a + b + c + d + \ldots )^3  \\
  \begin{aligned}
    &= a^3 + 3a^2 b + 3ab^2   \\
    &+ 3(a+b)^2 c +3(a + b)c^2 + c^3 \\
    &+ 3(a+b+c)^2 d + 3(a+b+c)d^2 + d^3 + \ldots
  \end{aligned}
\end{gather*}
zu benutzen. Dies zeigt folgendes Beispiel:

\begin{minipage}[t]{.66\hsize}
  \begin{center}
    Ausführlich:
  \end{center}
  \begin{equation*}
    \begin{array}{r@{\,}l}
      \sqrt[3]{636056} & = a + b, \text{ wo} \\
      \ul{512000} &= a^3 \qquad \smash{\begin{gathered}[t]
        a = 80 \\
        b = \phantom{8}6 \\
        \text{ist.}
      \end{gathered}} \\
      \ul{124056} \\
      3a^2 = 19200 \vert 115200 &= 3a^2b \\
      8640 &= 3ab^2 \\
      \ul{\phantom{00000}216} &= b^3 \\
      \mathbf{124056} \\
    \end{array}
  \end{equation*}
\end{minipage}
\vrule
\begin{minipage}[t]{.33\hsize}
  \begin{center}
    Abgekürzt:
  \end{center}
  \begin{equation*}
    \begin{array}{r@{\,}l}
      \sqrt[3]{636'056} & = 86 \\
      \ul{512\phantom{'000}} \\
      \ul{1240'}56 \\
      192 \vert 1152\phantom{'00} \\
      864\phantom{0}   \\
      \ul{\phantom{00000}216} \\
      \mathbf{124056} \\
    \end{array}
  \end{equation*}
\end{minipage}
\medskip

Nach derselben Methode läßt sich auch zu jeder Zahl
die Kubikzahl aus der nächst kleineren Kubikzahl finden.
Z.~B.:
\begin{equation*}
  1442^3 < 3000000000 < 1443^3,
\end{equation*}
woraus folgt:
\begin{equation*}
  144,2^3 < 3000000 < 144,3^3
\end{equation*}
oder auch:
\begin{equation*}
1,442^3 < 3 < 1,443^3.
\end{equation*}

\emph{Aus diesem Beispiel erkennt man, daß man
jede rationale Zahl, die selbst keine dritte Potenz
ist, in zwei Grenzen einschließen kann, welche
dritte Potenzen zweier rationaler Zahlen sind, die
sich nur um, $\frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}$ u.~s.~w., oder überhaupt
um einen beliebig kleinen Bruch unterscheiden.}
(Vgl. §~\ref{ch:24}.)

Wie das Verfahren der Quadratwurzel-Ausziehung aus
\label{p:196}
der Entwickelung von $(a + b)^2$ hervorgeht, und wie das der
Kubikwurzel-Ausziehung aus der Entwickelung von $(a + b)^3$
folgt, so geht auch aus der Entwickelung von $(a + b)^n$ in
eine Summe von $n + 1$ Summanden ein Verfahren hervor,
durch welches man die $n$-te Wurzel aus jeder ganzen Zahl
und deshalb auch aus jeder rationalen Zahl finden kann,
falls die ganze Zahl bezw. die rationale Zahl $n$-te Potenzen
von rationalen Zahlen sind. Da man aber bequemere Mittel
besitzt, um die $n$-ten Wurzeln auszuziehen (vgl. §~\ref{ch:32}), so
genügt hier die Erkenntnis, daß es möglich ist, die $n$-te
Wurzel aus jeder Zahl zu ziehen, welche $n$-te Potenz einer
rationalen Zahl ist. Wie oben bei der dritten Wurzel, so
kann man dann auch für die $n$-te Wurzel auf dieses Verfahren
\emph{die Einschließung jeder rationalen Zahl in
zwei Grenzen begründen, die $n$-te Potenzen von
rationalen Zahlen sind, die sich um einen beliebig
kleinen Bruch unterscheiden.} Um z.~B. die Zahl 1899
in zwei Grenzen einzuschließen, die fünfte Potenzen von
rationalen Zahlen sind, die sich um $\frac{1}{100}$, unterscheiden, findet
man durch ein der Kubikwurzel-Ausziehung nachgebildetes
Verfahren zunächst:
\begin{equation*}
  452^5 < 1899 \cdot 100^5 < 453^5
\end{equation*}
und daraus:
\begin{equation*}
  4,52^5 < 1899 < 4,53^5 .
\end{equation*}

Das oben für Zahlen angewandte Verfahren, um die
dritte bezw. $n$-te Wurzel auszuziehen, läßt sich auch auf
algebraische Summen übertragen, wie folgendes Beispiel zeigt:
\begin{align*}
  \sqrt[3]{ 125x^6 - 175x^5y + \frac{20}{3} x^4y^2
    + \frac{1547}{27} x^3y^3 - \frac{4}{3} x^2y^4 - 7xy^5 - y^6 } \\
  \ul{125x^6 \phantom{{} + 000x^5y}}
  \phantom{{} + 00\,x^4y^2 + 0000\,x^3y^3 + 0\,x^2y^4 + 0\,xy^5 + y^6 }
  \llap{\text{$= 5x^2 - \frac{7}{3}xy - y^2.$}} \\
  \ul{-175x^5y}
  \phantom{{} + 00\,x^4y^2 + 0000\,x^3y^3 + 0\,x^2y^4 + 0\,xy^5 + y^6 } \\
  75x^4 \vert \ul{-175x^5y + \frac{245}{3}x^4y^2 - \frac{343}{27}x^3y^3}
  \phantom{{} + 0\,x^2y^4 + 0\,xy^5 + y^6 } \\
  \ul{-\frac{225}{3}x^4y^2 + \frac{1890}{27}x^3y^3}
  \phantom{{} + 0\,x^2y^4 + 0\,xy^5 + y^6 } \\
  75x^4 - 70x^3y + \frac{49}{3}x^2y^2 \vert
  - 75x^4y^2 + 70x^3y^3 - \frac{49}{3}x^2y^4
  \phantom{{} + 0\,xy^5 + y^6 } \\
  \ul{\phantom{{} + 00\,x^4y^2 + 00\,x^3y^3}
    {} + 15x^2y^4 - 7xy^5 - y^6} \\
  \text{Rest: }0.\qquad\qquad
\end{align*}

\separator
\label{p:197}
Das in §~\ref{ch:8} eingeführte Permanenz-Prinzip verschaffte
den Zeichen
\begin{itemize}
\item[] $a - b$, wenn $b$ nicht kleiner als $a$ ist,
\item[] $a : b$, wenn $b$ kein Teiler von $a$ ist,
\item[] $\sqrt{a}$, wenn $a$ kein Quadrat ist,
\end{itemize}
einen Sinn, der es gestattete, mit derartigen Zeichen nach
den schon bewiesenen Regeln zu rechnen, and demgemäß
solche Zeichen als Zahlen anzusehen. In derselben Weise
haben wir hier dem Zeichen $\sqrt[n]{a}$, wo $a$ nicht die $n$-te Potenz
einer rationalen Zahl ist, einen Sinn zu erteilen, und zwar
den durch die Definitionsformel $\left( \sqrt[n]{a} \right)^{n} = a$ ausgesprochenen
Sinn. Ebenso erhalten dann auch
\begin{equation*}
    - \sqrt[n]{a}, \quad b : \sqrt[n]{a} \quad \text{ u.~s.~w.}
\end{equation*}
einen leicht erkennbaren Sinn. Ferner gelten für die Wurzelform
$\sqrt[n]{a}$, wo $a$ nicht $n$-te Potenz einer rationalen Zahl ist,
alle Formeln der Überschrift, weil diese ja nur auf den
Potenzgesetzen und auf der Definitionsformel beruhen. Es
ist z.~B.:

1) $\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{21}$;

2) $\sqrt[5]{128} : \sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{128: 4} = \sqrt[5]{32} = 2$;

3) $\sqrt[6]{17^5} = \left(\sqrt[6]{17}\right)^5$;

4) $\sqrt{\sqrt[5]{9}} = \sqrt[5]{\sqrt{9}} = \sqrt[5]{3}$;

5) $\sqrt[7]{8} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[14]{98}
   = \sqrt[42]{8^6} \cdot \sqrt[42]{7^7} \cdot \sqrt[42]{98^3} \\
   = \sqrt[42]{2^{18} \cdot 7^7 \cdot 2^3 \cdot 7^6}
   = \sqrt[42]{2^{21} \cdot 7^{13}}$;

6) $5 \sqrt[3]{81} + 4 \sqrt[3]{375}
   = 5 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{3} + 4 \cdot 5 \cdot \sqrt[3]{3}
   = 35 \cdot \sqrt[3]{3}$;

7) $\left(\sqrt[3]{3} - 1\right)^3
   = \left(\sqrt[3]{3}\right)^3 - 3 \cdot \sqrt[3]{9} + 3 \cdot \sqrt[3]{3} - 1
   = 2 - 3 \cdot \sqrt[3]{9} + 3 \cdot[3]{3}$;

\label{p:198}
8) $\frac{12}{4-\sqrt[3]{4}}
   = \frac{12\left[4^2 + 4\cdot\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{16}\right]}{64 - 4}
   = \frac{16 + 4\cdot\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{16}}{5}$;

9) $\left(\sqrt{3}+1\right) \sqrt[3]{\sqrt{3}+1}
   = \sqrt[3]{3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} + 1} \text{ mal } \sqrt[3]{\sqrt{3}+1}
   = \sqrt[3]{10 + 6\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{3}+1}
   = \sqrt[3]{10+18+10\sqrt{3}+6\sqrt{3}}
   = \sqrt[3]{28+16\sqrt{3}}$.

\separator
Oben ist gezeigt, daß die Zahl 1899 größer als die
fünfte Potenz von 4,52, aber kleiner als die fünfte Potenz
von 4,53 ist, also zwischen den fünften Potenzen von zwei
rationalen Zahlen liegt, die sich um $\frac{1}{100}$ unterscheiden. Indem
man nun \emph{die bisher nur für rationale Zablen
definierten Begriffe ``größer'' und ``kleiner''} auf die
neu eingefübrten Wurzelformen überträgt, schließt man aus
der Ungleichung:
\begin{equation*}
  4,52^5 < 1899 < 4,53^5
\end{equation*}
die neue Ungleichung:
\begin{equation*}
  4,52 < \sqrt[5]{1899} < 4,53.
\end{equation*}

Auf solche Weise ist $\sqrt[5]{1899}$ in zwei Grenzen eingeschlossen,
die rationale Zahlen sind, und sich nur um
$\frac{1}{100}$ unterscheiden.

Ebenso kann überhaupt $\sqrt[n]{a}$, wo $a$ irgend welche positive
Zahl, aber keine $n$-te Potenz ist, \emph{in zwei rationale
Grenzen eingeschlossen werden, deren Unterschied
beliebig klein ist.} Zahlen aber, welche diese Eigenschaft
haben, sind schon in §~\ref{ch:25} irrational genannt. Demnach
nennt man auch $\sqrt[n]{a}$, wo $a$ positiv ist aber nicht $n$-te Potenz
\label{p:199}
einer rationalen Zahl ist, eine \emph{irrationale} Zahl. Man kann
deshalb $\sqrt[n]{a}$ außer in Wurzelform auch \emph{numerisch} angeben,
indem man, der Kürze wegen, die Ungenauigkeit begeht,
$\sqrt[n]{a}$ \emph{gleich} einer rationalen Zahl zu setzen, die sich von
ihr möglichst wenig unterscheidet. Z.~B. $\sqrt[5]{1899} = 4,52$;
$\sqrt[3]{108} = 4,76$. Der positive Radikand kann selbst eine
irrationale Zahl sein. Auch dann stellt die Wurzel eine
Irrational-Zahl dar, z.~B.:
\begin{equation*}
    \sqrt[3]{45+29\sqrt{2}} = 4,41.
\end{equation*}

Wenn der Wurzel-Exponent eine negative ganze Zahl
ist, so ergiebt sieh der reziproke Wert derjenigen Zahl, die
entsteht, wenn der Wurzel-Exponent die entsprechende
positive Zahl ist, weil
\begin{equation*}
  \sqrt[-n]{a}
  = \sqrt[+n]{a^{-1}}
  = \sqrt[n]{\frac{1}{a}}
  = \frac{1}{\sqrt[n]{a}}
\end{equation*}
ist. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \sqrt[-3]{1\smallfrac{113}{512}}
  = \sqrt[3]{\frac{512}{625}}
  = \sqrt[3]{\frac{2^9}{5^4}}
  = \frac{2^3}{5}\sqrt[3]{\frac{1}{5}}
  = \frac{8}{5}\cdot\sqrt[3]{\frac{25}{5^3}}
  = \frac{8}{25}\cdot\sqrt[3]{25}.
\end{equation*}

\separator

Im Vorhergehenden ist immer unter $\sqrt[n]{a}$ \emph{die} Zahl verstanden,
deren $n$-te Potenz $a$ ist. Dies ist insofern ungenau,
als es, bei Zulassung von negativen und komplexen Zahlen,
mehrere Zahlen giebt, deren $n$-te Potenz $a$ ist. In besonderen
Fällen ist dies schon früher erkannt. So ergaben
sich zwei Zahlen, deren zweite Potenz $a$ ist, eine positive
$+\sqrt{a}$ und eine negative $-\sqrt{a}$. Ferner giebt es vier
Zahlen, deren vierte Potenz $+1$ ist, nämlich $+1$, $-1$, $+i$
und $-i$. Je nachdem $n$ gerade oder ungerade und der
Radikand $a$ positiv oder negativ ist, lassen sich vier Fälle
unterscheiden:

\label{p:200}
1) Wenn in $x^n = a$ die Zahl $a$ positiv und $n$ gerade
ist, so giebt es zwei reelle Werte, welche die Gleichung
befriedigen, einen positiven und einen negativen, beide von
demselben absoluten Betrage; z.~B.: $x^6 = 729$ wird durch
$x=+3$ und durch $x=-3$ erfüllt;

2) Wenn in $x^n = a$ die Zahl $a$ positiv und $n$ ungerade
ist, so giebt es eine reelle und zwar positive Zahl, welche
die Gleichung befriedigt; z.~B.: $x^5=32$ wird nur durch
$x=+2$ erfüllt;

3) Wenn in $x^n=a$ die Zahl $a$ negativ und $n$ gerade
ist, so giebt es keine reelle Zahl $x$, welche die Gleichung
$x^n = a$ befriedigen könnte, weil das Produkt einer \emph{geraden}
Anzahl von reellen Faktoren immer positiv sein muß;

4) Wenn in $x^n=a$ die Zahl $a$ negativ und $n$ ungerade
ist, so giebt es eine reelle und zwar negative Zahl $x$,
welche die Gleichung erfüllt; z.~B.: $x^5=-\frac{1}{1024}$  wird
durch den Wert $x=\frac{1}{4}$ befriedigt.

