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% The Project Gutenberg EBook of Thèses présentées à la Faculté des Sciences
% de Paris, by Gaston Floquet                                             %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
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%% THÈSES PRÉSENTÉES À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS,                 %%
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The Project Gutenberg EBook of Thèses présentées à la Faculté des Sciences
de Paris, by Gaston Floquet

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Thèses présentées à la Faculté des Sciences de Paris

Author: Gaston Floquet

Release Date: March 11, 2010 [EBook #31600]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÈSES ***


Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson, Paul Murray,
Keith Edkins and the Online Distributed Proofreading Team
at http://www.pgdp.net (This file was produced from images
generously made available by Cornell University Digital
Collections)
\end{verbatim}
\newpage

% *** File: 001.png---
\begin{minipage}{0.3\linewidth}{%
\No D'ORDRE\\
\hspace*{2em} 417.
}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}{%
{\Huge \bfseries THÈSES}
}
\end{minipage}

\begin{center}

\bigskip

{\small PRÉSENTÉES}

\bigskip

{\LARGE À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS}

\bigskip

{\small POUR}

\bigskip

LE DOCTORAT ÈS SCIENCES MATHÉMATIQUES,

\bigskip\bigskip

{\bfseries \scshape Par M.~Gaston FLOQUET,}

{\tiny Ancien Élève de l'École Normale, Maître de Conférences à la Faculté de Nancy.}

\bigskip

\makebox[1in]{\hrulefill}

\end{center}
\small{%
\phantom{2}1\ier\phantom{\ieme}THÈSE. --- {\scshape Sur la théorie des équations différentielles linéaires.}

\phantom{1}2\ieme\phantom{\ier}THÈSE. --- {\scshape Propositions données par la faculté.}
}
\begin{center}

\makebox[2in]{\hrulefill}

\bigskip

{\bfseries Soutenues le     Avril 1879, devant la Commission \\
d'Examen.}

\makebox[2in]{\hrulefill}


\begin{align*}
\text{MM.~HERMITE, } & \text{\emph{Président.}} \\
\begin{aligned}
\text{BOUQUET, } & \\
\text{TANNERY, } &
\end{aligned} & \bigg\} \text{\emph{Examinateurs.}}
\end{align*}

\bigskip

\makebox[2.5in]{\hrulefill}

\bigskip\bigskip

{\LARGE PARIS,}

\bigskip

{\large GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE}

\medskip

{\small DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, DU BUREAU DES LONGITUDES, }

\medskip

{SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,}

\medskip

{Quai des Augustins, 55.}

\makebox[0.5in]{\hrulefill}

\bigskip

{\LARGE 1879}

\end{center}
\newpage

% *** File: 002.png---

\begin{center}


{\Large ACADÉMIE DE PARIS.}


\makebox[1in]{\hrulefill}

\bigskip

{\Large FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS.}

\bigskip

\begin{align*}
\boxa{DOYEN} & \quad
\parbox{3.4in}{\small MM. \\
MILNE EDWARDS, Professeur. Zoologie, Anatomie, \\
\hspace*{1.5in} Physiologie comparée.}
\\
\parbox[b]{\boxla}{\small PROFESSEURS\\HONORAIRES\dotfill} &
\begin{cases}
\text{\small DUMAS.}\\
\text{\small PASTEUR.}
\end{cases}
\\
\boxa{PROFESSEURS} &
\begin{cases}
\boxb{CHASLES}\text{\small Géométrie supérieure.} \\
\boxb{P. DESAINS}\text{\small Physique.} \\
\boxb{LIOUVILLE}\text{\small Mécanique rationnelle.} \\
\boxb{PUISEUX}\text{\small Astronomie.} \\
\boxb{HÉBERT}\text{\small Géologie.} \\
\boxb{DUCHARTRE}\text{\small Botanique.} \\
\boxb{JAMIN}\text{\small Physique.} \\
\boxb{SERRET}\text{\small Calcul différentiel et intégral.} \\
\boxb{H. S\up{te}-CLAIRE DEVILLE}\text{\small Chimie.} \\
\boxb{DE LACAZE-DUTHIERS}\parbox[t]{\boxlc}{\small Zoologie, Anatomie, Physio-\\logie comparée.} \\
\boxb{BERT}\text{\small Physiologie.} \\
\boxb{HERMITE}\text{\small Algèbre supérieure.} \\
\boxb{BRIOT}\parbox[t]{\boxlc}{\small Calcul des probabilités, Phy-\\sique mathématique.} \\
\boxb{BOUQUET}\parbox[t]{\boxlc}{\small Mécanique physique et expé-\\rimentale.} \\
\boxb{TROOST}\text{\small Chimie.} \\
\boxb{WURTZ}\text{\small Chimie organique.} \\
\boxb{FRIEDEL}\text{\small Minéralogie.} \\
\boxb{O. BONNET}\text{\small Astronomie.}
\end{cases}
\\
\boxa{AGRÉGÉS} &
\begin{cases}
\parbox{\boxlb}{%
\small BERTRAND\dotfill\\
J. VIEILLE\dotfill}\bigg\} \text{\small Sciences mathématiques.} \\
\boxb{PELIGOT}\text{\small Sciences physiques.}
\end{cases}\\
\boxa{SECRÉTAIRE} & \quad \text{\small PHILIPPON.}
\end{align*}

\hrulefill

{\scriptsize \scshape Paris.---Imprimerie de GAUTHIER-VILLARS, successeur de MALLET-BACHELIER,}

{\scriptsize Quai des Augustins, 55.}

\end{center}
\newpage

% *** File: 003.png---
\begin{center}
\textsc{\Large A M.~Ch. HERMITE}
\end{center}
\bigskip\bigskip\bigskip

\begin{flushright}
{\small Hommage très-respectueux.\qquad\qquad}
\bigskip\bigskip

{\small \textsc{Gaston FLOQUET.}}
\end{flushright}
\newpage

% *** File: 004.png---
%[Blank page]
% *** File: 005.png---
\begin{center}
{\LARGE PREMIÈRE THÈSE. \bigskip}

{\Large SUR LA THÉORIE}

\bigskip

DES

\bigskip

{\Large ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.}
\end{center}

\mysection{INTRODUCTION.}

En 1866, M.~Fuchs a publié un Mémoire fondamental\footnote{%
\textit{Journal de Crelle}, t.~66.}
sur les
fonctions d'une variable imaginaire définies par une équation
différentielle linéaire. M.~Tannery a exposé les principes et les résultats de ce
travail, en même temps qu'il en a agrandi le cadre par des recherches
personnelles\footnote{%
  \textit{Annales de l'École Normale supérieure}, année 1874.}.
Depuis, M.~Tannery a étudié\footnote{%
  \textit{Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences}, avril 1878.}
en particulier
l'équation qui, dans la théorie des fonctions elliptiques, relie au module la
fonction complète de première espèce.

A partir de 1868, époque à laquelle parut un second Mémoire de
M.~Fuchs, l'étude des équations différentielles linéaires, devenue classique
en Allemagne, y a donné naissance à un grand nombre de travaux.
M.~Fuchs a persévéré, et deux géomètres éminents, MM.~Thomé
et Fröbenius, ont entrepris des recherches intéressantes et profondes
sur ce sujet\footnote{%
  \textit{Journal de Crelle}, t.~74 et suiv.}.

J'ai pensé être utile en appelant l'attention sur ces analyses, qui ont
% *** File: 006.png---
leur point de départ dans les découvertes de Cauchy et qui sont la suite
naturelle des belles études de M.~Puiseux sur les équations algébriques,
de MM.~Briot et Bouquet sur les équations différentielles du premier
ordre. Je me suis donc proposé d'élucider et de compléter le plus possible
ces travaux, en prenant pour base les Mémoires de MM.~Thomé
et Fröbenius.

Dans la première Partie, je rappelle les principes fondamentaux de
la théorie des équations différentielles linéaires.

La deuxième est consacrée à la définition des intégrales régulières et
à leur recherche, cette recherche étant fondée sur la notion de l'indice
caractéristique.

Dans la troisième Partie, je définis la fonction caractéristique, la
fonction déterminante, et je ramène la notion de l'indice caractéristique
à la considération plus naturelle de la fonction déterminante. Puis on
introduit les formes normales, les expressions composées, et l'on établit
une proposition capitale concernant la fonction déterminante d'une
expression composée de plusieurs formes normales. Enfin, on pose les
principes de la réductibilité des équations différentielles linéaires.

La quatrième Partie traite de l'application des notions qui précèdent
à l'étude des intégrales régulières.

Dans la cinquième, on construit l'expression différentielle adjointe
et l'on établit ses importantes propriétés. L'équation adjointe est en
rapport intime avec l'équation proposée, ce qui conduit à de nouveaux
théorèmes concernant les intégrales régulières.

Dans la sixième Partie, je définis et j'étudie la décomposition des
expressions différentielles linéaires homogènes en facteurs premiers
symboliques; je fais ressortir à ce propos les analogies de ces expressions
avec les polynômes algébriques; je trouve encore les conditions
que doivent remplir les facteurs pour être commutatifs, et la forme que
doit affecter une expression différentielle pour être décomposable en
de pareils facteurs; puis j'applique la décomposition à l'intégration de
l'équation linéaire complète, connaissant l'intégrale générale de l'équation
privée du second membre.

Enfin, la septième Partie est l'application des considérations de la
précédente à l'étude des intégrales régulières. Admettant la proposition
fondamentale démontrée dans la troisième Partie et concernant la fonction
% *** File: 007.png---
déterminante d'une expression composée de plusieurs formes normales,
j'obtiens d'abord un théorème, également simple, ayant lieu
quand les composantes n'ont pas la forme normale. Je fais intervenir
ensuite les décompositions en facteurs premiers symboliques à coefficient
monotrope. En dernier lieu, je donne une nouvelle interprétation
du degré de l'équation déterminante et du nombre des intégrales
régulières; puis j'établis, avec facilité, toutes les propriétés de ces
intégrales.

Le fond de ce travail appartient à MM.~Thomé et Fröbenius. Les
méthodes élégantes de M.~Fröbenius m'ont paru pleines d'intérêt, et je
les ai surtout mises à profit. J'ai modifié quelques démonstrations, j'ai
développé particulièrement certaines considérations et j'ai introduit de
nombreux raisonnements intermédiaires. Enfin, j'ai ajouté les deux
dernières Parties, qui reposent sur l'emploi des facteurs symboliques
que j'appelle \textit{premiers}, et qui me sont entièrement personnelles.


\mysection{PREMIÈRE PARTIE.}


\myparagraph{1.} Nous considérerons l'équation différentielle linéaire homogène
\[
P(y) = \frac{d^m y}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1} y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_m y = 0,
\]
où les coefficients $p$ sont des fonctions de $x$ continues et monogènes
dans une partie $T$ du plan à contour simple, sauf en certains points $a$,
$b$, $c$, \dots\ isolés les uns des autres. Les fonctions $p$ seront supposées
monotropes, au moins dans les portions de la région $T$, à contour
simple, qui ne renferment aucun des points $a$, $b$, $c$, \dots. Ces points particuliers,
pour lesquels les coefficients $p$ cessent d'être holomorphes,
ont été nommés \textit{les points singuliers de l'équation différentielle}.


\myparagraph{2.} La définition précise de ce qu'on doit entendre par une solution
de l'équation différentielle $P = 0$ a été déduite de ce principe:

Si $x_0$ est un point non singulier de la région $T$, il existe une fonction
% *** File: 008.png---
de $x$, holomorphe dans son domaine, qui satisfait à l'équation $P = 0$,
les valeurs de cette fonction et de ses $m-1$ premières dérivées au
point $x_0$ étant arbitraires.

Faisons décrire à la variable $x$ un chemin quelconque, allant du
point $x_0$ au point $X$, compris dans la région $T$ et ne contenant aucun
point singulier. Les valeurs des coefficients $p$ au point $x_0$ étant connues,
le théorème précédent permet de définir, en chaque point du
chemin $x_0 X$, la valeur d'une fonction $y$, continue et monogène le long
de ce chemin, satisfaisant constamment à l'équation $P=0$, et ayant au
point $x_0$, ainsi que ses $m-1$ premières dérivées, des valeurs arbitraires.
C'est cette fonction $y$ qui constitue une solution ou une intégrale particulière
de l'équation différentielle $P=0$.

Les diverses intégrales particulières se distingueront mutuellement
par les valeurs initiales $y_0$, $y'_0$, $y''_0$, \dots, $y^{(m-1)}_0$, choisies en un même
point $x_0$, et l'intégrale générale renferme ces $m$ constantes arbitraires.

\myparagraph{3.} Toute intégrale particulière $y$ possède d'ailleurs les propriétés
suivantes:

Si, les points $x_0$ et $X$ restant fixes, le chemin $x_0 X$ vient à se déformer
sans franchir aucun point singulier et sans sortir de la région $T$,
ce chemin conduit constamment en $X$ à la même valeur de la fonction $y$.

Cela a lieu en particulier lorsque le point final $X$ coïncide avec le
point initial $x_0$. De plus, si le chemin fermé $x_0 \xi x_0$ est tel qu'on puisse
le réduire au seul point $x_0$ sans lui faire franchir aucun point singulier
et sans le faire sortir de la région $T$, la fonction $y$ reprend en $x_0$ sa
valeur initiale $y_0$, après la révolution de la variable, comme chaque coefficient
$p$.

La fonction $y$ est développable en une série, procédant suivant les
puissances entières et positives de $x-x_0$, et convergente dans tout
cercle décrit du point $x_0$ comme centre, compris dans la région $T$ et ne
renfermant aucun point singulier.

La fonction $y$ étant holomorphe dans la partie $T$ du plan, à contour
simple, excepté pour les points singuliers, si l'on décrit autour de chacun
de ces points une circonférence infiniment petite, et qu'on supprime
de l'aire $T$ tous les cercles ainsi obtenus, on pourra, au moyen de
coupures convenablement pratiquées, déduire de la partie $T$ du plan
% *** File: 009.png---
une nouvelle partie $T'$, à contour simple aussi, où la fonction $y$ sera
partout holomorphe, comme les coefficients $p$.


\myparagraph{4.} Je dirai que $m$ fonctions $y_1$, $y_2$,ldots, $y_m$ sont \emph{linéairement indépendantes}
lorsqu'il n'existera entre elles aucune relation identique de
la forme
\[
C_1 y_1 + C_2 y_2 + \dotsb + C_m y_m = 0,
\]
les $C$ désignant des constantes dont plusieurs peuvent être nulles.

La condition nécessaire et suffisante pour que ces $m$ fonctions soient
linéairement indépendantes est que le déterminant
\[
\Delta =
\begin{vmatrix}
\dfrac{d^{m-1} y_1}{dx^{m-1}} & \ldots & \dfrac{d y_1}{dx} & y_1 \\
\ldots\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
\dfrac{d^{m-1} y_m}{dx^{m-1}} & \ldots & \dfrac{d y_m}{dx} & y_m \\
\end{vmatrix}
\]
ne soit pas identiquement nul.

Au cas où $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$ désignent $m$ intégrales de l'équation $P = 0$,
on a, d'après une proposition de M.~Liouville,
\[
\Delta=Ce^{-\int\! p_1dx},
\]
$C$ étant une constante, et, par conséquent, la condition est ici
\[
C \backneq 0.
\]
Lorsque cette condition est remplie, la même identité montre que $\Delta$ ne
peut s'annuler qu'aux points singuliers.

\myparagraph{5.} Considérons un système de $m$ intégrales de l'équation $P = 0$, qui
soient linéairement indépendantes, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$. Il suffit pour cela
que $\Delta$ ne soit pas nul au point initial $x_0$: il existe donc toujours de
pareilles solutions. On donne à ce système le nom de \emph{système fondamental
d'intégrales}. Le déterminant $\Delta$ correspondant ne peut s'annuler
qu'aux points singuliers.

On obtient en particulier un système fondamental quand on déduit
les intégrales $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$ successivement les unes des autres par les
substitutions bien connues de la forme
\[
y = v_1\tint v\: dx,
\]
% *** File: 010.png---
et même le déterminant $\Delta$ s'exprime simplement à l'aide des solutions
$v_1 = y_1$, $v_2 = y_2$, $v_3 =y_3$, \dots, $v_m = y_m$ des équations différentielles
employées, car on a

\[
\Delta = C v_1^m v_2^{m-1} v_3^{m-2} \ldots v_m.
\]

Tout système fondamental peut d'ailleurs s'obtenir par ce moyen,
car on peut choisir les intégrales $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$ des équations successives
de manière à tomber sur le système donné $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$.

\myparagraph{6.} On démontre que toute solution de l'équation $P = 0$ est une fonction
linéaire, homogène, à coefficients constants, des éléments d'un
système fondamental quelconque. Par conséquent, l'intégrale générale
est de la forme

\[
C_1 y_1 + C_2 y_2 + \dotsb + C_m y_m
\]
$y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$ étant les éléments d'un système fondamental, et $C_1$,
$C_2$, \dots, $C_m$ des constantes arbitraires.

Si l'on adopte pour ces constantes $m$ systèmes de valeurs, on formera
$m$ nouvelles intégrales particulières. Le déterminant $\Delta$ relatif à
ces $m$ fonctions nouvelles est égal au premier, multiplié par le déterminant
des $m^2$ valeurs adoptées pour les constantes. Le nouveau système
d'intégrales sera donc fondamental ou non, suivant que ce dernier
déterminant sera différent de zéro ou égal à zéro, et, par suite, on
a un moyen simple pour obtenir autant de systèmes fondamentaux
qu'on voudra.

\myparagraph{7.} Considérant désormais les intégrales dans le voisinage des points
singuliers, je supposerai que les coefficients $p$ reprennent leurs valeurs
initiales après une révolution de la variable autour d'un point singulier.
Autrement dit, les coefficients de l'équation différentielle seront
supposés monotropes dans toute l'étendue de la partie $T$ du plan à contour
simple, et, par conséquent, dans le domaine d'un point singulier
quelconque $a$, ils seront développables en doubles séries, procédant
suivant les puissances entières, positives et négatives de $x-a$ et convergentes
dans ce domaine.

\myparagraph{8.} Le fait saillant est celui-ci:

Lorsque la variable décrit une courbe fermée, dans la région $T$, faisant
% *** File: 011.png---
une circonvolution autour d'un point singulier, les nouvelles
valeurs $(y_1)'$, $(y_2)'$, \dots, $(y_m)'$ qu'acquièrent $m$ intégrales sont des
fonctions linéaires, homogènes, à coefficients constants, de leurs
valeurs primitives $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$, et, si ces valeurs primitives forment
un système fondamental, les nouvelles valeurs constituent aussi un
système fondamental.

Cette propriété simple est caractéristique des fonctions qui satisfont
à une équation différentielle linéaire, homogène, à coefficients monotropes,
car on démontre cette proposition réciproque:

Soient $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$ $m$ fonctions de $x$, holomorphes dans une
partie $T$ du plan, à contour simple, excepté pour certains points isolés
les uns des autres; si les nouvelles valeurs $(y_1)'$, $(y_2)'$, \dots, $(y_m)'$ qu'acquièrent
ces fonctions lorsque la variable fait le tour d'un de ces
points peuvent s'exprimer en fonction linéaire, homogène, à coefficients
constants, des valeurs primitives, ces quantités $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$
sont les intégrales d'une équation différentielle linéaire, homogène, à
coefficients monotropes dans la région $T$.

Quand les $m$ fonctions $y$ sont linéairement indépendantes, cette
équation différentielle est d'ordre $m$; sinon, elle est d'ordre inférieur.

En particulier, les $m$ fonctions algébriques de $x$, définies par l'équation

\[
  f(x,y) = 0,
\]
où $f(x,y)$ est un polynôme de degré $m$ en $y$, ne faisant que s'échanger
entre elles quand la variable tourne autour d'un point singulier, seront
les intégrales d'une équation différentielle linéaire, homogène, à coefficients
monotropes, que M.~Tannery a appris à former.

\myparagraph{9.} Les valeurs finales qu'acquièrent les $m$ intégrales d'un système
fondamental quelconque après une révolution de la variable autour
d'un point singulier prenant la forme d'expressions linéaires, homogènes,
à coefficients constants, en fonction des valeurs initiales, on
peut choisir le système fondamental de manière à simplifier ces expressions
et à y annuler plusieurs des coefficients constants.

On établit en effet que, à tout point singulier, correspond un système
fondamental déterminé, où les éléments se partagent en groupes tels
que, dans chaque groupe convenablement ordonné, la nouvelle valeur
% *** File: 012.png---
d'un élément soit une fonction linéaire homogène des anciennes valeurs
de cet élément et de ceux qui le précèdent dans le groupe. On
peut d'ailleurs, sans altérer les propriétés d'un groupe, y remplacer
une quelconque des fonctions par une combinaison linéaire, homogène,
à coefficients constants, de cette fonction et des précédentes. Ce système
fondamental, qui conduit à des relations si simples, dépend d'une
certaine équation de degré $m$, dite \textit{équation fondamentale}, relative au
point singulier considéré.

Il y a plus. Les propriétés élémentaires de ce système fondamental
particulier, corrélatif d'un point singulier $a$, permettent de trouver la
forme analytique de ses éléments dans le domaine du point $a$. C'est
ainsi qu'on a été conduit à la proposition suivante:

Soit $n$ le nombre des racines distinctes $\omega_1$, $\omega_2$, \dots, $\omega_n$ de l'équation
fondamentale relative au point singulier $a$; soient $\lambda_1$, $\lambda_2$, \dots, $\lambda_n$ leurs
ordres de multiplicité respectifs, la somme $\lambda_1+\lambda_2+ \dotsb+\lambda_n$ étant
égale à $m$; les éléments du système fondamental corrélatif se partagent
en $n$ groupes correspondant respectivement à ces racines, et les $\lambda$ éléments
qui constituent le groupe répondant à la racine $\omega$, d'ordre de
multiplicité $\lambda$, peuvent, dans le domaine du point $a$, s'exprimer sous
ces formes:
\begin{align*}
&(x-a)^r\varphi_{11}, \\
&(x-a)^r[\varphi_{21} + \varphi_{22}\log(x-a)], \\
&(x-a)^r\{\varphi_{31} + \varphi_{32}\log(x-a) + \varphi_{33}[\log(x-a)]^2\}, \\
&\makebox[22em]{\dotfill} \\
&(x-a)^r\{\varphi_{\lambda1} + \varphi_{\lambda2}\log(x-a) + \varphi_{\lambda3}[\log(x-a)]^2 + \dotsb + \varphi_{\lambda\lambda}[\log(x-a)]^{\lambda-1}\},\\
\end{align*}
où $r$ désigne une valeur quelconque, mais déterminée, de la quantité
$\dfrac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\log\omega$, et où les $\varphi$ représentent des fonctions de $x$, monotropes
dans le domaine du point $a$, continues et monogènes dans ce domaine
au point $a$ près, et que, par suite, on peut y développer en doubles
séries convergentes, procédant suivant les puissances entières, positives
et négatives de $x-a$.

Il faut observer en outre:

\primo Que les quantités $\varphi$ peuvent s'exprimer en fonction linéaire, homogène,
à coefficients constants, de celles d'entre elles où le second
indice est $1$;
% *** File: 013.png---

\secundo Que les quantités $\varphi_{11}$, $\varphi_{22}$, \dots, $\varphi_{\lambda\lambda}$, dont les deux indices sont
égaux, ne diffèrent mutuellement que par des facteurs constants;

\tertio Que conséquemment les produits

\[
(x-a)^r\varphi_{22},\ (x-a)^r\varphi_{33},\ \dots,\ (x-a)^r\varphi_{\lambda\lambda},
\]
qui multiplient les plus hautes puissances du logarithme, sont des intégrales,
comme le produit $(x-a)^r\varphi_{11}$;

\quarto Que les exposants fixes $r_1$, $r_2$, \dots, $r_n$ ont des différences mutuelles
qui ne sont ni nulles ni entières, car autrement les racines $\omega_1$,
$\omega_2$, \dots, $\omega_n$ ne seraient pas distinctes.

\myparagraph{10.} Connaissant la forme analytique des éléments d'un système
fondamental, dans le domaine du point singulier $a$, on en conclut
immédiatement celle de l'intégrale générale. L'intégrale générale est
la somme de $m$ expressions de la forme
\[
C(x-a)^r\{\varphi_{\eta1} + \varphi_{\eta2}\log(x-a) + \varphi_{\eta3}[\log(x-a)]^2 + \dotsb + \varphi_{\eta\eta}[\log(x-a)]^{\eta-1}\},
\]
$C$ étant une des $m$ constantes arbitraires.

Effectuons cette somme, ordonnons-la par rapport aux puissances
distinctes de $x-a$, déterminons arbitrairement les constantes, et nous
obtenons pour une intégrale particulière quelconque la forme suivante
dans le domaine du point $a$:

\[
\tag{$\theta$}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
 &C_1(x-a)^{r_1}\:\{\varphi_{r_1 0} \:+ \varphi_{r_1 1}\log(x-a) \:+ \dotsb + \varphi_{r_1\alpha_1}[\log(x-a)]^{\alpha_1}\} \\
+\,&C_2(x-a)^{r_2}\:\{\varphi_{r_2 0} \:+ \varphi_{r_2 1}\log(x-a) \:+ \dotsb + \varphi_{r_2\alpha_2}[\log(x-a)]^{\alpha_2}\} \\
+\,&\multispan{1}{\dotfill}\\
+\,&C_n(x-a)^{r_n}\{\varphi_{r_n 0} + \varphi_{r_n 1}\log(x-a) + \dotsb + \varphi_{r_n\alpha_n}[\log(x-a)]^{\alpha_n}\}, \\
\end{alignedat}
\right.
\]
où les $C$ sont $n$ constantes, où les $r$ sont des exposants fixes dont les
différences mutuelles ne sont ni nulles ni entières, et où les $\varphi$ sont des
fonctions de $x$, monotropes dans le domaine du point $a$, continues et
monogènes dans ce domaine au point $a$ près, et par conséquent développables
en doubles séries, convergentes dans ce domaine, telles que

\[
\sum_0^\infty C_\alpha(x-a)^\alpha + \sum_1^\infty C_{-\alpha}(x-a)^{-\alpha},
\]
$\alpha$ désignant un nombre entier.
% *** File: 014.png---

\myparagraph{11.} On démontre sans peine que:

Si une expression de la forme ($\theta$) est identiquement nulle, toutes les
fonctions $\varphi$ sont identiquement nulles.

D'où l'on tire ces conséquences:

\primo Lorsque deux expressions de la forme ($\theta$) sont identiquement
égales, elles sont composées des mêmes fonctions $(x-a)^p [\log(x-a)]^q$,
avec les mêmes coefficients;

\secundo Toute intégrale de l'équation différentielle $P = 0$ ne peut se
mettre que d'une seule manière sous la forme ($\theta$), dans le domaine du
point singulier $a$;

\tertio Étant donnée une intégrale, construite dans le domaine du
point $a$ avec ces produits $(x-a)^p[\log(x-a)]^q$, si on l'ordonne par
rapport aux puissances distinctes de $x-a$, de telle façon que dans
deux termes quelconques la différence des exposants du facteur $x-a$
ne soit ni nulle ni entière, chaque terme de l'intégrale ainsi ordonnée
sera aussi une intégrale, et, dans ce terme, le coefficient de la plus
haute puissance de $\log(x-a)$ sera lui-même une solution. Cette dernière
partie résulte d'une remarque faite précédemment, et peut
d'ailleurs s'établir directement, car on démontre \emph{a priori} que, si
\[
(x-a)^r \{ \varphi_{\eta 1} +\varphi_{\eta 2} \log(x-a) + \dotsb + \varphi_{\eta\eta}[\log(x-a)]^{\eta-1} \}
\]
est une intégrale, il en est de même de $(x-a)^r \varphi_{\eta\eta}$.

\myparagraph{12.} Nous n'avons considéré jusqu'à présent que des points singuliers
situés à distance finie; or la région $T$ peut s'étendre à l'infini:
par exemple, elle peut embrasser tout le plan. Mais on pourra toujours,
en changeant la variable indépendante, ramener l'étude d'un point
situé à l'infini à celle d'un point situé à distance finie.


\mysection{DEUXIÈME PARTIE.}

\myparagraph{13.} Nous allons étudier plus complètement les intégrales dans le
domaine d'un point singulier $a$. Et d'abord, pour plus de simplicité,
j'amène ce point à coïncider avec l'origine des coordonnées en
% *** File: 015.png---
changeant $x$ en $a + x$, ou en $\dfrac{1}{x}$ si le point est à l'infini. Nous considérerons
donc l'équation différentielle linéaire homogène
\[
P(y) = \frac{d^m y}{dx^m} + p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_my = 0,
\]
où les coefficients $p$ sont monotropes dans le domaine du point singulier
zéro, continus et monogènes dans ce domaine à ce point près, et
par conséquent développables en doubles séries, procédant suivant les
puissances entières, positives et négatives de $x$, convergentes dans le
voisinage du point zéro.

Il résulte des \nos \textbf{10} et \textbf{11} que toute solution pourra se mettre sous
la forme suivante, dans le domaine de l'origine, et d'une seule manière:
\begin{align*}
 &\:C_1x^{r_1}\,[\varphi_{r_1 0} \,+ \varphi_{r_1 1}\log x \,+ \dotsb + \varphi_{r_1 \alpha_1}(\log x)^{\alpha_1}]\\
+&\:C_2x^{r_2}\,[\varphi_{r_2 0} \,+ \varphi_{r_2 1}\log x \,+ \dotsb + \varphi_{r_2 \alpha_2}(\log x)^{\alpha_2}]\\
+&\multispan{1}{\:\dotfill}\\
+&\:C_nx^{r_n}[\varphi_{r_n 0} + \varphi_{r_n 1}\log x + \dotsb + \varphi_{r_n \alpha_n}(\log x)^{\alpha_n}],
\end{align*}
les fonctions $\varphi$ remplissant les mêmes conditions que les coefficients $p$.

\myparagraph{14.} J'emploierai la dénomination introduite par M.~Fuchs à l'égard
de toute fonction $F$ susceptible de prendre la forme
\[
F = x^\rho [\psi_0 + \psi_1 \log x + \dotsb + \psi_\alpha(\log x)^\alpha],
\]
que j'appellerai sa forme \emph{simplifiée}, où les fonctions $\psi$ sont holomorphes
dans le domaine du point zéro et ne contiennent par conséquent
dans leurs développements que des puissances positives de $x$, et
où, de plus, ces fonctions $\psi$ ne s'évanouissent pas toutes pour $x=0$.
Je dirai que la fonction $F$ \emph{appartient à l'exposant $\rho$}.

La propriété caractéristique d'une fonction de même nature que $F$,
appartenant à l'exposant $\rho$, est que, multipliée par $x^{-\rho}$, elle est différente
de zéro pour $x = 0$ et infinie comme un polynôme entier en
$\log x$, à coefficients constants.

\myparagraph{15.} L'équation différentielle $P=0$ peut être telle que, parmi ses
intégrales, il s'en trouve où les coefficients des produits $x^p(\log x)^q$,
% *** File: 016.png---
c'est-à-dire, à des facteurs constants près, les fonctions $\varphi$, ne contiennent
dans leurs développements qu'un nombre fini de puissances négatives
de $x$. Ces intégrales particulières, où les $\varphi$ prennent pour $x = 0$
des valeurs infinies d'ordre fini, sont les seules, jusqu'à présent, pour
lesquelles on ait déterminé les coefficients des séries $\varphi$. Je les appellerai,
avec M.~Thomé, \emph{intégrales régulières} de l'équation $P = 0$.

Considérons une intégrale régulière. Chacun de ses termes
\[
x^r[\varphi_0 + \varphi_1 \log x + \dotsb + \varphi_\alpha (\log x)^\alpha]
\]
est de même nature que la fonction $F$ du \nobf{14} et peut alors se ramener
à la forme simplifiée. Il suffit pour cela de réduire les $\varphi$ au plus
simple dénominateur commun et de réunir ce dénominateur au facteur
$x^r$. On obtient ainsi le terme
\[
x^\rho[\psi_0 + \psi_1\log x + \dotsb + \psi_\alpha(\log x)^\alpha],
\]
et il appartient à l'exposant $\rho$. Toute intégrale régulière peut donc se
mettre sous la forme
\begin{align*}
 &\:C_1x^{\rho_1}\, [\psi_{\rho_1 0}\, + \psi_{r_1 1}\log x\, + \dotsb + \psi_{\rho_1 \alpha_1}(\log x)^{\alpha_1}]\\
+&\:C_2x^{\rho_2}\, [\psi_{\rho_2 0}\, + \psi_{r_2 1}\log x\, + \dotsb + \psi_{\rho_2 \alpha_2}(\log x)^{\alpha_2}]\\
+&\multispan{1}{\:\dotfill}\\
+&\:C_nx^{\rho_n} [\psi_{\rho_n 0} + \psi_{r_n 1}\log x + \dotsb + \psi_{\rho_n \alpha_n}(\log x)^{\alpha_n}],
\end{align*}
où les $C$ sont des constantes, où les $n$ termes appartiennent respectivement
aux exposants $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_n$, les fonctions $\psi$ étant holomorphes
dans le domaine du point zéro.