Um nun die Eindeutigkeit des Wurzelzeichens zu
wahren, versteht man, falls $a$ positiv ist, unter $\sqrt[n]{a}$ immer
nur die eine positive Zahl, welche die Gleichung $x^n=a$
befriedigt. Falls $a$ negativ und $n$ ungerade ist, soll $\sqrt[n]{a}$
die eine negative Zahl bedeuten, welche $x^n=a$ erfüllt.
Falls aber $a$ negativ und $n$ gerade ist, soll das Zeichen $\sqrt[n]{a}$
ganz vermieden werden. Hiernach können z.~B. die vier
Zahlen, welche die Gleichung $x^4=a$ erfüllen, auf folgende
Weise unterschieden werden: $x_1=+\sqrt[4]{a}$, $x_2=-\sqrt[4]{a}$,
$x_3=+i\cdot\sqrt[n]{a}$, $x_4=-1\cdot\sqrt[n]{a}$. Ebenso kann man die drei
Zahlen unterscheiden, deren dritte Potenz a ist. Man findet
zunächst aus $x^3=1$ die Gleichung $\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=0$,
woraus drei Werte von $x$ folgen, erstens $x=1$, zweitens
$x = -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}$, drittens $x = -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\sqrt{3}$ Daher
folgt aus $x^3=a$:

1) $x_1 = \sqrt[3]{a}$;

\label{p:201}
2) $x_2 = \sqrt[3]{a}\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right)
= -\frac{1}{2}\sqrt[3]{a} + i\cdot\frac{1}{2}\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt{3}$;

3) $x_3 = \sqrt[3]{a}\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right)
= -\frac{1}{2}\sqrt[3]{a} - i\cdot\frac{1}{2}\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt{3}$;


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:30}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Vereinfache:}

\item $\sqrt[4]{a^4} + \sqrt[5]{a^5} - \sqrt[6]{a^6}$;
\item $\left(\sqrt[3]{a-b}\right)^3 + \left(\sqrt[3]{b}\right)^3$;

\item $\sqrt[n]{e^2-f^2} : \sqrt[n]{e+f}$;
\item $\sqrt[n]{a^p b^q} \cdot \sqrt[n]{ab} : \sqrt[n]{a^{p-1}b^{q-1}}$.

\exercisegoal{Bringe den vor dem Wurzelzeichen stehenden
Faktor unter dasselbe:}

\item $a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2}$;
\item $a^3b \cdot \sqrt[3]{1 : a^4 : b^4}$;

\item $(p+q) \sqrt[4]{(p-q) : (p+q)^3 }$.

\exercisegoal{Verwandele so, daß der Wurzelexponent größer
ist, als die im Radikanden stehenden Potenzexponenten:}

\item $\sqrt[3]{5^3 a^4 b^3 c^3}$;
\item $\sqrt[5]{a^6 b^6 c^6}$;
\item $\sqrt[4]{a^8 b^{12} c^{17}}$;

\item $\sqrt[6]{a^7 b^{18}} + \sqrt[7]{a^8 b^{16}}$;
\item $\sqrt[6]{2^{16} \cdot 5^{12} \cdot 4^4 \cdot a^6 b}$;

\item $\sqrt[5]{16 \cdot 27 \cdot 18 \cdot a^6}$;
\item $\sqrt[10]{a^{10}b^7(b^2 + c^2)}$.


\exercisegoal{Vereinfache:}

\item $\sqrt[6]{\frac{a^4b^3}{a^2b^7}} : \sqrt[6]{\frac{1^4b^5}{ab^9}}$;
\item $(a+b) \cdot \sqrt[n]{(a+b)^{2n}}$;

\item $\sqrt[3]{ (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 )^2 }$;
\item $\sqrt[6]{ (a^2 b^3 c^6 )^4 }$;

\item $\sqrt[4]{ \sqrt[3]{a} } - \sqrt[3]{ \sqrt[4]{a} }$;
\item $\left( \sqrt{ \sqrt[3]{ \sqrt[4]{a} } } \right)^{48}$;

\item $\sqrt[5]{ \sqrt[3]{a^5} }$;
\item $\sqrt[12]{ a^8b^{12} }$;
\item $\sqrt[4]{ \sqrt[6]{a} } \cdot \sqrt[3]{ \sqrt[8]{a} }$;

\item $\sqrt[5]{ \sqrt[12]{16^{15}} }$;
\item $\sqrt[25]{32^{20}}$;
\item $\sqrt[7]{10\,000\,000^3}$.

\label{p:202}
\exercisegoal{Bringe auf den kleinsten positiven Wurzelexponenten:}

\item $\sqrt[4]{a^6}$;
\item $\sqrt[48]{a^{86}}$;
\item $\sqrt[16]{a^{12}p}$;
\item $\sqrt[-4]{a^{12}}$;
\item $\sqrt[-6]{a^{-4b}}$;
\item $\sqrt[3ab]{p^{4ba}}$.

\exercisegoal{Bringe auf den Wurzelexponenten 48:}

\item $\sqrt[6]{a^5}$;
\item $\sqrt[12]{a^11}$;
\item $\sqrt[8]{a^9}$;
\item $\sqrt[16]{a}$.

\exercisegoal{Verwandele in eine Wurzel:}

\item $\sqrt[8]{a^5}$;
\item $\sqrt[5]{a^4}\cdot\sqrt[20]{a^9}\cdot\sqrt[8]{a}$;
\item $\sqrt[8]{a^{11}} : \sqrt[12]{a}$;
\item $\sqrt[9]{a} : \sqrt{a}$;
\item $\sqrt[3]{a^4bc}\cdot\sqrt[4]{a^3bc^3} : \sqrt[12]{a^{25}b^7}$;
\item $\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{\frac{b}{a}}$;
\item $\sqrt[14]{\frac{a^3}{b^5}} : \sqrt[21]{\frac{a^4}{b^7}}$;
\item $\sqrt[5]{a^2\sqrt[3]{a^2}}$;
\item $\sqrt[6]{a^4\sqrt{a^7}}$;
\item $\sqrt{a^3\sqrt{a^3\sqrt{a}}}$;
\item $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}}$;
\item $\sqrt[-3]{a^4\cdot\sqrt[-3]{a}}$.

\separator

\exercisegoal{Berechne:}

\item $\sqrt[3]{592\:704}$;
\item $\sqrt[3]{54\:872}$;
\item $\sqrt[3]{390\:617\:891}$;
\item $\sqrt[3]{\frac{1728}{4913}}$;
\item $\sqrt[3]{6331\smallfrac{5}{8}}$;
\item $\sqrt[3]{912,673}$;
\item $\sqrt[3]{1,728}$;
\item $\sqrt[3]{0,001331}$;
\item $\sqrt[3]{0,000004913}$.

\exercisegoal{Suche die dritte Wurzel aus der nächst kleineren
Kubikzahl zu:}

\item $4000$;
\item $18000$;
\item $5\:000\:000$.

\exercisegoal{Schließe in zwei Grenzen ein, die dritte Potenzen
von Zablen sind, die sich um $\frac{1}{100}$ unterscheiden:}

\item $3$;
\item $9$;
\item $100$;
\item $4,16$.
\label{p:203}
\exercisegoal{Verwandele in algebraische Summen:}
\item $\sqrt[3]{a^3+9a^2b+27ab^2+27b^3}$;

\item $\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}+\frac{3}{16}a^2b+\frac{3}{4}ab^2+b^3}$;

\item $\sqrt[3]{ 1 +\frac{15}{4}x + \frac{99}{16}x^2 + \frac{365}{64}x^3
                  + \frac{99}{32}x^4 + \frac{15}{16}x^5 + \frac{1}{8}x^6}$.

\exercisegoal{Berechne auf drei Dezimalstellen:}

\item $\sqrt[3]{5}$;
\item $\sqrt[3]{0,25}$;
\item $7\sqrt[3]{5}-f\sqrt[3]{7}$;
\item $\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}$;
\item $\sqrt[-12]{0,0081}$.


\exercisegoal{Forme so um, daß die numerische Berechnung
bequem wird:}

\item $\sqrt[3]{2^4\cdot 3^4\cdot 4^2\cdot 9}$;
\item $\sqrt[3]{\sqrt{216}}$;
\item $\sqrt[5]{\sqrt[3]{243}}$;
\item $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$;
\item $7\sqrt[4]{4} + 5\sqrt{2}$;
\item $\sqrt[8]{512}$;
\item $\sqrt[5]{0,00064}$;
\item $\frac{1}{3-\sqrt[3]{3}}$.

\exercisegoal{Gieb alle Werte an, welche die folgenden
Gleichungen erfüllen:}

\item $x^4 =  81$;
\item $x^3 = 512$;
\item $x^3 = -1,728$.

\end{exercise}

\separator

\label{p:204}
\chapter{Potenzen mit gebrochenen und irrationalen
Exponenten.}\label{ch:31}

\begin{equation*}
  a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p.
\end{equation*}

Das Permanenz-Prinzip verlangt, daß einer Potenz $a^n$
auch dann Sinn erteilt wird, wenn der Exponent $n$ eine
gebrochene Zahl ist. Dies war in §~\ref{ch:29} noch nicht möglich,
weil die Sinn-Erteilung anf der erst in §~\ref{ch:30} behandelten
Radizierung beruht. Nach der Definition von gebrochenen
Zahlen, bedeutet $\frac{p}{q}$ die Zahl, die, mit $q$ multipliziert, $p$ ergiebt.
Nun ist aber:
\begin{equation*}
  a^p = a^{\frac{p}{q} \cdot q} = \left( a^\frac{p}{q} \right)^q.
\end{equation*}

Folglich ist $a^\frac{p}{q}$ die Zahl, die, mit $q$ radiziert, $a^p$ ergiebt,
d.~h. gleich $\sqrt[q]{a^p}$, wofür nach §~\ref{ch:30} auch $\left(\sqrt[q]{a}\right)^p$ gesetzt
werden kann. Z.~B.:
\begin{equation*}
    8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4;
\end{equation*}
\begin{equation*}
    \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{4}}
  = \sqrt[4]{\left(\frac{3}{4}\right)^3}
  = \sqrt[4]{\frac{3^3}{2^6}}
  = \sqrt[4]{\frac{3^3\cdot 2^2}{2^8}}
  = \frac{1}{4}\cdot \sqrt[8]{108}.
\end{equation*}

Der Sinn, der $a^\frac{p}{q}$ oben erteilt ist, ist derartig gewählt,
daß die in §~\ref{ch:29} bewiesenen Potenzgesetze ihre Gültigkeit
behalten, wenn der Exponent gebrochen ist. Nämlich:

1) $a^{\frac{p}{q}}\cdot a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q}+\frac{r}{s}}$;

2) $a^{\frac{p}{q}}: a^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q}-\frac{r}{s}}$;

3) $a^{\frac{p}{q}}\cdot b^{\frac{p}{q}} = \left(a\cdot b\right)^{\frac{p}{q}}$;

4) $a^{\frac{p}{q}}: b^{\frac{p}{q}} = \left(a: b\right)^{\frac{p}{q}}$;

5) $\left(a^{\frac{p}{q}}\right)^{\frac{r}{s}} = a^{\frac{p}{q}\cdot\frac{r}{s}}$.

\label{p:205}
Um mit einer Potenz, deren Exponent eine negative
gebrochene Zahl ist, also mit $a^{-\frac{p}{q}}$ so rechnen zu können,
wie mit gewöhnlichen Potenzen, hat man
\begin{equation*}
    a^{-\frac{p}{q}} = \frac{1}{\sqrt[q]{a^p}}
\end{equation*}
zu setzen, weil $a^\frac{p}{q} = a^{0-\frac{p}{q}}
  = a^0 : a^\frac{p}{q} = 1 : a^\frac{p}{q}$ ist. Ebenso
kann man auch Wurzeln, deren Exponent eine positive
oder negative gebrochene Zahl ist, einen solchen Sinn
erteilen, daß man mit solchen Wurzeln nach den in §~\ref{ch:30}
aufgestellten Gesetzen rechnen kann. Nämlich:

1) $\sqrt[\frac{p}{q}]{a} = \sqrt[p]{a^q}$;

2) $\sqrt[-\frac{p}{q}]{a} = 1 : \sqrt[p]{a^q}$.