Il est bien entendu que les propositions énoncées au \nobf{11} subsistent
ici, et que, en particulier, si l'expression suivante, de même nature
que $F$ et de forme simplifiée
\[
x^\rho[\psi_0 + \psi_1 \log x + \dotsb + \psi_\alpha(\log x)^\alpha],
\]
est une intégrale, $x^\rho\psi_\alpha$ est aussi une intégrale.

\myparagraph{16.} Nous aurons surtout à examiner des équations différentielles
$P=0$ dont les coefficients $p$ prendront eux-mêmes, pour $x = 0$, des
valeurs infinies d'ordre fini, c'est-à-dire dont les coefficients ne contiendront
% *** File: 017.png---
eux-mêmes, dans leurs développements, qu'un nombre fini de
puissances négatives de $x$. Dans ce cas, on pourra toujours supposer
chaque coefficient $p$ mis sous la forme $\dfrac{\chi(x)}{x^\varkappa}$, où $\chi(x)$ ne comprend que
des puissances positives de $x$, ne s'évanouit pas pour $x = 0$, et où $\varkappa$ est
positif ou nul; et alors, nous désignerons l'exposant de $x$ en dénominateur
dans $p_1$ par $\varpi_1$, dans $p_2$ par $\varpi_2$, \dots, dans $p_m$ par $\varpi_m$. Comme $p_0$
est 1, $\varpi_0$ sera égal à zéro. En un mot, $\varpi_j$ sera l'ordre infinitésimal de
la valeur infinie que prend $p_j$ pour $x=0$. Cela étant, nous envisagerons
les nombres entiers positifs suivants:
\[
\varpi_0 + m,\:\varpi_1 + m - 1,\:\varpi_2 + m - 2,\:\ldots,\:\varpi_{m-1} + 1,\:\varpi_m,
\]
que nous appellerons les nombres $\Pi$, et généralement $\varpi_j+m-j$ sera
représenté par $\Pi_j$. Soit $g$ la plus grande valeur des nombres $\Pi$: plusieurs
peuvent être égaux à $g$; mais rangeons-les dans l'ordre des indices
croissants
\[
\Pi_0,\:\Pi_1,\:\Pi_2,\:\ldots,\:\Pi_m,
\]
et parcourons-les de gauche à droite; le premier, égal à $g$, que nous
rencontrerons sera considéré tout particulièrement, et, si
\[
\Pi_i=\varpi_i + m - i = g
\]
est ce nombre bien déterminé, son indice $i$ sera nommé l'\emph{indice caractéristique}
de l'équation différentielle.

Les nombres $\Pi$ et l'indice caractéristique $i$, introduits par M.~Thomé
dans cette théorie, seront provisoirement d'un usage fréquent.

\myparagraph{17.} Notre analyse des solutions de l'équation $P = 0$, dans le domaine
du point zéro, aura surtout pour objet l'étude des intégrales
régulières.

Je ferai immédiatement plusieurs remarques.

\emph{L'équation $P = 0$ ayant des intégrales régulières, si parmi elles $S$, et
seulement $S$, sont linéairement indépendantes, auquel cas on a $S \leqq m$,
toutes les intégrales régulières peuvent s'exprimer à l'aide de celles-là en
fonctions linéaires, homogènes, à coefficients constants.}

\emph{Réciproquement, si toutes les intégrales régulières de l'équation $P = 0$
peuvent s'exprimer ainsi par $S$ d'entre elles linéairement indépendantes,
% *** File: 018.png---
le nombre total des intégrales régulières linéairement indépendantes est
seulement $S$}; car on peut exprimer les $S$ intégrales régulières linéairement
indépendantes à l'aide de $S$ des nouvelles, et par suite toutes
les autres à l'aide de ces dernières.

\emph{Si l'équation $P = 0$ a $S$ intégrales régulières linéairement indépendantes,
et seulement $S$, elle en aura $S$ de même nature que la fonction $F$
du \nobf{14}, et seulement $S$.} Si, en effet, les $S$ intégrales données ne sont
pas de la nature $F$, elles sont des agrégats linéaires, homogènes, à coefficients
constants, d'expressions $F$. Groupons alors, dans chacune de ces
intégrales, les expressions $F$ en termes tels que, dans deux termes quelconques,
la différence des exposants des deux puissances $x^\rho$ en facteur
ne soit ni nulle ni entière. Nous obtiendrons ainsi des termes qui,
comme on l'a vu, sont eux-mêmes des intégrales régulières linéairement
indépendantes, et ces intégrales sont de même nature que $F$. Or,
ces termes sont au nombre de $S$, car, s'il y en avait plus que $S$, l'équation
$P = 0$ aurait plus de $S$ intégrales régulières linéairement indépendantes;
et, s'il y en avait moins que $S$, les $S$ intégrales données, et
par suite, d'après la remarque précédente, toutes les intégrales régulières
de l'équation $P = 0$, s'exprimant linéairement à l'aide de ces
termes, cette équation, d'après la même remarque, aurait moins de $S$
intégrales régulières linéairement indépendantes. L'équation $P = 0$ a
donc $S$ intégrales linéairement indépendantes, de même nature que $F$,
et appartenant par conséquent à des exposants déterminés.

Enfin, je vais établir la proposition suivante, qui a une importance
capitale dans cette théorie:

\emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ a parmi ses intégrales une intégrale
régulière, elle a aussi une intégrale de la forme $x^\rho \psi(x)$, où la fonction
$\psi(x)$ est holomorphe dans le domaine du point zéro et ne s'évanouit
pas pour $x = 0$.}

En effet, l'équation $P = 0$, ayant une intégrale régulière, a, d'après la
remarque précédente, une intégrale de même nature que la fonction $F$
du \nobf{14}, que l'on peut supposer ramenée à la forme simplifiée
\[
x^\rho [ \psi_0 + \psi_1 \log x + \dotsb + \psi_\alpha (\log x)^\alpha ].
\]
Cette expression étant une intégrale, il en est de même, comme on l'a
vu au \nobf{15}, de $x^\rho \psi_\alpha$. Or, cette dernière solution est, dans tous les cas,
% *** File: 019.png---
de la forme annoncée $x^{\rho} \psi(x)$, la fonction holomorphe étant différente
de zéro pour $x = 0$, car, si $\psi_{\alpha}(0)$ était nul, $\psi_{\alpha}(x)$ renfermerait comme
facteur une puissance de $x$ que l'on réunirait à $x^{\rho}$.

Remarquons que $\psi(x)$ ne contient dans son développement que des
puissances positives de $x$.

\myparagraph{18.} Supposons que l'équation $P = 0$ admette la solution $y_1 = x^{\rho}\psi(x)$,
$\psi(x)$ étant holomorphe dans le domaine du point zéro et $\psi(0)$ différent
de zéro. Faisons la substitution
\[
  y = y_1 \tint z \,dx.
\]
Nous obtenons l'équation différentielle linéaire homogène d'ordre
$m - 1$
\[
  Q(z) = \frac{d^{m-1}z}{dx^{m-1}} + q_1 \frac{d^{m-2}z}{dx^{m-2}} + \dotsb + q_{m-1} z = 0.
\]
Les coefficients $q$ de l'équation $Q = 0$ seront, comme les coefficients $p$,
monotropes dans le domaine du point zéro, continus et monogènes
dans ce domaine à ce point près. C'est ce qui résulte immédiatement de
l'inspection des valeurs des coefficients $q$:
\[
\tag{1} \left\{
\begin{aligned}
&q_1 = \dfrac{1}{y_1} \Big( m \dfrac{dy_1}{dx} + p_1 y_1 \Big), \\
&q_2 = \dfrac{1}{y_1} \left[
    \dfrac{m(m-1)}{1 \ldot 2} \dfrac{d^2 y_1}{dx^2}
  + (m-1) p_1 \dfrac{dy_1}{dx} + p_2 y_1 \right], \\
&\makebox[22em]{\dotfill ,}  \\
&q_k = \dfrac{1}{y_1} \left[\dfrac{m(m-1)\ldots (m-k+1)}{1\ldot 2\ldots k} \dfrac{d^k y_1}{dx^k} \right.\\
&\hspace{4em}  + \dfrac{(m-1)(m-2)\ldots (m-k+1)}{1\ldot 2\ldots (k-1)} p_1 \dfrac{d^{k-1} y_1}{dx^{k-1}} \\
&\hspace{4em}  + \dfrac{(m-2)(m-3)\ldots (m-k+1)}{1\ldot 2\ldots (k-2)} p_2 \dfrac{d^{k-2} y_1}{dx^{k-2}} + \dotsb \\
&\hspace{4em} + \left. (m-k+1) p_{k-1} \dfrac{dy_1}{dx} + p_k y_1 \right], \\
&\makebox[25.5em]{\dotfill}
\end{aligned}
\right.
\]
En effet, chaque produit $\dfrac{d^h y_1}{dx^h} \dfrac{1}{y_1}$ est de la forme
\[
  \sum_0^h C_{\alpha} x^{-\alpha} \frac{\psi^{(h-\alpha)} (x)}{\psi(x)},
\]
où $\alpha$ est entier, et, par conséquent, chacun de ces produits est monotrope
% *** File: 020.png---
dans le domaine du point zéro, continu et monogène dans ce
domaine à ce point près. Il en est donc de même des coefficients $q$.

Remarquons que, pour que les coefficients $q$ possèdent ces propriétés,
il n'est pas nécessaire que $\psi(x)$ ne contienne dans son développement
que des puissances positives de $x$: il suffit que $\psi(x)$ soit développable
en double série, procédant suivant les puissances entières, positives et
négatives de $x$, et convergente dans le domaine du point zéro.

Cela posé, je suppose que l'équation $P = 0$ ait $S$ intégrales régulières
linéairement indépendantes. Elle admet alors, d'après le théorème du
\nobf{17}, une intégrale $y_1 = x^{\rho} \psi(x)$, où $\psi(x)$ remplit les conditions sus-indiquées.
Posons
\[
  y = y_1 \tint z\, dx,
\]
de manière à obtenir l'équation $Q = 0$; \textit{je dis que l'équation $Q = 0$
aura $S-1$ intégrales régulières linéairement indépendantes, et que, réciproquement,
si l'équation $Q = 0$ a $S-1$ intégrales régulières linéairement
indépendantes, l'équation $P = 0$ en aura $S$.}

\primo Soient $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ $S$ intégrales régulières linéairement indépendantes
de l'équation $P = 0$. Comme on l'a vu, on peut les supposer de
même nature que la fonction $F$ du \nobf{14} et ramenées à la forme simplifiée.
L'équation $Q = 0$ admettra les intégrales
\[
  z_1 = \frac{d}{dx} \frac{y_2}{y_1},\quad
  z_2 = \frac{d}{dx} \frac{y_3}{y_1},\quad
  \ldots,\quad
  z_{s-1} = \frac{d}{dx} \frac{y_s}{y_1},
\]
qui sont aussi linéairement indépendantes, car, si l'on avait
\[
  C_2 z_1 + C_3 z_2 + \dotsb + C_s z_{s-1} = 0,
\]
on en déduirait par l'intégration
\[
  C_1 y_1 + C_2 y_2 + \dotsb + C_s y_s = 0,
\]
ce qui est contraire à l'hypothèse. De plus, ces $S-1$ intégrales sont
régulières. En effet, $y_2$, $y_3$, \dots, $y_s$, sont de la forme simplifiée; or, si
l'on divise par $y_1 = x^{\rho} \psi(x)$, on trouve une expression de même forme,
puisque les quotients tels que $\dfrac{\psi_k}{\psi}$ dans la parenthèse sont évidemment
holomorphes. Donc les rapports $\dfrac{y_2}{y_1}$, $\dfrac{y_3}{y_1}$, \dots, $\dfrac{y_s}{y_1}$
sont de la forme $F$. Il
% *** File: 021.png---
est clair que la dérivation n'altère pas cette forme: donc les intégrales

\[
\frac{d}{dx}\frac{y_2}{y_1},\quad \frac{d}{dx}\frac{y_3}{y_1},\quad
\ldots,\quad \frac{d}{dx}\frac{y_s}{y_1},
\]
de l'équation $Q = 0$ sont régulières.

\secundo Soient $z_1$, $z_2$, \dots, $z_{s-1}$ $s-1$ intégrales régulières linéairement
indépendantes de l'équation $Q = 0$. On peut les supposer de même
nature que F et ramenées à la forme simplifiée. L'équation $P = 0$ admettra
les $s$ intégrales
\[
y_1, \ y_2=y_1\tint z_1dx, \ \ldots, \ y_s=y_1\tint z_{s-1} dx,
\]
qui sont aussi linéairement indépendantes, car, si l'on avait
\[
C_1y_1 + C_2y_2 + \dotsb + C_sy_s = 0,
\]
on en déduirait par la dérivation
\[
C_2z_1 + C_3z_2 + \dotsb + C_sz_{s-1} = 0,
\]
ce qui est contraire à l'hypothèse. De plus, ces $s$ intégrales sont régulières.
En effet, chacune des solutions $z$ est de la forme simplifiée qui
comprend des fonctions $\psi$ de la forme


\[
\sum_0^{\infty} C_{\alpha} x^{\alpha}.
\]

Si donc nous multiplions $z$ par $dx$, nous aurons à intégrer une
somme de différentielles telles que

\[
x^k (\log x)^h dx,
\]
dont l'intégrale est bien connue:

\[
\int x^k (\log x)^h dx = \frac{x^{k+1}}{h+1}\sum_0^k C_\alpha (\log x)^{h-\alpha} + \mathrm{const.}
\]
Multipliant ensuite le résultat de l'intégration $\tint z dx$ par $y_1 = x^\rho \psi (x)$,
on voit aisément que le produit obtenu est aussi de la forme $F$. Donc
les intégrales $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ de l'équation $P = 0$ sont régulières.
% *** File: 022.png---

\myparagraph{19.} Considérons l'expression
\[
p_j\frac{d^{h}y_1}{dx^{h}}\:\frac{1}{y_1} ,
\]
où $y_1$ est égal à $x^{\rho}\psi(x)$, $\psi(x)$ étant une fonction holomorphe dans le
domaine du point zéro et non nulle pour $x= 0$, et où $p_j$, ne contenant
dans son développement qu'un nombre limité de puissances négatives
de $x$, est infini, pour $x= 0$, d'ordre fini $\varpi_j$. On a
\[
\frac{d^{h}y_1}{dx^{h}}\:\frac{1}{y_1}=\sum_0^hC_{\alpha}x^{-\alpha}\frac{\psi^{(h-\alpha)}(x)}{\psi(x)},
\]
et, par conséquent, ce produit, pour $x = 0$, est infini d'ordre fini $h$ au
plus, d'où il résulte que l'expression considérée est infinie d'ordre
égal ou inférieur à $\varpi_j + h$.

Si $h = 0$, l'expression est évidemment d'ordre $\varpi_j$. Mais remarquons
le cas particulier où $h$ est égal à $m - j$. Dans ce cas, l'ordre infinitésimal
de l'expression est au plus égal à $\varpi_j + m -j$, c'est-à-dire au
nombre $\Pi_j$ défini au \nobf{16}.

Si nous envisageons maintenant une somme d'expressions pareilles
à la précédente, il est clair que, pour $x = 0$, elle sera aussi infinie
d'ordre fini, et cet ordre sera évidemment égal ou inférieur à la plus
grande valeur des nombres $\varpi_j + h$ correspondant aux différents termes.
Si dans un terme $h$ est nul et si la plus grande valeur est celle $\varpi_j$ qui
répond à ce terme, la somme sera certainement d'ordre $\varpi_j$. Enfin, si
dans chaque terme $h$ est égal à $m - j$, l'ordre de la somme est au plus
égal à la plus grande valeur des nombres $\Pi$ qui correspondent respectivement
à ses différents termes.

\myparagraph{20.} Supposons que l'équation différentielle $P = 0$ ait une intégrale
régulière; alors elle admet (\nobf{17}) une solution de la forme
\[
y_1= x^{\rho}\psi(x),
\]
où $\psi(x)$ remplit les conditions déjà indiquées. Écrivons l'identité qui
en résulte, et tirons-en la valeur de $p_m$:
\[
p_m = - \frac{1}{y_1}\left(\frac{d^m y_1}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1} y_1}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m-1} \frac{d y_1}{dx} \right).
\]
% *** File: 023.png---
J'en conclus aussitôt, d'après le numéro précédent, que, si $p_1$, $p_2$, \dots,
$p_{m-1}$ ne contienn\-ent qu'un nombre limité de puissances négatives de $x$,
il en sera de même de $p_m$, et, de plus, que, si $g$ est la plus grande valeur
des nombres
\[
\Pi_0,\:\Pi_1,\:\Pi_2,\:\ldots,\:\Pi_{m-1},
\]
l'ordre infinitésimal $\varpi_m$ de $p_m$ sera au plus égal à $g$, c'est-à-dire que
l'indice caractéristique de l'équation est égal ou inférieur à $m - 1$.

D'où cette proposition:

\emph{Lorsque, dans l'équation différentielle $P = 0$, les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots,
$p_{m-1}$, ne contiennent dans leurs développements qu'un nombre limité de puissances
négatives de $x$, si cette équation admet une intégrale régulière, le coefficient
$p_m$ ne renfermera lui-même qu'un nombre fini de puissances de $x^{-1}$;
de plus, l'indice caractéristique de l'équation sera égal ou inférieur à $m - 1$.}

Remarquons aussi que $p_m$ peut s'écrire
\[
p_{m}=\frac{P_m(x)}{x^g},
\]
$P_m(x)$ ne comprenant dans son développement que des puissances positives
de $x$ et pouvant s'évanouir pour $x = 0$.

\myparagraph{21.}  Supposons que les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_s$, de l'équation
$P = 0$ ne renferment qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$. Les
valeurs des coefficients $q_1$, $q_2$, \dots, $q_s$ de l'équation $Q = 0$ du \nobf{18},
données par les formules (1) de ce numéro, sont alors des sommes d'expressions
de même forme que celle du \nobf{19}. Donc, d'après les remarques
faites en ce \nobf{19}, les coefficients $q_1$, $q_2$, \dots, $q_s$ ne contiendront
eux-mêmes qu'un nombre fini de puissances négatives de $x$, et,
de plus, l'ordre infinitésimal de $q_k$, $k$ étant au plus égal à $s$, sera égal
ou inférieur à la plus grande valeur $\varkappa$ des nombres
\[
\varpi_0+k,\: \varpi_1+k-1,\: \varpi_2+k-2,\:\ldots,\: \varpi_{k-1}+1,\: \varpi_k,
\]
et, si cette valeur maxima est celle du dernier $\varpi_k$, $q_k$ sera exactement
d'ordre $\varpi_k$. Par suite, on peut écrire
\[
q_{k}=\frac{Q_{k}(x)}{x^\varkappa},
\]
% *** File: 024.png---
$Q_k(x)$ ne comprenant que des puissances positives de $x$ et pouvant contenir
le facteur $x$.

Supposons maintenant que les coefficients $q_1$, $q_2$, \dots, $q_s$ ne comprennent
qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$, et soient
\[
q_{1}=\frac{Q_{1}(x)}{x^{\nu_1}}, \quad
q_{2}=\frac{Q_{2}(x)}{x^{\nu_2}}, \quad \dots, \quad
q_{s}=\frac{Q_{s}(x)}{x^{\nu_s}},
\]
les fonctions $Q_1$, $Q_2$, \dots, $Q_s$, ne renfermant que des puissances positives
de $x$ et pouvant d'ailleurs s'annuler pour $x = 0$. Le \nobf{19} conduit
alors aux conséquences suivantes. La valeur de $p_1$, tirée de la première
formule (1) du \nobf{18}, sera pour $x = 0$ infinie d'ordre fini égal ou inférieur
au plus grand $\mu_1$ des deux nombres $\nu_1$ et $1$, ce qui permet d'écrire
\[
p_1=\frac{P_{1}(x)}{x^{\mu_{1}}},
\]
$P_1(x)$ ne contenant que des puissances positives de $x$, et $P_1(0)$ pouvant
être nul. Substituant cette valeur dans la deuxième formule (1), on en
tirera pour $p_2$ une expression infinie d'ordre fini égal ou inférieur au
plus grand $\mu_2$ des trois nombres $\nu_2$, $2$, $\mu_{1}+1$, ce qui permet d'écrire
\[
p_{2}=\frac{P_{2}(x)}{x^{\mu_2}},
\]
$P_{2}(x)$ ne contenant que des puissances positives de $x$. Et ainsi de suite
jusqu'à
\[
p_s=\frac{P_s(x)}{x^{\mu_s}}.
\]

Donc les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_s$ ne renferment eux-mêmes qu'un
nombre limité de puissances de $x^{-1}$, et l'on peut aisément trouver la
limite supérieure de l'ordre infinitésimal de chacun d'eux.

\myparagraph{22.} Toutes ces remarques étant faites, nous pouvons dès à présent
rechercher la forme nécessaire que doit affecter l'équation différentielle
$P=0$ pour avoir toutes ses intégrales régulières. M.~Fuchs a déjà
résolu cette question, mais notre intention est d'employer une méthode
différente.
% *** File: 025.png---

Supposons d'abord $m = 1$ dans $P = 0$, et considérons l'équation
premier ordre
\[
\frac{dy}{dx}+p_{1}y=0.
\]
Cette équation, ayant toutes ses intégrales régulières, aura (\nobf{20}) son
coefficient $p_1$ de la forme
\[
p_1=\frac{P_{1}(x)}{x},
\]
où $P_1(x)$ ne contient que des puissances positives de $x$ et peut être nul
pour $x = 0$. Donc, dans le cas $m = 1$, l'équation différentielle est
nécessairement de la forme
\[
\frac{dy}{dx}+\frac{P_{1}(x)}{x}y=0.
\]

C'est, du reste, ce qu'on peut établir directement au  moyen de
l'expression de l'intégrale générale
\[
y=e^{-\int\! p_{1}dx}.
\]
Si $p_1$ est infini d'ordre $\varpi_{1}= n + 1$ supérieur à 1, $n$ étant positif, cette
intégrale est de la forme
\[
y=e^{\frac{c_1}{x}+\frac{c_2}{x^{2}}+\dots+\frac{c_n}{x^n}}x^{\rho}\psi(x),
\]
où $\psi(x)$ est holomorphe dans le domaine du point zéro, et non nul
pour $x= 0$; et, par conséquent, $y$ n'est pas une intégrale régulière. Si,
au contraire, on a $\varpi_{1}\leqq {1}$, $y$ se réduit à
\[
y=x^{\rho}\psi(x),
\]
et par conséquent est régulière. Il faut donc, et même il suffit, que $p_1$
soit de la forme
\[
p_{1}=\frac{P_{1}(x)}{x}
\]
pour que l'équation ait toutes ses intégrales régulières.

Supposons maintenant $m = 2$ dans $P = 0$, et considérons l'équation
du second ordre
\[
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+p_1\frac{dy}{dx}+p_{2}y=0.
\]
% *** File: 026.png---
Cette équation ayant par hypothèse toutes ses intégrales régulières,
il en est de même (\nobf{18}) de l'équation du premier ordre
\[
\frac{dz}{dx}+q_{1}z=0,
\]
déduite de la première par la substitution
\[
y=y_{1}\tint z\;dx,
\]
où $y_1$ désigne $x^{\rho}\psi(x)$. Donc on a
\[
q_1=\frac{Q_{1}(x)}{x}.
\]
Par suite, la valeur de $p_1$, tirée de la première formule (1) du \nobf{18},
est de la forme (\nobf{21})
\[
p_1 = \frac{P_1(x)}{x}.
\]
Il en résulte (\nobf{20}) que $p_2$ s'écrira
\[
p_2=\frac{P_{2}(x)}{x^2}.
\]
Donc, dans le cas $m= 2$, l'équation différentielle est nécessairement
\[
\frac{d^{2}y}{dx^2}+\frac{P_{1}(x)}{x}\:\frac{dy}{dx}+\frac{P_{2}(x)}{x^2}\:y=0,
\]
où les fonctions $P_1$ et $P_2$ ne contiennent que des puissances positives
de $x$ et peuvent s'évanouir pour $x = 0$.

Généralement, je supposerai démontré que, dans le cas où l'ordre
est $m -1$, l'équation différentielle, pour avoir toutes ses intégrales
régulières, doit être de la forme
\[
\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \frac{P_{1}(x)}{x} \: \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}}
  +\frac{P_{2}(x)}{x^2} \: \frac{d^{m-3}y}{dx^{m-3}}+ \dotsb + \frac{P_{m-1}(x)}{x^{m-1}}y=0,
\]
et je démontrerai que la même forme est nécessaire pour une équation
d'ordre $m$.

En effet, si l'équation
\[
P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^m}+p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + p_my=0
\]
% *** File: 027.png---
a toutes ses intégrales régulières, il en est de même (\nobf{18}) de
l'équation d'ordre $m -1$
\[
Q(z)=\frac{d^{m-1}z}{dx^{m-1}}+q_1\frac{d^{m-2}z}{dx^{m-2}}+\dotsb+q_{m-1}z=0.
\]
Donc, d'après l'hypothèse, les coefficients $q$ sont de la forme
\[
q_k=\frac{Q_{k}(x)}{x^k}.
\]
Par suite, les valeurs $p_1$, $p_2$, \dots, $p_{m-1}$, tirées des formules
(1) du \nobf{18}, sont de la même forme (\nobf{21}):
\[
p_1=\frac{P_{1}(x)}{x},\quad p_2=\frac{P_{2}(x)}{x^2},\quad \dots,
\quad p_{m-1}=\frac{P_{m-1}(x)}{x^{m-1}}.
\]
Il en résulte (\nobf{20}) que $p_m$ s'écrira aussi
\[
p_m=\frac{P_{m}(x)}{x^m}.
\]

Donc, pour que l'équation différentielle $P = 0$ ait toutes ses
intégrales régulières, il est nécessaire qu'elle soit de la forme
\[
\frac{d^my}{dx^m}+\frac{P_{1}(x)}{x}\:\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} +
\frac{P_{2}(x)}{x^2}\:\frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}}+ \dotsb +
\frac{P_{m}(x)}{x^m}\:y=0,
\]
où les fonctions $P_1$, $P_2$, \dots, $P_m$ ne contiennent dans leurs
développements que des puissances positives de $x$ et peuvent
s'annuler pour $x = 0$.

Remarquons que cela revient à dire que les coefficients $p_1$, $p_2$,
\dots, $p_m$ ne doivent renfermer qu'un nombre limité de puissances de
$x^{-1}$, et que les nombres $\Pi_0$, $\Pi_1$, $\Pi_2$, \dots, $\Pi_m$, définis
au \nobf{16}, doivent être égaux ou inférieurs à $m$.

D'où la proposition suivante:

\emph{Pour que l'équation différentielle $P = 0$ ait toutes ses intégrales
régulières, il faut que ses coefficients ne contiennent dans leurs
développements qu'un nombre fini de puissances négatives de $x$, et en
outre que son indice caractéristique soit zéro.}
% *** File: 028.png---

\myparagraph{23.} M.~Fuchs a démontré que, réciproquement, ces deux conditions
sont suffisantes:

\emph{Si, dans l'équation différentielle $P = 0$, les coefficients ne contiennent
qu'un nombre fini de puissances négatives de $x$, et si en outre l'indice
caractéristique est zéro, cette équation a toutes ses intégrales régulières.}

Nous admettrons cette proposition réciproque, que M.~Fuchs a établie
en montrant l'existence d'un système fondamental dont les éléments
sont de même nature que la fonction $F$ du \nobf{14}. Ces éléments appartiennent
à des exposants $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_m$ qui sont les racines d'une certaine
équation de degré $m$, dite \emph{équation fondamentale déterminante}.
Ces racines ne sont d'ailleurs autres que les logarithmes, divisés par
$2\Pi \sqrt{-1}$, des racines de l'équation fondamentale du \nobf{9}.

L'équation déterminante jouit de propriétés importantes. Pour l'obtenir,
on fait $y = x^\rho$ dans le premier membre de l'équation différentielle,
qui, par hypothèse, est
\[
\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + \frac{P_1(x)}{x} \: \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} +
  \frac{P_2(x)}{x^2} \: \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + \frac{P_m(x)}{x^m}\:y.
\]
On a ainsi
\[
x^{\rho-m}[\rho(\rho-1)\dotsb(\rho-m+1)+P_{1}(x)\rho(\rho-1)\dotsb(\rho-m+2)+\dotsb+P_{m}(x)].
\]
Puis on multiplie ce résultat par $x^{-\rho}$, et l'on égale à zéro le coefficient
de $x^{-m}$:
\[
\rho(\rho-1)\dotsb(\rho-m+1)+P_{1}(0)\rho(\rho-1)\dotsb(\rho-m+2)+\dotsb+P_m(0)=0
\]
est l'équation fondamentale déterminante.

\myparagraph{24.} Ayant traité le cas où toutes les intégrales de l'équation différentielle
$P=0$ sont régulières, avant de passer à celui où quelques-unes
seulement de ces solutions seraient régulières, je vais établir un
théorème concernant les nombres $\Pi$ définis au \nobf{16}.

Je désignerai par $\Pi'$ les nombres $\Pi$ relatifs à l'équation $Q = 0$, déduite
de $P = 0$ par la substitution
\[
y=y_{1}\tint z\;dx,
\]
$y_{1}$ étant une intégrale de la forme déjà indiquée $x^{\rho}\psi(x)$.
% *** File: 029.png---

Lorsque, dans l'équation $P = 0$, les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_s$ ne
contiennent qu'un nombre limité de puissances négatives de $x$, on sait
(\nobf{21}) que les coefficients $q_1$, $q_2$, \dots, $q_s$, dans l'équation $Q= 0$, ne
renferment, eux aussi, qu'un nombre fini de puissances de $x^{-1}$. Cela
étant, si $g_1$ est la plus grande valeur des nombres
\begin{equation}\tag{1}
\Pi_0,\ \Pi_1,\ \Pi_2,\ \dots,\ \Pi_s,
\end{equation}
et $\Pi_{i_1}$ le premier de leur suite qui soit égal à $g_1$, alors, dans la suite
des nombres
\begin{equation}\tag{2}
\Pi'_0,\ \Pi'_1,\ \Pi'_2,\ \dots,\ \Pi'_s,
\end{equation}
la plus grande valeur sera $g_1 - 1$, et le premier qui soit égal à $g_1 - 1$
sera $\Pi'_{i_1}$.