\separator

Um dem Wurzelzeichen die Eindeutigkeit zu bewahren,
ist in §~\ref{ch:30} festgesetzt, daß $\sqrt[n]{a}$, wo $a$ positiv ist, immer
nur die positive Zahl bedeuten soll, deren $n$-te Potenz $a$
ist. Hiermit in Übereinstimmung, setzen wir auch fest, daß
$a^\frac{p}{q}$ bezw. $a^{-\frac{p}{q}}$ nur die positive Zahl bedeuten soll, deren
$q$-te Potenz gleich $a^p$ bezw. $1 : a^p$ ist. Wenn nicht das
Gegenteil ausdrücklich gesagt wird, soll bei einer Potenz
mit gebrochenem Exponenten die Basis $a$ immer als positiv
vorausgesetzt werden. Dann kann also aus der Gleichung
\begin{equation*}
  a^p = b^p
\end{equation*}
unzweideutig geschlossen werden, daß
\begin{equation*}
  a = b^\frac{p}{q} \text{ist, oder auch daß}
\end{equation*}
\begin{equation*}
  a^\frac{p}{q} = b \text{ist}.
\end{equation*}

Da ferner die Begriffe größer und kleiner, die ursprünglich
nur für natürliche Zahlen definierbar waren, auf
\label{p:206}
positive nnd negative, rationale und irrationale Zahlen
übertragen sind, so kann auch aus:
\begin{equation*}
  b^q < a^p < b^s
\end{equation*}
die folgende Vergleichung geschlossen werden:
\begin{equation*}
  b^{ \frac{q}{p} } < a < b^{ \frac{s}{p} }
\end{equation*}

Wenn man nun immer bei $b^q$ für $q$ die größte ganze
Zahl wählt, welche die Ungleichung $b^q < a^p$ erfüllt, und
ebenso bei $b^s$ für $s$ die kleinste ganze Zahl wählt, welche
die Ungleichung $a^p < b^s$ erfüllt, so muß der Unterschied
zwischen $\frac{q}{p}$ und $\frac{s}{p}$ bei wachsendem $p$ immer kleiner
werden. Demgemäß gilt folgender Satz:

\emph{Jede positive Zahl $a$ kann in zwei Grenzen eingeschlossen
werden, welche Potenzen sind, deren
gemeinsame Basis jede andere, aber von~1 verschiedene
positive Zahl ist, und deren Exponenten
positive oder negative rationale Zahlen sind, die
sich um beliebig wenig unterscheiden.}

Wenn z.~B. $a = 3$, $b = 5$ ist, so erhält man nacheinander
die folgenden Vergleichungen:
\begin{center}
  $3^1 < 5^1 < 3^2$ oder $3^{\frac{1}{1}} < 5 < 3^{\frac{2}{1}}$; \\
  $3^2 < 5^2 < 3^3$ oder $3^{\frac{2}{2}} < 5 < 3^{\frac{3}{2}}$; \\
  $3^4 < 5^3 < 3^5$ oder $3^{\frac{4}{3}} < 5 < 3^{\frac{5}{3}}$; \\
  $3^5 < 5^4 < 3^6$ oder $3^{\frac{5}{4}} < 5 < 3^{\frac{6}{4}}$; \\
  $3^7 < 5^5 < 3^8$ oder $3^{\frac{7}{5}} < 5 < 3^{\frac{8}{5}}$; \\
  $3^8 < 5^6 < 3^9$ oder $3^{\frac{8}{6}} < 5 < 3^{\frac{9}{6}}$; \\
  $3^{10}< 5^7 < 3^{11}$ oder $3^{\frac{10}{7}} < 5 < 3^{\frac{11}{7}}$; \\
  u.~s.~w.
\end{center}

In der letzten Zeile ist die Zahl 5 in zwei Grenzen
eingeschlossen, die beide Potenzen mit der Basis 3 und
mit zwei Exponenten sind, die sich nur um $\frac{1}{7}$ unterscheiden.
Man erkennt theoretisch die Möglichkeit, den Unterschied
der Exponenten auf diesem Wege noch viel kleiner zu gestalten,
\label{p:207}
wenn auch die Berechnung praktisch äußerst mühsam
sein würde. Die Mathematik hat nun bequemere Wege
gefunden, um solche sich nähernden Exponenten zu
berechnen. Auf einem solchen Wege findet man z.~B.:
\begin{equation*}
  3^{146} < 5^{100} < 3^{147} \textrm{ oder } 3^{1,46} < 5 < 3^{1,47} .
\end{equation*}

Wenn $5 = 3^x$ gesetzt wird, so weiß man von $x$, daß
es keine rationale Zahl ist, daß es aber rationale Zahlen $x$
giebt, die die Gleichung $5 = 3^x$ \emph{nahezu} erfüllen, und zwar
so, daß $3^c < 5 < 3^d$ ist, wo $c$ und $d$ rationale Zahlen
sind, die sich um beliebig wenig unterscheiden, d.~h. die
Zahl $x$ in $5 = 3^x$ hat genau den schon in §~\ref{ch:25} erläuterten
Charakter der irrationalen Zahlen. Man erklärt deshalb
die Gleichung $a = b^x$, wo $b$ eine von 1 verschiedene
positive Zahl ist, für immer lösbar, und setzt $x$ gleich einer
irrationalen Zahl, die man mit beliebiger Annäherung durch
rationale Zahlen ersetzen kann.

Wenn $b$ eine positive, von 1 verschiedene Zahl ist, so
ist $b^x$ immer gleich einer ganz bestimmten \emph{positiven} Zahl,
was für eine \emph{positive oder negative} Zahl auch $x$ sein
mag, und zwar kann dieselbe Zahl $b^x$ nie durch zwei
verschiedene Werte von $x$ erzielt werden. Man kann daher
den folgenden Satz aussprechen:

\emph{Wenn in $b^x = a$ die Zahl $b > 1$ ist, so gehört
zu jedem Werte von $x$, mag er positiv, null oder
negativ sein, ein einziger positiver Wert von $a$, der
größer als 1, gleich 1 oder kleiner als 1 ist, je
nachdem $x$ positiv, null oder negativ ist. Umgekehrt
gehört auch zu jedem positiven Werte von $a$ ein
einziger Wert von $x$, der positiv, null oder negativ
ist, je nachdem $a$ größer als 1, gleich 1 oder kleiner
als 1 ist.}

Beispiele:

1) Für $b = 10$ und $a = 4$ erhält man für $x$ einen positiven
irrationalen Wert, der nur wenig größer als $0,6$ sein
kann, weil $10^6$ wenig kleiner als $4^{10} = 1\,048\,576$ ist, also
auch $10^{0,6} > 6$ wenig kleiner als 4 sein muß.

2) Für $b = 8$ und $a = \frac{1}{3}$ erhält man für $x$ einen
negativen irrationalen Wert, der zwischen $-0,5$ und $-0,6$
\label{p:208}
liegen muß. Denn es ist $8^{-0,5} = 8^{-\frac{1}{2} } = 1 : \sqrt{8}
  =\frac{1}{4}\sqrt{2}
= 0,353 \ldots$, also $> \frac{1}{3}$. Andrerseits ist
  $\left( \frac{1}{3} \right)^5 = \frac{1}{243}$ und
$8^{-3} = \frac{1}{512}$, also
  $\left( \frac{1}{3} \right)^5 > 8^{-3}$ oder
  $\frac{1}{3} > 8^{-\frac{3}{5} }$, d.~h.
  $\frac{1}{3} > 8^{-0,6}$.


\section*{Übungen zu §~\ref{ch:31}.}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Schreibe als Wurzel:}

\item $p^{ \frac{1}{2} }$;
\item $q^{ \frac{4}{5} }$;
\item $a^{ \frac{7}{3} }$;
\item $a^{-\frac{7}{3} }$;
\item $a^{-0,7}$.

\exercisegoal{Berechne:}

\item $36^{\frac{1}{2}} + 216^{\frac{2}{3}}$;
\item $49^{\frac{1}{2}} \cdot 81^{\frac{3}{4}}$;
\item $8^{-\frac{1}{3}} \cdot 16^{\frac{3}{4}}$;

\item $512^{\frac{7}{9}} : 1024^{0,3}$;
\item $\left( \frac{1}{4} \right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1728^{-\frac{2}{3}}$;
\item $\sqrt[\frac{3}{4}]{8}$.

\exercisegoal{Berechne anf zwei Dezimalstellen:}

\item $3^{\frac{1}{2}} - 2^{\frac{1}{3}}$;
\item $\sqrt[6]{125} : 5^{-\frac{1}{2}} \cdot \left( \frac{1}{5} \right)^{-0,5}$.

\exercisegoal{Verwandele in eine Potenz mit gebrochenem
Exponenten:}

\item $\sqrt[3]{a^8}$;
\item $\sqrt{ab}$;
\item $\sqrt[11]{a^5}$;
\item $\sqrt[p]{a^q}$.

\exercisegoal{Durch Anwendung der Potenzsätze soll vereinfacht werden:}

\item $a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{8}} : a^{\frac{5}{8}}$;
\item $b^{\frac{3}{4}} \cdot b^{-\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{7}{4}}$;

\item $a^{\frac{5}{6}} \cdot a^{\frac{1}{12}} : a^{\frac{1}{4}}$;
\item $a^{\frac{5}{8}} \cdot \sqrt[8]{a^3} : \sqrt[3]{a^2}$;

\item $a^{-0,3} \cdot a^{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt[10]{a}$;
\item $\left( a^{\frac{3}{4}} b^{\frac{1}{5}} \right)
      \left( a^{\frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{3}{10}} \right)$;

\item $\left( a^{\frac{3}{7}} b^{-\frac{5}{9}} \right)
      : \left( a^{\frac{5}{14}} b^{-\frac{4}{9}} \right)$;
\item $\left( a^{\frac{4}{5}} \right)^{\frac{5}{6}}$;

\item $\left( b^{\frac{3}{4}} \cdot c^{\frac{7}{8}} \right)^{\frac{16}{5}}$;
\item $\left( a^{\frac{1}{3}} : a^{\frac{1}{6}} \right)^{-6}$.

\exercisegoal{Durch Potenzieren soll die rationale Zahl
$p$ so bestimmt werden, daß die folgenden
Ungleichungen richtig werden:}
\label{p:209}

\item $4^p < 5 <  4^{p+\frac{1}{5}}$;
\item $10^p < 2 < 10^{p+\frac{1}{10}}$;

\item $5^p < 2 < 5^{p+\frac{1}{13}}$;

\item $\left( \frac{1}{6} \right)^p < 0,001 < \left(\frac{1}{6}\right)^{p+\frac{1}{2}}$.

\exercisegoal{Bestimme in den folgenden Gleichungen
die im Exponenten stehende Unbekannte $x$
durch eine Gleichung ersten Grades:}

\item $5^{x+4} = 5^{10}$;
\item $7^{3x} = 7^{2\left(x+1\right)+5}$;

\item $\sqrt[5]{17^{5-x}} = \sqrt[10]{17^{2x-10}}$;
\item $9^x = 3^{3x-12}$.
\end{exercise}
\separator

\chapter{Logarithmen.}\label{ch:32}

\begin{center}
  \textbf{Definition:} $b^{\log^b a} = a$; \\
  \begin{tabular}{r@{\ }l}
    I)   & $\log^b {b^a} = a$; \\
    II)  & $\log (e \cdot f) = \log e + \log f$; \\
    III) & $\log (e : f) = \log e - \log f$; \\
    IV)  & $\log (e^m) = m \cdot \log e$; \\
    V)   & $\log \sqrt[m]{e} = \frac{1}{m} \log e$; \\[\medskipamount]
    VI)  & $\log^b a = \frac {\log^c a}{\log^c b}$,
  \end{tabular} \\[\medskipamount]
  insbesondere: $\log^b b = 1$, $\log^b 1 = 0$, $\log^b a = 1: \log^a b$.
\end{center}

\separator

Schon in §~\ref{ch:30} ist darauf hingewiesen, daß die Potenzierung
zwei nicht allein logisch, sondern auch \emph{arithmetisch verschiedene}
Umkehrungen haben muß, weil bei der Potenzierung
das Kommutationsgesetz nicht gültig ist. Die eine dieser
beiden Umkehrungen, die Radizierung, bei welcher die Basis
der Potenz gesucht wird, ist schon in §~\ref{ch:30} behandelt. Hier
soll nun die zweite Umkehrung, die Logarithmierung, behandelt
werden, bei welcher der Exponent der Potenz gesucht
\label{p:210}
wird. Wenn nämlich $b^n = a$ ist, so nennt man $n$ \emph{den
Logarithmus von $a$ zur Basis} $b$, geschrieben:
\begin{equation*}
  \log^b a.
\end{equation*}

\emph{Es bedeutet also $\log^b a$ immer den \textbf{Exponenten},
mit welchem $b$ zu potenzieren ist, damit $a$ herauskommt.}
Dies spricht die Definitionsformel in der Überschrift
aus. Die Richtigkeit der Formel I ergiebt sich
daraus, daß $\log^b(b^n)$ den Exponenten bedeutet, mit dem $b$
zu potenzieren ist, damit $b^n$ sich ergiebt, und daß diese
Forderung vom Exponenten $n$ erfüllt wird. Bei der Logarithmierung
nennt man die Zahl, welche ursprünglich Potenz
war, \emph{Logarithmandus} oder \emph{Numerus}, die Zahl, welche
ursprünglich Potenz-Basis war, \emph{Logarithmen-Basis} oder
kurz \emph{Basis}, und das Ergebnis selbst \emph{Logarithmus}. Wenn
man also z.~B.
\begin{equation*}
    \log^{3} 81 = 4
\end{equation*}
setzt, so ist dies gleichbedeutend mit $3^4 = 81$ und es ist
deshalb 81 der Logarithmandns oder Numerus, 3 die Basis,
4 der Logarithmus. Der Zusammenhang zwischen der direkten
Operation dritter Stufe und ihren beiden Umkehrungen wird
durch die folgenden Beispiele verdeutlicht, bei denen jede
Gleichung die beiden in derselben horizontalen Linie
befindlichen Gleichungen zur Folge hat:
\begin{center}
  \begin{tabular}{r@{\ }l|l|l}
    & Potenzierung & Radizierung & Logarithmierung \\
%%%
    1) & $3^4 = 81$ & $\sqrt[4]{81} = 3$ & $\log^{3}81 = 4$; \\
    2) & $10^{-2} = 1 : 100$ & $\sqrt[-2]{1:100} = 10$ & $\log^{10}1:100 = -2$; \\
    3) & $128^{ \frac{5}{7} } = 32$
    & $\sqrt[\frac{5}{7}]{32} = 128$
    & $\log^{128}32 = \frac{5}{7}$; \\
    4) & $\left( \frac{9}{16} \right)^{-\frac{1}{2} } = \frac{4}{3}$
    & $\sqrt[-\frac{1}{2}]{ \frac{4}{3} } = \frac{9}{16}$
    & $\log^{\frac{9}{16}} \frac{4}{3} = -\frac{1}{2}$; \\
    5) & $b^1 = b$ & $\sqrt[1]{b} = b$ & $\log^bb = 1$; \\
    6) & $b^0 = 1$ & $\sqrt[0]{1} = b$ & $\log^b1 = 0$;
  \end{tabular}
\end{center}

\label{p:211}
Wenn $x$ gleich einer Potenz gesetzt werden kann,
deren Basis $b$ ist, so ist, nach der Definition des Logarithmus,
$\log^{b} x$ gleich dem Exponenten dieser Potenz zu setzen.
Nach §~\ref{ch:31} giebt es einen solchen Exponenten immer, wenn
$b$ eine von 1 verschiedene positive Zahl und wenn auch $x$
eine positive Zahl ist. Darum hat, unter der soeben ausgesprochenen
Einschränkung bezüglich der Zablen $b$ und $x$,
\begin{equation*}
  y = \log^{b} x
\end{equation*}
einen ganz bestimmten Sinn derartig, daß zu jeder positiven
Zahl $x$ eine einzige positive oder negative Zahl $y$ zugehört
und daß umgekehrt zu jeder positiven oder negativen Zahl $y$
eine einzige positive Zahl x zugehört. Nur unter der angegebenen
Einschränkung, daß die Basis eine von 1 verschiedene
positive Zahl und der Logarithmand positiv ist,
können die Logarithmen in der elementaren Mathematik
behandelt werden. Wegen der eindeutigen Zuordnung von
$x$ und $y$ in $\log^{b} x = y$ kann aus $p = q$ geschlossen werden,
daß
\begin{equation*}
  \log^{b} p = \log^{b} q
\end{equation*}
ist, und umgekehrt.