En effet, il résulte du \nobf{21} que, $k$ étant au plus égal à $S$, l'ordre
infinitésimal $\varpi'_k$ de $q_k$ est égal ou inférieur à la plus grande valeur des
nombres
\begin{equation}\tag{3}
\varpi_0+k,\ \varpi_{1}+k-1,\ \dots,\ \varpi_{k-1}+1,\ \varpi_{k},
\end{equation}
et, si cette plus grande valeur est celle du dernier, on a $\varpi'_{k}=\varpi_{k}$. Or,
augmentons tous les nombres (3) de la même quantité $m - k$, ce qui
donne
\begin{equation}\tag{4}
\Pi_0,\ \Pi_1,\ \Pi_2,\ \ldots,\ \Pi_k.
\end{equation}

\primo Si $k = i_1$, $i_1$ étant l'indice défini dans l'énoncé,  $\Pi_k$ est plus grand
que tous les autres nombres (4); donc, dans ce cas, le plus grand des
nombres (3) est le dernier $\varpi_k$, et par suite $\varpi'_k = \varpi_k$. Ainsi, $\varpi'_{i_1} = \varpi_{i_1}$ ou,
ce qui est la même chose, $\varpi'_{i_1} + (m-1) - i_1$ est égal à $\varpi_{i_1} + m - i_1 - 1$,
c'est-à-dire
\begin{equation}\tag{5}
\Pi'_{i_1}=\Pi_{i_1}-1.
\end{equation}

\secundo Si $k< i_1$, la plus grande valeur des nombres (4) est inférieure
à $\Pi_{i_1}$; par suite, la plus grande valeur des nombres (3), augmentée de
$m -k$, est inférieure à $\Pi_{i_1}$; donc, \emph{a fortiori}, $\varpi'_k + m - k$ est moindre
que $\Pi_{i_1}$, ce qu'on peut écrire
\[
\varpi'_k + (m -1)- k<\Pi_{i_1}-1\quad\text{ou}\quad\Pi'_k<\Pi'_{i_1},
\]
% *** File: 030.png---
c'est-à-dire
\begin{equation}\tag{6}
  \Pi'_0,\ \Pi'_1,\ \Pi'_2,\ \dots,\ \Pi'_{i_1-1} < \Pi'_{i_1}.
\end{equation}

\tertio Si $k>i_1$, $k$ étant au plus égal à $S$, la plus grande valeur des
nombres (4) est $\Pi_{i_1}$; par suite, la plus grande valeur des nombres (3),
augmentée de $m-k$, est $\Pi_{i_1}$; donc $\varpi'_k + m - k$ est égal ou inférieur
a $\Pi_{i_1}$, ce qu'on peut écrire
\[
\varpi'_k + (m-1) - k \leqq \Pi_{i_1} -1\quad\text{ou}\quad\Pi'_k \leqq \Pi'_{i_1},
\]
c'est-à-dire
\begin{equation}\tag{7}
\Pi'_{i_1+1},\ \Pi'_{i_1+2},\ \ldots,\ \Pi'_s \leqq \Pi'_{i_1}.
\end{equation}

Les trois conclusions (5), (6), (7) renferment la démonstration du
théorème énoncé; car (6) et (7) expriment que la plus grande valeur
des nombres (2) est celle de $\Pi'_{i_1}$, qui, d'après (5), est égal à $\Pi_{i_1}-1$,
c'est-à-dire à $g_1-1$, et les inégalités (6) montrent que $\Pi'_{i_1}$ est le premier
des nombres (2) qui soit égal à $g_1-1$.

Remarquons que, si $S=m-1$, $i_1$ est l'indice caractéristique de
l'équation $Q = 0$.

\myparagraph{25.} Nous pouvons maintenant démontrer la proposition suivante:

\emph{Lorsque, dans l'équation différentielle $P=0$, les coefficients $p_1$,
$p_2$, \dots, $p_s$ ne contiennent dans leurs développements qu'un nombre limité
de puissances négatives de $x$, si cette équation admet au moins $m-s$ intégrales
régulières linéairement indépendantes, les autres coefficients $p_{s+1}$,
$p_{s+2}$, \dots, $p_m$ ne renferment eux-mêmes qu'un nombre fini de puissances
de $x^{-1}$, et, de plus, l'indice caractéristique est égal ou inférieur à $S$.}

Cette proposition a été établie au \nobf{20} pour une équation différentielle
d'ordre $m = S+1$. Je prouverai donc simplement que, si le théorème
est vrai pour l'ordre $m-1$, il l'est aussi pour l'ordre $m$.

Et, en effet, l'équation
\[
P(y) = \frac{d^my}{dx^m} + p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_my = 0
\]
% *** File: 031.png---
ayant une intégrale régulière, puisqu'elle en a au moins $m - s$, admet
(\nobf{17}) une intégrale
\[
y_1=x^{\rho}\psi(x),
\]
où la fonction $\psi(x)$ est holomorphe dans le domaine du point zéro, et
non nulle pour $x = 0$. Faisant la substitution
\[
y=y_{1}\tint{z}\;dx,
\]
nous obtiendrons l'équation
\[
Q(z)=\frac{d^{m-1}z}{dx^{m-1}}+q_1\frac{d^{m-2}z}{dx^{m-2}}+ \dotsb + q_{m-1}z=0,
\]
où les coefficients $q$ sont donnés par les relations (1) du \nobf{18}. L'équation
$P = 0$ ayant par hypothèse au moins $m- s$ intégrales régulières
linéairement indépendantes, l'équation $Q = 0$ en aura (\nobf{18}) au moins
$m - 1 - s$. Or, $p_1$, $p_2$, \dots, $p_s$ ne contenant qu'un nombre limité de
puissances de $x^{-1}$, il en est de même (\nobf{21}) de $q_1$, $q_2$, \dots, $q_s$; et,
puisque le théorème est supposé démontré pour l'équation $Q = 0$
d'ordre $m - 1$, les autres coefficients $q_{s+1}$, $q_{s+2}$, \dots, $q_{m-1}$, seront eux-mêmes
infinis d'ordres finis pour $x = 0$. Donc les coefficients $p_{s+1}$,
$p_{s+2}$, \dots, $p_{m-1}$ ne renferment aussi (\nobf{21}) qu'un nombre limité de puissances
négatives de $x$, et alors, d'après le \nobf{20}, il en est de même de $p_m$.

Passons à la seconde partie de la proposition. Soit $i$ l'indice caractéristique
de l'équation $Q = 0$; on a $i\leqq s$, puisque le théorème est supposé
vrai pour cette équation. Or, $i$ étant l'indice caractéristique de
$Q = 0$, $\Pi'_i$ est la plus grande valeur des nombres
\[
\Pi'_{0},\ \Pi'_{1},\ \Pi'_{2},\ \ldots,\ \Pi'_{m-1}
\]
et est le premier qui atteint cette valeur maxima. Donc, d'après le
\nobf{24}, $\Pi_{i}$ joue exactement le même rôle dans la suite des nombres
\[
\Pi_{0},\ \Pi_{1},\ \Pi_{2},\ \ldots,\ \Pi_{m-1}.
\]
De plus, d'après le \nobf{20}, on a
\[
\Pi_m\leqq\Pi_{i}.
\]
% *** File: 032.png---
D'où il résulte que $i$ est l'indice caractéristique de l'équation $P = 0$, et,
comme on a $i \leqq s$, la proposition se trouve établie.

\myparagraph{26.}  La proposition du \nobf{20} étant ainsi généralisée, j'en déduis les
deux conséquences suivantes:

\primo \emph{Si les $s - 1$ premiers coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_{s-1}$ de l'équation
$P = 0$ contiennent un nombre limité de puissances négatives de $x$, sans
qu'il en soit de même du $s$\textsuperscript{ième}, cette équation a au plus $m - s$ intégrales
régulières linéairement indépendantes.}

En effet, si elle en avait $m - s + 1$ ou davantage, $p_s$ serait aussi
infini d'ordre fini pour $x = 0$.

\secundo \emph{Si tous les coefficients de l'équation $P = 0$ ne contiennent qu'un
nombre limité de puissances de $x^{-1}$, elle a au plus $m- i$ intégrales
régulières linéairement indépendantes, $i$ étant son indice caractéristique.}

En effet, si elle en avait $m- i + 1$ ou davantage, son indice caractéristique
serait égal ou inférieur à $i- 1$.

Remarquons que le premier énoncé rentrerait dans le second si, lors
même que $\Pi_i$ est infini d'ordre infini, $i$ continuait à se nommer l'indice
caractéristique.

Nous considérerons tout particulièrement cette seconde proposition,
qui nous invite à étudier spécialement les équations différentielles
$P = 0$, dont tous les coefficients présentent le caractère des fonctions
rationnelles d'être infinis d'ordre fini pour $x = 0$. Une pareille équation
a au plus $m - i$ intégrales régulières linéairement indépendantes. Nous
allons voir que souvent elle les a, comme dans le cas $i = 0$ (\nobf{23}),
traité par M.~Fuchs; après quoi nous montrerons des exceptions.

\myparagraph{27.}  Si l'on se donne arbitrairement les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_i$,
ne contenant qu'un nombre fini de puissances de $x^{-1}$, on peut toujours
déterminer les autres coefficients $p_{i+1}$, $p_{i+2}$, \dots, $p_m$ de telle sorte qu'ils
soient aussi infinis d'ordre fini pour $x = 0$, que l'indice caractéristique
soit $i$ et que l'équation $P = 0$ ait exactement $m - i$ intégrales régulières
linéairement indépendantes données à l'avance.

Soient, en effet, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-i}$ ces $m - i$ données. Écrivons
qu'elles satisfont à l'équation $P = 0$. Nous obtenons ainsi un système
% *** File: 033.png---
de $m - i$ équations du premier degré qui vont déterminer les $m - i$ inconnues
$p_{i+1}$, $p_{i+2}$, \dots, $p_m$:
\begin{alignat*}{5}
&p_{i+1}\dfrac{d^{m-i-1}y_1}{dx^{m-i-1}} &&+ \dotsbsmall +p_{m}y_1
  && = -\Big(\dfrac{d^{m}y_1}{dx^{m}} &&+p_1\dfrac{d^{m-1}y_1}{dx^{m-1}}
     &&+ \dotsbsmall +p_{i}\dfrac{d^{m-i}y_1}{dx^{m-i}}\Big), \\
\multispan{10}{\makebox[36em]{\dotfill},}\\
&p_{i+1}\dfrac{d^{m-i-1}y_{m-i}}{dx^{m-i-1}} &&+ \dotsbsmall +p_{m}y_{m-i}\!
  &&= -\Big(\dfrac{d^{m}y_{m-i}}{dx^{m}} &&+ p_1\dfrac{d^{m-1}y_{m-i}}{dx^{m-1}}
    &&+ \dotsbsmall +p_{i}\dfrac{d^{m-i}y_{m-i}}{dx^{m-i}}\Big).
\end{alignat*}
Leur déterminant
\[
\Delta_{0}= \left|
\begin{array}{lll}
\dfrac{d^{m-i-1}y_{1}}{dx^{m-i-1}}   & \ldots  & y_{1}    \\[0.5ex]
\makebox[4.5em]{\dotfill}            & \ldots  & \ldots    \\[0.5ex]
\dfrac{d^{m-i-1}y_{m-i}}{dx^{m-i-1}} & \ldots  & y_{m-i}
\end{array}\right|
\]
n'est pas identiquement nul, puisque (\nobf{4}) les fonctions $y_1$, $y_2$, \dots,
$y_{m-i}$ sont supposées linéairement indépendantes. Soit $\Delta_{k}$ le déterminant
obtenu en remplaçant dans $\Delta_0$ la colonne des dérivées d'ordre
$m - i-k$ par les seconds membres. On aura
\[
p_{i+k}=\frac{\Delta_k}{\Delta_0}.
\]
Or, lorsque la variable accomplit une révolution autour du point zéro,
les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_i$ reprennent leurs valeurs primitives, et
$y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-i}$ acquièrent des valeurs qui s'expriment en fonctions
linéaires, homogènes, à coefficients constants des premières. Donc $\Delta_k$
et $\Delta_0$ sont multipliés par un même déterminant, dont les éléments
sont les coefficients de la substitution qui permet d'exprimer les nouvelles
valeurs de $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-i}$ à l'aide des anciennes. Donc $p_{i+k}$ ne
change pas, et, par suite, les fonctions obtenues pour $p_{i+1}$, $p_{i+2}$, \dots, $p_m$
sont monotropes dans le domaine du point zéro. L'équation différentielle
ainsi construite avec des coefficients monotropes, ayant au moins
$m - i$ intégrales régulières linéairement indépendantes, aura aussi
(\nobf{25}) ses coefficients $p_{i+1}$, $p_{i+2}$, \dots, $p_m$ infinis d'ordres finis pour $x = 0$
et l'indice caractéristique sera égal ou inférieur à $i$. Mais on peut choisir
les arbitraires $p_1$, $p_2$, \dots, $p_i$ de façon que l'on ait
\[
\Pi_0,\ \Pi_1,\ \Pi_2,\ \ldots,\ \Pi_{i-1}<\Pi_i,
\]
% *** File: 034.png---
et alors l'indice caractéristique sera $i$. L'équation n'admet d'ailleurs
pas plus de $m - i$ intégrales régulières linéairement indépendantes
(\nobf{26}). On a donc ainsi une équation différentielle dont tous les coefficients
présentent le caractère des fonctions rationnelles, dont l'indice
caractéristique est $i$, et qui a exactement $m - i$ intégrales régulières
linéairement indépendantes.

Les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_m$ de l'équation ainsi obtenue contiennent
$m$ arbitraires: $p_1$, $p_2$, \dots, $p_i$, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-i}$. On voit donc que, dans
un grand nombre de cas, l'équation différentielle $P = 0$, dont tous les
coefficients sont infinis d'ordres finis pour $x = 0$ et dont l'indice caractéristique
est $i$, admettra exactement $m- i$ intégrales régulières
linéairement indépendantes.

\myparagraph{28.} Mais il est facile de se convaincre qu'il y a des exceptions et que
l'équation peut avoir moins de $m- i$ intégrales régulières. Je vais en
former un exemple.

Posons
\[
\frac{dy}{dx}+ky=Y,
\]
et considérons les deux équations différentielles
\begin{align*}
\tag*{(1)}   Y+h &= 0,\\
\tag*{(2)}     Y &= 0.
\end{align*}
Formons l'équation
\[
\tag*{(3)}
  h\frac{dY}{dx}-Y\frac{dh}{dx}=0,
\]
savoir
\[
\tag*{(4)}
 \frac{d^2y}{dx^2}+p_1\frac{dy}{dx}+p_{2}y=0,
\]
où l'on a
\[
p_1=k-\frac{d\log h}{dx}, \quad p_2 = \frac{dk}{dx} - k\frac{d\log h}{dx}.
\]
Toutes les intégrales de (1) et de (2) satisfont évidemment à (3),
c'est-à-dire à (4) et inversement, comme (3) donne par l'intégration
\[
Y = Ch,
\]
% *** File: 035.png---
si $y$ est une solution de (4), ou bien $y$ vérifiera l'équation (2), ou bien
$-\dfrac{y}{C}$ vérifiera l'équation (1). Il résulte de là que, si (1) et (2) n'ont pas
de solutions présentant le caractère des intégrales régulières, l'équation
(4) n'aura pas d'intégrales régulières.

Or, donnons-nous arbitrairement $p_1$ et $h$:
\[
p_1=\frac{1}{x^4}, \quad  h=x.
\]
On a alors
\[
k=\frac{1}{x^4}+\frac{1}{x},
\]
c'est-à-dire que $k$ est infini pour $x = 0$ d'ordre fini 4. Cet ordre étant
supérieur à 1, l'équation (2) n'a (\nobf{22}) aucune intégrale régulière.
L'équation non homogène (1) n'a pas non plus de solution de la
nature des intégrales régulières, car son intégrale générale est
\[
y=e^{-\int\! k\;dx}(C'-\tint he^{\int\! k\;dx}dx),
\]
ou, en remplaçant $h$ et $k$ par leurs valeurs et effectuant l'intégration
entre crochets,
\[
y=e^{-\int\! k\;dx}[\Theta (x)+C_{1}\log x].
\]
$C_1$ étant une constante, et la fonction $\Theta (x)$ renfermant dans son développement
un nombre illimité de puissances de $x^{-1}$, comme $e^{-\int\! k\;dx}$.
Donc aucune des intégrales de (1) et de (2) n'est régulière, et, par
suite, l'équation (4) n'a pas d'intégrales régulières. Elle est cependant
de la forme
\[
\frac{d^{2}y}{dx^2}+\frac{1}{x^4} \frac{dy}{dx} + \frac{f(x)}{x^5} y=0,
\]
où la fonction $f(x)$ est holomorphe dans le domaine du point zéro, car
on a
\[
f(x)=-2x^3-5.
\]
L'indice caractéristique est 1, et, néanmoins, l'équation n'a pas une
intégrale régulière.

La méthode précédente peut d'ailleurs se généraliser et permet de
former des équations différentielles de tout degré, à coefficients infinis
% *** File: 036.png---
d'ordres finis pour $x = 0$, qui n'ont pas $m-i$ intégrales régulières
linéairement indépendantes, $i$ étant leur indice caractéristique.

\myparagraph{29.} En résumé, l'équation différentielle $P = 0$, dont tous les coefficients
ne renferment qu'un nombre limité de puissances négatives de $x$,
a au plus $m - i$ intégrales régulières linéairement indépendantes. Si
$i = 0$, elle les a toujours. Si $i > 0$, elle les a dans un grand nombre de
cas, mais il y a des exceptions. Il s'agit donc maintenant d'approfondir
nos recherches dans ce cas $i > 0$, et d'arriver à préciser les conditions
nécessaires et suffisantes que doit remplir l'équation différentielle
pour avoir exactement $m- i$ intégrales régulières. Nous sommes ainsi
amenés à étudier plus profondément les équations dont les coefficients
présentent tous le caractère des fonctions rationnelles. Observons
encore que l'équation du second ordre qui nous a servi d'exemple
d'exception s'est offerte à nous comme ayant ses intégrales communes
avec deux équations du premier ordre. Cette remarque conduit à la
notion féconde de la réductibilité, dans la théorie des équations différentielles
linéaires.


\mysection{TROISIÈME PARTIE.}

\myparagraph{30.} Soit l'équation différentielle linéaire homogène
\[
P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^m}+p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + p_{m}y=0,
\]
dont les coefficients $p$, dans le domaine du point zéro, sont développables
en séries convergentes, procédant suivant les puissances entières,
positives et négatives de $x$, mais ne contiendront désormais
qu'un nombre limité de puissances négatives.

Je vais définir la fonction caractéristique.

Dans l'expression différentielle $P(y)$, faisons la substitution $y=x^{\rho}$.
Nous obtenons ainsi une fonction de $x$ et de $\rho$, $P(x^{\rho})$, que nous appellerons
avec M.~Fröbenius la \textit{fonction caractéristique} de l'équation différentielle
$P =0$ ou de l'expression différentielle $P$.

Nous avons déjà eu l'occasion de former la fonction caractéristique
% *** File: 037.png---
d'une équation différentielle, car c'est elle que nous avons rencontrée
au \nobf{23} pour l'équation particulière
\[
\frac{d^{m}y}{dx^m}+\frac{P_1(x)}{x} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+\frac{P_2(x)}{x^2}
   \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}}+ \dotsb +\frac{P_m(x)}{x^m} y=0.
\]

Formons actuellement la fonction caractéristique de $P$; nous obtenons
\[
P(x^{\rho}) = x^{\rho}\! \left [ \frac{\rho(\rho\!-\!1)\dotsbsmall(\rho\!-\!m\!+\!1)}{x^m}
      +p_{1}\frac{\rho(\rho\!-\!1)\dotsbsmall(\rho\!-\!m\!+\!2)}{x^{m-1}}+ \dotsbsmall
      +p_{m-1}\frac{\rho}{x}+p_m \right]\!.
\]
J'en déduis
\[
x^{-\rho}P(x^{\rho}) = \frac{\rho(\rho-1)\ldots(\rho-m+1)}{x^m}
  +p_{1} \frac{\rho(\rho-1)\ldots(\rho-m+2)}{x^{m-1}}+ \dotsb
  +p_m.
\]
D'où l'on voit que le produit $x^{-\rho}P(x^{\rho})$ peut être, comme les coefficients
$p$, développé en une série procédant suivant les puissances entières
de $x$, ne contenant qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$ et
dont les coefficients sont des fonctions entières de $\rho$ du degré $m$ au
plus.

\myparagraph{31.} Si l'expression différentielle $P$ est donnée, sa fonction caractéristique
$P(x^{\rho})$ est connue.

Inversement, supposons que la fonction caractéristique soit donnée
sous la forme $x^\rho f(x, \rho)$, $f(x, \rho)$ étant une fonction entière de $\rho$ dont
les coefficients sont des fonctions de $x$. On connaîtra aisément l'expression
différentielle.

En effet, une fonction entière de $\rho$, $f(x, \rho)$, de degré $m$, peut toujours
se mettre, et d'une seule manière, sous la forme
\begin{align*}
f(x,\rho) ={}&u_{m}\rho(\rho-1)\ldots(\rho-m+1)+ u_{m-1}\rho(\rho-1)\ldots(\rho-m+2)+ \dotsb\\
   &+u_{2}\rho(\rho-1)+ u_{1}\rho + u_0,
\end{align*}
où l'on a
\[
u_{\eta} = \frac{[\Delta^{(\eta)}_{\rho}f(x, \rho)]_{\rho=0}}{1 \ldot 2 \ldot 3 \ldots \eta},
\]
en posant
\[
f(x, \rho + 1)- f(x, \rho)=\Delta_{\rho}f(x, \rho).
\]
% *** File: 038.png---
On en déduit
\begin{multline*}
x^{\rho}f(x, \rho) = x^{\rho} \Big [ u_{m}x^{m}\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+1)}{x^{m}} \\
                   + u_{m-1}x^{m-1}\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+2)}{x^{m-1}}+ \dotsb
                   + u_{2}x^{2}\frac{\rho(\rho-1)}{x^2}+u_{1}x\frac{\rho}{x}+u_0 \Big ].
\end{multline*}
Donc $x^{\rho}f(x, \rho)$ est la fonction caractéristique de l'expression différentielle
\[
u_{m}x^{m}\frac{d^{m}y}{dx^{m}}+ u_{m-1}x^{m-1}\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + u_{1}x\frac{dy}{dx}+u_{0}y.
\]

\myparagraph{32.} Nous avons vu que le produit
\[
x^{-\rho}P(x^{\rho})=\frac{\rho(\rho - 1)\ldots(\rho-m+1)}{x^m}
              +p_{1}\frac{\rho(\rho - 1)\ldots(\rho-m+2)}{x^{m-1}}+ \dotsb
              +p_{m-1}\frac{\rho}{x}+p_m
\]
pouvait être développé en une série procédant suivant les puissances
ascendantes de $x$ et limitée à gauche, dont les coefficients sont des
fonctions entières de $\rho$ de degré $m$ au plus. Cherchons le premier terme
à gauche dans cette série. Il est visible que les exposants de $x$ dans les
dénominateurs de $x^{-\rho}P(x^{\rho})$ sont successivement les nombres
\[
\Pi_0,\ \Pi_1,\ \Pi_2,\ \ldots,\ \Pi_{m-1},\ \Pi_m,
\]
définis au \nobf{16}. Si donc $g$ est leur plus grande valeur, le premier
terme de la série est de la forme $\dfrac{G(\rho)}{x^g}$, $G(\rho)$ étant une fonction entière
de $\rho$, indépendante de $x$. Quant au degré $\gamma$ de cette fonction en $\rho$, égal
au plus à $m$, il est évidemment
\[
\gamma = m - i,
\]
$i$ étant l'indice du premier nombre $\Pi$ égal à $g$, c'est-à-dire $i$ étant l'indice
caractéristique. Dans le cas particulier $i = 0$, l'équation $G(\rho)= 0$,
de degré $m$, n'est autre chose que l'équation mentionnée au \nobf{23}, et
que M.~Fuchs a nommée l'\textit{équation fondamentale déterminante}.

Nous généraliserons alors cette dénomination, et nous appellerons
dans tous les cas et plus simplement \textit{équation déterminante} de l'équation
différentielle $P = 0$ ou de l'expression $P$ l'équation $G(\rho) = 0$. Son
premier membre $G(\rho)$ sera la \textit{fonction déterminante}.
% *** File: 039.png---

Ainsi, pour obtenir la fonction déterminante d'une expression différentielle,
on formera sa fonction caractéristique, qu'on multipliera
par $x^{-\rho}$, puis on développera le produit suivant les puissances ascendantes
de $x$: le coefficient du premier terme sera la fonction déterminante.
Remarquons que, ayant $g$, il suffit de multiplier la fonction
caractéristique par $x^{g-\rho}$, puis de faire $x=0$:
\[
\left[x^{g-\rho}P(x^{\rho}) \right]_{x=0}.
\]

\myparagraph{33.} J'établirai immédiatement quelques propriétés de l'équation
déterminante de l'expression différentielle $P$.

Je remarque d'abord que, si $p_m$ est identiquement nul, la fonction
caractéristique, et, par suite, la fonction déterminante, est divisible
par $\rho$. Si l'on effectue cette division, et que l'on change ensuite $\rho$ en
$\rho+1$ dans le quotient, on obtiendra, en égalant à zéro, l'équation déterminante
de l'équation différentielle d'ordre $m - 1$ obtenue en prenant
pour inconnue $\dfrac{dy}{dx}$.

On aperçoit encore de suite que, si dans l'équation $P = 0$ on pose
\[
y = x^{\rho_0}w,
\]
l'équation déterminante de l'équation différentielle en $w$ ainsi obtenue
aura pour racines celles de l'équation déterminante de $P = 0$, diminuées
de $\rho_0$. En effet, la fonction caractéristique de l'équation en $w$, $P(x^{\rho_0} w) =0$,
est $P(x^{\rho_{0}+\rho})$. Elle se déduit donc de la fonction caractéristique $P(x^{\rho})$ de
l'équation en $y$, en changeant $\rho$ en $\rho_{0}+\rho$, et, par conséquent, il en
est de même des équations déterminantes.

Enfin, si dans l'équation $P = 0$ on pose
\[
y=\psi(x)w,
\]
$\psi(x)$ étant une fonction holomorphe dans le domaine du point zéro,
et non nulle pour $x = 0$, l'équation déterminante de l'équation différentielle
en $w$ ainsi obtenue sera la même que celle de l'équation en $y$.
En effet, on voit sans peine que, l'équation en $w$ étant de la forme
\[
\frac{d^{m}w}{dx^m}+(p_1 + P_1)\frac{d^{m-1}w}{dx^{m-1}}
   + (p_2 +P_2)\frac{d^{m-2}w}{dx^{m-2}}+ \dotsb + (p_{m}+P_{m})w = 0,
\]
% *** File: 040.png---
sa fonction caractéristique est la somme de deux termes. Le premier
terme
\[
x^{\rho} \left [\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+ 1)}{x^{m}} + p_{1}\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+ 2)}{x^{m-1}} + \dotsb + p_m \right]
\]
est la fonction caractéristique de l'équation en $y$, et, dans le second
terme,
\[
x^{\rho}\left [\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+ 1)}{x^{m}} + P_{1}\frac{\rho(\rho-1)\ldots (\rho-m+ 2)}{x^{m-1}} + \dotsb + P_m \right],
\]
le plus haut exposant de $x$ en dénominateur est inférieur au plus haut $g$
dans les dénominateurs du premier terme. D'où il résulte que, si l'on
multiplie par $x^{g-\rho}$, puis qu'on fasse $x = 0$, pour obtenir la fonction
déterminante de l'équation en $w$, le second terme s'évanouira tout
entier, et l'on obtiendra par conséquent le même résultat qu'en opérant
sur le premier terme seul, c'est-à-dire la fonction déterminante de
l'équation en $y$.

Il suit de ces diverses propositions, $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_\gamma$ étant les $\gamma$ racines
de l'équation déterminante de $P$:

\primo Que si, dans $P = 0$, on pose
\[
y=y_{1}w,
\]
où $y_{1}$ est une intégrale de la forme $x^{\rho_0}\psi(x)$, $\psi(x)$ étant holomorphe
dans le domaine du point zéro, et non nul pour $x= 0$, l'équation différentielle
en $w$, homogène par rapport aux dérivées, ainsi obtenue, aura
une fonction déterminante dont les racines seront
\[
\rho_{1}-\rho_{0},\ \rho_{2}-\rho_{0},\ \ldots,\ \rho_{\gamma}-\rho_{0},
\]
et que, par conséquent, comme cette fonction est divisible par $\rho$, l'une
des quantités $\rho_{1}$, $\rho_{2}$, \dots, $\rho_{\gamma}$ est égale à $\rho_0$, soit $\rho_{1}=\rho_{0}$;

\secundo  Que, si l'on pose ensuite dans l'équation en $w$
\[
w=\tint z\;dx,
\]
la fonction déterminante de l'équation en $z$ sera de degré $\gamma - 1$ et aura
pour racines
\[
\rho_{2}-\rho_{0}-1,\ \rho_{3}-\rho_{0}-1,\ \ldots,\ \rho_{\gamma}-\rho_{0}-1;
\]
% *** File: 041.png---

\tertio Que si, par conséquent, dans $P = 0$, on fait la substitution
\[
y =y_{1}\tint z\;dx,
\]
l'équation en $z$, d'ordre $m - 1$, ainsi obtenue, aura pour équation déterminante
l'équation de degré $\gamma-1$, qui admet comme racines
\[
\rho_{2}-\rho_{0}-1,\ \rho_{3}-\rho_{0}-1,\ \ldots,\ \rho_{\gamma}-\rho_{0}-1.
\]

\myparagraph{34.} La relation simple
\[
i+\gamma=m
\]
entre l'ordre de l'équation différentielle, son indice caractéristique et
le degré de son équation déterminante permet de substituer à la notion
de l'indice caractéristique la considération plus rationnelle de l'équation
déterminante. \textit{L'indice caractéristique d'une équation différentielle
n'est autre que la différence entre l'ordre de cette équation et le degré
de son équation déterminante.}

Dès lors, toutes les propositions concernant l'indice caractéristique,
relatives, par conséquent, à des équations différentielles dont tous les
coefficients sont infinis d'ordres finis pour $x = 0$, pourront s'exprimer
à l'aide de l'équation déterminante.

C'est ainsi que nous énoncerons de la manière suivante la proposition
du \nobf{26}:

\textit{Le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes de
l'équation  $P = 0$ est, au plus, égal au degré de son équation déterminante.}

\myparagraph{35.} On peut d'ailleurs se faire une idée encore plus nette de la
fonction caractéristique et de la fonction déterminante de l'équation
différentielle $P = 0$ en mettant cette équation sous une certaine forme.

Écrivons-la ainsi:
\[
P(y) =\frac{1}      {x^m}     x^m     \frac{d^{m}y}  {dx^m}
     +\frac{p_1}    {x^{m-1}} x^{m-1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb
     +\frac{p_{m-1}}{x}       x       \frac{dy}{dx}
     +p_{m}y = 0.
\]
Réduisons les fractions
\[
\frac{1}{x^m},\ \frac{p_{1}}{x^{m-1}},\ \frac{p_{2}}{x^{m-2}},\ \ldots,\ \frac{p_{m-1}}{x},\ p_m
\]
% *** File: 042.png---
au plus simple dénominateur commun $x^g$, puis multiplions tout par $x^g$.
L'équation différentielle deviendra
\[
N(y) = n_{0}  x^{m}  \frac{d^{m}y}  {dx^{m}}
      +n_{1}  x^{m-1}\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb
      +n_{m-1}x      \frac{dy}{dx} + n_{m}y = 0,
\]
où les séries $n_0$, $n_1$, \dots, $n_m$ contiennent seulement des puissances positives
de $x$, et ne s'évanouissent pas toutes pour $x = 0$.

Nous appellerons cette forme du premier membre d'une équation
différentielle sa \textit{forme normale}.

La fonction caractéristique de l'expression différentielle $N$ est
\[
N(x^{\rho}) = x^{\rho} [n_{0}\rho(\rho - 1)\ldots(\rho - m +1)+ n_{1}\rho(\rho - 1)\ldots (\rho - m +2)+ \dotsb + n_{m-1}\rho + n_m];
\]
par conséquent, le produit $x^{-\rho}N(x^{\rho})$ ne contient que des puissances
positives de $x$ et n'est pas nul pour $x = 0$. Son terme constant est la
fonction déterminante.

Inversement, on voit facilement que, si une expression différentielle
a une fonction caractéristique remplissant ces conditions, elle a la
forme normale. On peut donc, par l'examen de la fonction caractéristique,
reconnaître si une expression différentielle a la forme normale.

\myparagraph{36.} Je vais définir ce qu'on entendra par une \textit{expression différentielle
composée},  et en démontrer une importante propriété.

Soit l'expression différentielle
\[
A(y) = a_{0}       \frac{d^{\alpha}y}  {dx^{\alpha}}
     + a_{1}       \frac{d^{\alpha-1}y}{dx^{\alpha-1}} + \dotsb
     + a_{\alpha-1}\frac{dy}{dx} + a_{\alpha}y.
\]
Je considérerai la lettre $A$ comme un symbole d'opération, de telle
sorte que $A(y)$ indique une opération définie à effectuer sur $y$:
\[
A(y) = \left (a_{0}\frac{d^{\alpha}}  {dx^{\alpha}}
             +a_{1}\frac{d^{\alpha-1}}{dx^{\alpha-1}} + \dotsb + a_{\alpha} \right ) y.
\]

Cela étant, $A(B)$, ou simplement $AB$, indiquera la même opération
effectuée sur $B$. Si alors $B$ est une seconde expression différentielle,
$AB$ représentera aussi une expression différentielle $C$, et nous dirons
que l'expression $AB = C$, obtenue en effectuant sur $B$ les opérations
% *** File: 043.png---
indiquées par le symbole $A$, est composée des expressions $A$ et $B$, énoncées
dans cet ordre.

Même définition pour une expression composée de plus de deux
expressions.

Si les coefficients des expressions composantes ne contiennent qu'un
nombre limité de puissances négatives de $x$, comme on le suppose ici,
il est clair qu'il en est de même des coefficients de l'expression composée.

Soit $AB = C$ et soient
\begin{alignat*}{2}
A(x^{\rho}) &= x^{\rho}h(x, \rho) &&= \sum_{\mu}    h_{\mu}     (\rho)x^{\rho + \mu},    \\
B(x^{\rho}) &= x^{\rho}k(x, \rho) &&= \sum_{\nu}    k_{\nu}     (\rho)x^{\rho + \nu},    \\
C(x^{\rho}) &= x^{\rho}l(x, \rho) &&= \sum_{\lambda}l_{\lambda}(\rho)x^{\rho + \lambda}
\end{alignat*}
les fonctions caractéristiques des expressions différentielles $A$, $B$, $C$.
On a
\[
C(x^{\rho}) = AB(x^{\rho}) = A \left[ \sum_{\nu} k_{\nu}(\rho) x^{\rho + \nu} \right]
            = \sum_{\nu} k_{\nu}(\rho) A(x^{\rho + \nu}),
\]
c'est-à-dire
\[
\sum_{\lambda} l_{\lambda}(\rho) x^{\lambda} =
    \sum_{\mu}\sum_{\nu} h_{\mu}(\rho + \nu) k_{\nu}(\rho) x^{\mu+\nu}.
\]

Il résulte de cette égalité que, si $A$ et $B$ ont la forme normale, comme
alors $h_\mu(\rho)$ et $k_{\nu}(\rho)$ s'évanouissent pour les valeurs négatives de $\mu$ et
de $\nu$, mais non pour la valeur nulle, $\sum_{\lambda}l_{\lambda}(\rho)x^{\lambda}$ ne contiendra que des
puissances positives de $x$ et sera différent de zéro pour $x = 0$. Donc
(\nobf{35}), la fonction caractéristique de $C$, divisée par $x^{\rho}$, remplissant
ces conditions, $C$ aura lui-même la forme normale. De plus, si nous
faisons $x = 0$ dans la même égalité, nous aurons entre les fonctions
déterminantes de $A$, $B$, $C$ cette relation simple
\[
l_{0}(\rho) = h_{0}(\rho)k_{0}(\rho).
\]

D'où cette proposition:

\textit{Si une expression différentielle est composée de plusieurs expressions
% *** File: 044.png---
différentielles de forme normale, elle a elle-même la forme normale, et
sa fonction déterminante est le produit des fonctions déterminantes des
expressions composantes.}

Le degré de $l_{0}(\rho)$ est, par conséquent, la somme des degrés $h_{0}(\rho)$
et de $k_{0}(\rho)$.

Plus généralement, on peut remarquer que, \textit{si deux des trois expressions
$A$, $B$, $C$ ont la forme normale, il en est de même de la troisième.}

\myparagraph{37.} Je vais maintenant m'occuper, en vue des recherches ultérieures,
de la réductibilité et de l'irréductibilité de l'équation différentielle
$P = 0$. L'introduction de cette notion, outre qu'elle nous sera d'une
utilité capitale, aura l'avantage de mettre une fois de plus en évidence
l'analogie si complète des équations différentielles linéaires avec les
équations algébriques.

Une équation différentielle linéaire homogène, dont les coefficients
ne contiennent qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$, sera dite
\textit{réductible} lorsqu'elle aura au moins une intégrale commune avec une
autre équation différentielle linéaire homogène, d'ordre moindre, et
dont les coefficients présentent le même caractère. Dans le cas contraire,
l'équation sera dite \textit{irréductible}.

Par exemple, l'équation du second ordre
\[
\frac{d^{2}y}{dx^2} + \frac{1}{x^4} \frac{dy}{dx} - \frac{2x^3+5}{x^5} y = 0,
\]
que nous avons rencontrée au \nobf{28}, est réductible, puisqu'elle admet
toutes les intégrales de l'équation du premier ordre
\[
\frac{dy}{dx} + \frac{x^{3}+1}{x^4} y = 0.
\]
Nous formerons tout à l'heure des équations irréductibles.

\myparagraph{38.}  Soient
\begin{align*}
A(y) &= a_{0}\frac{d^\alpha y}{dx^{\alpha}} + a_1 \frac{d^{\alpha-1}y}{dx^{\alpha-1}}+ \dotsb + a_{\alpha}y,\\
B(y) &= b_{0}\frac{d^\beta y} {dx^{\beta}}  \,+ b_1 \frac{d^{\beta-1}y} {dx^{\beta-1}} \,+ \dotsb + b_{\beta}y
\end{align*}
% *** File: 045.png---
deux expressions différentielles, de même nature que $P$, et où l'on a
\[
\alpha \geqq \beta\quad \text{et}\quad \alpha - \beta = \varkappa.
\]
Je dis que, si $Q$ désigne le symbole d'opération
\[
Q(y)=q_{0}\frac{d^{\varkappa}y}{dx^\varkappa} +
  q_1\frac{d^{\varkappa-1}y}{dx^{\varkappa-1}} + \dotsb + q_{\varkappa}y,
\]
on pourra toujours mettre $A$ sous la forme
\[
A=QB + R,
\]
les $q$ ne contenant qu'un nombre limité de puissances $x^{-1}$, et $R$ représentant
une expression différentielle de même nature que $A$, $B$, $Q$,
mais d'ordre inférieur à $\beta$.

Si, en effet, on dérive $B$ $\varkappa$ fois, on obtient
\begin{alignat*}{3}
\dfrac{dB}{dx}\ &= b_0 \dfrac{d^{\beta + 1}y}{dx^{\beta+1}}&&+ u_{11}\ \dfrac{d^{\beta}y}{dx^{\beta}}&&+ U_1,
\\
\dfrac{d^{2}B}{dx^2} &= b_0 \dfrac{d^{\beta + 2}y}{dx^{\beta+2}}&&+
  u_{21} \dfrac{d^{\beta + 1}y}{dx^{\beta+1}}&&+ u_{22}\dfrac{d^{\beta}y}{dx^{\beta}}+ U_2,
\\
\multispan{6}{\makebox[20em]{\dotfill},} \\
\dfrac{d^{\varkappa}B}{dx^\varkappa} &= b_0\ \dfrac{d^{\alpha}y}{dx^{\alpha}}&&+
  u_{\varkappa 1} \dfrac{d^{\alpha - 1}y}{dx^{\alpha-1}}&&+ \dotsb +
  u_{\varkappa\varkappa}\dfrac{d^{\beta}y}{dx^{\beta}}+ U_\varkappa,
\end{alignat*}
les $u$ ne contenant qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$, et les $U$
étant des expressions différentielles d'ordres inférieurs à $\beta$, et à coefficients
de même caractère que les $u$. On déduit de là la valeur de la
somme
\[
q_0\,\frac{d^{\varkappa}B}{dx^\varkappa}+ q_1\,\frac{d^{\varkappa-1}B}{dx^{\varkappa-1}}+
  \ldots +q_{\varkappa}B,
\]
c'est-à-dire la valeur de $QB$:
\begin{align*}
  QB = q_0b_0 \frac{d^{\alpha}y}{dx^\alpha}
     & + (q_0u_{\varkappa 1} + q_1b_0)
       \frac{d^{\alpha-1}y}{dx^{\alpha-1}}
       + (q_0u_{\varkappa 2} + q_1u_{\varkappa-1,1} + q_2b_0)
       \frac{d^{\alpha-2}y}{dx^{\alpha-2}} + \dotsb \\
     & + (q_0u_{\varkappa\varkappa} + q_1u_{\varkappa-1,\varkappa-1} + \dotsb +
          q_{\varkappa-1}u_{11} + q_\varkappa b_0) \frac{d^\beta y}{dx^\beta} \\
     & + q_0U_\varkappa + q_1U_{\varkappa-1} + \dotsb + q_{\varkappa-1}U_1
       + q_\varkappa \Big( b_1 \frac{d^{\beta-1}y}{dx^{\beta-1}} + \dotsb + b_\beta y \Big).
\end{align*}
% *** File: 046.png---
Déterminons $q_0$, $q_1$, $q_2$, \dots, $q_\varkappa$ par les conditions suivantes, ce qui est
toujours possible:
\begin{gather*}
q_{0}b_{0} = a_{0}, \\
q_{0}u_{\varkappa 1}+ q_{1}b_{0}=a_{1}, \\
\makebox[8em]{\dotfill}, \\
q_{0}u_{\varkappa\varkappa}+q_{1}u_{\varkappa-1,\varkappa-1}+ \dotsb +
  q_{\varkappa-1}u_{11}+q_{\varkappa}b_{0}=a_{\varkappa};
\end{gather*}
nous trouverons évidemment des valeurs ne contenant qu'un nombre
limité de puissances négatives de $x$, et nous aurons
\[
QB = a_{0}\,\frac{d^{\alpha}y}{dx^{\alpha}} +
     a_1\,\frac{d^{\alpha-1}y}{dx^{\alpha-1}} +
  \ldots + a_\varkappa\,\frac{d^{\beta}y}{dx^{\beta}}+ U,
\]
$U$ étant d'ordre inférieur $\beta$. Or cela peut s'écrire
\[
A=QB+R,
\]
en posant
\[
R=a_{\varkappa+1}\,\frac{d^{\beta-1}y}{dx^{\beta-1}} + \dotsb + a_{\alpha}y - U,
\]
expression différentielle d'ordre inférieur à $\beta$, et dont les coefficients
présentent le caractère des fonctions rationnelles.

Il résulte de l'égalité
\[
A = QB + R
\]
que toute intégrale commune aux deux équations $A = 0$ et $B = 0$ est
une intégrale de $R = 0$, et que, inversement, toute intégrale commune
aux deux équations $B = 0$ et $R = 0$ est une intégrale de $A = 0$.

\myparagraph{39.}   Supposons que toutes les intégrales de $B = 0$ satisfassent à
$A = 0$: alors elles satisfont aussi à $R = 0$. Mais l'équation $R = 0$, étant
d'ordre inférieur à $\beta$, ne peut admettre $\beta$ intégrales linéairement indépendantes
que si $R$ s'évanouit identiquement. D'où cette proposition:

\emph{Si l'équation $A = 0$ admet toutes les intégrales de l'équation $B = 0$,
$A$ se met sous la forme composée $A = QB$.}

Remarquons que $Q$ est d'ordre $\alpha - \beta$ et que, d'après le \nobf{36}, si $A$
et $B$ ont la forme normale, il en sera de même de $Q$.

\myparagraph{40.}  Supposons l'équation $B = 0$ irréductible, et imaginons qu'elle
ait une intégrale commune avec l'équation $A = 0$, auquel cas l'ordre
% *** File: 047.png---
de $A$ est au moins égal à celui de $B$, sans quoi $B = 0$ serait réductible.
On a alors l'égalité
\[
  A = QB + R,
\]
et l'intégrale commune vérifie $R = 0$. Mais $B = 0$, étant irréductible, ne
peut avoir aucune intégrale commune avec l'équation $R = 0$, qui est
d'ordre moindre. Il faut donc que $R$ s'évanouisse identiquement, et, par
suite, on a l'identité
\[
  A = QB,
\]
ce qui donne cette proposition:

\textit{Si l'équation $A = 0$ admet une intégrale de l'équation irréductible
$B = 0$, elle les admettra toutes.}

\myparagraph{41.} $A$ et $B$ étant deux expressions différentielles d'ordres respectifs $\alpha$
et $\beta$, il est facile d'obtenir l'équation différentielle qui donne les intégrales
communes aux deux équations $A = 0$ et $B = 0$.

J'opérerai comme dans la recherche d'un plus grand commun diviseur.

Soit $\alpha\geqq \beta$. On a
\[
  A = QB + R_{1},
\]
et les intégrales communes à $A=0$ et à $B = 0$ sont les solutions communes
à $B = 0$ et à $R_1 = 0$. On aura donc ainsi successivement
\begin{alignat*}{3}
  &A   &&= \ QB &&+ R_{1},  \\
  &B   &&= Q_{1}R_{1}&&+R_{2},  \\
  &R_1 &&= Q_{2}R_{2}&&+R_{3},  \\
\multispan{6}{\makebox[9em]{\dotfill},}\\
  &R_{\varepsilon-1} &&= Q_{\varepsilon}R_{\varepsilon}&&+ R_{\varepsilon+1}.
\end{alignat*}
Si $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$, \dots\ sont les ordres respectifs des expressions différentielles
$R_1$, $R_2$, $R_3$, \dots, on a les inégalités
\[
  \alpha \geqq \beta >\sigma_1 >\sigma_2 >\sigma_3 >\ldots,
\]
d'où il résulte que $\sigma_j$ s'évanouit au plus tard pour $j=\beta$. Soient
\[
  \sigma_{\varepsilon+1}=0 \quad\text{et}\quad \sigma_{\varepsilon} \backneq 0.
\]
Alors $R_{\varepsilon + 1}$ est égal ou à $uy$, $u$ étant une fonction de $x$, ou à zéro. Dans
% *** File: 048.png---
le premier cas, les deux équations $A = 0$ et $B = 0$ ne sont vérifiées
simultanément que pour $y = 0$, c'est-à-dire qu'elles n'ont aucune intégrale
commune. Dans le second cas, $A = 0$ et $B = 0$ ont des intégrales
communes qui sont les solutions de l'équation différentielle $R_{\varepsilon} = 0$.

De là cette proposition:

\emph{Si l'équation $A = 0$ est réductible, il existe une équation $D = 0$, d'ordre
moindre, dont elle admet toutes les intégrales.}

\myparagraph{42.} Il résulte du théorème précédent et de la proposition du \nobf{39}
que la condition nécessaire et suffisante pour que l'équation $A = 0$ soit
réductible est que $A$ puisse se mettre sous la forme composée
\[
A = QD,
\]
où la somme des ordres $\varkappa$ et $\delta$ de $Q$ et de $D$ est égale à l'ordre $\alpha$ de $A$.
Tel est le caractère d'une équation réductible.

On sait qu'étant donnée une équation algébrique de degré $\delta$, ayant
toutes ses racines communes avec une autre, de degré $\varkappa$ + $\delta$, on peut
ramener la détermination de toutes les autres racines à la résolution
d'une équation de degré $\varkappa$. De même, connaissant $D$, on pourra intégrer
l'équation différentielle réductible $A = 0$ au moyen d'une équation
différentielle $Q = 0$, d'ordre $\varkappa$, en prenant pour inconnue $D$.

\myparagraph{43.} Il est facile de reconnaître l'existence d'équations différentielles
irréductibles de tout degré.

Je vais en effet former une équation irréductible $A = 0$ d'ordre
donné $\alpha$. Je formerai d'abord sa fonction caractéristique $A(x^{\rho})$; j'en
déduirai (\nobf{31}) ensuite $A$.

Dans ce but, je prends au hasard une fonction entière de $\rho$, $h(x, \rho)$,
de degré $\alpha$, dont les coefficients ne contiennent que des puissances positives
de $x$ et ne soient pas tous nuls pour $x = 0$:
\[
h(x, \rho)= h_{0}(\rho) + h_{1}(\rho)x + h_{2}(\rho)x^{2}+ \dots,
\]
de sorte que $h_{0}(\rho)$ n'est pas identiquement nul. J'assujettis simplement
la fonction $h(x, \rho)$ à deux conditions, savoir : $h_0(\rho)$ sera une constante
et $h_1(\rho)$ sera de degré $\alpha$.

Cela posé, il existe une expression différentielle $A$, de forme normale,
% *** File: 049.png---
qui admet pour fonction caractéristique $x^{\rho}h(x, \rho)$ (\nobf{35}), et
l'on a
\[
A(y) = a_{0}x^{\alpha}  \frac{d^{\alpha}y}  {dx^{\alpha}}
      +a_{1}x^{\alpha-1}\frac{d^{\alpha-1}y}{dx^{\alpha-1}} + \dotsb + a_{\alpha}y,
\]
où $a_{\alpha}$ et $\dfrac{a_0}{x}$ ne s'évanouissent pas pour $x = 0$, à cause des deux conditions
imposées à $h(x, \rho)$.

Je dis que l'équation $A = 0$ est irréductible.

En effet, si elle était réductible, il existerait (\nobf{41}) une équation
$D = 0$, d'ordre moindre $\delta$, dont elle admettrait toutes les intégrales,
et l'on pourrait mettre $A$ sous la forme composée
\[
A = QD,
\]
Q étant une expression d'ordre $\varkappa$ tel qu'on ait
\[
\varkappa + \delta = \alpha.
\]
On peut d'ailleurs supposer que $Q$ et $D$ ont la forme normale comme $A$.
Or, soient
\begin{alignat*}{4}
Q(x^{\rho}) &= x^{\rho} [ \eta_0(\rho) &&+  \eta_1(\rho)x &&+  \eta_2(\rho)x^{2} &&+ \dotsb ], \\
D(x^{\rho}) &= x^{\rho} [\zeta_0(\rho) &&+ \zeta_1(\rho)x &&+ \zeta_2(\rho)x^{2} &&+ \dotsb ]
\end{alignat*}
les fonctions caractéristiques des expressions $Q$ et $D$; leurs degrés en $\rho$
ne surpassent pas, comme on sait, les ordres $\varkappa$ et $\delta$. La formule du
\nobf{36} donne les deux identités
\begin{align*}
h_0(\rho)&=  \eta_0(\rho)\zeta_0(\rho), \\
h_1(\rho)&= \zeta_0(\rho)\eta_1(\rho)+ \eta_0(\rho+1)\zeta_1(\rho).
\end{align*}
D'après la première, $h_0(\rho)$ étant une constante, $\eta_0(\rho)$ et $\zeta_0(\rho)$ sont
eux-mêmes const\-ants; par suite, d'après la seconde, la fonction $h_1(\rho)$,
qui, par hypothèse, est de degré $\alpha$, serait identique à une fonction dont
le degré n'est pas supérieur au plus grand des deux nombres $\varkappa$ et $\delta$, ce
qui est impossible. Donc l'équation $A = 0$ est irréductible.

Remarquons que $h_0(\rho)$, $\eta_0(\rho)$ et $\zeta_0(\rho)$ sont les fonctions déterminantes
de $A$, $Q$ et $D$, de sorte que la fonction déterminante de $A$ est
une constante.

Ainsi donc, par la méthode précédente, on peut former des équations
différentielles irréductibles de tout degré.
% *** File: 050.png---

\myparagraph{44.} Avant d'utiliser les considérations qui précèdent pour l'objet de
notre étude, la recherche des intégrales régulières, je vais les appliquer
à la décomposition des expressions différentielles linéaires, homogènes,
à coefficients constants.

Soit l'équation différentielle
\[
P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^{m}}+ p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + p_{m}y = 0,
\]
où les $p$ sont des constantes.

\primo L'expression différentielle $P$ peut se mettre sous la forme composée
$P = AQ_1$, les expressions $A$ et $Q_1$ étant respectivement d'ordres 1 et
$m - 1$ et de même nature que $P$.

Soient, en effet,
\begin{gather*}
A=\frac{dy}{dx}- ay, \\
Q_1=\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + q_1\frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + q_{m-1}y,
\end{gather*}
où les coefficients $a$ et $q$ sont des constantes que je vais déterminer. Je
forme $AQ$, et je l'identifie avec $P$. J'obtiens ainsi les équations
\begin{align*}
q_1 - a &= p_1, \\
q_2 - aq_1 &= p_2, \\
\multispan{2}{\hspace{2.5em}\makebox[6em]{\dotfill},} \\
q_{m-1}- aq_{m-2} &= p_{m-1}, \\
-aq_{m-1} &= p_m,
\end{align*}
qui donnent toujours des valeurs constantes pour $q_1$, $q_2$, \dots, $q_{m-1}$, $a$,
car on a
\[
q_1=a+p_1, \  q_2= a^2 + p_{1}a + p_2, \ \dots,\
q_{m-1}= a^{m-1} + p_{1}a^{m-2} + \dotsb + p_{m-1},
\]
et $a$ est racine de l'équation
\[
a^m + p_{1}a^{m-1} + p_{2}a^{m-2} + \dotsb + p_{m-1}a + p_m =0.
\]
Remarquons que cette équation n'est autre que
\[
e^{-ax}P(e^{ax}) = 0.
\]

% *** File: 051.png---

\secundo L'expression différentielle $P$ peut se mettre sous la forme composée
\[
P = ABC\ldots HKL,
\]
les $m$ expressions $A$, $B$, \dots, $K$, $L$ étant du premier ordre et de même
nature que $P$.

En effet, je mets $P$ sous la forme $P = AQ_1$, puis $Q_1$ sous la forme
$Q_1=BQ_2$, et ainsi de suite. Finalement, j'obtiens $Q_{m-1}= KQ_m$, $Q_m$
étant du premier ordre. J'aurai donc, en posant $Q_{m} = L$,
\[
P = ABC\ldots HKL.
\]


\mysection{QUATRIÈME PARTIE.}

\myparagraph{45.} Revenons maintenant à la recherche des intégrales régulières,
et appliquons les considérations précédentes. Nous envisagerons toujours
l'équation
\[
P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y=0,
\]
où les coefficients $p$ ne contiennent tous qu'un nombre limité de puissances
négatives de $x$.

J'observe d'abord que, si l'équation $P = 0$ admet une intégrale régulière,
cette équation est réductible.

En effet, si $P = 0$ a une intégrale régulière, elle a aussi (\nobf{17}) une
intégrale de la forme $x^{\rho} \psi(x)$, où $\psi(x)$ est une fonction holomorphe
dans le domaine du point zéro, et non nulle pour $x = 0$. Or, cette
dernière solution satisfait à l'équation du premier ordre
\[
x\psi(x)\frac{dy}{dx}- [\rho \psi(x) + x \psi'(x)]y = 0,
\]
où le coefficient $p_1$ de $y$ est nécessairement de la forme $\dfrac{P_{1}(x)}{x}$ (\nobf{22});
ce qui d'ailleurs est visible:
\[
\frac{P_1(x)}{x}=-\frac{\rho}{x}-\frac{\psi'(x)}{\psi(x)}.
\]
Donc l'équation $P = 0$ est réductible.
% *** File: 052.png---

Ainsi, \emph{quand l'équation $P = 0$ admet une intégrale régulière, elle
admet les intégrales d'une équation différentielle du premier ordre ayant
ses intégrales régulières.}

\myparagraph{46.} Remarquons ensuite que, si dans l'expression P on fait la substitution
\[
y = F = x^r [\varphi_0 + \varphi_1 \log x + \dotsb + \varphi_\eta(\log x)^\eta ],
\]
où les $\varphi$ ne contiennent qu'un nombre limité de puissances de $x^{-1}$, on
obtient pour $PF$ une expression de même nature
\[
PF = x^{r} [ \chi_0 + \chi_1 \log x + \dotsb + \chi^\zeta (\log x)^\zeta ],
\]
les $\chi$ ayant le même caractère que les $\varphi$. Cela résulte immédiatement
de ce que $\dfrac{dF}{dx}$ est de même forme que $F$.

On peut en conclure que, si dans l'équation différentielle linéaire
non homogène
\[
B = u
\]
$u$ est de la forme
\[
u = x^s [ u_0 + u_1 \log x + \dotsb + u_\sigma (\log x)^\sigma ],
\]
les séries $u_1$, $u_2$, \dots, $u_\sigma$ contenant toutes ou en partie un nombre illimité
de puissances de $x^{-1}$, cette équation ne pourra avoir aucune
intégrale telle que $F$. En effet, $PF - u$ serait identiquement nul. Or
(\nobf{11}), si la différence $s - r$ n'est ni nulle ni entière, on en déduirait
que tous les coefficients $\chi$ et $u$ sont nuls identiquement, et, si la différence
$s - r$ est nulle ou entière, on en déduirait
\[
\zeta = \sigma, \quad \chi_0 = u_0 x^{s-r}, \quad
  \chi_1 = u_1 x^{s-r}, \quad\dots,
\]
ce qui est impossible, puisque tous les $\chi$ ne contiendraient pas un
nombre limité de puissances de $x^{-1}$.

\myparagraph{47.} Une intégrale $y_1$ de l'équation différentielle $AB = 0$ satisfait à
l'équation $B = 0$, ou bien, si $B(y_1)$ n'est pas nul, $B(y_1)$ satisfait à l'équation
$A = 0$.

Or, soient $w_1$, $w_2$, \dots, $w_k$ les intégrales régulières linéairement
indépendantes de $B = 0$, et $w_1$, $w_2$, \dots, $w_k$, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ celles de
$AB = 0$.
% *** File: 053.png---

$B(y_1)$, $B(y_2)$, \dots, $B(y_s)$ sont alors des intégrales de $A = 0$, et même
des intégrales régulières, d'après le \nobf{46}; de plus, elles sont linéairement
indépendantes, car, si l'on avait
\[
C_{1}B(y_1) + C_{2}B(y_2) + \dotsb + C_{s}B(y_s)=0,
\]
les $C$ étant des constantes, on en déduirait
\[
B(C_{1}y_{1}+ C_{2}y_{2} + \dotsb + C_{s}y_{s})= 0,
\]
et par conséquent $C_{1}y_{1}+ C_{2}y_{2} + \dotsb + C_{s}y_{s}$ serait une intégrale et
même une intégrale régulière de $B = 0$; il en résulterait (\nobf{17}) une
égalité de la forme
\[
C_{1}y_{1}+ C_{2}y_{2} + \dotsb + C_{s}y_{s}= C'_{1}w_{1}+ \dotsb + C'_{k}w_{k},
\]
les $C'$ étant constants; or cette égalité est impossible, puisque, par hypothèse,
$w_1$, $w_2$, \dots, $w_k$, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ sont linéairement indépendants.
Par conséquent, si l'on considère toutes les intégrales régulières
linéairement indépendantes de $AB = 0$, on voit que les unes sont
toutes les intégrales régulières linéairement indépendantes de $B = 0$,
tandis que les autres correspondent à un nombre égal d'intégrales
régulières linéairement indépendantes de $A = 0$.

D'où cette proposition:

\emph{L'équation différentielle $AB = 0$ a au moins autant d'intégrales régulières
linéairement indépendantes que  $B = 0$, et au plus autant que $A = 0$
et $B = 0$ ensemble.}

Les deux limites du nombre des intégrales régulières de $AB = 0$
coïncident si $A = 0$ n'a aucune intégrale régulière. Donc:

\emph{Si l'équation différentielle $A = 0$ n'a aucune intégrale régulière, les
intégrales régulières de  $AB = 0$ sont les intégrales régulières de $B = 0$.}

J'énoncerai encore ce théorème:

\emph{Une équation différentielle composée de plusieurs équations différentielles
a au plus autant d'intégrales régulières linéairement indépendantes
qu'en ont ensemble les équations composantes.}

D'où il résulte immédiatement que:

\emph{Une équation différentielle composée de plusieurs équations différentielles
% *** File: 054.png---
dénuées toutes d'intégrales régulières, n'a elle-même aucune intégrale
régulière.}

\myparagraph{48.} Considérons l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$. Si elle a
une intégrale régulière, elle aura (\nobf{45}) une intégrale régulière commune
avec une équation $B_1 = 0$ du premier ordre, et, par conséquent,
elle admettra toutes les intégrales de $B_1 = 0$. Donc (\nobf{39}) $P$ se mettra
sous la forme composée
\[
P = Q_{1}B_1,
\]
où $Q_1$ est d'ordre $m - 1$. De même, si $Q_1 = 0$ a une intégrale régulière,
$Q_1$ se mettra sous la forme
\[
Q_1 = Q_2B_2,
\]
où $B_2 = 0$ est une équation du premier ordre ayant une intégrale
régulière et où $Q_2$ est d'ordre $m - 2$. En continuant de la même
manière, on mettra $P$ sous la forme
\[
P=QD,
\]
où l'on a
\[
D = B_\beta B_{\beta - 1}\ldots B_2 B_1,
\]
les $B$ égalés à zéro donnant des équations du premier ordre ayant
chacune une intégrale régulière, et $Q = 0$ étant une équation différentielle
d'ordre $m - \beta$ n'admettant aucune intégrale régulière.

Remarquons que, si $P$ a la forme normale, on pourra supposer qu'il
en est de même de $Q$, $B_{\beta}$, $B_{\beta-1}$, \dots, $B_1$.

Cela posé, il résulte du \nobf{47} que les intégrales régulières de $P = 0$
sont les intégrales régulières de $D = 0$. Si donc on suppose que $P = 0$
ait toutes ses intégrales régulières, $D = 0$, qui est d'ordre $\beta \leqq m$, devant
avoir $m$ intégrales linéairement indépendantes, sera nécessairement
d'ordre $\beta = m$; par suite, $Q$ est d'ordre zéro, et l'on a
\[
P = D.
\]

D'où ce théorème:

\emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales régulières, on
peut la composer uniquement d'équations du premier ordre ayant chacune
une intégrale régulière.}
% *** File: 055.png---

\myparagraph{49.} Réciproquement:

\emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ est composée uniquement d'équations
du premier ordre ayant chacune une intégrale régulière, elle aura toutes
ses intégrales régulières.}

Supposons d'abord deux équations composantes
\[
P = B_2, \quad   B_1 = 0.
\]
Soient $y_1$ une intégrale régulière de $B_1 = 0$ et $z_2$ une de $B_2 = 0$. $y_1$
vérifie $P = 0$. Une solution $y_2$ de $B_1 = z_2$ vérifiera aussi $P = 0$. Or
on a
\[
y_2=y_1 \int\frac{z_{2}}{b_{1}y_{1}}\:dx,
\]
$b_1$ étant le coefficient de $\dfrac{dy}{dx}$ dans $B_1$. Donc, comme le montre cette
forme, $y_2$ est aussi une intégrale régulière de $P = 0$. D'ailleurs, $y_1$ et
$y_2$ sont linéairement indépendants, car, si l'on avait identiquement
\[
C_{1}y_{1} + C_{2}y_{1} \int \frac{z_1}{b_{1}y_{1}}\:dx = 0,
\]
en divisant par $y_1$, puis dérivant, on déduirait $C_2 = 0$, et, par suite,
$C_1 = 0$.

Supposons ensuite trois équations composantes
\[
P=B_{3}B_{2}B_{1}= 0.
\]
Soient $y_1$ une intégrale régulière de $B_1 = 0$, $z_2$ une intégrale régulière
de $B_2 = 0$ et $z_3$ une de $B_3 = 0$. Soient $y_1$ et $y_2$ les deux intégrales
régulières linéairement indépendantes de $B_{2}B_{1} = 0$, trouvées précédemment;
on a
\[
y_2=y_{1}\int \frac{z_2}{b_{1}y_{1}}\:dx;
\]
$y_1$ et $y_2$ vérifient $P = 0$. Une solution $y_3$ de l'équation $B_{2}B_{1} = z_3$ vérifiera
aussi $P = 0$. Or, on connaît deux intégrales $y_{1}$ et $y_{2}$ de l'équation
privée du second membre $z_3$, de sorte qu'on a $y_3$ par une équation du
premier ordre qui donne
\[
y_{3} = y_{1} \int \frac{z_2}{b_{1}y_{1}} \: dx \int \frac {z_3}{b_{2}z_{2}} \: dx,
\]
% *** File: 056.png---
$b_2$ étant le coefficient de  $\dfrac{dy}{dx}$ dans $B_2$; d'où l'on voit que $y_3$ a la forme
régulière. D'ailleurs, les trois intégrales $y_1$, $y_2$, $y_3$ de $P = 0$ sont linéairement
indépendantes, car, si l'on avait une relation identique de la
forme
\[
C_{1}y_{1} + C_{2}y_{1} \int\frac{z_{2}}{b_{1}y_{1}}\:dx +
  C_{3}y_{1}\int\frac{z_{2}}{b_{1}y_{1}}\:dx \int\frac{z_{3}}{b_{2}z_{2}} \: dx = 0,
\]
en divisant par $y_1$, dérivant ensuite, puis divisant par $\dfrac{z_2}{b_{1}y_{1}}$ et dérivant,
on en déduirait $C_3 = 0$, et par suite, en remontant, $C_2 = 0$, $C_1 = 0$.