In §~\ref{ch:31} ist gezeigt, wie jede positive Zahl in Grenzen
eingeschlossen werden kann, die Potenzen einer und derselben
beliebigen positiven Zahl sind, so daß die Exponenten
rationale Zahlen sind, die sich um beliebig wenig unterscheiden.
Beispielsweise war dort 5 in zwei Grenzen eingeschlossen,
die Potenzen von 3 sind, so daß die Exponenten
$\frac{10}{7}$ und $\frac{11}{7}$ sind, also:
\begin{equation*}
  3^\frac{10}{7} < 5 < 3^\frac{11}{7}.
\end{equation*}

Dies bedeutet aber nach der Definition des Logarithmus
nichts anderes, als daß $\log^{3} 5$ eine zwischen $\frac{10}{7}$ und $\frac{11}{7}$
liegende irrationale Zahl ist.  So kann man allgemein
$\log^{b} a$ mit beliebiger Genauigkeit bestimmen, sobald man
erstens eine Tabelle der Potenzen $b, b^2, b^3, \ldots$ u.~s.~w.,
zweitens eine Tabelle der Potenzen $a, a^2, a^3, \ldots$ u.~s.~w.
\label{p:212}
vor sich hat. Um z.~B. $\log^{5} 2$ so zu berechnen, daß die
rationalen Grenzen sich nur um $\frac{1}{20}$ unterscheiden, hat man
zu beachten, daß $2^{20}=1048576$ ist, und daß deshalb
$5^8 = 390625$ kleiner als $2^{20}$, dagegen $5^9 = 1953125$ größer
als $2^{20}$ ist. Wir schließen also:
\begin{equation*}
  5^8 <2^{20} < 5^9
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  5^{ \frac{8}{20} } < 2 < 5^{ \frac{9}{20} } ,
\end{equation*}
das heißt aber:
\begin{equation*}
  \frac{8}{20} < \log^{5}2 < \frac{9}{20} .
\end{equation*}

Die höhere Mathematik hat jedoch viel bequemere
Methoden ausgebildet, um irrationale Logarithmen mit
beliebiger Genauigkeit numerisch zu berechnen.\footnote{Vgl. Band V dieser Sammlung.}

\separator

Wenn in einer Gleichung mehrere Logarithmen mit
derselben Basis vorkommen, so darf man die Angabe der
gemeinsamen Basis unterlassen. Dies ist in den Formeln
II his V der Überschrift geschehen. Um dieselben zu beweisen,
setze man, wenn $b$ als Basis betrachtet wird,
$\log^b e = \varepsilon$ und $\log^b f = \varphi$,
    so daß man $b^{\varepsilon} = e$ und $b^{\varphi} = f$ hat.
Multipliziert man nun diese beiden Gleichungen, so erhält man:
\begin{equation*}
  b^{\varepsilon + \varphi} = e \cdot f ,
\end{equation*}
woraus $\log^b(e \cdot f) = \varepsilon + \varphi
= \log^b e + \log^b f$ folgt. Wenn man,
statt zu multiplizieren, dividiert, so erhält man in derselben
Weise den Beweis der Formel III. Um IV und V zu beweisen,
hat man $b^{\epsilon} = e$ mit $m$ zu potenzieren bezw. zu
radizieren. Die Formel VI zeigt, wie man den Logarithmus
einer Zahl zu einer beliebigen Basis $b$ finden kann, wenn
man für eine andere Basis $c$ sowohl den Logarithmus von $a$,
als auch den von $b$ kennt. Um diese Formel zu beweisen,
gehe man von der Definitionsformel
\begin{equation*}
  b^{ \log^b\,a } = a
\end{equation*}
\label{p:213}
aus und logarithmiere die beiden Seiten derselben nach IV
zur Basis $c$. Dann erhält man:
\begin{equation*}
  \log^b\,a \cdot \log^{c}\,b = \log^{c}\,a ,
\end{equation*}
woraus folgt:
\begin{equation*}
  \log^b\,a = \frac{ \log^{c}\,a }
  { \log^{c}\,b } .
\end{equation*}

Wenn man hier insbesondere $c = a$ setzt, so erhält
man $\log^b\,a = 1 : \log^{a}\, b$.

Wie man mit Hilfe der Formeln II his V verwickeltere
Ausdrücke zu logarithmieren hat, zeigen folgende Beispiele:

1) $\log (a b c d) = \log a + \log b + \log c + \log d$;

2) $\log (a b^2 : c) = \log a + 2 \log b - \log c$;

3) $\begin{gathered}[t]
  \log \frac{ a^3b^4c^5 }{ d^2e } = 3\log a + 4\log b + 5\log c \\
  - 2 \log d - \log e
\end{gathered}$;

4) $\log \sqrt[4]{ \frac{a^5b^2}{\sqrt{c}} }
   = \frac{1}{4} \left[ 5 \log a + 2 \log b - \frac{1}{2}\log c \right]$;

5) $\begin{gathered}[t]
  \log \left[ \sqrt[3]{a\cdot b} \cdot \sqrt[5]{c^4} : \sqrt[4]{f-g} \right]
  = \frac{1}{3} ( \log a + \log b ) \\
  + \frac{4}{5} \log c - \frac{1}{4} \log (f-g)
\end{gathered}$.

Man beachte namentlich, daß $\log a + \log b$ nicht
gleich $\log (a + b)$, sondern gleich $\log (a \cdot b)$ ist, und daß
analog $\log a - \log b$ nicht gleich $\log (a - b)$, sondern
gleich $\log (a : b)$ ist.

\separator

Die Formeln II his V verwandeln das Multiplizieren
in ein Addieren, das Dividieren in ein Subtrahieren, das
Potenzieren in ein Multiplizieren, das Radizieren in ein
Dividieren, erniedrigen also die Stufe einer Rechnungsart
um eins. Man wendet deshalb die Logarithmen an, um
Zablen-Ausdrücke, deren Berechnung auf gewöhnlichem
Wege sehr mühsam sein wurde, auf bequemere Weise zn
berechnen. Dies ist natürlich nur möglich, wenn man für
\label{p:214}
irgend eine feste Basis die Logarithmen aller Zahlen mit
einiger Annäherung kennt, d.~h. zwei rationale Zahlen kennt,
die sich um wenig unterscheiden, und zwischen denen der
Logarithmus jeder Zahl liegt. Man hat deshalb für die
Basis zehn die Logarithmen aller ganzen Zahlen bis hunderttausend
auf vier und mehr Dezimalstellen berechnet,
tabellarisch zusammengestellt und dadurch ein ausreichendes
Mittel gewonnen, um den Logarithmus jeder beliebigen
positiven, ganzen oder gebrochenen Zahl für jede beliebige
Basis schnell finden zu können. Die Zusammenfassung der
Logarithmen aller Zahlen zu einer und derselben Basis heißt
emph{Logarithmen-System}. Um die Logarithmen aller Zahlen
in einem System aus den Logarithmen derselben in einem
andern System zu finden, hat man die letzteren durch eine
und dieselbe Zahl zu dividieren, wie Formel VI lehrt. Da
die \emph{dekadischen Logarithmen}, d.~h. solche, welche die
Basis \emph{zehn} haben, vorzugsweise in Gebrauch sind, so läßt
man bei ihnen die Angabe der Basis fort, z.~B. $\log 8
= \log^{10} 8 = 0,90309$. Eine Logarithmen-Tafel enthält links
in natürlicher Reihenfolge die Zahlen von 1 an aufwärts
und läßt rechts den dekadischen Logarithmus der links
stehenden Zahl erkennen. Die vom Verfasser herausgegebenen
Tafeln\footnote{
1. Fünfstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches
und trigonometrisches Rechnen. Leipzig, Teubner, 1897.

2. Vierstellige Tafeln und Gegentafeln für logarithmisches
und trigonometrisches Rechnen, in zweifarbigein Druck. Leipzig,
Göschen, 1898.} enthalten außerdem noch eine \emph{Gegentafel},
bei welcher umgekehrt links in natürlicher Reihenfolge
Dezimalbrüche stehen, die Logarithmen bedeuten, and
zu denen der zugehörige Numerus rechts zu finden ist.

Das dekadische Logarithmen-System bietet den Vorteil
dar, daß man bei einer in gewöhnlicher, also dekadischer
Zifferschrift angegebenen Zahl schon aus der \emph{Anzahl ihrer
Ziffern} ersehen kann, zwischen welchen aufeinanderfolgenden
ganzen Zahlen ihr Logarithmus liegt. Denn wenn die Zahl
$a$ mit $n$ Ziffern geschrieben wird, so ist:
\begin{align*}
  10^{n-1} & \leq a < 10^n,   \\
  \text{also: } n - 1 & \leq \log a < n.
\end{align*}

\label{p:215}
Man stellt deshalb die dekadischen Logarithmen immer
in der Form $c + m$ dar, wo erstens $c$ eine ganze Zahl ist,
die positiv, null und negativ sein kann, und die man \emph{Kennziffer}
oder \emph{Charakteristik} nennt, und wo zweitens $m$
nicht negativ und kleiner als 1 ist. Diese immer durch
die Dezimalstellen hinterm Komma angegebene, bei fünfstelligen
Tafeln zwischen 00000 und 99999 liegende Zahl $m$
heißt \emph{Mantisse}. Wenn die Kennziffer negativ ist, so läßt
man auf Null und Komma zunächst die Mantisse folgen
und schreibt die negative Kennziffer hinter die Mantisse.
Aus dem Gesagten folgt:

1) Die Kennziffer des dekadischen Logarithmus einer
ganzen Zahl oder eines Dezimalbruchs, der größer als 1 ist,
ist immer um 1 kleiner als die Anzahl der Ziffern der
ganzen Zahl bezw. der Ziffern der vor dem Komma des
Dezimalbruchs stehenden ganzen Zahl;

2) Wenn ein Dezimalbruch mit ``Null Komma'' beginnt
und $p$ Nullen auf das Komma folgen, so ist die Kennziffer seines
dekadischen Logarithmus gleich minus $(p + 1)$. Z.~B. hat
$\log 1899$ die Kennziffer 3, $\log 5$ die Kennziffer 0, $\log 0,5$
die Kennziffer $-l$, $\log 0,05$ die Kennziffer $-2$ u.~s,~w.

Da hiernach die Kennziffern der Logarithmen der Zahlen
ohne Mühe erkennbar sind, so enthalten die Logarithmentafeln
nur die Mantissen der Logarithmen, und zwar in
Dezimalbruchform, ältere Tafeln auf 7 oder noch mehr
Dezimalstellen, neuere Tafeln auf 5 oder 4 Stellen.
Bemerkenswert ist, daß die Logarithmen je zweier Zahlen,
deren Quotient eine Potenz von 10 mit ganzzahligem Exponenten
ist, also auch je zweier Zahlen, die sich nur durch
die Stellung des Dezimalkommas unterscheiden, \emph{eine und
dieselbe Mantisse haben}. Z.~B.:
\begin{gather*}
  \log 8000 = 3,90309; \quad \log 80     = 1,90309;   \\
  \log 8    = 0,90309; \quad \log  0,008 = 0,90309 - 3.
\end{gather*}

Die logarithmische Berechnung von Zahl-Ausdrücken
zeigt folgendes Beispiel:
\begin{equation*}
  x = \sqrt[3]{ \frac{ 13,46 \cdot 0,0782 }{(3,9164)^2} }
\end{equation*}
ergiebt:
\label{p:216}
\begin{equation*}
  \log x = \frac{1}{3} \left[ \log 13,46 + \log 0,0782 - 2 \cdot \log 3,9164 \right] .
\end{equation*}
\begin{equation*}
  \begin{array}{r@{\,}l}
    \log 13,46  = & 1,12905 \\
    \log 0,0782 = & \ul{0,89321 - 2} \\
    & 2,02226 - 2 \\
    \log 3,9164 = & 0,59284 \\
    & \ul{\phantom{05928}(4)} \\
    2 \log 3,9164 = & \ul{1,18576} \\
    & 0,83650 - 2 \\
    & \ul{1,83650 - 3} \\
    3 \vert & 0,61217 - 1 \rlap{$\Vert \mathbf{x = 0,40942}.$}
  \end{array}
\end{equation*}

Wenn der logarithmisch zu berechnende Zahlen-Ausdruck
Plus- und Minuszeichen enthält, so müssen die durch diese
Zeichen getrennten Glieder für sich berechnet werden, da
für $\log (a \pm b)$ keine einfache Umformung möglich ist. Z.~B.:
\begin{equation*}
  x = \frac{1}{4} \sqrt{ 10 + 2\sqrt{5} } .
\end{equation*}
\begin{equation*}
  \begin{array}{r@{\,}l}
    \log 5            = & 0,69897 \\
    \frac{1}{2}\log 5 = & 0,34948(5) \\
    \log 2            = & \ul{0,30103} \\
    & 0,65051(5);\ 2\sqrt{5} = \phantom{1}4,4721(5) \\
    \log 14,4721 =
    & \ul{1,16053\phantom{(0)}};\ \phantom{2\sqrt{5} = {}} 14,4721(5) \\
    2 \vert & 0,58026(5) \\
    \log 4            = & \ul{0,60206} \\
    & 0,97820(5) - 1;\ x = 0,95105.
  \end{array}
\end{equation*}

Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten
von Potenzen vorkommt, lassen sich häufig durch Übergang
zu den Logarithmen auf gewöhnliche Gleichungen
(§~\ref{ch:17} und §~\ref{ch:27}) zurückführen, wodurch dann die Lösung
solcher \emph{Exponentialgleichungen} ermöglicht wird. Z.~B.:
\begin{equation*}
  \tag*{\indent 1)} 1,035^x = 2
\end{equation*}
führt auf:
\begin{equation*}
  x \cdot \log 1,035 = \log 2
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  x = \frac{ \log 2 }{ \log 1,035 }
    = \frac{ 0,30103 }{ 0,01494 } = 20,2.
\end{equation*}