On passerait de même au cas de quatre équations composantes, et,
en continuant ainsi, on prouvera que l'équation $P= 0$, d'ordre $m$, a
$m$ intégrales régulières linéairement indépendantes. Donc elle les a
toutes.

\myparagraph{50.} Nous avons vu que, si l'équation $P = 0$ a une intégrale régulière,
on peut mettre $P$ sous la forme composée
\[
P=QD,
\]
où $Q = 0$ n'a aucune intégrale régulière et où $D = 0$ est composée
uniquement d'équations du premier ordre ayant chacune une intégrale
régulière. Il résulte alors du \nobf{49} que $D = 0$ a toutes ses intégrales
régulières, et du \nobf{47} que $P = 0$ les admet toutes sans en admettre
d'autres.

On peut donc énoncer les théorèmes suivants:

\emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ a des intégrales régulières, il existe
une équation différentielle  $D = 0$ dont les intégrales sont toutes les intégrales
régulières de la première.}

\emph{Si $D = 0$ est l'équation différentielle qui donne les intégrales régulières
de l'équation  $P = 0$, et si l'on met $P$ sous la forme composée
\[
P = QD,
\]
l'équation $Q = 0$ n'aura aucune intégrale régulière.}

\myparagraph{51.} On peut facilement généraliser la proposition du \nobf{49}.

Soient, en effet, $A = 0$, $B = 0$ deux équations différentielles ayant
toutes leurs intégrales régulières: d'après le \nobf{48}, on peut les composer
% *** File: 057.png---
uniquement d'équations du premier ordre admettant chacune une
intégrale régulière. L'équation $AB = 0$ sera alors composée de la même
façon. Donc (\nobf{49}) toutes ses intégrales seront régulières. D'où cette
généralisation:

\emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ est composée uniquement d'équations
ayant chacune toutes leurs intégrales régulières, elle aura elle-même toutes
ses intégrales régulières.}

\myparagraph{52.} Il résulte du \nobf{50} que l'on peut mettre une expression différentielle
$A$ sous la forme composée
\[
A=QD,
\]
où $D = 0$ n'a que des intégrales régulières et $Q = 0$ aucune. Supposons
que $B = 0$ n'ait que des intégrales régulières. On a
\[
AB = Q(DB).
\]
Or, d'après un théorème du \nobf{47}, les intégrales régulières de $AB = 0$
sont les intégrales régulières de $DB = 0$. Mais (\nobf{51}) $DB = 0$ n'a que
des intégrales régulières. Donc le nombre des intégrales régulières
linéairement indépendantes de $AB = 0$ est la somme des ordres de $B$ et
de $D$, ou, ce qui est la même chose, la somme des nombres d'intégrales
régulières linéairement indépendantes de $B$ et de $A$. D'où cette
proposition:

\emph{Si l'équation $B = 0$ n'a que des intégrales régulières, l'équation
$AB = 0$ aura exactement autant d'intégrales régulières linéairement
indépendantes qu'en ont ensemble  $A = 0$ et $B = 0$.}

On en tire cette conséquence:

\emph{Si $B = 0$ n'a que des intégrales régulières et $AB = 0$ en a $s$ linéairement
indépendantes,  $A = 0$ en aura $s - \beta$, $\beta$ étant l'ordre de l'expression
$B$.}

\myparagraph{53.} Je vais à présent montrer comment les propositions précédentes
permettent de rattacher les intégrales régulières de l'équation
différentielle $P = 0$ à son équation déterminante. Et, d'abord, je ferai
une remarque importante sur l'équation différentielle du premier ordre.
% *** File: 058.png---

Soit l'équation du premier ordre
\[
ux  \frac{dy}{dx} + wy = 0,
\]
que j'ai mise sous sa forme normale, où, par conséquent, $u$ et $w$ ne
contiennent que des puissances positives de $x$ et ne sont pas tous deux
nuls pour $x = 0$. L'intégrale générale est
\[
y = e^{- \int\! {\frac{w\,dx}{ux}}}.
\]
On a déjà vu au \nobf{22} que, si $u$ n'est pas nul pour $x = 0$, $y$ est une
intégrale régulière de la forme $x^{\rho}\psi(x)$, tandis que, si $u$ pour $x = 0$ est
un zéro d'ordre $n$, auquel cas $w$ n'est pas nul pour $x = 0$, on a
\[
y = e^{\frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2} + \dotsb + \frac{C_n}{x^n}}x^{\rho}\psi (x),
\]
qui n'est pas une intégrale régulière. $\psi(x)$ ne contient que des puissances
positives de $x$, et $\psi(0)$ n'est pas nul.

Soient $u_0$ et $w_0$ les valeurs de $u$ et $w$ pour $x = 0$. La fonction caractéristique
de l'équation considérée est
\[
x^{\rho}(u\rho + w),
\]
et sa fonction déterminante est
\[
u_{0}\rho + w_0.
\]
Donc, dans le premier cas $u_{0}\backneq0$, où l'équation a ses intégrales régulières,
la fonction déterminante est une fonction entière de $\rho$ du premier
degré, et, dans le second cas $u_0 = 0$, où l'équation n'a aucune intégrale
régulière, la fonction déterminante est une constante. D'où la réciproque.

\myparagraph{54.} Les propositions établies aux \nos \textbf{22} et \textbf{26}, en partant d'équations
différentielles dont tous les coefficients n'étaient pas infinis
d'ordres finis pour $x = 0$, peuvent se retrouver immédiatement à
l'égard de l'équation $P = 0$, où tous les coefficients présentent le caractère
des fonctions rationnelles.

\primo \emph{Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales régulières,
le degré de son équation déterminante est égal à son ordre.}
% *** File: 059.png---

En effet, l'équation $P = 0$, d'ordre $m$, ayant toutes ses intégrales
régulières, on peut (\nobf{48}) la composer de $m$ équations du premier
ordre ayant chacune une intégrale régulière. Les $m + 1$ expressions
peuvent d'ailleurs être supposées mises sous forme normale (\nobf{48}).
Or, d'après le \nobf{53}, la fonction déterminante de chacune est du premier
degré. Donc la fonction déterminante de $P$, qui est le produit
(\nobf{36}) de ces $m$ fonctions du premier degré, sera de degré $m$.

Comme on sait, M.~Fuchs a démontré que réciproquement:

Si l'équation déterminante est du degré $m$, l'équation différentielle
$P=0$ a $m$ intégrales régulières linéairement indépendantes, et par
suite toutes.

\secundo \emph{Le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes de
l'équation différentielle  $P = 0$ est au plus égal au degré de son équation
déterminante.}

En effet, l'équation $P = 0$, ayant s intégrales régulières linéairement
indépendantes, peut se mettre (\nobf{50}) sous la forme composée
\[
P=QD,
\]
où $Q = 0$ n'a aucune intégrale régulière et où $D = 0$ est d'ordre $s$ et
a toutes ses intégrales régulières; $P$, $Q$ et $D$ peuvent, du reste, être supposés
de forme normale. La fonction déterminante de $D$ est donc de
degré $s$ d'après le théorème précédent. Mais la fonction déterminante
de $P$ est (\nobf{36}) le produit des fonctions déterminantes de $Q$ et de $D$;
donc elle est au moins de degré $s$, et, par conséquent, $s$ est au plus
égal au degré de l'équation déterminante de $P = 0$.

\myparagraph{55.} Lorsque nous avons rencontré ce dernier théorème pour la première
fois, nous avons vu que, dans un grand nombre de cas, il y a
égalité, c'est-à-dire que le nombre des intégrales régulières linéairement
indépendantes est égal au degré $\gamma$ de l'équation déterminante.
Si $\gamma = m$, par exemple, il y a toujours égalité et les $m$ intégrales
régulières appartiennent à des exposants qui sont les racines de l'équation
déterminante (\nobf{23}). Mais, lorsque $\gamma$ est plus petit que $m$, il peut
y avoir exception et l'on a $s\leqq \gamma$, $s$ étant le nombre des intégrales régulières
linéairement indépendantes. Il s'agit d'approfondir ce cas, $\gamma < m$,
et de trouver la condition nécessaire et suffisante que doit remplir
% *** File: 060.png---
l'équation $P = 0$ pour avoir exactement $\gamma$ intégrales régulières linéairement
indépendantes.

Je vais d'abord démontrer une importante propriété des $s$ intégrales
régulières qui existent effectivement, puis je retrouverai leurs expressions
de la forme du \nobf{9}, et, enfin, j'établirai la condition qui doit être
imposée à $P= 0$ pour que l'on ait $s = \gamma$.

J'admettrai les deux principes suivants:

\primo En disposant convenablement de la constante introduite par l'intégration,
on peut faire que l'expression
\[
\tint Fdx,
\]
où $F$ est de la nature indiquée au \nobf{14} et appartient à l'exposant $\rho$,
soit une fonction de même nature que $F$ appartenant à l'exposant $\rho + 1$.

\secundo Si l'équation différentielle $P = 0$, ayant toutes ses intégrales
régulières, est composée uniquement d'équations ayant chacune toutes
leurs intégrales régulières, et si $P$ ainsi que toutes les expressions
composantes sont supposés de forme normale, les intégrales régulières
linéairement indépendantes des équations composantes appartiendront
aux mêmes exposants que celles de l'équation $P = 0$, c'est-à-dire aux
racines de l'équation déterminante de $P = 0$.

La démonstration très-simple du premier principe a été donnée par
M.~Fuchs. Quant à celle du second, elle résulte immédiatement de ce
que la fonction déterminante de $P$ est le produit des fonctions déterminantes
des équations composantes.

\myparagraph{56.} \textit{Si l'équation différentielle $P = 0$ a $s$ intégrales régulières linéairement
indépendantes, elles appartiennent à des exposants qui sont $s$ des
racines de son équation déterminante.}

En effet, mettons $P$ sous la forme composée
\[
P=QD,
\]
où $D = 0$ est d'ordre $s$ et a toutes ses intégrales régulières, et où
$Q = 0$ n'a aucune intégrale régulière. Les intégrales régulières de
$P = 0$ sont alors les intégrales de $D = 0$. Or, les $s$ intégrales régulières
de $D = 0$ appartiennent à des exposants qui sont les racines de son
équation déterminante. D'autre part, $P$, $Q$ et $D$ étant supposés sous
% *** File: 061.png---
forme normale, en multipliant cette fonction déterminante par celle
de $Q$, on obtient celle de $P$. Donc les exposants auxquels appartiennent
les $s$ intégrales régulières linéairement indépendantes de $D = 0$, c'est-à-dire
de $P = 0$, sont $s$ des racines de l'équation déterminante de
$P = 0$.

Ainsi se trouve généralisée la propriété établie par M.~Fuchs dans
le cas où $\gamma$ est égal à $m$.

\myparagraph{57.} Sachant que les $s$ intégrales régulières linéairement indépendantes
$y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ de $P = 0$ appartiennent respectivement aux racines
$\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ de l'équation déterminante, proposons-nous de
retrouver, sous la forme du \nobf{9}, l'expression de l'intégrale $y_k$, qui appartient
à l'exposant donné $\rho_k$.

J'observe d'abord que, $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$ étant les intégrales de $D = 0$
et leurs exposants $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ étant les racines de l'équation déterminante
de $D$, il suffit d'opérer sur l'équation $D = 0$, qui a toutes ses
intégrales régulières.

$D = 0$ ayant toutes ses intégrales régulières, je mets (\nobf{48}) $D$ sous
la forme composée
\[
D=B_{s}B_{s-1} \ldots B_{3}B_{2}B_{1},
\]
où les équations composantes sont du premier ordre, leurs premiers
membres étant supposés de forme normale, et ont chacune une intégrale
régulière.

Soit, en général, $z_j$ une intégrale régulière de $B_j = 0$. On sait,
d'après le second principe du \nobf{55}, que $z_j$ appartient à l'un des exposants
$\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$.

Je dis que, $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ étant un mode de succession arbitrairement
choisi pour les quantités $\rho$, on peut opérer la décomposition de $D$ suivant
un ordre tel que $z_j$, intégrale de $B_j = 0$, appartienne à l'exposant $\rho_j$.

En effet, il y a une intégrale régulière de $D = 0$ qui appartient à
l'exposant $\rho_1$, et l'on peut alors écrire $D = Q_{1}B_{1}$, où $B_1 = 0$ est du
premier ordre et admet cette intégrale, et où $Q_{1} = 0$ est d'ordre $s - 1$
et a toutes (\nobf{52}) ses intégrales régulières. Parmi les $s - 1$ intégrales
régulières de $Q_1 = 0$, il y en a une qui appartient à l'exposant $\rho_2$, et
l'on peut alors écrire $Q_{1} = Q_{2}B_{2}$, où $B_{2} = 0$ est du premier ordre et
% *** File: 062.png---
admet cette intégrale, et où $Q_2= 0$ est d'ordre $s - 2$ et a toutes ses
intégrales régulières. Et ainsi de suite. On obtiendra finalement
\[
D = B_{s}B_{s-1} \ldots B_{2}B_{1},
\]
où les intégrales $z_1$, $z_2$, \dots, $z_s$ appartiennent respectivement aux exposants
$\rho_1$, $\rho_2$,  \dots, $\rho_s$.

Remarquons qu'on a alors $y_1 = z_1$.

Cela posé, cherchons les expressions des intégrales $y_1$, $y_2$, \dots, $y_s$
qui appartiennent respectivement aux exposants $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$.

\primo Supposons que parmi les $s$ racines $\rho$ il n'y en a pas deux dont la
différence est nulle ou entière.

Dans ce cas, nous regarderons comme quelconque l'ordre de succession
$\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ des exposants auxquels appartiennent respectivement
les intégrales $z_1$, $z_2$, \dots, $z_s$ des équations successives $B_1 = 0$,
$B_2 = 0$, \dots, $B_s = 0$.

Nous poserons en général
\[
z_j=x^{\rho_j}\psi_{j}(x),\quad j=1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ s,
\]
$\psi_j(x)$ ne contenant que des puissances positives de $x$ et n'étant pas
nul pour $x = 0$.

L'intégrale régulière $z_1=x^{\rho_1}\psi_1(x)$, appartenant à l'exposant $\rho_1$ et
vérifiant $D = 0$, représente $y_1$:
\[
y_1=x^{\rho_1}\psi_1(x).
\]

Une solution de $B_1 = z_2$ est de la forme
\[
y_1 \int\frac{z_2}{b_{1}xy_1}\:dx\quad\text{ou}\quad
  x^{\rho_1}\psi_1(x) \int x^{\rho_{2}-\rho_{1}-1}\frac{\psi_2(x)}{b_{1}\psi_1(x)}\:dx,
\]
$b_1 x$ étant le coefficient de $\dfrac{dy}{dx}$ dans la forme normale $B_1$. Or, $b_1$ n'étant
pas nul (\nobf{53}) pour $x = 0$, $\dfrac{\psi_2(x)}{b_{1}\psi_{1}(x)}$ ne contient que des puissances positives
de $x$ et n'est pas nul pour $x = 0$. Cette solution est donc bien
de la forme régulière et appartient à l'exposant $\rho_1 +(\rho_{2}-\rho_1)$, c'est-à-dire
$\rho_2$. Comme elle vérifie $D = 0$, elle représente $y_2$:
\[
y_2 = x^{\rho_2}\varphi_2 (x).
\]
% *** File: 063.png---
$\rho_2 - \rho_1$ n'étant ni nul ni entier, par hypothèse, $y_2$ ne contiendra pas
de logarithmes.

Une solution de $B_2B_1 = z_3$ est de la forme
\[
y_1 \int \frac{z_2}{b_{1}xy_1}\:dx \int \frac{z_3}{b_{2}xz_2}\:dx,
\]
ou
\[
x^{\rho_1}\psi_1(x) \int x^{\rho_{2}-\rho_{1}-1}\: \frac{\psi_{2}(x)}{b_{1}\psi_{1}(x)}\:dx
\int x^{\rho_{3}-\rho_{2}-1} \: \frac{\psi_3(x)}{b_2 \psi_2 (x)} \: dx,
\]
$b_2x$ étant le coefficient de $\dfrac{dy}{dx}$ dans la forme normale $B_2$. La quantité
$b_2$ n'étant pas nulle pour $x = 0$, cette solution est bien de la forme
régulière et appartient à l'exposant
\[
\rho_1 + (\rho_2 - \rho_1) + (\rho_3 - \rho_2)= \rho_3.
\]
Comme elle vérifie $D = 0$, elle représente $y_3$:
\[
y_3 = x^{\rho_3} \varphi_3(x).
\]
$\rho_3 - \rho_2$ n'étant ni nul ni entier, $y_3$ ne contient pas de logarithmes.

En continuant de la même manière, on obtiendra successivement les
$s$ intégrales régulières linéairement indépendantes de $P = 0$, sous la
forme
\[
y_1 = x^{\rho_1} \varphi_1(x), \quad
y_2 = x^{\rho_2} \varphi_2 (x), \quad\dots, \quad
y_s = x^{\rho_s} \varphi_s (x),
\]
où les $\varphi$ présentent le caractère des fonctions holomorphes et ne s'évanouissent
pas pour $x = 0$.

\secundo Supposons qu'il se trouve entre les racines $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ des différences
nulles ou entières.

Dans ce cas, nous partagerons les racines $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_s$ en groupes
tels que chacun d'eux ne contienne que des racines dont les différences
mutuelles soient ou nulles ou entières et comprenne toutes ces racines.
Certains groupes pourront ne renfermer qu'une seule racine. Dès lors
il est facile d'obtenir le groupe d'intégrales régulières correspondant
à un groupe donné de racines.

Soient $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_k$, les racines d'un groupe, rangées dans un ordre
quelconque. On peut alors supposer, comme on l'a vu, que les intégrales
régulières $z_1$, $z_2$, \dots, $z_k$ des équations successives $B_1 = 0$,
% *** File: 064.png---
$B_2 = 0$, \dots, $B_k = 0$ appartiennent respectivement aux exposants $\rho_1$,
$\rho_2$, \dots, $\rho_k$.

Cela étant, on déterminera $y_1$, $y_2$, \dots, $y_k$ en suivant la marche expliquée
dans le cas précédent. On aura
\[
y_1 = x^{\rho_1}\psi_1(x), \quad
y_2 = x^{\rho_1}\psi_1(x) \int x^{\rho_2-\rho_1-1} \frac{\psi_2(x)}{b_1\psi_1(x)}\:dx, \quad \dots.
\]
$y_1$ ne renferme pas de logarithmes; mais les différences $\rho_2 - \rho_1$,
$\rho_3-\rho_2$, \dots, étant entières ou nulles, $y_2$, $y_3$, \dots\ contiendront généralement
des logarithmes; $y_2$ en renfermera certainement si $\rho_2 - \rho_1$
est nul, car la différentielle sous le signe $\int$ dans $y_2$ est
\[
\left[ \frac{C_0}{x} + \varphi_0(x)\right]dx,
\]
$C_0$ étant différent de zéro et $\varphi_0(x)$ holomorphe dans le domaine du
point zéro; l'intégration donne
\[
C_0 \log x + \varphi(x),
\]
et, par suite, on a
\[
y_2 = x^{\rho_2} \left[ \chi_0(x) + \chi_1(x) \log x \right].
\]
Il peut arriver cependant que tous les logarithmes disparaissent.

On aura donc ainsi le groupe d'intégrales régulières appartenant
aux exposants donnés, tel que la différence des exposants de deux
intégrales de ce groupe soit nulle ou entière.

\tertio Remarquons encore que, si l'on pose
\[
z_1 = u_1, \quad \frac{z_2}{b_1xy_1} = u_2, \quad
\frac{z_3}{b_2xz_2} = u_3, \quad \dots, \quad \frac{z_s}{b_{s-1}xz_{s-1}} = u_s,
\]
on aura
\[
y_1 = u_1,\ y_2 = u_1\tint u_2dx,\ y_3 = u_1\tint u_2 dx \tint u_3 dx,\ \dots,\
y_s = u_1 \tint u_2 dx \tint u_3 dx \ldots \tint u_s dx,
\]
où l'on a
\[
u_k = x^{\rho_k-\rho_{k-1}-1}\varphi_k(x),
\]
$\varphi_k(x)$ étant holomorphe dans le domaine du point zéro et non nul
pour $x = 0$, $u_k$ appartenant par conséquent à l'exposant $\rho_k - \rho_{k-1} - 1$.
Ces résultats sont d'accord avec les \nos \textbf{18} et \textbf{33}.
% *** File: 065.png---

\myparagraph{58.} Je vais enfin trouver la condition précise que doit remplir
l'équation différentielle $P = 0$, pour avoir un nombre d'intégrales
régulières linéairement indépendantes exactement égal au degré de sa
fonction déterminante. Dans les deux démonstrations suivantes, $P$, $Q$
et $D$ seront supposés sous la forme normale.

Si le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes
de l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, est égal au degré $\gamma$ de sa
fonction déterminante, $P$ pourra se mettre sous la forme composée
$P = QD$, où $Q$ sera d'ordre $m - \gamma$ et aura pour fonction déterminante
une constante.

En effet, $P = 0$, ayant $\gamma$ intégrales régulières linéairement indépendantes,
peut (\nobf{50}) se mettre sous la forme $P = QD$, où $Q$ est d'ordre
$m - \gamma$ et n'a aucune intégrale régulière, où $D$ est d'ordre $\gamma$ et a toutes
ses intégrales régulières. Donc (\nobf{36}) la fonction déterminante de $P$ est
égale au produit des fonctions déterminantes de $Q$ et de $D$. Or celle de
$D$ est de degré $\gamma$, puisque $D = 0$ a toutes ses intégrales régulières, celle
de $P$ aussi; donc il faut bien que la fonction déterminante de $Q$ soit
une constante.

Réciproquement:

Si l'expression différentielle $P$ d'ordre $m$, ayant une fonction déterminante
de degré $\gamma$, peut se mettre sous la forme composée $P = QD$, où
$Q$ est d'ordre $m - \gamma$ et a pour fonction déterminante une constante,
l'équation différentielle $P = 0$ aura exactement $\gamma$ intégrales régulières
linéairement indépendantes.

En effet, $P$ étant d'ordre $m$ et $Q$ d'ordre $m - \gamma$, $D$ sera d'ordre $\gamma$. Or,
à cause du théorème du \nobf{36}, la fonction déterminante de $Q$ étant du
degré zéro, celle de $D$ est du degré $\gamma$. Donc $D = 0$ a toutes ses intégrales
régulières, puisque son ordre est égal au degré de sa fonction déterminante.
Mais l'équation $Q = 0$, ayant pour fonction déterminante une
constante, ne peut admettre (\nobf{54}) aucune intégrale régulière. Donc,
d'après le \nobf{48}, l'équation $P = QD = 0$ aura pour intégrales régulières
les intégrales de $D = 0$, c'est-à-dire qu'elle aura exactement $\gamma$ intégrales
régulières linéairement indépendantes.

Les deux propositions qui précèdent donnent donc le critérium qui
permettra de décider si $P = 0$ a $\gamma$ intégrales régulières:

\emph{Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, ayant une fonction
% *** File: 066.png---
déterminante de degré $\gamma$, admette $\gamma$ intégrales régulières linéairement
indépendantes, il faut et il suffit que l'expression  $P$ soit de la
forme  $P = QD$, $Q$ étant d'ordre $m - \gamma$ et ayant pour fonction déterminante
une constante.}

Les Chapitres qui vont suivre nous permettront de transformer cette
condition, en considérant l'équation au multiplicateur intégrant de
$P = 0$. Comme nous allons le voir, il existe une connexion remarquable
entre une équation linéaire homogène et celle que vérifient ses facteurs
intégrants.



\mysection{CINQUIÈME PARTIE.}


\myparagraph{59.} Soit l'équation différentielle linéaire homogène
\[
P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_my= 0,
\]
où les coefficients $p$ sont des fonctions de $x$ holomorphes dans une
partie du plan à contour simple, sauf pour certains points singuliers
isolés les uns des autres.

Considérons $m$ intégrales linéairement indépendantes de la forme
\[
y_1=v_1,\ y_2=v_1 \tint v_2\,dx,\ y_3=v_1 \tint v_2\,dx \tint v_3\,dx,\ %
\ldots,\ y_m=v_1 \tint v_2\,dx \tint v_3\,dx \ldots \tint v_m\,dx.
\]
Je vais d'abord mettre $P$ sous une forme composée déterminée.

Dans ce but, je construis les équations différentielles du premier
ordre
\[
A_1 = 0,\quad A_2 = 0,\quad \dots,\quad A_j = 0,\quad \dots,\quad A_m = 0,
\]
de la forme
\[
A_j = \frac{dy}{dx} - K_{j}y = 0,
\]
admettant respectivement comme solutions
\[
v_1,\quad v_1 v_2 \ldots v_j, \quad\dots,\quad v_1 v_2 \ldots v_j,\quad \dots,\quad v_1 v_2 \ldots v_m.
\]
La valeur de $K_j$, par exemple, sera
\[
K_j= (v_1 v_2 \ldots v_j)^{-1} \: \frac{d(v_1 v_2 \ldots v_j)}{dx}.
\]
% *** File: 067.png---
Je dis que l'expression composée
\[
A_{m} A_{m-1}\ldots A_{3}A_{2}A_{1}
\]
est identique à $P$.

En effet, cette expression est annulée par les intégrales générales
des équations
\[
A_{1}=0, \  A_{1}= v_1 v_2, \  A_{2}A_1=v_1 v_2 v_3, \ \dots,\ %
A_{m-1}A_{m-2} \ldots A_2A_1=v_1v_2v_3 \ldots v_m.
\]
Or, l'intégration directe de ces équations montre qu'elles admettent
des solutions coïncidant précisément avec $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$; car, $A_1 = 0$
étant satisfaite pour $y = v_1$, $A_1 = v_1 v_2$ est satisfaite pour $y = v_1 \int v_2\:dx$,
$A_{2}A_1 = v_1 v_2 v_3$ pour $y = v_1 \int v_2\:dx \int v_3\:dx$, \dots. Donc les deux équations
\[
A_{m}A_{m-1}, \ldots A_{2}A_1 = 0 \quad \text{et}\quad P = 0,
\]
d'ordre $m$, ont un système fondamental d'intégrales commun, et, par
conséquent, comme dans les deux premiers membres le coefficient de
$\dfrac{d^{m}y}{dx^m}$ est 1, ces deux premiers membres sont identiques; sinon, leur différence,
qui serait au plus d'ordre $m - 1$, serait annulée par $m$ fonctions
linéairement indépendantes, ce qui est impossible. On a donc
l'identité
\[
P=A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}.
\]

L'expression $P$ étant ainsi décomposée, j'observe, d'après le raisonnement
précédent, d'une part, que l'équation d'ordre $m -1$
\[
A(y) = A_{m-1}A_{m-2} \ldots A_{2}A_1 = 0
\]
admet les $m - 1$ intégrales linéairement indépendantes $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-1}$,
et que par suite son intégrale générale est
\[
C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} + \dotsb + C_{m-1}y_{m-1},
\]
d'autre part, que l'équation
\[
A(y) = v_1 v_2 \ldots v_m
\]
admet la solution particulière $y_m$, et que par suite l'équation
\[
A(y) = C_m v_1 v_2 \ldots v_m,
\]
où $C_m$ est une constante arbitraire, admet la solution particulière $C_{m}y_{m}$.
D'où je conclus que l'intégrale générale de cette dernière équation
% *** File: 068.png---
d'ordre $m - 1$ est
\[
C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} + \dotsb + C_{m}y_{m},
\]
c'est-à-dire la même que celle de l'équation $P = 0$ d'ordre $m$. Il en résulte
que l'équation
\[
A(y) = C_m v_1 v_2 \ldots v_m
\]
est une intégrale première de l'équation différentielle $P = 0$.

Si donc j'élimine la constante $C_m$ de cette intégrale première, en
l'écrivant
\[
(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}A(y)= C_m,
\]
puis dérivant, ce qui donne
\[
\frac{d}{dx} [(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}A(y)] =0,
\]
si ensuite, dans l'équation obtenue, je ramène à l'unité le coefficient de
$\dfrac{d^my}{dx^m}$ en multipliant par $v_1 v_2 \ldots v_m$, j'arriverai à une équation différentielle
\[
v_1 v_2 \ldots v_m \frac{d}{dx}[(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1} A(y)]= 0
\]
qui aura son premier membre identique avec $P$.

Écrivons cette identité; si je pose
\[
(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}=M,
\]
elle s'écrira
\[
MP(y) = \frac{d}{dx}[MA(y)].
\]

Or, elle exprime que $P(y)$, multiplié par $M$, est une dérivée exacte.
C'est la définition
\spreadout{même d'un multiplicateur intégrant. Donc, toute expression de la forme} \\
$(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}$ est un facteur intégrant.

Cherchons une équation qui fasse connaître $M$ directement en fonction
des données.

Je pars de l'identité
\[
MP(y)= \frac{d}{dx}[MA(y)].
\]
$A$, qui représente l'expression $A_{m-1} A_{m-2} \ldots A_2 A_1$, est de la forme
\[
A(y) = \frac {d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ l_1 \: \frac {d^{m-2}y}{dx^{m-2}}+ \dotsb + l_{m-1}y.
\]
% *** File: 069.png---
Égalons les coefficients des mêmes dérivées dans les deux membres:
\begin{gather*}
\frac{dM}{dx}+Ml_1 = p_{1}M, \quad \frac{d(Ml_1)}{dx}+Ml_2 = p_{2}M, \quad
  \frac{d(Ml_2)}{dx}+Ml_3 = p_{3}M, \quad  \dots, \\
  \frac{d(Ml_{m-2})}{dx}+Ml_{m-1} = p_{m-1}M, \quad \frac{d(Ml_{m-1})}{dx}= p_{m}M.
\end{gather*}
Éliminant successivement $l_1$, $l_2$, \dots, $l_{m-1}$ entre ces $m$ égalités, nous obtenons
l'équation différentielle
\[
\frac{d^{m}M}{dx^{m}} - \frac{d^{m-1}(p_{1}M)}{dx^{m-1}} +
\frac{d^{m-2}(p_{2}M)}{dx^{m-2}} + \dotsb + (-1)^{m}p_{m}M = 0,
\]
à laquelle satisfait le multiplicateur intégrant $M$.

Inversement, toute solution de cette équation est un facteur intégrant
de la forme $(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}$.

Soit en effet $M$ une solution. Les $m - 1$ premières égalités en $l$ déterminent
$l_1$, $l_2$, \dots, $l_{m-1}$, et la dernière est satisfaite. L'expression $A$ est
donc déterminée et, en outre, on a
\[
MP(y) = \frac{d}{dx} [MA(y)],
\]
ce qui prouve que $M$ est bien un facteur intégrant.

De plus,
\[
MA (y) = C_m \quad \text{ou} \quad A (y)= C_{m}M^{-1},
\]
$C_m$ étant une constante arbitraire, est une intégrale première de $P = 0$.
D'où il résulte en premier lieu que $m - 1$ solutions $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-1}$ de
$A = 0$ sont aussi solutions de $P = 0$, et en second lieu que, si ces
$m - 1$ solutions, supposées linéairement indépendantes, sont mises
sous la forme
\[
y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_{2} \: dx, \quad \dots, \quad
y_{m-1} = v_1 \tint v_{2}\:dx \ldots \tint v_{m-1}\:dx,
\]
une solution $y_m$ de $P = 0$, qui constitue avec $y_1$, $y_2$, \dots, $y_{m-1}$ un
système fondamental, pourra s'écrire
\[
y_m=C_m v_1 \tint v_2 \:dx \ldots \tint v_m \:dx,
\]
$v_m$ satisfaisant à l'égalité
\[
v_{1}v_2 \ldots v_m = M^{-1}.
\]
% *** File: 070.png---
Si, en effet, on fait la substitution
\[
  y = C_m v_{1} \tint v_2 dx \ldots \tint v_{m-1} dx \tint v_m \,dx
\]
dans l'équation
\[
  A(y) = C_m M^{-1},
\]
on obtient
\[
  C_m v_1 v_2 \ldots v_{m-1} v_m   = C_m M^{-1}.
\]
et par suite
\[
  v_1 v_2 \ldots v_m = M^{-1}.
\]

J'en conclus donc
\[
  M=(v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}.
\]

L'équation aux multiplicateurs intégrants de la forme
$(v_1, v_2, \ldots, v_m)^{-1}$
est donc
\[
  \frac{d^{m}M}{dx^{m}} - \frac {d^{m-1}(p_{1}M)}{dx^{m-1}} + \dotsb + (-1)^{m}p_m M = 0.
\]

Remarquons que la première des $m$ égalités en $l$,
\[
  \frac{dM}{dx} + Ml_1 = p_{1}M,
\]
donne cette valeur de $M$
\[
  M= e^{\int (p_1 - l_1)dx}.
\]

\myparagraph{60.} Lagrange a trouvé l'équation différentielle en $M$ par un autre
procédé que je vais rappeler sommairement. Donnons même un coefficient
$p_0$ à $\dfrac{d^m y}{dx^m}$ dans l'expression $P$, $p_0$ étant différent de l'unité.

Je multiplie $P$ par $M\,dx$, $M$ étant une indéterminée, et j'intègre la
différentielle
\[
  P(y)M\,dx.
\]

L'intégration par parties donne successivement
\begin{align*}
  \tint p_{m}yM\,dx &= \tint p_{m}My\,dx
\\
  \int p_{m-1} \frac{dy}{dx}M\,dx
&= p_{m-1}My - \int \frac{d(p_{m-1}M)}{dx} y\, dx
\\
  \int p_{m-2} \frac{d^{2}y}{dx^2} M\,dx
&= p_{m-2}M \frac{dy}{dx} - \frac{d(p_{m-2}M)}{dx}
 + \int \frac{d^2(p_{m-2}M)}{dx^2} y\, dx
\\
\multispan{2}{\dotfill}
\end{align*}

% *** File: 071.png---

On en déduit
\[
  \tint P(y)M\, dx
= M A(y)
+ \int \left[ p_{m}M - \frac{d(p_{m-1}M)}{dx}
            + \frac{d^{2}(p_{m-2}M)}{dx^2} \ldots \right] y\, dx.
\]

Si donc on détermine la fonction $M$ par la condition qu'elle satisfasse
à l'équation
\[
  0 = p_{m}M - \frac{d(p_{m-1}M)}{dx} + \frac{d^2(p_{m-2}M)}{dx^2}
    + \dotsb + (-1)^{m} \frac{d^m(p_{0}M)}{dx^m},
\]
on aura
\[
  MP(y) = \frac{d}{dx} [MA(y)],
\]
et $M$ sera un multiplicateur intégrant.

On retombe donc ainsi sur l'équation en $M$ déjà obtenue, et l'on voit
que, pour la trouver, il suffit d'intégrer par parties les différents
termes de $P(y) M\, dx$ et d'égaler à zéro la somme des éléments placés
sous les signes $\int$.

\myparagraph{61.} Inversement, je vais appliquer cette règle à la recherche de
l'équation aux multiplicateurs intégrants de l'équation différentielle
en $M$.

Je multiplie par $y\,dx$ le premier membre de l'équation en $M$ et j'intègre
par parties les différents termes
\begin{align*}
&\quad \tint p_{m}My\,dx = \tint p_{m}yM\,dx,
\\
  \int -\frac{d(p_{m-1}M)}{dx}y\,dx
&= -p_{m-1}yM = \int p_{m-1} \frac{dy}{dx} M\, dx,
\\
  \int \frac{d^2(p_{m-2}M)}{dx^2}y\,dx
&= \frac{d(p_{m-2}M)}{dx} y - p_{m-2}M \frac{dy}{dx}
 + \int p_{m-2} \frac{d^{2}y}{dx^2} M\, dx,
\\
\multispan{2}{\dotfill}
\end{align*}
Égalant à zéro la somme des éléments placés sous les signes $\int$, j'obtiens
l'équation en $y$
\[
  0 = p_{m}y + p_{m-1} \frac{dy}{dx} + \dotsb
    + p_{0} \frac{d^{m}y}{dx^m},
\]
qui est précisément l'équation $P = 0$, de sorte que, réciproquement,
$P = 0$ est l'équation aux facteurs intégrants de l'équation en $M$.
% *** File: 072.png---

\myparagraph{62.} Il y a donc réciprocité complète entre l'équation $P= 0$ et l'équation
en $M$, et chacune d'elles est l'équation aux multiplicateurs intégrants
de l'autre.

Nous dirons que les deux équations sont \emph{adjointes}, et l'expression
adjointe de l'expression différentielle
\[
P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_my
\]
sera
\[
\calP (M) = (-1)^{m} \frac{d^{m}M}{dx^{m}} +
(-1)^{m-1} \frac{d^{m-1}(p_{1}M)}{dx^{m-1}} +
\dotsb - \frac{d(p_{m-1}M)}{dx} + p_{m}M.
\]
Généralement, si les deux expressions différentielles
\begin{alignat*}{5}
S(y) &= S_{0} \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} &&+
  S_{1} \frac{d^{\sigma-1}y}{dx^{\sigma-1}} &&+ \dotsb &&+ S_{\sigma}y, \\
\calS(y) &= \calS_{0} \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} &&+
  \calS_{1} \frac{d^{\sigma-1}y}{dx^{\sigma-1}} &&+ \dotsb &&+ \calS_{\sigma}y
\end{alignat*}
sont adjointes, on aura
\begin{alignat*}{5}
S(y) &= (-1)^{\sigma} \frac{d^{\sigma}(\calS_{0}y)}{dx^{\sigma}} &&+
  (-1)^{\sigma-1} \frac{d^{\sigma-1}(\calS_{1}y)}{dx^{\sigma-1}} &&-
  \dotsb &&- \frac{d(\calS_{\sigma-1}y)}{dx} &&+ \calS_{\sigma}y, \\
\calS(y) &= (-1)^{\sigma} \frac{d^{\sigma}(S_{0}y)}{dx^{\sigma}} &&+
  (-1)^{\sigma-1} \frac{d^{\sigma-1}(S_{1}y)}{dx^{\sigma-1}} &&-
  \dotsb &&- \frac{d(S_{\sigma-1}y)}{dx} &&+ S_{\sigma}y.
\end{alignat*}

Remarquons aussi que, si l'on  considère les deux  expressions
adjointes $P(y)$ et $\calP(M)$, on a les deux identités
\begin{align*}
y\calP(M) &= \frac{d}{dx} [yB(M)], \\
MP(y) &= \frac {d}{dx} [MA(y)],
\end{align*}
d'où l'on déduit
\[
MP(y) - y\calP(M) = \frac{d}{dx}[MA(y) - yB(M)],
\]
de sorte que la différence
\[
MP(y) - y\calP(M)
\]
est la dérivée d'une expression différentielle linéaire et homogène en
% *** File: 073.png---
$y$ et en $M$, les coefficients étant des fonctions linéaires homogènes des
coefficients $p$ et de leurs dérivées; on a, en effet, trouvé plus haut les
valeurs des coefficients $Ml_1$, $Ml_2$, \dots, $Ml_{m-1}$ de $MA(y)$, et ceux de
$B(M)$ sont analogues.

\myparagraph{63.} Je vais établir une relation élégante existant entre une expression
différentielle mise sous forme composée et son expression
adjointe.

Considérons les deux expressions adjointes
\begin{alignat*}{5}
S(y) &= S_{0} \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} &&+
  S_{1} \frac{d^{\sigma-1}y}{dx^{\sigma-1}} &&+ \dotsb &&+ S_{\sigma} y, \\
\calS(y) &= \calS_0 \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} &&+
  \calS_1 \frac{d^{\sigma-1}y}{dx^{\sigma-1}} &&+ \dotsb &&+ \calS_{\sigma}y.
\end{alignat*}


Je dis d'abord que, $u$ étant une fonction de $x$, l'expression différentielle
adjointe de $S(uy)$ est $u\calS(y)$.

En effet, on a
\[
S(y) = (-1)^{\sigma} \frac{d^{\sigma}(\calS_{0}y)}{dx^{\sigma}} +
  (-1)^{\sigma-1} \frac{d^{\sigma-1}(\calS_{1}y)}{dx^{\sigma-1}} +
  \dotsb + \calS_{\sigma}y,
\]
d'où l'on déduit
\[
S(uy) = (-1)^{\sigma} \frac{d^{\sigma}(\calS_{0}uy)}{dx^{\sigma}} +
  (-1)^{\sigma-1} \frac{d^{\sigma-1}(\calS_{1}uy)}{dx^{\sigma-1}} +
  \dotsb + \calS_{\sigma}uy.
\]

L'expression adjointe de $S(uy)$ est, par conséquent,
\[
\calS_{0}u\frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} +
  \calS_{1}u\frac{d^{\sigma-1}y}{dx^{\sigma-1}} +
  \dotsb + \calS_{\sigma-1}u\frac{dy}{dx} + \calS_{\sigma}uy,
\]
c'est-à-dire $u \calS(y)$.

Je dis ensuite que, $u$ étant une fonction de $x$, l'expression différentielle
adjointe de $S\Big(u\dfrac{d^{k}y}{dx^k}\Big)$ est
\[
(-1)^k \: \frac{d}{dx^k} [u \calS (y)].
\]

En effet, l'expression
\[
S \Big(\frac{d^{k}y}{dx^k}\Big) = S_{0} \frac{d^{\sigma + k}y}{dx^{\sigma + k}} +
  S_{1} \frac{d^{\sigma + k - 1}y}{dx^{\sigma + k - 1}} +
  \dotsb + S_{\sigma} \frac{d^{k}y}{dx^{k}}
\]
% *** File: 074.png---
a pour expression adjointe
\[
(-1)^{\sigma+k} \frac{d^{\sigma+k}(S_{0}y)}{dx^{\sigma + k}} +
  (-1)^{\sigma+k - 1} \frac{d^{\sigma+k -1}(S_{1}y)}{dx^{\sigma + k-1}} +
  \dotsb + (-1)^{k} \frac{d^{k}(S_{0}y)}{dx^{k}},
\]
ou bien
\[
(-1)^{k} \frac{d^{k}\calS (y)}{dx^{k}}.
\]

Par conséquent, $(-1)^{k} \dfrac{d^{k}}{dx^{k}} [u \calS (y)]$ sera l'adjointe de $T\Big(\dfrac{d^{k}y}{dx^k}\Big)$, $T(y)$
étant l'expression qui a pour adjointe $u \calS(y)$. Or, cette expression
est
\[
T(y) = S(uy);
\]
donc $(-1)^{k} \dfrac{d^k}{dx^k} [u\calS(y)]$ sera l'adjointe de $S\Big(u \dfrac{d^{k}y}{dx^k}\Big)$.

Soient enfin $\calR$ et $\calS$ les adjointes de $R$ et de $S$, où $S$ désigne toujours
l'expression
\[
S_{0} \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}} + S_{1} \frac{d^{\sigma - 1}y}{dx^{\sigma - 1}} +
\dotsb + S_{\sigma}y.
\]

On a
\[
RS = R\left[S_0 \frac{d^{\sigma}y}{dx^{\sigma}}\right] +
  R\left[S_1 \frac{d^{\sigma - 1}y}{dx^{\sigma - 1}}\right] +
  \dotsb + R(S_{\sigma}y).
\]
Or,  il est évident que l'adjointe  d'une somme est la somme des
adjointes. Donc l'adjointe de $RS$ sera
\[
(-1)^{\sigma} \frac{d^{\sigma}}{dx^{\sigma}} [S_{0}\calR(y)] +
  (-1)^{\sigma-1} \frac{d^{\sigma - 1}}{dx^{\sigma - 1}} [S_{1}\calR(y)] +
  \dotsb + S_{\sigma}\calR(y),
\]
c'est-à-dire
\[
\calS \calR.
\]

On a donc ce théorème remarquable:

\emph{L'expression adjointe de $RS$ est $\calS \calR$.}

La propriété s'étend facilement à un plus grand nombre d'expressions,
et l'on a cette proposition générale:

\emph{Si une expression  différentielle  est composée  de plusieurs expressions
différentielles, rangées dans un certain ordre, l'expression différentielle
% *** File: 075.png---
adjointe est composée des expressions adjointes rangées dans
l'ordre inverse.}

Remarquons, en passant, une conséquence de ce fait que l'expression
adjointe de $u\calS (y)$ est $S(uy)$. Nous avons supposé, dans la recherche
du \nobf{59}, que le coefficient de $\dfrac{d^{m}y}{dx^{m}}$ dans $P$ était égal à l'unité, et nous
avons trouvé que l'adjointe de l'expression
\[
\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + \frac{p_1}{p_0} \frac{d^{m - 1}y}{dx^{m - 1}} +
  \frac{p_2}{p_0} \frac{d^{m - 2}y}{dx^{m - 2}} + \dotsb + \frac{p_m}{p_0}y
\]
est l'expression différentielle
\[
(-1)^{m}\frac{d^{m}M}{dx^{m}} + (-1)^{m-1} \frac{d^{m-1}\Big(\dfrac{p_{1}}{p_0}M\Big)}{dx^{m-1}} +
  \dotsb + \frac{p_m}{p_0}M.
\]

Donc l'adjointe de
\[
p_0 \frac{d^{m}y}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y
\]
sera
\[
(-1)^{m} \frac{d^m(p_0 M)}{dx^{m}} + (-1)^{m - 1} \frac{d^{m- 1}(p_1 M)}{dx^{m - 1}} + \dotsb + p_{m}M,
\]
comme nous l'avons vu par la méthode de Lagrange.

\myparagraph{64.} Il est facile de trouver la liaison qui existe entre les intégrales
des deux équations adjointes $P(y) = 0$ et $\calP (M) = 0$.

J'observe d'abord que l'équation du premier ordre
\[
\frac{dy}{dx} - hy = 0
\]
a pour adjointe
\[
\frac{dM}{dx} + hM = 0,
\]
et ensuite que, si la première admet la solution $y = v$, la seconde
admettra la solution $M = v^{-1}$.

Cela étant, je mets $P(y)$ sous (\nobf{59}) la forme composée
\[
P(y) = A_mA_{m-1} \ldots A_{2}A_{1},
\]
% *** File: 076.png---
les équations du premier ordre
\[
A_1 = 0, \quad A_2 = 0, \quad \dots, \quad A_m = 0
\]
admettant respectivement pour solutions
\[
v_1,\ v_1 v_2,\ v_1 v_2 v_3,\ \dots,\ v_1 v_2\ldots v_m.
\]
L'équation $P(y) = 0$ admettra alors (\nobf{59}) le système fondamental
d'intégrales
\[
y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_{2}\,dx, \quad \dots, \quad
  y_m = v_1 \tint v_{2}\,dx \ldots \tint v_{m}\,dx.
\]
Mais soient $\calA_1$, $\calA_2$, \dots, $\calA_m$ les expressions adjointes de $A_1$, $A_2$, \dots, $A_m$.
D'après le théorème du \nobf{63}, on a
\[
\calP(M) = \calA_1  \calA_2 \ldots \calA_{m-1}\calA_m,
\]
et, d'après la remarque qui précède, les équations
\[
\calA_m = 0, \quad \calA_{m-1}=0, \quad \dots, \quad \calA_2 = 0, \quad \calA_1 = 0
\]
admettent respectivement comme solutions
\[
(v_1 v_2 \ldots v_{m})^{-1},\ (v_1 v_2 \ldots v_{m - 1})^{-1},\ \dots,\ (v_1 v_2)^{-1},\ v_1^{-1}.
\]
Donc $\calP(M) = 0$ aura comme système fondamental d'intégrales
\begin{alignat*}{2}
&M_1 &&= (v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1}, \\
&M_2 &&= (v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1} \tint v_{m}\,dx, \\
&M_3 &&= (v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1} \tint v_{m}\,dx \tint v_{m-1}\,dx, \\
&\multispan{3}{\makebox[16.7em]{\dotfill},} \\
&M_m &&= (v_1 v_2 \ldots v_m)^{-1} \tint v_{m}\,dx \tint v_{m-1}\,dx \ldots \tint v_2\,dx.
\end{alignat*}

Ces formules montrent clairement la corrélation des deux systèmes
fondamentaux d'intégrales de $P(y) = 0$ et de $\calP(M) = 0$.

\myparagraph{65.} Revenons maintenant à nos hypothèses sur l'équation différentielle
\[
P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1 \frac{d^{m -1}y}{dx^{m -1}} + \dotsb + p_m y = 0,
\]
et supposons que les coefficients $p$ soient développables en séries convergentes
dans le domaine du point zéro, procédant suivant les puissances
% *** File: 077.png---
entières, positives et négatives de $x$, mais ne contenant qu'un
nombre limité de puissances négatives.

Il en sera évidemment de même des coefficients de l'équation différentielle
adjointe
\[
\calP(M)=(-1)^{m} \frac{d^{m}M}{dx^m} +
  (-1)^{m-1} \frac{d^{m-1}(p_{1}M)}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}M = 0.
\]

Nous allons voir que les fonctions déterminantes de $P(y) = 0$ et de
$\calP (M) = 0$ sont étroitement liées.

On a l'identité (\nobf{62})
\[
MP(y) - y \calP (M) = \frac{d}{dx} [L(y, M)],
\]
où $L(y, M)$ est une expression différentielle linéaire homogène en $y$
et en $M$, dont les coefficients sont des fonctions linéaires homogènes
des coefficients $p$ et de leurs dérivées, et ne renferment par conséquent
eux-mêmes qu'un nombre fini de puissances de $x^{-1}$.

Posons dans cette identité
\[
y=x^{-\rho -\nu -1} \quad \text{et} \quad M =x^{\rho},
\]
$\nu$ étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. Nous obtenons
\[
x^{\rho} P (x^{-\rho -\nu -1}) - x^{-\rho -\nu -1} \calP (x^{\rho}) =
  \frac{d}{dx} [L(x^{-\rho -\nu -1}, x^{\rho})].
\]
Or, la quantité placée sous le signe $\dfrac{d}{dx}$ dans le second membre est développable
en une série procédant suivant les puissances entières de $x$,
ne contenant qu'un nombre fini de puissances négatives et ne comprenant
en tout cas aucun logarithme. Donc le premier membre, qui
procède aussi suivant les puissances entières de $x$, ne renferme pas la
puissance $x^{-1}$. Formons donc le coefficient de $x^{-1}$ et égalons-le à zéro.
Soient
\[
P(x^{\rho})= \sum\nolimits_{\lambda} f_{\lambda}(\rho)x^{\rho + \lambda}, \quad
  \calP (x^{\rho}) = \sum\nolimits_{\lambda} \varphi_{\lambda} (\rho)x^{\rho + \lambda}
\]
\spreadout{les fonctions caractéristiques de $P(y)$ et de $\calP(M)$. Le coefficient de $x^{-1}$ dans} \\
$x^{\rho}P(x^{-\rho - \nu -1})$ est alors $f_{\nu}(-\rho - \nu -1)$, et le coefficient de $x^{-1}$ dans
% *** File: 078.png---
$x^{-\rho-\nu-1}\calP (x^{\rho})$ est $\varphi_{\nu}(\rho)$. On a donc, quel que soit l'entier $\nu$,
\[
\varphi_{\nu}(\rho)=f_{\nu}(-\rho-\nu-1).
\]
Soit $g$ le plus haut exposant de $x^{-1}$ dans $x^{-\rho}P(x^{\rho})$; $f_{\nu}(\rho)$ s'évanouit
alors pour les valeurs de $\nu$ inférieures à $-g$, mais non pour la valeur
$\nu = - g$. Donc, à cause de l'identité précédente, il en est de même de
$\varphi_{\nu}(\rho)$. Faisons $\nu = - g$ dans cette relation; nous aurons
\[
\varphi_{-g}(\rho)=f_{-g}(-\rho + g -1).
\]
Or, $\varphi_{-g}(\rho)$ et $f_{-g}(\rho)$ sont les fonctions déterminantes de $\calP(M)$ et de
$P(y)$; $x^g$ est d'ailleurs la puissance de $x$ par laquelle on doit multiplier
$P(y)$ pour la réduire à la forme normale. D'où cette proposition:

\emph{Les fonctions déterminantes de $P(y)$ et de l'expression adjointe $\calP(M)$
se déduisent l'une de l'autre en changeant $\rho$ en $-\rho + g -1$, $x^g$ étant la
puissance par laquelle il faut multiplier $P(y)$ pour l'amener à la forme
normale.}

On en déduit que les fonctions déterminantes de $P(y)$ et de l'adjointe
$\calP(M)$ sont du même degré.

Ramenons $P(y)$ à la forme normale en multipliant par $x^g$; d'après
le \nobf{63}, l'adjointe de $x^{g} P(y)$ sera $\calP (x^{g}M)$; mais (\nobf{33}) la fonction
déterminante de $\calP(x^{g}M)$ est $\varphi_{-g}(\rho + g)$; or, à cause de
\[
\varphi_{-g}(\rho) = f_{-g}(-\rho + g - 1),
\]
on a
\[
\varphi_{-g}(\rho + g) = f_{-g}(-\rho - 1);
\]
donc, lorsque l'expression proposée a la forme normale, pour obtenir
la fonction déterminante de l'expression adjointe, il suffit de remplacer
$\rho$ par $-\rho - 1$ dans celle de la proposée.

\myparagraph{66.} \emph{Si l'équation $P(y) = 0$ toutes ses intégrales régulières, il en est de
même de l'équation différentielle adjointe $\calP(M) = 0$.}

Observons d'abord que, pour le premier ordre, ce théorème est évident,
puisque (\nobf{22}) l'équation
\[
\frac{dy}{dx} + \frac{P_{1}(x)}{x} y = 0
\]
% *** File: 079.png---
a pour adjointe
\[
\frac{dM}{dx} - \frac{P_{1}(x)}{x} M = 0.
\]
En général, $P(y) = 0$, ayant toutes ses intégrales régulières, peut
(\nobf{48}) être composée uniquement d'équations du premier ordre ayant
chacune une intégrale régulière. Dès lors (\nobf{63}), l'équation adjointe
$\calP(M) = 0$ se composera des équations adjointes rangées dans l'ordre
inverse. Donc (\nobf{49}), l'équation $\calP(M) = 0$, étant composée uniquement
d'équations du premier ordre ayant chacune une intégrale régulière,
a elle-même toutes ses intégrales régulières.

\myparagraph{67.} Nous sommes maintenant en mesure de transformer la condition
du \nobf{58} par la considération de l'équation différentielle adjointe.

On a vu que, pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$,
ayant une fonction déterminante de degré $\gamma$, admette $\gamma$ intégrales régulières
linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'expression $P$
soit de la forme $P = QD$, $Q$ étant d'ordre $m - \gamma$ et ayant pour fonction
déterminante une constante.

Or, soient $\calQ$ et $\calD$ les expressions adjointes de $Q$ et de $D$. D'après le
\nobf{65}, les fonctions déterminantes de $Q$ et de $\calQ$ sont du même degré, et
d'après le \nobf{63}, $P$ se mettant sous la forme $P = QD$, $\calP$ se mettra sous
la forme $\calP = \calD \calQ$, et réciproquement. Donc, la condition nécessaire et
suffisante pour que $P = 0$ ait $\gamma$ intégrales régulières linéairement indépendantes
est que l'expression adjointe $\calP$ soit de la forme $\calP = \calD \calQ$,
$\calQ$ étant d'ordre $m - \gamma$ et ayant pour fonction déterminante une constante.
Ceci revenant à dire que (\nobf{39}) $\calP = 0$ doit admettre toutes les
intégrales de $\calQ = 0$, nous obtenons cette condition finale:

\emph{Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, ayant une fonction
déterminante du degré $\gamma$, ait exactement $\gamma$ intégrales régulières
linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'équation adjointe
$\calP = 0$ admette toutes les intégrales d'une équation différentielle d'ordre
$m - \gamma$, ayant pour fonction déterminante une constante.}

\myparagraph{68.}  Je vais enfin appliquer ceci à la recherche des conditions que
doit remplir l'équation $P = 0$, d'ordre $m$, pour avoir $m- 1$ intégrales
régulières linéairement indépendantes.
% *** File: 080.png---

Je dis d'abord que la fonction déterminante doit être de degré $m - 1$.
En effet, elle ne peut pas être de degré inférieur à $m - 1$, car alors
(\nobf{54}) $P = 0$ n'aurait pas $m - 1$ intégrales régulières linéairement
indépendantes, et elle ne peut pas être de degré supérieur à $m - 1$,
car alors elle serait de degré $m$, et, par suite (\nobf{54}), $P = 0$ aurait
$m$ intégrales régulières linéairement indépendantes.

La fonction déterminante étant de degré $m - 1$, il faut maintenant
et il suffit, d'après le théorème précédent, que l'équation adjointe $\calP = 0$
admette les intégrales d'une équation du premier ordre, ayant pour
fonction déterminante une constante. Or, d'après le \nobf{53}, les intégrales
d'une pareille équation du premier ordre sont de la forme
\[
e^{\frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2} + \dotsb + \frac{C_n}{x^n}} x^{\rho}\psi(x),
\]
$\psi(x)$ ne contenant que des puissances positives de $x$, et ne s'évanouissant
pas pour $x = 0$;

D'où la proposition suivante:

\emph{Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$, ait exactement
$m - 1$ intégrales régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit:}

\primo \emph{Que sa fonction déterminante soit de degré $m - 1$;}

\secundo \emph{Que son équation différentielle adjointe admette une intégrale de la
forme}
\[
e^{\frac{C_1}{x} + \frac{C_2}{x^2} + \dotsb + \frac{C_n}{x^n}} x^{\rho}\psi(x),
\]
\emph{$\psi(x)$ étant une fonction holomorphe dans le domaine du point zéro et non
nulle pour $x = 0$.}



\mysection{SIXIÈME  PARTIE.}

\myparagraph{69.} Le procédé indiqué au \nobf{59} pour trouver l'équation au multiplicateur
intégrant appartient à M.~Thomé. Cependant, j'ai légèrement
modifié le raisonnement en introduisant une décomposition de
l'expression $P$ en $m$ facteurs $A$ de la forme
\[
A = \frac{dy}{dx} - ay.
\]
% *** File: 081.png---
J'ai aussi introduit ce mode de décomposition au \nobf{64}, lorsqu'il s'est
agi de trouver la relation qui existe entre les intégrales de deux équations
adjointes. Il semble que l'emploi des décompositions de ce genre
doive présenter certains avantages. Aussi me suis-je proposé d'y revenir
dans les deux dernières Parties de ce Mémoire. J'en fais d'abord la
théorie, après quoi j'en déduis une nouvelle méthode propre à l'étude
de l'expression et des intégrales dans le domaine d'un point singulier.

Considérons l'expression différentielle composée
\[
P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1},
\]
les expressions composantes $A$ étant linéaires, homogènes, du premier
ordre, et ayant pour premier coefficient l'unité. Ces expressions composantes,
de la forme
\[
A = \frac{dy}{dx} - ay.
\]
seront appelées \emph{facteurs premiers symboliques}. Deux facteurs premiers
symboliques ne peuvent différer que par leur coefficient $a$. Je représenterai
le coefficient de $A_i$ par $a_i$.

\myparagraph{70.} Soit l'expression différentielle linéaire, homogène, d'ordre $m$
\[
P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y,
\]
où le premier coefficient sera toujours l'unité et où les coefficients $p$
sont des fonctions de $x$, holomorphes dans une partie du plan à contour
simple, sauf pour certains points singuliers isolés les uns des
autres.

Je vais étudier la décomposition de cette expression en facteurs
premiers symboliques.

\primo L'expression $P$ est décomposable en $m$ facteurs premiers symboliques.

Considérons, en effet, un système fondamental d'intégrales de l'équation
$P = 0$; on peut (\nobf{5}) le supposer de la forme
\[
y = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_2 \,dx, \quad  \dots, \quad
  y_m = v_1 \tint v_2\, dx \tint \ldots \tint v_m \,dx.
\]
% *** File: 082.png---
Je construis les équations différentielles
\[
A_1 = 0, \quad A_2 = 0, \quad \dots, \quad A_i = 0, \quad \dots, \quad A_m =0,
\]
telles que
\[
A_i = \frac{dy}{dx} - a_{i}y = 0,
\]
et admettant respectivement comme solutions
\[
v_1,\ v_{1}v_{2},\ \dots,\ v_{1}v_{2} \ldots v_i,\ \dots,\ v_{1}v_{2} \ldots v_m.
\]
La valeur de $a_i$, par exemple, sera
\[
a_i = \frac{d\log(v_{1}v_{2} \ldots v_i)}{dx}.
\]
L'expression différentielle $A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1}$, composée de $m$ facteurs
premiers symboliques, est identique à $P$, c'est-à-dire que les coefficients
des dérivées de même ordre, dans les deux expressions, seront
égaux. C'est ce que j'ai établi au \nobf{59}.

\secundo Toute décomposition de $P$ en facteurs premiers symboliques s'obtient
par la méthode précédente. Autrement dit, si l'on a
\[
P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1},
\]
et si l'intégrale de $A_{1} = 0$ est $v_{1}$, si celle de $A_{2}= 0$ est mise sous la
forme $v_{1}v_{2}$, ce qui est toujours possible, celle de $A_{3}= 0$ sous la forme
$v_{1}v_{2}v_{3}$, etc., les $m$ fonctions
\[
y_{1} = v_1,\quad y_{2} = v_1 \tint v_{2}\,dx,\quad \dots,\quad
y_{m} = v_1 \tint v_{2}\,dx \tint \ldots \tint v_{m}\,dx
\]
constituent un système fondamental d'intégrales de $P = 0$.

En effet, l'expression $P$ est annulée par les intégrales générales des
équations
\[
A_{1} = 0, \quad A_{1} = v_{1} v_{2}, \quad A_{2}A_{1} = v_{1} v_{2} v_3, \quad \dots;
\]
or, l'intégration directe de ces équations montre qu'elles admettent
pour solutions les quantités désignées par $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$; donc ces
fonctions $y_i$ sont bien des intégrales de $P = 0$. Elles sont d'ailleurs
linéairement indépendantes.

Ainsi, \emph{l'expression $P$ est toujours décomposable en facteurs premiers
symboliques, et de plusieurs manières; mais toutes ces décompositions
% *** File: 083.png---
s'obtiennent par la même voie, et chacune d'elles est corrélative d'un
système fondamental déterminé.}

\myparagraph{71.} De même qu'en Algèbre la décomposition d'un polynôme en
facteurs premiers permet, connaissant les racines d'une équation,
d'écrire immédiatement cette équation, de même ici la décomposition
en facteurs premiers symboliques permet d'écrire de suite l'équation
différentielle qui admet un système fondamental d'intégrales donné. Si
\[
y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_2\, dx, \quad \dots, \quad
  y_m = v_1 \tint v_2 \,dx \ldots \tint v_m \,dx
\]
est le système en question, l'équation différentielle sera
\[
A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1} = 0,
\]
avec les conditions
\[
a_i = \frac {d\log(v_{1} v_{2} \ldots v_i)}{dx}, \quad i = 1,\ 2,\ 3,\ \dots,\ m.
\]
Les coefficients de cette équation se trouveront exprimés en fonction
de $v_{1}$, $v_{2}$, \dots, $v_{m}$.

Je mentionnerai un autre procédé, conduisant à la solution de ce
même problème: former, en fonction de $v_{1}$, $v_{2}$, \dots, $v_{m}$, l'équation différentielle
qui admet le système fondamental $y_{1}$, $y_{2}$, \dots, $y_m$.

Je vais, en effet, construire successivement les équations différentielles
linéaires, homogènes, d'ordres 1, 2, 3, \dots, admettant comme
solutions, la première $v_m$, la deuxième $v_{m-1}$ et $v_{m-1} \int v_{m} \,dx$, la troisième
$v_{m-2}$, $v_{m-2}\int v_{m-1}\, dx$ et $v_{m-2} \int v_{m-1}\,dx \int v_{m}\,dx$, etc. Reportons-nous pour
cela aux formules (1) du \nobf{18}, qui donneront les $p$, connaissant les $q$.

L'équation du premier ordre, qui admet l'intégrale $v_m$, est
\begin{equation}\tag{1}
\frac{dy}{dx} + r_{1}y = 0,
\end{equation}
avec la condition
\[
r_1 = -\frac{1}{v_m} \frac{dv_m}{dx}.
\]
Pour obtenir l'équation du second ordre
\begin{equation}\tag{2}
\frac{d^{2}y}{dx^2} + s_{1} \: \frac{dy}{dx} + s_{2}y = 0,
\end{equation}
% *** File: 084.png---
qui admet les intégrales
\[
v_{m-1} \quad \text{et} \quad v_{m-1} \tint v_{m}\,dx,
\]
je détermine d'abord $s_2$ par la condition que $v_{m-1}$ vérifie cette équation;
puis, considérant l'équation (1) comme déduite de (2) par la substitution
\[
y = v_{m-1} \tint z\,dx,
\]
je détermine $s_1$, en fonction de $r_1$, par les formules (1) du \nobf{18}.