\label{p:217}
\begin{equation*}
  \tag*{\indent 2)}
  4^{5x+2}+8 \cdot 8^{2(x+1)} = \left( \frac{131}{9} \right)^{10-x}
\end{equation*}
führt zunächst auf:
\begin{equation*}
  2^{6x+4}+2^3 \cdot 2^{6x+6} = \left( \frac{131}{9} \right)^{10-x}
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  2^{6x} \cdot [2^4+2^9] = \left( \frac{131}{9} \right)^{10-x}
\end{equation*}
oder:
\begin{equation*}
  2^{6x} \cdot 528 = \left( \frac{131}{9} \right)^{10-x}
\end{equation*}
also, durch Logarithmierung:
\begin{equation*}
  6x \cdot \log{2} + \log{528} = (10-x) \log \frac{131}{9},
\end{equation*}
woraus folgt:
\begin{equation*}
  x = \frac { 10 ( \log 131 -\log 9 ) - \log 528 }
  {  6 \log 2 + \log 131 - \log 9 }.
\end{equation*}

Die numerische Berechnung ergiebt dann: \\
\begin{minipage}{.5\hsize}
  \begin{equation*}
    \begin{array}{r@{\,}l}
      \log{131}     = &     2,11727 \\
      \log{9}       = & \ul{0,95424} \\
      &                     1,16303 \\
      &             \llap{1}1,6303 \\
      \log{528}     = & \ul{2,7226\*} \\
      \text{Zähler} = &     8,9077
    \end{array}
  \end{equation*}
\end{minipage}
\vrule
\begin{minipage}{.5\hsize}
  \begin{equation*}
    \begin{array}{r@{\,}l}
      6\log{2}  = &     1,80618 \\
      \log{131} = & \ul{2,11727} \\
      &                 3,92345 \\
      \log{9} = &       0,95424 \\
      \text{Nenner} = & 2,96921
    \end{array}
  \end{equation*}
\end{minipage}

Nun ist $\log{x} = \log{8,9077} - \log{2,96921}$.
\begin{align*}
  \log{8,9077\*}& =     0,94976 \\
  \log{2,96921} & = \ul{0,47264} \\
  \log{x}       & =     0,47712 \vert \mathbf{x = 3}.
\end{align*}

\section*{Übungen zu §~\ref{ch:32}}

\begin{exercise}
\exercisegoal{Jede der folgenden identischen Gleichungen
soll so verwandelt werden, daß nur eine Seite
der Gleichung das Zeichen ``$\log$''} enthält:

\item $5^4 = 625$;
\item $8^3 = 512$;
\item $\frac{25}{16} = \left( \frac{5}{4} \right)^2$;

\item $1000 = 10^3$;
\item $\left( \frac{81}{25} \right)^\frac{1}{2} = \frac{9}{5}$;
\item $\left( \frac{16}{81} \right)^\frac{3}{4} = \frac{8}{27}$;

\label{p:218}

\item $\left( \frac{1}{2} \right)^{-5} = 32$;
\item $\left( \frac{27}{64} \right)^{-\frac{2}{3}} = \frac{16}{9}$;
\item $a^0 = 1$;

\item $a^{-1} = \frac{1}{a}$;
\item $\sqrt[4]{256} = 4$;
\item $\sqrt[m]{1} = 1$.

\exercisegoal{Übersetze in Potenzsprache:}

\item $\log^{3} 243 = 5$;
\item $\log^{6} 216 = 3$;
\item $\log^{8} 16 = \frac{4}{3}$;

\item $\log^{ \frac{4}{3} } (1+\frac{7}{9}) = 2$;
\item $\log^{0,2} \frac{1}{125} = 3$;

\item $\log^{11} \frac{1}{1331} = -3$;
\item $\log^{6} (216^m) = 3m$.

\exercisegoal{Welches sind für die Basis 9 die Logarithmen von:}

\item $9$;
\item $81$;
\item $1$;
\item $\frac{1}{9}$;
\item $9^{-m}$;
\item $3$;

\item $\frac{1}{27}$;
\item $\sqrt[3]{ \frac{1}{3} }$;
\item $3^p$;
\item $81^{ \frac{7}{2} }$;
\item $729^{-\frac{5}{4}}$?

\item $3^{1000}$ liegt zwischen $10^{477}$ und $10^{478}$. Wie heißt
also der dekadische Logarithmus von 3?

\item Entnimm aus der Berechnung von $5^{10}$ den $\log 5$
auf eine Dezimalstelle.

\exercisegoal{Logarithmiere:}

\item $abc$;
\item $ab^2c^3$;
\item $a : (bcd)$;
\item $32\,a:b$;
\item $ab^4 : c^6$;
\item $(a b c)^4 : (d e)^5$;
\item $\frac{ a^3b^2c^4 }{ d^5e^7 }$;

\item $\frac{ a^{-3}b^{-2} }{ c^{-4} }$;
\item $\sqrt[5]{ab}$;
\item $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{b} : c^4$;

\item $\frac{1}{ b\sqrt[3]{ac} }$;
\item $\frac{ a\cdot b\cdot \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[5]{6} \cdot c }$;
\item $a^{ \frac{4}{5} } b^{ \frac{5}{6} } : c^{ \frac{6}{7} }$.

\exercisegoal{Verwandele in den Logarithmus eines Ausdrucks:}

\item $\log a + \log b - \log c - \log d$;
\item $\log a + 3 \log b$;
\item $5 \log a - 4 \log b$;

\label{p:219}
\item $\frac{1}{2} \log a + \frac{1}{3} \log b - \frac{1}{4} \log c$;

\item $\log (a + b) + \log (a - b)$;

\item $\log a + \log \left(1 - \frac{b}{a} \right)$;

\item $\log (a^3 + b^3) - \log (a + b)$;

\item $3 \log (a + b) - \log (a^2 + 2ab + b^2)$.

\exercisegoal{Berechne logarithmisch:}

\item $5,428 \cdot 10,13$;
\item $0,4325 \cdot 72,34$;

\item $143,7 \cdot 5,842$;
\item $(4,582)^8$;

\item $\frac{0,0423}{0,0089}$;
\item $\frac{0,7435}{(0,0562)^2}$;
\item $\frac{834,56}{123,78}$;

\item $\frac{34,5\ \cdot 35,6}{7,89\ \cdot 139}$;
\item $\frac{(4,892)^7}{(7,956)^4}$;
\item $\sqrt[3]{19,452}$;

\item $\sqrt[5]{3}$;
\item $\sqrt[6]{7}$;
\item $43,4\ \cdot \sqrt[5]{8,9}\ \cdot 7,57$;

\item $\sqrt[15]{15}$;
\item $\sqrt[11]{5480}$;
\item $\left( \frac{3}{4} \right) ^{0,5}$;

\item $\left( \sqrt[4]{17} \right)^{1,3}$;
\item $\sqrt[5]{ 723 \cdot \sqrt[3]{19} \cdot \sqrt[7]{26} }$;

\item $\frac {\sqrt[3]{723,5}} {\sqrt[5]{428,7}}$;
\item $\sqrt[3]{-525}$;
\item $\sqrt[5]{-37,429}$.

\exercisegoal{Unterbrochene logarithmische Berechnung von:}

\item $\frac{1}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}$;
\item $\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}$;

% [**Note: Repetition of 74 in the original.]
\item $\sqrt[15]{3^15 + 15^3}$.

\exercisegoal{Berechne logarithmisch die mittlere Proportionale
zu:}

\item $5,837$ und $6,792$;

\item $\sqrt[5]{8}$ und $\sqrt[8]{5}$;

\item $7^{\frac{13}{5}}$ und $\left( \frac{13}{5} \right)^7$.

\label{p:220}
\exercisegoal{Mit wieviel Ziffern wird geschrieben:}

\item $2^{100}$;
\item $9^{ \left( 9^9 \right) }$?

\exercisegoal{Die folgenden Exponentialgleichungen sollen
durch Übergang zu den Logarithmen gelöst
werden:}

\item $4^x + 4^{x+1} + 4^{x+3} = 5^x + 5^{x+2}$;
\item $3^{ \left( 4^x \right) } = 4^{ \left( 3^x \right) }$;
\item $\left\{
    \begin{array}{rl}
      3^x \cdot 2^y &= 5   \\
      y - x &= 2
    \end{array} \right.$.
\end{exercise}

\separator

\label{p:221}
\addcontentsline{toc}{part}{Anhang.}%
\part*{Anhang.}

\chapter{Das System der arithmetischen Operationen.}\label{ch:33}

Die Arithmetik entwickelt aus dem Begriff der Zahl,
ohne Zuhilfenahme irgend eines Axioms, zunächst die Addition,
aus ihr die Multiplikation und aus dieser die Potenzierung.
Bei jeder dieser drei Operationen werden zwei
Zahlen verknüpft, um eine dritte zu ergeben. Die beiden
Zahlen, welche verknüpft werden, können immer logisch als
passive Zahl und als aktive Zahl unterschieden werden.
Man operiert mit der aktiven Zahl an der passiven. Da
für die Addition und für die Multiplikation das Kommutationsgesetz
gilt, indem $a + b = b + a$ und $a \cdot b = b \cdot a$
ist, so brauchen bei diesen beiden Operationen die passive
und die aktive Zahl in arithmetischer Hinsicht nicht unterschieden
zu werden. Sie haben daher einen gemeinsamen
Namen erhalten, der bei der Addition Summand und bei
der Multiplikation Faktor heißt. Bei der Potenzierung gilt
das Kommutationsgesetz \emph{nicht}, und deshalb muß die Basis
und der Exponent nicht allein logisch, sondern auch arithmetisch
unterschieden werden.

Da \emph{jede} der beiden durch eine Operation verknüpften
Zablen als \emph{gesucht} betrachtet werden kann, während die
andere verknüpfte Zahl, sowie das Ergebnis als gegeben
zu betrachten ist, so hat jede Operation logisch zwei Umkehrungen.
Wegen des Kommutationsgesetzes fallen jedoch
arithmetisch die beiden Umkehrungen der Addition und der
Multiplikation je in eine einzige Umkehrung zusammen.
Nur die Potenzierung hat, wegen der Ungültigkeit des
Kommutationsgesetzes, zwei wesentlich verschiedene Umkehrungen.
Die Umkehrungen nennt man \emph{indirekte} Operationen,
im Gegensatz zu der Addition, Multiplikation und
Potenzierung, die man direkte Operationen nennt, und zwar
beziehungsweise erster, zweiter und dritter Stufe. Demgemäß
sind arithmetisch 7 Operationen zu unterscheiden, die in der
\label{p:222}
folgenden Tabelle zusammengestellt sind, wo immer 16 die
passive, 2 die aktive Zahl ist:
\begin{center}
  \textbf{Tabelle der 7 Operationen. }
  \def\colsize{.15\hsize}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \parbox{\colsize}{\centering Name der Operation:}
    & \parbox{\colsize}{\centering Beispiel:}
    & \parbox{\colsize}{\centering Die passive Zahl, hier 16, heißt: }
    & \parbox{\colsize}{\centering Die aktive Zahl, hier 2, heißt: }
    & \parbox{\colsize}{\centering Das Resultat heißt: }   \\   \hline  \hline
%%%
    Addition
    & $16 + 2 = 18$
    & \parbox{\colsize}{\centering Augendus (Summand) }
    & \parbox{\colsize}{\centering Auctor (Summand) }
    & Summe   \\   \hline
%%%
    Subtraktion
    & $16 \cdot 2 = 14$
    & Minnendus
    & Subtrahendus
    & Differenz   \\   \hline
%%%
    \parbox{\colsize}{\centering Multipli\-kation }
    & $16 \cdot 2 = 32$
    & \parbox{\colsize}{\centering Multiplikan\-dus (Faktor) }
    & \parbox{\colsize}{\centering Multiplikator (Faktor) }
    & Produkt   \\   \hline
%%%
    Division
    & $16:2 = 8$
    & Dividendus
    & Divisor
    & Quotient   \\   \hline
%%%
    Potenziernng
    & $16^2 = 256$
    & Basis
    & Exponent
    & Potenz   \\   \hline
%%%
    Radizierung
    & $\sqrt[2]{16} = 4$
    & Radikandus
    & \parbox{\colsize}{\centering Wurzel-Exponent }
    & Wurzel   \\   \hline
%%%
    \parbox{\colsize}{\centering Logarith\-mierung }
    & $\log 16 = 4$
    & \parbox{\colsize}{\centering Logarith\-mandus }
    & \parbox{\colsize}{\centering Logarithmen\-Basis }
    & Logarithmus   \\   \hline
  \end{tabular}
\end{center}

Wie hierbei aus jeder der drei direkten Operationen
Addition, Multiplikation, Potenzierung ihre beiden
Umkehrungen folgen, zeigt folgende Tabelle:

\begin{center}
  \def\colsize{3cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
   Stufe:
 & Direkte Operation:
 & Indirekte Operation:
 & Gesucht wird:   \\   \hline  \hline
 \multirow{2}{5mm}{\centering I.}
 & \multirow{2}{\colsize}{\centering
   Addition: \\ $5 + 3 = 8$}
 & Subtraktion: $8 - 3 = 5$
 & Augendus  \strut \\
 \cline{3-4}
 &
 & Subtraktion: $8 - 5 = 3$
 & Auctor   \\   \hline
%
 \multirow{2}{5mm}{\centering II.}
 & \multirow{2}{\colsize}{\centering
   \parbox{\colsize}{\centering Multiplikation: \\ $5\cdot3=15$}}
 & Division: $15 : 3 = 5$
 & Multiplikandus  \strut \\
\cline{3-4}
 &
 & Division: $15 : 5 = 3$
 & Multiplikator  \strut \\   \hline
%
 \multirow{2}{5mm}{\centering III.}
 & \multirow{2}{\colsize}{\centering
   \parbox{\colsize}{\centering Potenzierung: \\ $5^3 =125$}}
 & Radizierung: $\sqrt[5]{125} = 5$
 & Basis  \strut \\
\cline{3-4}
 &
 & Logarithm. $\log^5 125 = 3$
 & Exponent  \strut \\   \hline
\end{tabular}
\end{center}

\label{p:223}
In derselben Weise, wie die Multiplikation aus der
Addition, die Potenzierung aus der Multiplikation hervorgeht,
so könnte man auch aus der Potenziernng als der direkten
Operation dritter Stufe eine direkte \emph{Operation vierter
Stufe}, aus dieser eine fünfter Stufe u.~s.~w. ableiten. Doch
ist schon die Definition einer direkten Operation vierter
Stufe zwar logisch berechtigt, aber für den Fortschritt der
Mathematik unwichtig, weil bereits bei der dritten Stufe das
Commutationsgesetz seine Gültigkeit verliert.