L'équation du troisième ordre
\begin{equation}\tag{3}
\frac{d^{3}y}{dx^{3}} + t_1 \frac{d^{2}y}{dx^{2}} + t_2 \frac{dy}{dx} + t_3 y = 0,
\end{equation}
qui admet les intégrales
\[
v_{m-2},\quad v_{m-2} \tint v_{m-1}\,dx \quad \text{et} \quad
  v_{m-2} \tint v_{m-1} \,dx \tint v_m \,dx,
\]
se construit de même, en déterminant d'abord $t_3$ par la condition que
$v_{m-2}$ vérifie cette équation, puis $t_1$ et $t_2$ en fonction de $s_1$ et $s_2$, à l'aide
des formules (1) du \nobf{18}.

En continuant de la même manière, on obtiendra l'équation cherchée,
d'ordre $m$, admettant les intégrales
\[
v_1,\quad v_1 \tint v_2 \,dx, \quad \dots, \quad
  v_1 \tint v_2 \,dx \tint \ldots \tint v_m \,dx.
\]
D'après la proposition du \nobf{8}, si les fonctions $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$ sont
holomorphes dans une partie $T$ du plan, à contour simple, excepté
pour certains points isolés les uns des autres, et si les nouvelles valeurs
$(y_1)'$, $(y_2)'$, \dots, $(y_m)'$ qu'acquièrent ces fonctions lorsque la variable
fait le tour d'un de ces points peuvent s'exprimer en fonction linéaire,
homogène, à coefficients constants, des valeurs primitives, l'équation
différentielle obtenue, à laquelle satisfont $y_1$, $y_2$, \dots, $y_m$, aura ses coefficients
monotropes dans la région $T$.

\myparagraph{72.} Lorsqu'on connaîtra un système de valeurs des fonctions $v_1$,
$v_2$, \dots, $v_m$, on saura effectuer toutes les décompositions possibles de
l'expression $P$ en facteurs premiers symboliques, car, si l'on connaît
un système $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$, on peut intégrer complètement $P = 0$; par
suite, on connaîtra tous les systèmes $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$; on sera donc à
% *** File: 085.png---
même de calculer tous les systèmes de valeurs des coefficients $a_1$,
$a_2$, \dots, $a_m$ donnés par les formules
\begin{equation}\tag{1}
a_i = \frac{d \log(v_1 v_2 \ldots v_i)}{dx}, \quad    i = 1,\ 2,\ 3,\ \dots,\ m.
\end{equation}

Inversement, lorsqu'on connaîtra un système de valeurs des coefficients
$a_1$, $a_2$, \dots, $a_m$, on saura effectuer l'intégration complète de
l'équation $P = 0$. En effet, si l'on connaît $a_1$, $a_2$, \dots, $a_m$, on peut
calculer $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$ par les formules (1), qui donnent
\[
v_1 = e^{\int\! a_1\, dx},\quad v_2 = e^{\int (a_{2} - a_{1})\,dx}, \quad
  \dots, \quad v_m = e^{\int (a_{m} - a_{m-1})\,dx}.
\]
On aura donc un système fondamental d'intégrales de l'équation $P = 0$:
\begin{gather*}
y_1 = e^{\int\! a_1\,dx}, \quad y_2 = e^{\int\! a_{1}\,dx}
  \tint e^{\int (a_{2} - a_{1})\,dx}\,dx, \quad \dots, \\
y_m = e^{\int\! a_{1}\,dx} \tint e^{\int (a_{2}- a_{1})\,dx}\,dx
  \tint \ldots \tint e^{\int (a_{m}-a_{m-1})\,dx}\,dx.
\end{gather*}

Notons cette conséquence: lorsqu'on connaît une décomposition de
l'expression $P$ en facteurs premiers symboliques, on peut les former
toutes.

\myparagraph{73.} Quand on veut décomposer l'expression
\[
P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y
\]
en $m$ facteurs premiers symboliques, ce qui, comme l'a vu, revient au
fond à intégrer l'équation $P = 0$, on peut soit calculer un système de
valeurs des fonctions $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$, soit évaluer directement un système
de valeurs de leurs coefficients $a_1$, $a_2$, \dots, $a_m$.

Dans le premier cas, on cherchera, comme on sait, une solution
particulière $v_1$ de $P(z_1) = 0$, puis une solution particulière $v_2$ de
$P(v_{1} \int z_{2}\, dx) = 0$, etc. Ces équations en $z_1$, $z_2$, $z_3$, \dots, $z_m$, d'ordres respectifs
$m$, $m -1$, $m -2$, \dots, 2, 1, sont linéaires.

Dans le second cas, pour calculer directement un système $a_1$,
$a_2$, \dots, $a_m$,  il résulte du numéro précédent que l'on cherchera une
solution particulière $a_1$ de
\[
P(e^{\int\! a_1 \,dx}) = 0,
\]
% *** File: 086.png---
puis une solution particulière $a_2$ de
\[
P[e^{\int\! a_{1}\,dx} \tint e^{\int (u_{2}- a_{1})\,dx}\,dx]= 0,
\]
puis, etc. Ces équations en $u_1$, $u_2$, $u_3$, \dots, $u_m$ sont d'ordres respectifs
$m - 1$, $m - 2$, \dots, 2, 1, 0, mais ne sont pas linéaires. En général,
$a_i$ sera une intégrale quelconque de l'équation en $u_i$, d'ordre $m - i$,
mais non linéaire,
\[
P[e^{\int\! a_{1}\,dx} \tint e^{\int (a_{2}-a_{1})\,dx}\,dx
  \tint e^{\int (a_{3} - a_{2})\,dx}\,dx \tint \ldots
  \tint e^{\int (u_{i} - a_{i-1})\,dx}\,dx] = 0.
\]

Remarquons que cette seconde méthode donne une signification
remarquable de la nouvelle variable $u$, dans le changement de variable
\[
y = e^{\int\! u\, dx},
\]
usité pour abaisser l'ordre des équations différentielles linéaires et
homogènes: \emph{$u$ est le coefficient du dernier facteur premier symbolique
dans une décomposition du premier membre de l'équation.}

Remarquons aussi que le système des équations en $u_1$, $u_2$, \dots, $u_m$,
comme le système des équations en $z_1$, $z_2$, \dots, $z_m$, possède cette propriété,
qu'il suffit de connaître une solution particulière de chacune
de ses équations pour pouvoir les intégrer toutes complètement,
puisque, ces solutions étant connues, on peut intégrer complètement
$P = 0$.

Ainsi donc, si l'on veut tenter l'intégration de l'équation $P = 0$ par
une décomposition directe de $P$ en facteurs premiers symboliques, on
est conduit à chercher $m$ intégrales des $m$ équations en $u_1$, $u_2$, \dots, $u_m$,
d'ordres $m - 1$, $m - 2$, \dots, 2, 1, 0. Ces équations ne sont plus linéaires;
malgré cela, elles peuvent aider à découvrir certains cas
particuliers où l'équation $P = 0$ est intégrable.

Je vais appliquer à l'équation du second ordre
\[
P(y) = \frac {d^{2}y}{dx^2} + p_1 \frac{dy}{dx} + p_{2}y = 0.
\]
Je veux mettre $P$ sous la forme composée
\[
P = A_{2}A_{1} = \frac{d^{2}y}{dx^2} - (a_1 + a_2) \frac{dy}{dx} -
  \Big(\frac{da_1}{dx} - a_{1}a_2\Big)y,
\]
% *** File: 087.png---
d'où les deux équations
\begin{gather*}
a_1 + a_2 = -p_1, \\
\frac{da_1}{dx} - a_{1}a_2 = -p_2,
\end{gather*}
qui déterminent $a_1$ et $a_2$. La première donne
\begin{equation}\tag{1}
a_2 = -a_1 - p_1,
\end{equation}
et tout revient à calculer $a_1$, qui est donné par l'équation du second
ordre non linéaire
\begin{equation}\tag{2}
\frac{da_1}{dx} + a_1^2 + p_{1}a_1 + p_2 = 0.
\end{equation}
L'équation (2) n'est autre chose que
\[
P(e^{\int\! a_{1}\,dx}) = 0,
\]
et l'équation (1)
\[
P[e^{\int\! a_{1}\,dx} \tint e^{\int (a_{2}-a_1)\,dx}\,dx] = 0.
\]
De plus, on sait que les équations de la forme (2) sont intégrables complètement
quand on en connaît une solution particulière, ce qui est
d'accord avec ce qui précède.

L'équation (2) se ramène à la forme
\begin{equation}\tag{3}
\frac{da}{dx} + q_{1}a^2 + q_2 = 0
\end{equation}
par la substitution
\begin{equation}\tag{4}
a_1 = a - \frac{p_1}{2},
\end{equation}
ou encore
\begin{equation}\tag{5}
a_1 = ae^{-\int\! p_{1}\,dx}.
\end{equation}
La substitution (4) revient à prendre pour inconnue la demi-différence
\[
\frac{a_1 - a_2}{2} = a.
\]
Il faudrait donc intégrer l'équation (3) pour avoir $a_1$ et $a_2$, et par
suite un système fondamental d'intégrales de l'équation du second
ordre.
% *** File: 088.png---

Adoptons, par exemple, la substitution (5). L'équation (3) est alors
\[
\frac{da}{dx} + e^{-\int\! p_{1}\,dx}a^{2} + p_{2}e^{\int\! p_{1}\,dx} = 0,
\]
et, si nous supposons
\[
e^{-\int\! p_{1}\,dx} = p_{2}e^{\int\! p_{1}\,dx}, \quad \text{c'est à dire} \quad
  p_{1} = -\frac{d \log \sqrt{p_{2}}}{dx},
\]
elle est intégrable. On en déduit sans peine $a_1$ et $a_2$, savoir:
\begin{align*}
a_1 &= -\sqrt {p_2} \tang (\tint \sqrt{p_2}\,dx), \\
a_2 &= \frac{d\log \sqrt{p_{2}}}{dx} +
  \sqrt{p_{2}} \tang (\tint \sqrt{p_{2}}\,dx),
\end{align*}
et, par suite, un système fondamental d'intégrales de l'équation
\[
\frac{d^{2}y}{dx^2} - \frac{d \log{\sqrt{p_2}}}{dx} \: \frac{dy}{dx} + p_{2}y = 0.
\]

Si nous adoptons maintenant la substitution (4), auquel cas l'équation
(3) est
\begin{equation}\tag{6}
\frac{da}{dx} + a^2 - \Big(\frac{1}{2} \: \frac{dp_{1}}{dx}
  + \frac{p_{1}^{2}}{4} - p_2\Big) = 0,
\end{equation}
il est facile d'obtenir la relation qui doit exister entre $p_1$ et $p_2$ pour que
$a_1$ et $a_2$ soient égaux. La condition est évidemment que l'équation (6)
soit vérifiée pour $a = 0$, puisque $a$ représente $\dfrac{a_{1} - a_{2}}{2}$. Par conséquent,
la condition nécessaire et suffisante pour que l'expression
\[
\frac{d^{2}y}{dx^2} + p_1 \frac{dy}{dx} + p_{2}y
\]
soit décomposable en deux facteurs premiers symboliques égaux est
\[
\frac{1}{2} \: \frac{dp_{1}}{dx} + \frac{p_{1}^2}{4} - p_2 = 0.
\]

Les deux facteurs sont d'ailleurs égaux à
\[
\frac{dy}{dx} + \frac{p_{1}}{2} y,
\]
% *** File: 089.png---
et l'équation du second ordre admet les deux solutions
\[
y_1 = e^{-\frac{1}{2} \int\! p_{1}\,dx}, \quad y_2 = xe^{-\frac{1}{2} \int\! p_{1}\,dx}.
\]

\myparagraph{74.} Considérons une décomposition de l'expression
\[
P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y
\]
en facteurs premiers symboliques,
\[
P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1},
\]
et proposons-nous de calculer les coefficients $p$ en fonction des coefficients
$a$ des facteurs.

Soit
\[
A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2} =
  \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} +
  q_1 \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + q_{m-1}y;
\]
formons $A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1}$, c'est-à-dire remplaçons $y$ par $\dfrac{dy}{dx} - a_{1}y$
dans l'expression précédente, et nous obtiendrons
\[
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{array}{@{}*{4}{l@{}l@{\vline}} l}
  P(y)
= \dfrac{d^{m  }y}{dx^{m  }} &{} + q_1
& \dfrac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} &{} + q_2
& \dfrac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} &{} + q_3
& \dfrac{d^{m-3}y}{dx^{m-3}} + \dots
&{} -\dfrac{d^{m-1}a_1}{dx^{m-1}}
&\, y,
\\
    &{} - a_1
&\multicolumn{2}{r@{\vline}}{-(m{-}1)\dfrac{da_1}{dx  }}
&\multicolumn{2}{r@{\vline}}{ - \dfrac{(m{-}1)(m{-}2)}{1\ldot 2} \dfrac{d^2 a_1}{dx^2}}
&   &{} - q_1 \dfrac{d^{m-2}a_1}{dx^{m-2}}
\\
\multicolumn{3}{l}{} &{} - q_1 a_1
&   &{} - q_1 (m{-}2) \dfrac{da_1}{dx}
&   &{} - q_2 \dfrac{d^{m-3}a_1}{dx^{m-3}}
\\
\multicolumn{5}{l}{} &{} - q_2 a_1
&   &{} -{} \dotfill
\\
\multicolumn{7}{l}{} &{} - q_{m-2} \dfrac{da_1}{dx}
\\
\multicolumn{7}{l}{} &{} - q_{m-1} a_1
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\]
d'où l'on déduit
\[
\tag{1}
\left\{
\begin{aligned}
& p_1 = q_{1} - a_{1},  \\
& p_2 = q_{2} - (m-1) \frac{da_1}{dx} - q_{1}a_{1},  \\
& p_3 = q_{3} - \frac {(m-1)(m-2)}{1\ldot 2} \frac{d^{2}a_1}{dx^2} - q_{1}(m-2) \frac{da_1}{dx} - q_{2}a_{1},  \\
& \makebox[24em]{\dotfill},\\
& p_m = -
\dfrac{d^{m-1}a_1}{dx^{m-1}} - q_1
\dfrac{d^{m-2}a_1}{dx^{m-2}} - q_2
\dfrac{d^{m-3}a_1}{dx^{m-3}} - \dotsb - q_{m-2}
\dfrac{da_1}{dx} - q_{m-1}a_1.
\end{aligned}
\right.
\]

% *** File: 090.png---

Si donc on part de l'expression $A_m$, et qu'on veuille former successivement
les expressions
\[
A_{m}A_{m-1},\quad A_{m}A_{m-1}A_{m-2}, \quad\dots,\quad A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1},
\]
on saura, par les formules (1), de quels termes il faut augmenter chaque
coefficient dans le passage d'une expression à la suivante, et l'on en
déduit aisément les valeurs des coefficients $p$:
\begin{equation}\tag{2}
\left\{
\begin{aligned}
p_1 &= -(a_1 + a_2 + \dotsb + a_m),
\\
p_2 &= \sum a_{i}a_j - (m-1)\,\frac{da_1}{dx} -
      (m-2)\,\frac{da_2}{dx} - (m-3) \frac{da_3}{dx} -
      \ldots - \frac{da_{m-1}}{dx},
\\
p_3 &= \begin{aligned}[t]
      &- \sum a_{i}a_{j}a_{k} -
         \left[\frac{(m-1)(m-2)}{1\ldot2} \frac{d^{2}a_1}{dx^2} +
               \frac{(m-2)(m-3)}{1\ldot2} \frac{d^{2}a_3}{dx^2} + \dotsb \right]
      \\
      &+ (m-2)(a_2 + a_3 + \dotsb + a_m) \frac{da_1}{dx} +
         (m-3)(a_3 + \dotsb + a_m)\, \frac{da_2}{dx} + \dotsb
      \\
      &+ a_1 \left[ (m-2) \frac{da^2}{dx} +
         (m-3) \frac{da_3}{dx} + \dotsb \right] +
         a_2 \left[ (m-3) \frac{da_3}{dx} + \dotsb \right] + \dotsb
      \end{aligned}
\\[2ex]
\multispan{2}{\dotfill\rule[-1ex]{0pt}{0pt}}
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
On a donc ainsi les coefficients $p$ exprimés à l'aide des coefficients $a$:
\[
p_i = f_{i}(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_m).
\]
Ces coefficients $a$ sont eux-mêmes des fonctions de $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$, définies
par les formules (1) du \nobf{72}.

Mais, si l'on substitue au système $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$ un autre système
pareil, les fonctions $f_i$ de $x$ ne changeront pas, puisqu'elles sont toujours
égales aux quantités $p_i$. Les fonctions $f_1$, $f_2$, \dots, $f_m$ des coefficients $a$
des facteurs sont donc des invariants, en ce sens qu'elles restent
égales à elles-mêmes, quel que soit $x$, quand on change le système
$v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$.

Par exemple, la fonction
\[
f_1 = -(a_1 + a_2 + \dotsb + a_m),
\]
c'est-à-dire
\[
f_1 = - \frac{d\log v_1}{dx} -
        \frac{d\log (v_1 v_2)}{dx} - \dotsb -
        \frac{d\log (v_1 v_2 \ldots v_m)}{dx}
    = - \frac{d\log (v_1^{m} v_2^{m-1} \ldots v_{m - 1}^{2} v_m)}{dx},
\]
est égale à $p_1$, quel que soit le système $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$. Et, en effet, on
% *** File: 091.png---
a vu au \nobf{5} que
\[
v_1^m v_2^{m-1} \ldots v_{m-1}^2 v_m = e^{-\int\! p_1 dx},
\]
car $\Delta$ est égal à $e^{-\int\! p_1 dx}$, d'après la proposition de M.~Liouville, de sorte
que
\[
-\dfrac{d\log(v_1^m v_2^{m-1} \ldots v_{m-1}^2 v_m)}{dx} = p_1.
\]

Remarquons aussi que, si $a_1$, $a_2$, \dots, $a_m$ sont constants, les formules
(2) donnent pour les $p$ des valeurs constantes
\[
p_1 = -\textstyle\sum a_i, \quad p_2 = +\textstyle\sum a_i a_j, \quad
  p_3 = -\textstyle\sum a_i a_j a_k, \quad \ldots ,
\]
qui sont celles des coefficients de l'équation algébrique
\[
(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3) \ldots (x-a_m) = 0,
\]
ayant pour racines $a_1$, $a_2$, \dots, $a_m$.

\myparagraph{75.} Considérant toujours l'équation différentielle $P = 0$, je me propose
de multiplier toutes ses intégrales par $\dfrac{v}{w}$, $v$ et $w$ étant des fonctions
de $x$.

Il est clair que j'atteindrai le but en faisant la substitution $y = \dfrac{w}{v}z$.
L'équation $P\left(\dfrac{w}{v}z\right) = 0$ aura pour intégrales celles de $P(y) = 0$ multipliées
par $\dfrac{v}{w}$. D'autre part, soit
\[
y_1=v_1, \quad y_2=v_1 \tint v_2\,dx, \quad \dots, \quad
  y_m = v_1 \tint v_2\,dx \tint \ldots \tint v_m\,dx
\]
un système fondamental de $P(y) = 0$, et soit
\[
P(y) = A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 A_1
\]
la décomposition  corrélative de $P(y)$. Pour multiplier toutes les
intégrales par $\dfrac{v}{w}$ il suffit évidemment de remplacer $v_1$ par $\dfrac{vv_1}{w}$. Or on a
\[
a_i = \frac{d\log(v_1v_2 \ldots v_i)}{dx};
\]
d'où il suit que changer $v_1$ en $\dfrac{v v_1}{w}$ revient à ajouter à chaque coefficient
% *** File: 092.png---
$a_i$ la quantité
\[
\frac{d}{dx} \log \frac{v}{w} = \frac{d\log v}{dx} - \frac{d\log w}{dx},
\]
et, par conséquent, l'équation
\[
A_m' A_{m-1}' \ldots A_3' A_2' A_1' = 0,
\]
où
\[
A_i' = \frac{dy}{dx} - \left(a_i + \frac{d\log{v}}{dx} - \frac{d\log{w}}{dx}\right)y,
\]
aura pour intégrales celles de $P(y) = 0$ multipliées par $\dfrac{v}{w}$, c'est-à-dire
les mêmes que $P\left(\dfrac{w}{v}z\right) = 0$.

On est donc conduit à l'identité suivante:
\begin{equation}\tag{1}
\frac{v}{w}P\left(\frac{w}{v}y\right) = A_m' A_{m-1}' \ldots A_2' A_1',
\end{equation}
avec les conditions
\[
a_i' = a_i + \frac{d\log v}{dx} - \frac{d\log{w}}{dx}, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m.
\]

Supposons en particulier
\[
v = v_1, \quad w = 1;
\]
nous aurons
\[
\frac{d\log{v}}{dx} = a_1, \quad \frac{d\log{w}}{dx} = 0,
\]
et par suite
\begin{equation}\tag{2}
y_1 P\Big(\frac{y}{y_1}\Big) = A_m' A_{m-1}' \ldots A_2' A_1',
\end{equation}
avec les conditions
\[
a_i' = a_i + a_1, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m,
\]
et l'on voit que, pour multiplier toutes les solutions de l'équation
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0
\]
par l'une d'elles, satisfaisant à $A_1 = 0$, il suffit d'ajouter $a_1$ à tous les
coefficients $a$.
% *** File: 093.png---

Supposons maintenant
\[
v = 1, \quad w = v_1;
\]
nous aurons l'identité
\begin{equation}\tag{3}
\frac{1}{y_1} P(y_{1}y) = A_m' A_{m-1}' \ldots A_2' A_1',
\end{equation}
avec les conditions
\[
a_i' = a_i - a_1, \quad i=\, 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m,
\]
de sorte que $A'_1$ se réduit à $\dfrac{dy}{dx}$, et l'on voit que, pour diviser toutes
les solutions de
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0
\]
par l'une d'elles, annulant $A_1$, il suffit de retrancher $a_1$ à tous les
coefficients $a$.


\myparagraph{76.} En 1874, M.~Vincent a publié un travail%
\footnote{Première Thèse, présentée à la Faculté de Rennes, année 1874.}
sur les analogies
entre les équations différentielles linéaires et les équations algébriques.
\og J'ai été conduit, dit M.~Vincent, à faire porter le raisonnement, non
pas sur les solutions particulières, mais sur leurs dérivées logarithmiques
$\dfrac{1}{y}\:\dfrac{dy}{dx}$.\fg{} C'est qu'en effet, comme je l'ai montré au \nobf{73}, ces
dérivées ont une signification remarquable, mise en évidence par la
décomposition en facteurs premiers symboliques, et qui fait pressentir
tout l'avantage qu'on peut retirer de leur emploi direct. Les dérivées
logarithmiques des solutions de l'équation $P = 0$ ne sont autres que les
valeurs du coefficient du dernier facteur symbolique dans les différentes
décompositions du premier membre $P$. Dès lors, toutes les analogies
signalées par M.~Vincent deviennent encore plus sensibles.

Étant donnée une équation algébrique $F(y) = 0$, dont le premier
membre est décomposé en facteurs premiers,
\[
F(y)=(y-\alpha_m)(y-\alpha_{m-1}) \ldots (y-\alpha_2)(y-\alpha_1),
\]
lorsqu'on veut la débarrasser d'une racine $\alpha_1$, on supprime le facteur
% *** File: 094.png---
$y - \alpha_1$. De même, étant donnée l'équation différentielle $P(y) = 0$, dont
le premier membre est décomposé en facteurs premiers symboliques,
\[
P = A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1,
\]
pour la débarrasser d'une intégrale particulière $y_1 = v_1$, qui est en
même temps solution de $A_1 = 0$, il suffira de barrer le dernier facteur
$A_1$. Si
\[
y_1 = v_1,\quad y_2 = v_1 \tint v_{2}\,dx,\quad \dots, \quad
  y_m = v_1 \tint v_2 \,dx \tint \ldots \tint v_m \,dx
\]
est le système fondamental corrélatif de la décomposition considérée,
l'équation différentielle linéaire, homogène, d'ordre $m - 1$,
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2= 0,
\]
admettra le système fondamental
\[
v_1 v_2,\ v_1 v_2 \tint v_3\, dx,\ \dots,\ %
  v_1 v_2 \tint v_3\, dx \tint \ldots \tint v_m\, dx,
\]
c'est-à-dire
\[
y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_2}{y_1},\quad
  y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_3}{y_1}, \quad\dots, \quad
  y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_m}{y_1}.
\]

Connaissant la racine $\alpha_1$ de l'équation algébrique $F = 0$, on peut
encore abaisser le degré de cette équation en égalant le facteur $y - \alpha_1$
à $t$, c'est-à-dire en diminuant les racines de $\alpha_1$; l'équation en $t$ admet
alors la racine $t = 0$, dont on la débarrasse. De même, connaissant l'intégrale
particulière $y_1$ de l'équation différentielle $P = 0$, on abaissera
l'ordre de cette équation en égalant à $\dfrac{dt}{dx}$ le dernier facteur $A_1$, qui est
annulé par $y_1$; l'équation en $t$ admettant alors la solution $\dfrac{dt}{dx} = 0$, on
prendra pour inconnue $\dfrac{dt}{dx} = z$, ce qui, en somme, revient à poser
\[
\frac{dy}{dx} - \frac{1}{y_1}\: \frac{dy_1}{dx} y = z.
\]
Nous obtiendrons évidemment ainsi l'équation
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0
\]
et, par conséquent, la même équation que précédemment. Au surplus,
% *** File: 095.png---
la relation
\[
\frac{dy}{dx} - \frac{1}{y_1} \: \frac{dy_1}{dx} y =z,
\]
qu'on peut écrire
\[
z = y_1 \frac{y_1 \dfrac{dy}{dx} - y \dfrac{dy_1}{dx}}{y_1^2} = y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y}{y_1},
\]
montre que l'équation obtenue par ce second procédé doit admettre
les intégrales
\[
y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_2}{y_1}, \quad
  y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_3}{y_1}, \quad \dots, \quad
  y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y_m}{y_1}.
\]

Ainsi donc, étant donnée l'expression différentielle $P$, qui est annulée
par $y_1$, si l'on pose
\[
\frac{dy}{dx} - a_1y = z,
\]
$y_1$ satisfaisant à l'équation
\[
A_1 = \frac{dy}{dx} - a_1y = 0,
\]
on obtiendra l'expression différentielle linéaire, homogène, d'ordre
$m - 1$,
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2,
\]
$A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 A_1$ étant une décomposition de $P$ en facteurs premiers
symboliques.

De même, si l'on connaît une solution particulière de l'équation
transformée
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0
\]
annulant $A_2$, on abaissera l'ordre de cette équation en prenant pour
inconnue $A_2$, ce qui revient à barrer $A_2$, et ainsi de suite.

Inversement, lorsqu'on voudra introduire une nouvelle solution $y_0$
dans l'équation $P(y) = 0$, on fera la substitution
\[
y = \frac{dz}{dx} - a_{0}z = A_0,
\]
$a_0$ désignant la dérivée logarithmique de cette solution, et si l'on a
\[
P = A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 A_1,
\]
% *** File: 096.png---
l'équation nouvelle sera
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 A_1 A_0 = 0.
\]

Elle admettra pour intégrales
\[
y_0,\quad y_0 \int \frac{y_1}{y_0}\:dx, \quad
  y_0 \int \frac{y_2}{y_0}\:dx, \quad \dots, \quad
  y_0 \int \frac{y_m}{y_0}\:dx,
\]
ce qu'on peut écrire
\[
e^{\int\! a_0\, dx}, \quad
  e^{\int\! a_0\, dx}\tint y_1 e^{-\int\! a_0\, dx}\,dx, \quad \dots, \quad
  e^{\int\! a_0\, dx}\tint y_m e^{-\int\! a_0\, dx}\,dx.
\]

\myparagraph{77.} Si je considère l'équation différentielle
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} +
  q_1 \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + q_{m-1}y = 0,
\]
et si, appliquant la méthode précédente, j'introduis une solution de
$A_1 = 0$, j'obtiendrai l'équation
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 A_1 = \frac{d^{m}y}{dx^m} +
  p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y = 0.
\]

Les formules (1) du \nobf{74} font connaître les valeurs des nouveaux
coefficients $p$ en fonction de $a_1$ et des coefficients $q$.

Réciproquement, si je débarrasse l'équation
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0
\]
de la solution de $A_1= 0$, en supprimant le facteur $A_1$, j'obtiendrai
l'équation
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0,
\]
dont les coefficients $q$ seront donnés par les mêmes formules~(1) du \nobf{74},
résolues par rapport à $q_1$, $q_2$, \dots, $q_m$:
\[
\tag{1}
\left\{
\begin{aligned}
  q_1 &= a_{1} + p_{1},\\
  q_2 &= q_{1}a_{1} + p_{2} + (m-1) \frac{da_1}{dx},\\
  q_3 &= q_{2}a_{1} + p_{3} + \frac {(m-1)(m-2)}{1\ldot 2} \:
  \frac{d^{2}a_{1}}{dx^{2}} + q_{1}(m-2)\frac{da_{1}}{dx},\\[1ex]
\multispan{2}{\dotfill.\rule[-1ex]{0pt}{0pt}}
\end{aligned}
\right.
\]

% *** File: 097.png---

On voit donc que les termes indépendants des dérivées de $a_1$ se déduisent
les uns des autres comme les coefficients du quotient d'un polynôme
par $y - a_1$, de sorte que, si $a_1$ est constant, les coefficients $q$ sont ceux
du quotient du polynôme
\[
y^m + p_{1}y^{m-1} + p_{2}y^{m-2} + \dotsb + p_m
\]
par $y-a_1$.

\myparagraph{78.} Le mode de transformation de l'équation $P=0$, propre à abaisser
son ordre d'une unité quand on en connaît une solution particulière
$y_1$, et qui consiste à poser
\[
\frac{dy}{dx} -\frac{1}{y_1} \: \frac{dy_1}{dx} y =z,
\]
diffère du procédé ordinairement usité, où l'on pose
\[
y =y_1 \tint z\, dx.
\]

Il existe une relation simple entre les deux procédés. L'égalité
$y=y_1 \int z \,dx$ donne, en effet,
\[
z = \frac{d}{dx} \: \frac{y}{y_1},
\]
tandis que la substitution $\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{1}{y_1} \:\dfrac{dy_1}{dx} y = z$ conduit à
\[
z = y_1 \frac{d}{dx} \: \frac{y}{y_1}.
\]
Donc les intégrales de l'équation $A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0$, obtenue par l'une
des deux méthodes, sont égales à celles de l'équation $P(y_1 \tint z\,dx) = 0$,
obtenue par l'autre, multipliées par $y_1$.

Je vais conclure de là deux identités, en ramenant les deux équations
à avoir les mêmes intégrales.

Si je multiplie par $y_1$ les solutions de $P(y_1 \tint z\,dx) = 0$, ce qui se fait
en changeant $z$ en $\dfrac{z}{y_1}$, comme le premier coefficient de $P\Big( y_1 \displaystyle\int \dfrac{z}{y_1}\: dx\Big)$
est l'unité, j'aurai l'identité
\[\tag{1}
P\Big(y_1 \int\frac{y}{y_1}\: dx\Big) = A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2.
\]
% *** File: 098.png---

Si je divise maintenant par $y_1$ les solutions de $A_m A_{m-1} \ldots A_3A_2 = 0$,
ce qui se fait (\nobf{75}) en retranchant $a_1$ à tous les coefficients $a_m$,
$a_{m-1}$, \dots, $a_3$, $a_2$, comme le premier coefficient de $P(y_1 \tint z\,dx)$ est $y_1$,
j'aurai la seconde identité
\[\tag{2}
\frac{1}{y_1} P(y_1 \tint y\,dx) = A_m' A_{m-1}' \ldots A_3' A_2',
\]
où l'on a
\[
a_i' = a_i - a_1, \quad\dots,\quad i= 2, 3, \dots, m.
\]

Remarquons que, si dans l'équation
\[
P\Big(y_1 \int \frac{y}{y_1}\: dx\Big) = A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0
\]
on remplace $y_1$ par sa valeur $y_1 = e^{\int\! a_1\, dx}$, et si l'on pose $y = e^{\int\! u_2\,dx}$, elle
deviendra
\[
P(e^{\int\! a_1\, dx} \tint e^{\int (u_2 - a_1)\,dx}\,dx) = 0
\]
et coïncidera, par conséquent, avec l'équation en $u_2$ du \nobf{73}, et les
équations en $u_1$, $u_2$, \dots, $u_m$ du dit numéro, qui déterminent $a_1$, $a_2$, \dots,
$a_m$, se déduisent des équations linéaires et homogènes
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0, \quad
A_m A_{m-1} \ldots A_2  = 0, \quad\dots, \quad
A_m A_{m-1} = 0,\quad
A_m = 0,
\]
en posant successivement, dans la première, $y=e^{\int\! u_1\, dx}$; dans la
deuxième, $y= e^{\int\! u_2\, dx}$; dans la troisième, $y = e^{\int\! u_3\, dx}$, etc.