Um zu einer direkten Operation vierter Stufe zu gelangen,
hat man $a^a$ als Exponenten von $a$ zu betrachten,
die so entstandene Potenz wieder als Exponenten von $a$
anzusehen und so fortzufahren, bis $a$ $b$mal gesetzt ist.
Nennt man das Ergebnis dann $(a; b)$, so stellt $(a; b)$ das
Resultat der direkten Operation vierter Stufe dar. Für dasselbe
gilt z.~B. die Formel:
\begin{equation*}
  (a; b)^{(a;c)}  = (a; c + 1)^{(a; b-1)} .
\end{equation*}
% ** It seems that there's a missing ``)'' in this equation,
%    but I can't tell whether it should enclose ``a;c'' or ``a;c+1''.

Ferner gilt für die vierte Stufe, daß, wenn $(a; \infty) = x$
ist, $a = \sqrt[x]{x}$ sein muß.

Wegen der Gültigkeit des Kommutationsgesetzes bei
der direkten Operation zweiter Stufe, kann man von dieser
ans nur in einer einzigen Richtung zu einer direkten
Operation der nächst höheren Stufe gelangen, da es gleichgültig
ist, ob man $a \cdot a$ als passive und $a$ als aktive Zahl
oder umgekehrt auffaßt. Anders bei dem Aufstieg von der
dritten Stufe zur vierten. Oben ist $a^a$ als Exponent der
Basis $a$ betrachtet, u.~s.~w. Man kann jedoch auch $a$ als
Exponent der Basis $a^a$ ansehen, die so entstandene Potenz
wieder als Basis einer Potenz betrachten, deren Exponent
$a$ ist, und so fortfahren, bis $a$ $b$ mal gesetzt ist. Dann
gelangt man zu
\begin{equation*}
  a^{ (a^{b-1}) } ,
\end{equation*}
also zu einer Potenz, deren Basis $a$ und deren Exponent
$a^{b-1}$ ist, also nicht zu einer als neu aufzufassenden Operation.

\separator

\label{p:224}
\chapter{Die Erweiterungen des Zahlbegriffs.}\label{ch:34}

Aus dem Begriff des Zählens ergeben sich zunächst
die natürlichen Zahlen als die Ergebnisse desselben, dann
aber auch der Begriff der Addition als der Zusammenfassung
zweier Zählungen in eine einzige Zählung. Ohne Hindernis
gelangt man dann von der Addition zu dem Begriff der
\emph{direkten} Operation höherer Stufe, so daß die Verknüpfung
zweier beliebiger Zahlen durch irgend eine direkte Operation
immer Sinn behält, d.~h. zu einer natürlichen Zahl als dem
Ergebnis der Verknüpfung führt. Sobald man aber die
indirekten Operationen zuläßt, gelangt man zu der Erkenntnis,
daß nur bei gewissen Zahlen-Paaren die Verknüpfung
durch eine solche Operation Sinn hat, bei andern
Zahlen-Paaren nicht. So hat erstens ``5 minus 9'' keinen
Sinn, weil es keine natürliche Zahl giebt, die, mit 9 durch
Addition verbunden, zur Zahl 5 führt, zweitens ``8 dividiert
durch 3'' keinen Sinn, weil es keine natürliche Zahl giebt,
die, mit 3 durch Multiplikation verbunden, zur Zahl 8 führt,
drittens ``fünfte Wurzel aus 100'' keinen Sinn, weil es keine
natürliche Zahl giebt, deren fünfte Potenz 100 ist, viertens
``Logarithmus von 50 zur Basis 10'' keinen Sinn, weil es
keine natürliche Zahl giebt, mit der man 10 potenzieren
müßte, um 50 zu erhalten. Statt nun solche sinnlosen Verknüpfungen
zweier Zahlen zu verwerfen und aus der Sprache
der Arithmetik zu verbannen, hat man es vorgezogen, solche
Verknüpfungen als Zahlen im erweiterten Sinne des Wortes
in die Sprache der Arithmetik aufzunehmen. Man befolgt dabei
das schon in §~\ref{ch:8} erwähnte \emph{Prinzip der Permanenz} oder
der \emph{Ausnahmslosigkeit}. Dasselbe besteht in viererlei:

erstens darin, jeder Zeichen-Verknüpfung, die keine der
bis dahin definierten Zahlen darstellt, einen solchen Sinn
zu erteilen, daß die Verknüpfung nach denselben Regeln
behandelt werden darf, als stellte sie eine der bis dahin
definierten Zahlen dar;

zweitens darin, eine solche Verknüpfung als Zahl im
erweiterten Sinne des Wortes zu definieren, und dadurch
den Begriff der Zahl zu erweitern;

drittens darin, zu beweisen, daß für die Zahlen im
erweiterten Sinne dieselben Sätze gelten, wie für die Zahlen
im noch nicht erweiterten Sinne;
\label{p:225}
viertens darin, zu definieren, was im erweiterten Zahlengebiet
die ursprünglich nur für natürliche Zahlen definierbaren
Begriffe ``gleich, größer, kleiner'' bedeuten.

Durch Anwendung des Prinzips der Permanenz gelangten
wir bei der Subtraktion zur Zahl \emph{Null} und zu den
\emph{negativen Zahlen}, bei der Division zu den positiven und
negativen \emph{gebrochenen} Zahlen, bei der Radizierung mit
positivem Radikanden und bei der Logarithmierung mit
positiver Basis zu den positiven und negativen \emph{irrationalen}
Zahlen, bei der Radizierung mit negativem Radikanden zu
den rein imaginären \emph{Zahlen}, und von diesen zu den
\emph{komplexen} Zahlen. So konnten wir in der Zahlform
\begin{equation*}
    a + ib,
\end{equation*}
wo $a$ und $b$ entweder null oder eine beliebige positive oder
negative, rationale oder irrationale Zahl bedeuten, die
bis jetzt höchste Erweiterung des Zahlbegriffs erblicken.
Schon ist in §~\ref{ch:26} nachgewiesen, daß die Verknüpfung
zweier solcher Zahlen durch die Operationen erster und
zweiter Stufe immer wieder zu einer solchen Zahl führt.
Da die Untersuchung der Verknüpfung zweier Zahlen von
der Form $a + ib$ durch die Operationen \emph{dritter} Stufe mit
den Mitteln der elementaren Mathematik nicht möglich ist,
so mag hier die Mitteilung genügen, daß auch die Anwendung
der drei Operationen dritter Stufe auf Zahlen von der Form
$a + ib$ immer wieder auf solche Zahlen führt, also nicht
zu neuen Erweiterungen des Zahlengebiets Veranlassung
giebt. Auch indirekte Operationen von noch höherer als
der dritten Stufe können nicht zu neuen Zahlformen führen.
In $a + i b$ haben also die allmählichen Erweiterungen des
Zahlengebiets ihren Abschluß gefunden.

\separator

\chapter{Historisches.}\footnote{%
Ausführlichere historische Notizen habe ich in dem von mir
für die ``Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften'' (Leipzig
1898) verfaßten Artikel ``über die Grundlagen der Arithmetik'' zusammengestellt.
Diesem Artikel sind auch einige der hier folgenden
Notizen entnommen.}\label{ch:35}

\subsection*{Zu Abschnitt I.}

Die ersten Keime einer arithmetischen Buchstabenrechnung
finden sich schon bei den Griechen (\emph{Nikomachos}
um 100 n.~Chr., \emph{Diophantos} um 300 n.~Chr.), mehr noch
\label{p:226}
bei den Indern und Arabern (\emph{Alchwarizmî} um 800 n.~Chr.,
\emph{Alkalsâdi} um 1450). Die eigentliche Buchstabenrechnung
mit Verwendung der Zeichen
\begin{equation*}
  =, >, <
\end{equation*}
und der Operationszeichen ist jedoch erst im 16.~Jahrhundert
ausgebildet (\emph{Vieta}, \dag~1603), vor allem in Deutschland und
Italien. Das jetzt übliche Gleichheitszeichen findet sich
zuerst bei \emph{R.~Recorde} (1556). Aber erst durch \emph{L.~Euler}
(1707--1783) hat die arithmetische Zeichensprache die
heutige festere Gestalt bekommen. Die drei Regeln üher
das Setzen der Klammern sprach zuerst \emph{E.~Schröder} aus,
und zwar in seinem ``Lehrbuch der Arithmetik'', Leipzig
1873, Band I, sowie in seinem ``Abriß der Arithmetik und
Algebra'', I.~Heft, Leipzig 1874.

\subsection*{Zu Abschnitt II.}

Über Zahl-Mitteilung und Zahl-Darstellung in Wort und
Schrift lese man des Verfassers kulturgeschichtliche Studie
``Zählen und Zahl'' in Virchow-Holtzendorffs Sammlung
gemeinv. wiss. Vorträge, Hamburg 1887.

Die Unterscheidung der \emph{kommutativen, assoziativen
und distributiven} Gesetze findet man in Deutschland
zuerst bei \emph{H.~Hankel} (Theorie der komplexen Zahlsysteme,
Leipzig 1867), in England schon seit etwa 1840.

Als gemeinsames Zeichen für alle Differenzformen, in
denen Minuend und Subtrahend gleich sind, tritt die \emph{Null}
erst seit dem 17.~Jahrhundert auf. Ursprünglich war die
Null nur ein Vacatzeichen für eine fehlende Stufenzahl in
der von den Indern erfundenen Stellenwert-Zifferschrift (vgl.
hier §~\ref{ch:22}). Andere Zifferschriften, wie die additive der
Römer oder die multiplikative der Chinesen haben kein
Zeichen für Null.

\emph{Das Prinzip der Permanenz} ist in allgemeinster
Form zuerst von \emph{H.~Hankel} (§~\ref{ch:3} der Theorie der komplexen
Zahlsysteme, Leipzig 1867) ausgesprochen.

Bei einem logischen Aufbau der Arithmetik geht die
\label{p:227}
Einführung der \emph{negativen} Zahlen der der gebrochenen
Zahlen voran.

Historisch jedoch sind die negativen Zahlen viel später
in Gebrauch gekommen, als die gebrochenen Zahlen. So
rechneten die griechischen Arithmetiker nur mit Differenzen,
in denen der Minuend größer als der Subtrahend war. Die
ersten Spuren eines Rechnens mit negativen Zahlen finden
sich bei dem indischen Mathematiker \emph{Bhâskara} (geb. 1114),
der den negativen und den positiven Wert einer Quadratwurzel
unterscheidet. Auch die Araber erkannten negative
Wurzeln von Gleichungen. \emph{L.~Pacioli} am Ende des
15.~Jahrhunderts und \emph{Cardano}, dessen Ars magna 1550
erschien, wissen zwar etwas von negativen Zahlen, legen
ihnen aber keine selbständige Bedeutung bei. Cardano
nennt sie aestimationes falsae und fictae. \emph{Michael Stifel}
(in seiner 1544 erschienenen Arithmetica integra) rechnet
sie nicht zu den numeri veri. Erst \emph{Th.~Harriot} (um 1600)
betrachtet negative Zahlen für sich und läßt sie die eine
Seite einer Gleichung bilden. Das eigentliche Rechnen mit
negativen Zahlen beginnt jedoch erst mit \emph{R.~Descartes}
(\dag~1650), der einem und demselben Buchstaben bald einen
positiven, bald einen negativen Wert beilegte.

\subsection*{Zu Abschnitt III.}

In früheren Jahrhunderten herrschte noch Unklarheit
darüber, welche Operationen als arithmetische Grund-Operationen
zu betrachten sind, so noch um die Mitte des
15.~Jahrhunderts bei \emph{J.~Regiomontanus} und \emph{G.~v.~Peurbach},
der acht Grund-Operationen aufzählt, nämlich: Numeratio,
Additio, Subtraktio, Mediatio, Duplatio, Multiplikatio, Divisio,
Progressio. Der hier im Text vollzogene logisch genaue
\emph{Aufbau} der vier fundamentalen Operationen und überhaupt
der arithmetischen Begriffe gehört erst dem neunzehnten
Jahrhundert an. Namentlich hat \emph{E.~Schröders} Lehrbuch
(Leipzig 1873, Band I: Die sieben algebraischen Operationen)
auf die Darstellungen der elementaren Arithmetik verbessernd
gewirkt.

Mit \emph{Brüchen} wurde schon im Altertum gerechnet. Ja,
das älteste mathematische Handbuch, der \emph{Papyrus Rhind}
im Britischen Museum, enthält schon eine eigenartige Bruchrechnung,
in der jeder Bruch als Summe verschiedener
\label{p:228}
\emph{Stammbrüche} geschrieben wird. Die \emph{Griechen} unterschieden
in ihrer Buchstaben-Zifferschrift, Zähler und Nenner
durch verschiedene Strichelung der Buchstaben, bevorzugten
aber Stammbrüche. Die Römer suchten die Brüche als
Vielfache von $\frac{1}{12}$, $\frac{1}{24}$ u.~s.~w. bis $\frac{1}{288}$ darzustellen, im Zusammenhang
mit ihrer Gewichts-und Münzeinteilung. Die
\emph{Inder} und \emph{Araber} kannten Stammbrüche und abgeleitete
Brüche, bevorzugten aber, ebenso wie die \emph{alten
babylonischen}, und, ihnen folgend, die \emph{griechischen}
Astronomen \emph{Sexagesimalbrüche}. Den Bruchstrich und
die heutige Schreibweise der Brüche erfand \emph{Leonardo
von Pisa} (genannt \emph{Fibonacci}, um 1220).

\subsection*{Zu Abschnitt IV.}

Die unter dem Namen ``Pascalsches Dreieck'' (triangulus
arithmeticus) bekannte Koeffizienten-Tafel für die Entwickelung
von $(a + b)^n$ findet sich schon vor \emph{Blaise Pascal}
(\dag~1662) bei \emph{Michael Stifel} (Arithmetica integra, 1544).

Schon \emph{Diophantos} (um 300 n.~Chr.) lehrte die Auffindung
einer unbekannten Zahl durch Auflösung einer
Gleichung. Ebenso verstanden es auch die indischen
Mathematiker, einfache Gleichungen aufzulösen. Die Araber
aber haben auch verwickeitere Gleichungen zu lösen vermocht
(\emph{Alchwarizmî}, latinisiert Algorithmus, um 800).

Mit \emph{Proportionen} beschäftigten sich schon die Griechen,
vorzugsweise mit ihrer Anwendung in der Geometrie (Geometrisches
Mittel). Die Unterscheidung von drei Mitteln, dem
geometrischen, dem arithmetischen und dem harmonischen,
rührt von Nikomachos (um 100 n.~Chr.) her.

Die Dezimalbrüche entstanden im Laufe des 16.~Jahrhunderts.
\emph{Johann Keppler} (1571--1630) führte das Dezimalkomma
ein. Das Prinzip, das der Dezimalbruch-Schreibweise
zu Grunde liegt, war schon im Altertum bei den \emph{Sexagesimalbrüchen}
verwendet. Bei denselben läßt man auf die Ganzen
Vielfache von $\frac{1}{60}$ und dann von $\frac{1}{3600}$ folgen. Daß dieselben
\emph{babylonischen} Ursprungs sind, ist durch die Entdeckung
einer von babylonischen Astronomen angewandten sexagesimalen
Stellenwert-Zifferschrift (mit 59 verschiedenen Zahlzeichen,
\label{p:229}
aber ohne ein Zeichen für nichts) unzweifelhaft geworden.
Auch die griechischen Astronomen (\emph{Ptolemäus},
um 150 n.~Chr.) rechneten mit Sexagesimalbrüchen. Z.~B.
setzte Ptolemäus das Verhältnis des Umfangs eines Kreises
zu seinem Durchmesser gleich $3 \: . \: . \: 8 \: . \: . \: 30$, d.~h. gleich
$3 + \frac{8}{60} + \frac{30}{3600} = 3\smallfrac{17}{120} = 3,141\overline{6}$. Unsere Sechzig-Teilung
der Stunde und des Grades, sowie die Ausdrücke Minute
(pars \emph{minuta} prima) und Sekunde (pars minuta \emph{secunda})
sind letzte Reste der alten Sexagesimalbrüche.

\subsection*{Zu Abschnitt V.}

Der erste Mathematiker, welcher eine methodische Ausziehung
einer Quadratwurzel lehrte, war \emph{Theon von
Alexandrien}. Unser heutiges Wurzelzeichen schrieben zuerst
um die Mitte des 16.~Jahrhunderts \emph{Christoph Rudolf
aus Jauer} und \emph{Adam Biese}. Doch hatte auch schon der
Westaraber \emph{Alkalsâdi} (um 1450) ein besonderes Zeichen
für die Quadratwurzel.

Das \emph{Irrationale} erkannte zuerst \emph{Pythagoras} an dem
besonderen Beispiel des Verhältnisses der Diagonale und der
Seite eines Quadrats. \emph{Euklides} behandelte die Unterscheidung
der rationalen und der irrationalen Zahlen ausführlicher
im 10.~Buch seiner ``Elemente'', jedoch immer
nur als Ausdruck für das Verhältnis von Strecken. Irrational
nennt er das Verhältnis \emph{inkommensurabler} Strecken,
d.~h. solcher Strecken, in denen kein gemeinsames Maß
ganzzahlig enthalten ist. Er faßte auch $a \pm \sqrt{b}$ und
$\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ als besondere Irrationalitäten auf. \emph{Appollonius
von Pergä} (um 200 vor Chr.) schrieb ein besonderes Lehrbuch
üher irrationale Größen. \emph{Archimedes} verstand es sogar, ein
gesuchtes irrationales Verhältnis in zwei \emph{sehr nahe} rationale
Grenzen einzuschließen. So fand er auf dem Wege zu
seinem berühmten Resultate $3 \smallfrac{10}{71} < \pi < 3 \smallfrac{1}{7}$ unter anderem
$\frac{265}{153} < \sqrt{3} < \frac{1351}{780}$. Doch ist Euklid und Archimedes,
ebenso wie allen Mathematikern des Altertums, die Anschauung
fremd geblieben, daß das Verhältnis zweier inkommensurabler
Strecken eine \emph{bestimmte} Zahl definiere.
Dagegen unterwarfen die \emph{Inder} (\emph{Brahmagupta} um 600,
\label{p:230}
\emph{Bhâskara} um 1150 n.~Chr.), welche zu dem Irrationalen
von den quadratischen Gleichungen her gelangt waren, die
irrationalen Quadratwurzeln denselben Rechenregeln, wie die
Übrigen Zahlen. Bhâskara lehrte sogar das Wegschaffen
des Irrationalen ans dem Nenner eines Bruches und die
Verwandlung von $\sqrt{ a + \sqrt{b} }$ in $\sqrt{c} + \sqrt{d}$. Der erste
Mathematiker, welcher jeder irrationalen Wurzel gerade so
gut, wie jeder rationalen Zahl einen eindeutig bestimmten
Platz in der Zablenreihe zuweist, war \emph{Michael Stifel}
(Arithmetica integra, 1544, II. Buch).

\emph{Quadratwurzeln aus negativen Zahlen} wurden
früher als sinnlos ganz außer acht gelassen. \emph{Cardano}
(um 1545) schenkte ihnen als unmöglichen Wurzeln von
Gleichungen einige Beachtung. \emph{Euler} und \emph{Cauchy} (1821)
zeigten den Nutzen der imaginären und der imaginär-komplexen
Zahlen. Aber erst \emph{Gauß} (1831) vermochte es,
namentlich vermöge seiner graphischen Darstellung der
komplexen Zahlen, der letzten Erweiterung des Zablengebiets
das volle Bürgerrecht in der Arithmetik zu verschaffen,
ein Bürgerrecht, das die gebrochenen, die negativen
und die irrationalen Zablen schon vorher erhalten hatten.

\emph{Heron von Alexandrien} war der erste, welcher
die gemischt-quadratische Gleichung durch Ergänzung zu
einem vollständigen Quadrate löste (um 100 v.~Chr.). \emph{Diophantos}
behandelte außer der quadratischen Gleichung mit
einer Unbekannten auch solche mit mehreren Unbekannten,
wenn auch nur in sehr einfachen Fällen. Während Diophant
aber immer nur an einen einzigen Wert der Unbekannten
dachte, erkannten die indischen Mathematiker, daß eine
quadratische Gleichung \emph{zwei} Wurzeln habe, und ließen,
freilich nur unter Vorbehalt, auch irrationale und imaginäre
Wurzeln zu. \emph{Bhâskara} zeigte ferner, wie sich oft die
Lösung von Gleichungen höheren Grades auf die Lösung
von solchen zweiten Grades zurückfuhren läßt. Die Leistungen
des Diophant und der älteren indischen Mathematiker vervollkommneten
und verbreiteten die Araber, namentlich
\emph{Alchwarizmî} (um 800) und \emph{Alkarchî} (um 1000). \emph{Leonardo
von Pisa} (um 1200) brachte die arabische Algebra
nach dem Westen. Die Sätze vom Zusammenhang der
Koeffizienten mit den Wurzeln sprach \emph{Vieta} (um 1600)
zuerst aus.
\label{p:231}
\subsection*{Zu Abschnitt VI.}

Potenzen mit den Exponenten 1 bis 6 bezeichnete schon
\emph{Diophant} in abgekürzter Weise. Er nennt die zweite
Potenz $\delta\acute{\upsilon}\nu\alpha\mu\iota\varsigma$, %[**Greek: dynamis]
  ein Wort, auf das durch die lateinische
Übersetzung potentia das Wort ``Potenz'' zurückzuführen ist.
Im 14. bis 16.~Jahrhundert finden sich schon Spuren eines
Rechnens mit Potenzen und Wurzeln, so bei \emph{Oresme} (\dag~1382),
Adam Riese (\dag~1559), \emph{Christoph Rudolf} (um 1539) und
namentlich bei \emph{Michael Stifel} in dessen Arithmetica integra
(Nürnberg 1544). Aber erst seit Erfindung der Logarithmen
im Anfange des 17.~Jahrhunderts wurden die drei Operationen
dritter Stufe in die Sprache der Arithmetik einverleibt. Die
tiefere Erkenntnis des Zusammenhangs dieser drei Operationen
hatte jedoch erst \emph{L.~Euler} (1748).

Die Erfinder der Logarithmen sind \emph{Jost Bürgi} (\dag~1632)
und \emph{John Napier} (\dag~1617). Um die Verbreitung der
Kenntnis der Logarithmen hat auch \emph{Keppler} (\dag~1630) große
Verdienste. \emph{Henry Briggs} (\dag~1630) führte die Basis Zehn
ein und gab eine Sammlung von Logarithmen dieser Basis
heraus. Das Wort ``Logarithmus'' ($\lambda\acute{\omicron}\gamma\omicron\upsilon\
\alpha\varrho\iota\vartheta\mu\acute{\omicron}\varsigma$ = Nummer
%
%  **[There should be a 'soft-breathing' mark over the alpha,
%     https://www.gutenberg.org/vol/greek.html ,
%     but I can't find the TeX version of that accent.]
%
eines Verhältnisses) erklärt sich daraus, daß man zwei Verhältnisse
dadurch in Beziehung zu setzen suchte, daß man
das eine potenzierte, um das andere zu erhalten. So nannte
man 8 zu 27 das dritte Verhältnis von 2 zu 3. Auch kommt
für Logarithmus der Ausdruck ``numerus rationem exponens''
vor, von dem vielleicht das Wort ``Exponent'' herrührt. Die
ersten Berechner von Logarithmentafeln \emph{Napier und Briggs}
(1618) berechneten dieselben mühsam durch Potenzieren und
Interpolieren. Am Ende des 17.~Jahrhunderts erschlossen
die unendlichen Potenzreihen bequemere Wege zur Berechnung.
Um die Vervollkommnung der Logarithmentafeln hat
sich besonders \emph{Vega} (1794) verdient gemacht, dessen siebenstellige
Tafeln, in verschiedenen Ausgaben, noch heute gebraucht
werden. Im Schulgebrauch jedoch sind gegenwärtig
die siebenstelligen Tafeln durch fünfstellige oder gar vierstellige
verdrängt.

\separator

\label{p:232}
\chapter{Rechnungs-Ergebnisse bei den Übungen
(mit Auswahl).}\label{ch:36}

\section*{Zu §~\ref{ch:2}.}

  19) $13$;
~ 20) $7$;
~ 21) $1$;
~ 22) $4$;
~ 23) $60$;
~ 24) $60$;
~ 25) $10$;
~ 26) $10$;
~ 27) $10$;
~ 28) $10$;
~ 29) $10$;
~ 30) $39$;
~ 31) $1$;
~ 32) $7$;
~ 33) $63$;
~ 34) $56$;
~ 35) $195$;
~ 36) $45$;
~ 37) $41$;
~ 38) $110$;
~ 39) $178$;
~ 40) $44$.

\section*{Zu §~\ref{ch:3}.}

   9) $50$;
~ 10) $1000$;
~ 11) $5$;
~ 12) $96$;
~ 13) $96$;
~ 14) $6$;
~ 15) $3$;
~ 16) $1$.

\section*{Zu §~\ref{ch:10}.}

  41) $11 a + 3 b - 2 c$;
~ 42) $57 a - 93 b$;
~ 43) $p + 26q - 48s$;
~ 44) $a - 14b + c$;
~ 45) $-2bc$;
~ 46) $ac - bc + 2bd + cd$;
~ 47) $36a - 9ab$.

\section*{Zu §~\ref{ch:13}.}

  58) $a - 2b$;
~ 59) $a^2 - 3ab - 4b^2$;
~ 60) $9p^2 + 6p + 1$;
~ 61) $x^2 + 4x + 11$;
~ 62) $x^3 - x^2 + 5x - 3$;
~ 63) $6p - 5$.

\section*{Zu §~\ref{ch:14}.}

  15) $\frac{1}{4}$;
~ 16) $s - 6p$;
~ 17) $1899$;
~ 18) $\frac{ 21p - 8q + 43r }{ pqr }$;
~ 19) $\frac{ 48a - 5b }{720}$;
~ 20) $\frac{15}{4}a^2 + \frac{181}{256}ab + \frac{5}{64}b^2$;
~ 21) $\frac{1}{9}x^2 - \frac{1}{2}xy + \frac{9}{16}x^2$;
~ 22) $\frac{1}{8}a^3 + \frac{3}{16}a^2b + \frac{3}{32}ab^2 + \frac{1}{64}b^3$;
~ 23) $\frac{3}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{8}b^2$;
~ 24) $\frac{7}{8}p^2 + \frac{9}{2}pq - q^2$;
~ 25) $\frac{1}{8}a^2 - \frac{1}{2}a + 1; \quad 26) 7x-\frac{7}{2}$;

\noindent
\label{p:233}
  27) $\frac{1}{4}x^2 - \frac{9}{5}y^2$;
~ 28) $\frac{9}{4}a^2 + ab + \frac{4}{9}b^2$;
~ 29) $\frac{1}{2}a - b$.

\section*{Zu §~\ref{ch:17}.}

   1) $3$;
~  2) $2$;
~  3) $1$;
~  4) $3$;
~  5) $5$;
~  6) $6$;
~  7) $5$;
~  8) $1$;
~  9) $10$;
~ 10) $2$;
~ 11) $-1$;
~ 12) $4$;
~ 13) $7$;
~ 14) $10$;
~ 15) $-\frac{51}{11}$;
~ 16) $78$;
~ 17) $5$;
~ 18) $1$;
~ 19) $5$;
~ 20) $5$;
~ 21) $\frac{17}{15}$;
~ 22) $-\frac{17}{9}$;
~ 23) $42$;
~ 24) $1$;
~ 25) $4$;
~ 26) $1$;
~ 27) $7$;
~ 28) $1$;
~ 29) $3$;
~ 30) $-1$;
~ 31) $\frac{5}{2}$;
~ 32) $4$;
~ 33) $3$;
~ 34) $\frac{3}{4}$;
~ 35) $50$;
~ 36) $1$;
~ 37) $4$;
~ 38) $\frac{1}{8}$;
~ 39) $\frac{2}{3}$;
~ 40) $3$;

\noindent
  82) $5$;
~ 83) $7$;
~ 84) $5$;
~ 85) $5 \smallfrac{5}{6}$;
~ 86) um $5$;
~ 87) $39 + 48$;
~ 88) $40 + 20 + 51$;
~ 90) $20$ Stunden;
~ 91) $2$ Stunden und $10$ Min.;
~ 92) $330$ Postkarten;
~ 93) $25000$ Mark;
~ 94) $54$ Mark;
~ 95) $300$ Stimmen;
~ 96) $900$;
~ 97) $30$ Jahre;
~ 98) Am 1. Januar 1919;
~ 99) $4 \smallfrac{0}{0}$; % [** should be \%, or?]
~ 100) $800$ Mark;
~ 101) $36^\circ, 72^\circ, 108^\circ, 144^\circ, 180^\circ$;  % ** is this the correct way to represent degrees?
~ 102) $54$ Liter;
~ 103) $32$ Kilo;
~ 104) $5$ Kilometer;
~ 105) Um $7$ Uhr;
~ 106) Nach $3 \smallfrac{1}{3}$ Minuten;
~ 107) $6$ Kilometer;
~ 108) $5 \smallfrac{5}{11}$ Minuten;
~ 109) $25$ Centimeter;
~ 110) $9$ Centimeter;
~ 111) $9$ Dezimeter;
~ 112) $21$ und $28$ Kilo;
~ 113) $10$ Ohm;
~ 114) $550$ Centimeter.

\section*{Zu §~\ref{ch:18}.}

   1) $13$ u. $6$;
~  2) $9$ u. $1$;
~  3) $11$ u. $1$;
~  4) $2$ u. $1$;
~  5) $1$ u. $1$;
~  6) $3$ u. $2$;
~  7) $10$ u. $1$;
~  8) $1$ u. $5$;
~  9) $10$ u. $2$;
~ 10) $1$ u. $3$;
~ 11) $\frac{1}{2}$ u. $\frac{1}{2}$;
\label{p:234}
~ 12) $\frac{1}{2}$ u. $3$;
~ 13) $\frac{1}{4}$ u. $-\frac{1}{4}$;
~ 14) $\frac{1}{4}$ u. $\frac{1}{3}$;
~ 15) $\frac{1}{8}$ u. $-1$;
~ 16) $\frac{1}{4}$ u. $\frac{1}{4}$;

\noindent
  23) $4$ u. $5$;
~ 24) $3$ u. $8$;
~ 25) $10$ u. $1$;
~ 26) $4$ u. $1$;
~ 27) $4$ u. $\frac{1}{2}$;
~ 28) $7$ u. $3$;
~ 29) $8$ u. $3$;

\noindent
  34) $1$, $2$ u. $4$;
~ 35) $6$, $5$ u. $0$;
~ 36) $7$, $\frac{1}{2}$ u. $3$;
~ 37) $1$, $3$ u. $5$;
~ 38) $1$, $3$ u. $5$;
~ 39) $2$, $7$ u. $-1$;
~ 40) $15$ u. $4$;
~ 41) $4$ u. $2$;
~ 42) $\frac{5}{7}$;
~ 43) $80$ für, $40$ gegen;
~ 44) $94$;
~ 45) $8000$ Mark u. $9000$ Mark;
~ 46) $130$ Meter u. $30$ Meter i. d. Sekunde;
~ 47) $4$ Kilometer u. $5$ Kilometer;
~ 48) $9$ u. $10$ Centimeter;
~ 49) $84$ u. $13$ Centimeter;
~ 50) $12000$ Mann u. $10$ Wochen;
~ 51) $11$, $17$ u. $19$;
~ 52) $16$, $28$, $37$ Mark;
~ 53) in $12$, $16$ u. $18$ Minuten;
~ 54) $4$, $7$, $11$ u. $14$.

\subsection*{Zu §~\ref{ch:24}.}

  67) $1,732$ u. $1,733$;
~ 68) $2,645$ u. $2,646$;
~ 69) $4,358$ u. $4,359$;
~ 70) $18,027$ u. $18,028$;
~ 71) $\frac{989}{700}$ u. $\frac{990}{700}$;
~ 72) $\frac{542}{700}$ u. $\frac{543}{700}$;
~ 73) $\frac{1870}{700}$ u. $\frac{1871}{700}$.

\subsection*{Zu §~\ref{ch:25}.}

  13) $2,236$ u. $2,237$;
~ 14) $3,162$ u. $3,163$;
~ 15) $1,581$ u. $1,582$;
~ 16) $3,794$ u. $3,795$;
~ 17) $18,179$ u. $18,180$;
~ 18) $0,379$ u. $0,380$;
~ 19) $7,615$ u. $7,616$;
~ 20) $0,577$ u. $0,578$;
~ 21) $25,980$ u. $25,981$;
~ 22) $2,027$ u. $2,028$;
~ 23) $5,47$;
~ 24) $-1,41$;
~ 25) $6,76$;
~ 26) $2,83$;
~ 27) $3,87$;
~ 28) $15,49$;
~ 29) $0,58$;
~ 30) $1,32$;
~ 31) $1,90$;
~ 32) $1,66$.

\label{p:235}
\subsection*{Zu §~\ref{ch:27}.}

~  1) $\pm 6$;
~  2) $\pm \frac{5}{4}$;
~  3) $\pm 6$;
~  4) $\pm \frac{8}{3}$;
~  5) $\pm 7$;
~  6) $\pm 2$;
~  7) $f + e$;
~  8) $+4$ u. $+5$;
~  9) $3$ u. $4$;
~ 10) $3$ u. $9$;
~ 11) $4$ u. $-3$;
~ 12) $20$ u. $-1$;
~ 13) $5$ u. $-9$;
~ 14) $7$ u. $19$;
~ 15) $121$ u. $11$;
~ 16) $2$ u. $-19$;
~ 17) $5$ u. $-4$;
~ 18) $3$ u. $7$;
~ 19) $4$ u. $5$;
~ 20) $3$ u. $-\frac{2}{3}$;
~ 21) $\frac{1}{2}$ u. $\frac{13}{20}$;
~ 22) $\frac{1}{3}$ u. $\frac{4}{5}$;
~ 23) $\frac{3}{4}$ u. $-\frac{4}{3}$;
~ 24) $\frac{1}{3}$ u. $\frac{17}{12}$;
~ 25) $\frac{1}{2}$ u. $-\frac{5}{18}$;
~ 26) $\frac{2}{3}$ u. $-\frac{14}{5}$;
~ 27) $-4 \pm \sqrt{17}$;
~ 28) $3 \pm \sqrt{2}$;
~ 29) $\frac{7}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{5}$;
~ 30) $\sqrt{2} \pm \sqrt{5}$;
~ 31) $2 \pm 2i$;
~ 32) $\frac{1}{10} \pm \frac{3}{10} i \sqrt{11}$;
~ 33) $-\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} i \sqrt{3}$;
~ 34) $1 \pm i \sqrt{3}$;

\noindent
  55) $1$, $-2 \pm \sqrt{3} 4$;
~ 56) $-4$, $-\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2}\sqrt{5}$;
~ 57) $\pm 2$, $\pm 5$;
~ 58) $\pm 10$, $\pm5$;
~ 59) $\pm 1$, $\pm i \sqrt{55}$;
~ 60) $\pm 2$, $\pm \frac{1}{15} \sqrt{345}$;
~ 61) $\pm 3$, $\pm i \sqrt{11}$;
~ 63) $2$ u. $4$;
~ 64) $9$ u. $15$;
~ 65) $\frac{5}{4}$ u. $\frac{1}{8}$;
~ 66) $0$, $-3$, $2$, $-5$;
~ 67) $3$, $\frac{1}{3}$, $5$, $\frac{1}{5}$;
~ 68) $+1$, $-1$, $+3$, $-\frac{1}{3}$;
~ 69) $4$, $\frac{1}{4}$, $1$, $1$;
~ 70) $\frac{1}{4}(\sqrt{5} - 1) \pm \frac{1}{4} i \sqrt{ 10 + 2\sqrt{5} }$ und
      $- \frac{1}{4}(\sqrt{5} + 1) \pm \frac{1}{4} i \sqrt{ 10 - 2\sqrt{5} }$;
~ 71) $-1$, $3$, $\frac{1}{3}$, $5$, $\frac{1}{5}$;
~ 72) $1$, $1$, $1$, $2$, $\frac{1}{2}$;
\label{p:236}
~ 73) $1$ u. die vier Werte von No. 70;
~ 74) $1$, $-1$, $-\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} i \sqrt{3}$,
             $\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2}i\sqrt{3}$;
~ 75) $+1$, $-1$, $+i$, $-i$,
      $\pm \frac{1}{2} \sqrt{2} \pm \frac{1}{2} i \sqrt{2}$;
~ 76) $+1$, $-1$, $\pm\frac{1}{4}(\sqrt{5} - 1) \pm \frac{1}{4}i\sqrt{10 + 2\sqrt{2}}$,
      $\pm\frac{1}{4} (\sqrt{5}\pm1) \pm \frac{1}{4} i \sqrt{10 - 2\sqrt{2}}$;
~ 77) $2$;
~ 78) $3$;
~ 79) $4$;
~ 80) $3$;
~ 81) $7$;
~ 82) $11$;
~ 83) $5$;
~ 84) $3$;
~ 85) $4$ u. $-\frac{72}{71}$;
~ 86) $\frac{3}{4}$;
~ 87) $8$ mal $9$;
~ 88) $3$ u. $4$;
~ 89) $\frac{9}{16}$;
~ 90) $7$;
~ 91) $25$ Centimeter;
~ 92) $29$ Centimeter;
~ 93) $49$ zu $25$;
~ 94) $10$ Erwachsene, $12$ Kinder, Beitrag $3$ Mark, bezw. $1$ Mark;
~ 95) $3$ Mark ;
~ 96) $40$ Schriftsetzer;
~ 97) $23$ Personen;
~ 98) $1400$ Meter;
~ 99) $3000$ u. $3250$ Meter;
~ 100) $4800$ Meter u. $5500$ Meter;
~ 101) $8$ Kilo;
~ 102) Nach $2$ Sekunden und nach $2 \smallfrac{4}{49}$ Sekunden;
~ 103) $1 \smallfrac{1}{2}$ Meter;
~ 104) $20$ Ohm.

\subsection*{Zu §~\ref{ch:28}.}

$\left[ \text{\parbox{.8\hsize}{\centering
      Von den Wert-Gruppen, welche das Gleichungssystem
      erfüllen, ist hier immer nur eine angegeben.}} \right]$

\noindent
   1) $2$ u. $3$;
~  2) $5$ u. $2$;
~  3) $4$ u. $1$;
~  4) $4$ u. $5$;
~  5) $3$ u. $2$;
~  6) $2$ u. $3$;
~  7) $2$ u. $1$;
~  8) $3$ u. $5$;
~  9) $5$ u. $7$;
~ 10) $4$ u. $2$;
~ 11) $15$ u. $5$;
~ 12) $5$ u. $3$;
~ 13) $6$ u. $5$;
~ 14) $4$ u. $8$;
~ 15) $6$ u. $5$;
~ 16) $7$ u. $2$;
~ 17) $7$ u. $2$;
~ 18) $2$ u. $1$;
~ 19) $3$ u. $1$;
~ 20) $3$ u. $2$;
~ 21) $3$ u. $2$;
~ 22) $3$ u. $2$;
~ 23) $3$ u. $1$;
~ 24) $4$ u. $1$;
~ 25) $7$ u. $1$;
~ 26) $5$ u. $4$;
~ 27) $5$ u. $3$;
~ 28) $4$ u. $1$;
~ 29) $36$ u. $9$;
~ 30) $16$ u. $1$;

\noindent
  36) $2$, $3$, $4$;
~ 37) $1$, $2$, $3$;
~ 38) $1$, $2$, $5$;
~ 39) $2$, $4$, $7$;

\label{p:237}
~ 40) $5$, $6$, $7$;
~ 41) $4$, $8$, $16$;
~ 42) $6$, $10$, $14$;
~ 43) $1$, $3$, $4$;
~ 44) $6$, $12$, $8$, $9$;
~ 45) $1$, $3$, $5$, $7$;
~ 46) $2$, $3$, $5$, $6$;
~ 47) $16$ u. $36$;
~ 48) $4$ u. $9$ Seiten;
~ 49) $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i \sqrt{3}$ u. $\frac{3}{2} - \frac{1}{2}i\sqrt{3}$;
~ 50) $7$, $24$ u. $25$ Meter;
~ 51) $4$, $6$, $9$;
~ 52) $10$ Minuten u. $12$ Minuten;
~ 53) $24$ Pferde, jedes zu $200$ Mark;
~ 54) $40$ Ohm, $5$ Ampère, $1000$ Watts.

\subsection*{Zu §~\ref{ch:29}.}

  70) $3$ u. $4$;
~ 71) $1$ u. $5$;
~ 72) $1$ u. $3$.

\subsection*{Zu §~\ref{ch:30}.}

  61) $1,44$ u. $1,45$;
~ 62) $2,08$ u. $2,09$;
~ 63) $4,64$ u. $4,65$;
~ 64) $1,60$ u. $1,61$;

  68) $1,710$;
~ 69) $0,630$;
~ 70) $2,405$;
~ 71) $2,732$;
~ 72) $1,494$.

\subsection*{Zu §~\ref{ch:31}.}

  12) $0,47$;
~ 13) $11,18$.

\subsection*{Zu §~\ref{ch:32}.}

  54) $54,98$;
~ 55) $31,29$;
~ 56) $24,60$;
~ 57) $96,20$;
~ 58) $4,753$;
~ 59) $235,4$;
~ 60) $6,742$;
~ 61) $1,120$;
~ 62) $16,74$;
~ 63) $2,689$;
~ 64) $1,246$;
~ 65) $1,383$;
~ 66) $508,7$;
~ 67) $1,198$;
~ 68) $2,187$;
~ 69) $0,816$;
~ 70) $2,511$;
~ 71) $4,983$;
~ 72) $2,671$;
~ 73) $-8,044$;
~ 74) $-2,064$;
~ 75) $0,9511$;
~ 76) $0,3902$;
~ 77) $3,000$;
~ 78) $6,296$;
~ 79) $1,361$;
~ 80) $355,7$;
~ 81) Mit $31$ Ziffern;
~ 82) Mit $369\,000\,000$ bis $370\,000\,000$ Ziffern;
~ 83) $4,37$;
~ 84) $0,81$;
~ 85) $0,125$ und $2,125$.

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***END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK ELEMENTARE ARITHMETIK UND ALGEBRA***


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Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, is critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at https://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
https://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at https://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org

Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
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particular state visit https://pglaf.org

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donations.  To donate, please visit: https://pglaf.org/donate


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works.

Professor Michael S. Hart was the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.

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editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
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