\myparagraph{79.} Étant donnée une équation algébrique admettant la racine $y_1$,
pour que l'équation obtenue en supprimant le facteur $y - y_1$ admette
encore la racine $y_1$, il faut et il suffit que $y_1$ satisfasse à l'équation
dérivée.

De même, étant donnée l'équation différentielle
\[
P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y = 0,
\]
qui admet la solution $y_1$ annulant $A_1$, pour que l'équation obtenue en
barrant le dernier facteur $A_1$ dans
\[
P=A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0
\]
% *** File: 099.png---
admette encore la solution $y_1$, il faut et il suffit que $y_1$ satisfasse à
l'équation
\[
m \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + (m-1)p_1 \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb +
  2p_{m-2} \frac{dy}{dx} + p_{m-1}y = 0.
\]

En effet, l'identité (1) du numéro précédent montre que la condition
pour que l'équation
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0
\]
soit vérifiée pour $y = y_1$ est que l'on ait
\[
P\Big(y_1 \int \frac{y_1}{y_1} \: dx\Big) = 0 \quad \text{ou} \quad P(xy_1) = 0,
\]
c'est-à-dire que $P = 0$ admette l'intégrale $xy_1$. Or, si nous exprimons
cette condition, en tenant compte de $P(y_1) = 0$, nous trouvons
\[
m \frac{d^{m-1}y_1}{dx^{m-1}} + (m+1) p_1 \frac{d^{m-2}y_1}{dx^{m-2}} + \dotsb +
  2p_{m-2} \frac{dy_1}{dx} + p_{m-1}y_1 = 0.
\]

\myparagraph{80.} La condition précédente, écrite sous la forme $P(xy_1) = 0$, fait
voir que, pareillement, pour que l'équation obtenue en débarrassant
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0
\]
de la solution $y_1$ admette encore cette intégrale, il faut et il suffit que
l'on ait
\[
P\Big(y_1 \int \frac{xy_1}{y_1} \: dx\Big) = 0 \quad\text{ou}\quad P(x^{2}y_1) = 0;
\]
et, généralement, la condition nécessaire et suffisante pour que $y_1$ soit
solution de l'équation $P = 0$ et des $n - 1$ équations qui se déduisent
successivement l'une de l'autre en posant
\[
\frac{dy}{dx} - \frac{1}{y_1} \: \frac{dy_1}{dx} = z
\]
est que $P = 0$ admette les $n$ intégrales
\[
y_1,\ xy_1,\ x^{2}y_1,\ \dots,\ x^{n-1}y_1.
\]
Ces solutions, en progression géométrique de raison $x$, ont été appelées
% *** File: 100.png---
par M.~Brassine solutions \emph{conjuguées}. L'analogue d'une équation
algébrique ayant $n$ racines égales est donc une équation différentielle
linéaire ayant $n$ solutions conjuguées.

\emph{Lorsque l'équation différentielle $P = 0$ admet $n$ solutions conjuguées,
on peut décomposer le premier membre $P$ en $m$ facteurs premiers symboliques
dont les $n$ derniers seront égaux.}

Soit, en effet,
\[
y_1 = v_1, \quad y_2 = xv_1, \quad y_3=x^{2}v_1, \quad\dots,\quad
  y_n = x^{n-1}v_1, \quad y_{n+1}, \quad\dots,\quad y_m
\]
un système fondamental de $P = 0$, et soit
\[
P = A_m A_{m-1} \ldots A_n \ldots A_2 A_1
\]
la décomposition corrélative de $P$. Elle jouira de la propriété énoncée,
car, si l'on calcule $v_2$, $v_3$, \dots, $v_n$ par les formules
\[
y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_2 \,dx, \quad\dots,\quad
  y_n = v_1 \tint v_2\,dx \tint \ldots \tint v_n\, dx,
\]
on trouve successivement
\[
v_2 = 1, \quad v_3 = 2, \quad v_4 = 3, \quad\dots,\quad v_n = n-1,
\]
de sorte que l'on a
\[
a_i = \frac{d\log(v_1 v_2 \ldots v_i)}{dx} =
  \frac {d\log[1\ldot2\ldot3 \ldots (i-1)v_1]}{dx} = \frac{d\log v_1}{dx},
\]
ou
\[
a_i = a_1, \quad i = 2, 3, \dots, n.
\]

\spreadout{La démonstration pourrait d'ailleurs se conclure de ce fait que l'expression} \\
$A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2$, devant encore s'annuler pour $y=y_1$, peut
se mettre sous la forme
\[
A_m' A_{m-1}' \ldots A_3' A_1.
\]

Réciproquement, \emph{si l'expression $P$ est décomposable en $m$ facteurs premiers
symboliques dont les $n$ derniers sont égaux, l'équation  $P = 0$
admettra $n$ solutions conjuguées.}

\spreadout{Si, en effet, on forme le système fondamental corrélatif de la décomposition} \\
$A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1$, savoir:
\[
y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_2\, dx, \quad\dots,\quad
  y_m = v_1 \tint v_2 \,dx \tint \ldots \tint v_m \,dx,
\]
% *** File: 101.png---
on voit immédiatement que $v_2$, $v_3$, \dots, $v_n$, étant donnés par les formules
(\nobf{72})
\[
v_2 = e^{\int (a_2 - a_1)\,dx}, \quad
v_3 = e^{\int (a_3 - a_2)\,dx}, \quad\dots,\quad
v_n = e^{\int (a_n - a_{n-1})\,dx},
\]
où l'on a
\[
a_1 = a_2 = a_3 = \ldots = a_n,
\]
sont des constantes, d'où il résulte que $y_1$, $y_2$, \dots, $y_n$, sont de la forme
\[
y_1 = v_1, \quad y_2 = x v_1, \quad y_2 = x^2 v_1, \quad\dots,\quad y_n = x^{n-1} v_1.
\]

Nous avons vu une vérification de cette réciproque au \nobf{73}, pour
l'équation du second ordre.

On peut aisément se rendre compte de ce qui a lieu pour une
équation
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1 = 0,
\]
où $n$ facteurs consécutifs sont égaux, mais non plus les derniers. Supposons,
par exemple,
\[
A_{n+1} = A_n = A_{n-1} = \ldots = A_2.
\]
L'équation
\[
A_m A_{m-1} \ldots A_3 A_2 = 0
\]
admet alors les $n$ solutions conjuguées
\[
v_1 v_2,\ x v_1 v_2,\ x^{2}v_1 v_2,\ \dots,\ x^{n-1}v_1 v_2.
\]
Donc (\nobf{76}) la proposée admettra les $n$ intégrales
\[
y_2 = v_1 \tint v_2\,dx, \quad y_3=v_1 \tint x v_2\,dx, \quad
y_4 = v_1 \tint x^2 v_2\,dx, \quad\dots,\quad
y_{n+1} = v_1 \tint x^{n-1} v_2\,dx,
\]
qui sont telles qu'on a
\[
\frac{d}{dx} \: \frac{y_2}{v_1} = v_2, \quad
\frac{d}{dx} \: \frac{y_3}{v_1} = x v_2, \quad\dots,\quad
\frac{d}{dx} \: \frac{y_{n+1}}{v_1} = x^{n-1}v_2.
\]
Ce sont ces dérivées qui sont conjuguées et non plus les solutions
elles-mêmes.

\myparagraph{81.} Je me propose à présent de décomposer l'expression différentielle
\[
P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y
\]
% *** File: 102.png---
en facteurs premiers symboliques, dans les deux cas particuliers où
l'équation $P = 0$ est intégrable, savoir
\[
p_i = \frac{R_{i}}{(rx + s)^i}, \quad p_i = R_i,
\]
$R_i$, $r$ et $s$ étant des constantes.

Considérons d'abord l'expression
\[
P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} +
       \frac{R_1}{rx + s} \: \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} +
       \frac{R_2}{(rx + s)^2} \: \frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb +
       \frac{R_{m}}{(rx + s)^{m}} y,
\]
que je veux mettre sous la forme
\[
P=A_{m} A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}.
\]
On sait que, si $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_m$ sont les racines de l'équation algébrique
\begin{multline*}
r^{m}\rho (\rho - 1) \ldots (\rho - m +1) +
  R_{1}r^{m-1}\rho(\rho-1) \ldots (\rho - m + 2) + \dots
\\
{}+ R_{m-2}r^{2} \rho (\rho - 1) + R_{m-1}r \rho + R_{m} = 0,
\end{multline*}
obtenue en posant $y = (rx + s)^{\rho}$ dans $P(y) = 0$, l'équation $P = 0$
admet les intégrales
\[
(rx + s)^{\rho_{1}}, \quad (rx + s)^{\rho_{2}}, \quad\dots,\quad (rx + s)^{\rho_{m}},
\]
qui, en général, sont linéairement indépendantes. Connaissant ces intégrales,
j'en déduis facilement $v_{1}$, $v_{2}$, \dots, $v_{m}$ par les formules
\[
(rx + s)^{\rho_1} = v_{1}, \quad (rx + s)^{\rho_2} = v_{1} \tint v_{2}\,dx, \quad\dots,\quad
(rx + s)^{\rho_m} = v_1 \tint v_{2}\,dx \tint \ldots \tint v_{m}\,dx,
\]
et je trouve
\[
v_1 = (rx + s)^{\rho_1}\!, v_{2} = (rx + s)^{\rho_{2} - \rho_{1}-1}\!, %
v_{3} = (rx + s)^{\rho_{3} - \rho_{2}-1}\!, \dots, %
v_m = (rx + s)^{\rho_{m} - \rho_{m-1}-1}\!,
\]
à des facteurs constants près. On a donc, à un facteur constant près,
\[
v_{1}v_{2} \ldots v_{i} = (rx + s)^{\rho_{i} - i + 1}, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m,
\]
et, par suite, en prenant les dérivées logarithmiques,
\[
a_{1} = \frac{\rho_{1}r}{rx + s}, \quad
a_{2} = \frac{(\rho_{2} - 1)r}{rx + s}, \quad
a_{3} = \frac{(\rho_{3} - 2)r}{rx + s}, \quad\dots,\quad
a_{m} = \frac{(\rho_{m} - m +1)r}{rx + s}.
\]

Ainsi, l'expression $P$ est décomposable en facteurs premiers symboliques
% *** File: 103.png---
de la forme
\[
A_{i} = \frac{dy}{dx} - \frac{k_{i}}{rx + s} \: y,
\]
où $k_{i}$ est une constante égale à $(\rho_{i} - i + 1) r$.

Réciproquement, toute expression composée de facteurs premiers
symboliques tels que
\[
\frac{dy}{dx} - \frac{k_{i}}{rx + s} y,
\]
$k_{i}$ étant constant, sera de la forme $P$, où
\[
p_{i} = \frac{R_{i}}{(rx + s)^{i}}.
\]
C'est en effet ce qui résulte immédiatement des formules (2) du \nobf{74}.

Lorsqu'on a $\rho_{1} = \rho_{2} = \ldots = \rho_{n}$, on voit sans peine que la décomposition
donne les intégrales
\[
(rx + s)^{\rho_{1}}, \quad (rx + s)^{\rho_{1}}\log (rx + s), \quad\dots,\quad
(rx + s)^{\rho_{1}}\log^{n-1} (rx + s),
\]
et, lorsqu'on a $\rho_{1} = \rho_{2} - 1 = \rho_{3} - 2 = \ldots = \rho_{n} - n +1$, elle donne
les solutions
\[
(rx + s)^{\rho_{1}}, \quad (rx + s)^{\rho_{1} + 1}, \quad
(rx + s)^{\rho_{1} + 2}, \quad\dots,\quad (rx + s)^{\rho_{1} + n - 1},
\]
équivalentes évidemment aux solutions conjuguées
\[
(rx + s)^{\rho_{1}}, \quad x(rx + s)^{\rho_{1}},
\quad\dots,\quad x^{n-1}(rx + s)^{\rho_{1}},
\]
ce qui devait être d'après le numéro précédent; de sorte que, quand
l'équation algébrique en $\rho$ a $n$ racines en progression arithmétique de
raison 1, l'équation différentielle a $n$ solutions en progression géométrique
de raison $x$.

\myparagraph{82.} Je considère maintenant l'expression
\[
P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y
\]
dans le cas où les coefficients $p_{1}$, $p_{2}$, \dots, $p_m$ sont constants. C'est ici
que l'analogie de l'équation $P = 0$ avec une équation algébrique va se
présenter de la manière la plus complète.
% *** File: 104.png---

Il a été établi au \nobf{74} que, si l'on effectue la composition des
facteurs
\[
A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1},
\]
dont les coefficients $a$ sont constants, on obtient une expression différentielle
dont les coefficients ont pour valeurs
\[
-\textstyle\sum {a_{i}}, \quad +\textstyle\sum {a_{i}a_{j}}, \quad
-\textstyle\sum{a_{i}a_{j}a_{k}}, \quad\dots,
\]
de sorte que ces coefficients sont eux-mêmes constants. Inversement,
les coefficients $p_{1}$, $p_{2}$, \dots, $p_m$ étant constants, si l'on détermine les $a$
par les formules
\[
p_{1}=-\textstyle\sum {a_{i}}, \quad p_{2}= +\textstyle\sum {a_{i}a_{j}}, \quad
p_{3}=-\textstyle\sum{a_{i}a_{j}a_{k}}, \quad\dots,
\]
on obtiendra des valeurs constantes qui sont les racines de l'équation
algébrique
\[
\rho^{m} + p_{1}\rho^{m-1} + p_{2}\rho^{m-2} + \dotsb + p_{m} = 0,
\]
obtenue en posant $y = e^{\rho x}$ dans $P(y)=0$.

Donc, toute expression telle que $P$ est décomposable (\nobf{44}) en
$m$ facteurs premiers symboliques à coefficients constants, ces coefficients
étant les racines du polynôme
\[
e^{-\rho x}P(e^{\rho x}).
\]

Remarquons que les coefficients $p$ sont des fonctions symétriques
des coefficients $a$; d'où cette proposition:

Dans une expression composée de facteurs premiers symboliques
à coefficients constants, on peut intervertir d'une manière quelconque
l'ordre des facteurs sans altérer les coefficients de l'expression résultante.

Il résulte de là que:

Pour qu'une expression composée de facteurs premiers symboliques
à coefficients constants soit nulle, il suffit qu'un de ces facteurs soit
nul, ou, plus généralement, qu'une expression composée de plusieurs
de ces facteurs soit nulle.

Car, si $A_{8}A_{6}A_3$, par exemple, est nul, l'expression proposée, pouvant
s'écrire $A_{m}A_{m-1} \ldots A_{1}A_{8}A_{6}A_{3}$, sera elle-même nulle.

Ce dernier théorème donne immédiatement l'intégrale générale de
l'équation $P = 0$.
% *** File: 105.png---

En effet, si les facteurs $A$ sont inégaux, en les égalant séparément à
zéro, nous obtenons $m$ solutions linéairement indépendantes
\[
e^{\alpha_{1}x}, \  e^{\alpha_{2}x}, \ %
e^{\alpha_{3}x}, \ \dots, \  e^{\alpha_{m}x},
\]
Si maintenant $\alpha_1$ facteurs sont égaux à $A_{1}$, $\alpha_{2}$ à $A_{2}$, \dots, $\alpha_n$ à $A_{n}$, de
telle sorte que
\[
\alpha_{1} + \alpha_{2} + \dotsb + \alpha_{n} = m,
\]
égalons séparément à zéro ces $n$ groupes de facteurs égaux
\[
A_{1}A_{1} \ldots A_{1}= 0, \quad A_{2}A_{2} \ldots A_{2}= 0,
\quad\dots,\quad A_{n}A_{n} \ldots A_{n}= 0;
\]
il résulte du \nobf{80} que ces $n$ équations ont chacune toutes leurs solutions
conjuguées et égales respectivement à
\begin{align*}
&e^{\alpha_{1} x},\ xe^{\alpha_{1} x},\ \dots,\ x^{\alpha_1-1}e^{\alpha_{1} x},\\
\multispan{2}{\dotfill,\ }\\
&e^{\alpha_{n} x},\ xe^{\alpha_{n} x},\ \dots,\ x^{\alpha_{n}-1}e^{\alpha_{n} x}.
\end{align*}
Nous avons donc encore ici $m$ intégrales, et elles sont linéairement
indépendantes.

\myparagraph{83.} Soit une expression différentielle
\[
A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}
\]
composée de $m$ facteurs premiers symboliques, et soit
\[
P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_{1}\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y
\]
ce qu'elle devient quand on effectue la composition des facteurs $A$.
Lorsqu'on pourra intervertir d'une manière quelconque l'ordre de ces
facteurs sans altérer les coefficients $p_1$, $p_2$, \dots, $p_m$ de l'expression résultante,
on dira que ces facteurs sont \emph{commutatifs}. En adoptant successivement
deux dispositions différentes pour les facteurs, puis effectuant
dans chaque cas les opérations, on obtiendra deux expressions
différentielles identiques, c'est-à-dire que les coefficients des dérivées
de même ordre, dans les deux expressions, seront égaux.

Nous avons vu qu'une expression différentielle linéaire, à coefficients
constants, peut se décomposer en facteurs commutatifs. Je vais étudier
% *** File: 106.png---
d'une manière générale les expressions linéaires homogènes qui sont
décomposables en facteurs premiers symboliques commutatifs.

\myparagraph{84.} Considérons l'expression différentielle
\[
A_{m}A_{m-1} \ldots A_{3}A_{2}A_{1},
\]
et comparons-la à l'expression
\[
A_{m-1}A_{m} \ldots A_{3}A_{2}A_{1}.
\]
J'effectue les opérations $A_{m-2}A_{m-3} \ldots A_{2}A_{1}$, et je pose
\[
A_{m-2}A_{m-3} \ldots A_{2}A_{1}=A.
\]
On a
\begin{align*}
A_{m}A_{m-1}A &= \frac{d^{2}A}{dx^2}-(a_{m-1}+a_{m}) \frac{dA}{dx} +
  \Big(a_{m-1}a_{m}- \frac{da_{m-1}}{dx}\Big)A,\\
A_{m-1}A_{m}A &= \frac{d^{2}A}{dx^2}-(a_{m-1}+a_{m}) \frac{dA}{dx} +
  \Big(a_{m-1}a_{m}- \frac{da_m}{dx}\Big)A.\\
\end{align*}

Si donc $\dfrac{da_{m}}{dx}$ et $\dfrac{da_{m-1}}{dx}$ sont égaux, c'est-à-dire si $a_m - a_{m-1}$ est constant,
les deux expressions $A_{m}A_{m-1}A$ et $A_{m-1}A_{m}A$ seront identiques,
et, réciproquement, si $A_{m}A_{m-1}A$ et $A_{m-1}A_{m}A$ sont identiques, la différence
\[
A_{m}A_{m-1}A - A_{m-1}A_{m}A = \Big(\frac{da_{m}}{dx} - \frac{da_{m-1}}{dx}\Big)A
\]
devant alors être nulle identiquement, comme $A$ ne l'est pas,
\[
\frac{da_{m}}{dx} - \frac{da_{m-1}}{dx}
\]
sera nul et $a_{m}-a_{m-1}$ sera constant.

D'où cette proposition:

Pour que, dans une expression différentielle composée de facteurs
premiers symboliques, on puisse intervertir les deux premiers, il faut
et il suffit que les coefficients de ces deux facteurs diffèrent par une
constante.

Comparons maintenant les deux expressions
\[
A_{m}A_{m-1}A_{m-2}A_{m-3}A_{m-4} \ldots A_{1} \quad\text{et}\quad
A_{m}A_{m-1}A_{m-3}A_{m-2}A_{m-4} \ldots A_{1}.
\]
% *** File: 107.png---
Si les coefficients $a_{m-2}$ et $a_{m-3}$ diffèrent par une constante, d'après le
théorème précédent,
\[
A_{m-2}A_{m-3}A_{m-4} \ldots A_{1} \quad\text{et}\quad
A_{m-3}A_{m-2}A_{m-4} \ldots A_{1}
\]
seront identiques, et, par suite, il en sera de même des deux expressions
considérées. Inversement, je dis que, si ces deux dernières
expressions sont identiques,
\[
A_{m-2}A_{m-3}A_{m-4} \ldots A_{1} = S \quad\text{et}\quad
A_{m-3}A_{m-2}A_{m-4} \ldots A_{1} = T
\]
seront aussi identiques, et, par conséquent, $a_{m-2}$ et $a_{m-3}$ différeront
par une constante. En effet, la différence
\[
A_{m}A_{m-1}S - A_{m}A_{m-1}T = A_{m}A_{m-1}(S-T)
\]
est alors identiquement nulle. Or on a
\[
A_{m}A_{m-1}(S-T) = \frac{d^2 (S-T)}{dx^2}
 - (a_{m-1} + a_{m})\frac{d   (S-T)}{dx}
 + \Big(a_{m-1}a_{m} - \frac{da_{m-1}}{dx}\Big)(S-T);
\]
donc $S$ et $T$ sont identiques, car, sinon, soit $r\dfrac{d^n y}{dx^n}$ le premier terme qui
ne disparaît pas dans la différence $S - T$; $A_{m}A_{m-1}(S - T)$ contiendrait
le terme irréductible $r\dfrac{d^{n+2}y}{dx^{n+2}}$, et, par suite, ne serait pas identiquement
nul.

On peut donc énoncer la proposition suivante:

Pour que, dans une expression différentielle composée de facteurs
premiers symboliques, on puisse intervertir deux facteurs consécutifs,
il faut et il suffit que les coefficients de ces deux facteurs diffèrent par
une constante.

On en déduit la proposition générale:

\myprop{Pour que, dans une expression différentielle composée de facteurs premiers
symboliques, ces facteurs soient commutatifs, il faut et il suffit que
les différences de leurs coefficients, pris deux à deux, soient des constantes.}

\myparagraph{85.} Ces conditions, imposées aux coefficients des équations composantes,
condu\-isent à des relations correspondantes entre leurs intégrales.
% *** File: 108.png---

Considérons, en effet, les deux équations
\[
\frac{dy}{dx} - a_{n}y = 0, \quad \frac{dy}{dx} - a_{r}y = 0,
\]
et soient $y_n$ et $y_r$ leurs intégrales générales respectives. Si je pose dans
la première $y =y_{r}z$, j'obtiens l'équation en $z$
\[
\frac{dz}{dx} - (a_{n}-a_{r})z = 0,
\]
qui donne le rapport $\dfrac{y_{n}}{y_{r}}$ des deux intégrales. Or, si $a_{n} - a_{r}$ est constant,
elle donne $z = C e^{\alpha x}$, $\alpha$ étant constant comme $C$, et inversement,
si $z$ est de cette forme, $a_{n} - a_{r}$ sera constant; de sorte que dire que
$a_{n} - a_{r}$ est constant revient à dire que le rapport $\dfrac{y_{n}}{y_r}$ est de la forme
\[
\frac{y_{n}}{y_r}= Ce^{\alpha x},
\]
d'où cette transformation de la proposition générale:

\myprop{Pour que, dans une expression différentielle composée de facteurs premiers
symboliques, ces facteurs soient commutatifs, il faut et il suffit
que les rapports des intégrales des équations composantes, prises deux à
deux, soient de la forme $Ce^{\alpha x}$, $C$ et $\alpha$ étant des constantes.}

\myparagraph{86.} Il est clair qu'une expression composée de facteurs premiers
symboliques commutatifs sera nulle si l'un de ces facteurs est nul, ou,
plus généralement, si une expression composée avec plusieurs de ces
facteurs est nulle.

On déduirait de là, comme dans le cas des coefficients constants,
l'intégrale générale de l'équation, intégrale qu'on peut d'ailleurs
trouver de plusieurs façons, par exemple à l'aide des formules du
\nobf{72}; mais je la conclurai des considérations qui vont suivre.

Je me propose actuellement de trouver la forme des expressions différentielles
\[
P(y) = \frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + p_{m}y,
\]
qui sont décomposables en facteurs premiers symboliques commutatifs.
% *** File: 109.png---

Remarquons d'abord que les coefficients $p$ seront nécessairement des
fonctions symétriques des coefficients $a$ des facteurs commutatifs. On
calculerait ces fonctions par les formules (2) du \nobf{74}, en y supposant
\[
\frac{da_{1}}{dx} = \frac{da_{2}}{dx} = \ldots = \frac{da_{m}}{dx}.
\]
Par exemple, on a
\[
p_1 =  -\textstyle\sum a_{i}, \quad
p_2 = \textstyle\sum a_{i}a_{j} -\displaystyle\frac{m(m-1)}{2} \: \frac{da_{1}}{dx}.
\]

Si l'expression P est décomposable en facteurs commutatifs, on a
\[
P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_{1},
\]
où les différences deux à deux des coefficients $a$ sont constantes. Soit
$y_n$ une solution de l'une quelconque des équations composantes, de
$A_n = 0$ par exemple: $y_n$ sera une intégrale de $P = 0$. Or, l'identité (3)
du \nobf{75} donne
\[
\frac{1}{y_{n}} P(y_{n} y)=A_{m}'A_{m-1}' \ldots A_{2}'A_{1}',
\]
avec les conditions
\[
a_{i}' = a_{i} - a_{n}, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m.
\]
Donc l'expression $\dfrac{1}{y_{n}} P(y_{n} y)$ a ses coefficients constants et est de la
forme
\[
\frac{1}{y_{n}} P(y_{n} y)= Q(y) =
\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + q_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + q_{m-1} \frac{dy}{dx},
\]
et, si je change $y$ en $\dfrac{y}{y_n}$, j'aurai
\[
P(y) = y_{n}Q\Big(\frac{y}{y_n}\Big).
\]

Par conséquent, \emph{toute expression $P(y)$, décomposable en facteurs commutatifs,
est de la forme}
\[
P(y) = y_{n}Q\Big(\frac{y}{y_n}\Big),
\]
% *** File: 110.png---
\emph{$y_n$ étant une fonction de $x$, et $Q(y)$ une expression telle que
\[
\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + q_{1} \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} + \dotsb + q_{m-1} \frac {dy}{dx},
\]
où les coefficients $q$ sont constants.}

\emph{Inversement, toute expression de la forme
\[
P(y) = y_{n}Q\Big(\frac{y}{y_{n}}\Big)
\]
est décomposable en facteurs commutatifs.}

On a, en effet,
\[
Q(y) = B_{m}B_{m-1} \ldots B_{2}B_{1},
\]
où les coefficients $b$ des facteurs sont constants. Or, l'identité (2) du
\nobf{75} nous donne
\[
y_{n}Q\Big(\frac{y}{y_{n}}\Big) = B_{m}'B_{m-1}' \ldots B_{2}'B_{1}',
\]
avec les conditions
\[
b'_{i} = b_{i} + \frac{d\log{y_n}}{dx}, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m.
\]
Donc les coefficients $b'$ des facteurs $B'$ diffèrent deux à deux par des
constantes, et, par suite, ces facteurs sont commutatifs.

La forme $y_{n}Q\Big(\dfrac{y}{y_n}\Big)$ est donc nécessaire et suffisante pour que $P(y)$
soit décomposable au moins en un système de facteurs commutatifs.

Il est facile de conclure de là l'intégrale générale de $P = 0$ dans ce
cas. Soient, en effet, $w_1$, $w_2$, \dots, $w_m$ les intégrales particulières de
$Q(y) = 0$; l'une d'elles est constante, puisque $Q(y)$ ne renferme pas
de terme en $y$, et les autres sont de la forme $x^{i}e^{x\rho}$. L'équation
$Q \Big(\dfrac{y}{y_n}\Big) = 0$ ou $P(y) = 0$ admettra les intégrales linéairement indépendantes
\[
y_{n}w_{1},\ y_{n}w_{2},\ \dots,\ y_{n}w_{m}.
\]
Donc, lorsque $P$ est décomposable en facteurs commutatifs, si $y_n$ désigne
une fonction annulant l'un de ces $m$ facteurs, l'équation $P = 0$
admet $m$ intégrales linéairement indépendantes de la forme $y_{n}x^{i}e^{x\rho}$,
en y comprenant $y_n$.
% *** File: 111.png---

\myparagraph{87.} Cherchons la condition pour que l'expression du second ordre
\[
P(y) = \frac{d^{2}y}{dx^2} + p_1 \frac{dy}{dx} + p_{2}y
\]
soit décomposable en deux facteurs commutatifs
\[
P=A_{2}A_{1}.
\]
Traitons la question directement. On a
\[
A_{2}A_{1} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}} -
(a_{1} + a_{2})\frac{dy}{dx} +
\Big(a_{1}a_{2} - \frac{da_{1}}{dx}\Big),
\]
d'où les deux équations
\[
a_{1} + a_{2} = -p_{1}, \quad a_{1}a_{2} - \frac{da_{1}}{dx} = p_{2},
\]
avec la condition $\dfrac{da_{1}}{dx} = \dfrac{da_{2}}{dx}$. On en déduit
\begin{gather*}
\frac{da_{1}}{dx} = \frac{da_{2}}{dx} =
  \frac{1}{2} \: \frac{d(a_{1} + a_{2})}{dx} =
  -\frac{1}{2} \: \frac{dp_{1}}{dx},
\\
a_{1}a_{2} = p_{2} - \frac{1}{2} \: \frac{dp_{1}}{dx},
\\
\left(\frac{a_{1}-a_{2}}{2}\right)^{2} =
\frac{1}{2}\:\frac{dp_{1}}{dx}+\frac{p_{1}^{2}}{4}-p_{2}.
\end{gather*}
Or, la différence $a_{1}-a_{2}$ doit être constante. Donc la condition nécessaire
et suffisante est
\[
\frac{1}{2}\:\frac{dp_{1}}{dx}+\frac{p_{1}^{2}}{4}-p_{2}=\text{const}.
\]

Lorsque la constante est nulle, les deux facteurs commutatifs sont
évidemment égaux, et nous retrouvons bien la relation
\[
\frac{1}{2}\:\frac{dp_{1}}{dx}+\frac{p_{1}^{2}}{4}-p_{2}=0,
\]
trouvée au \nobf{73}.
% *** File: 112.png---

\myparagraph{88.} La décomposition d'une expression différentielle linéaire et
homogène en facteurs premiers symboliques a été étudiée, dans le cas
des coefficients constants, par le géomètre français Brisson, qui en a
déduit une ingénieuse méthode d'intégration des équations linéaires à
coefficients constants, avec ou sans second membre. Cauchy a signalé
la fécondité de cette méthode\footnote{%
\emph{Exercices mathématiques}, t.~II, p.~169.}%
. Je me propose de généraliser le procédé,
qui s'étend aux équations linéaires à coefficients variables, en
montrant comment il fournit l'intégrale générale d'une équation complète
quand on connaît celle de l'équation privée du second membre.

Considérons l'équation linéaire
\[
P(y)=\frac{d^{m}y}{dx^m} + p_{1}\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + p_{m}y=\varpi(x).
\]
Par hypothèse, on connaît l'intégrale générale de l'équation privée du
second membre: $P = 0$. On connaît donc toutes les décompositions
possibles du premier membre en facteurs premiers symboliques. Soit
\[
P=A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}
\]
l'une d'elles. L'intégration de l'équation
\[\tag{1}
A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}=\varpi (x)
\]
peut se ramener à celle d'un système de $m$ équations simultanées,
linéaires et du premier ordre.

En effet, si je pose
\[\tag{2}
A_{m-1}A_{m-2} \ldots A_{1}=u_{m},
\]
l'équation (1) s'écrira
\[
\frac{du_m}{dx}-a_{m}u_{m}=\varpi(x);
\]
si je pose de même
\[\tag{3}
A_{m-2}A_{m-3} \ldots A_1 = u_{m-1},
\]
l'équation (2) s'écrira
\[
\frac{du_{m-1}}{dx} -a_{m-1}u_{m-1}=u_m,
\]
% *** File: 113.png---
et ainsi de suite. J'obtiens donc bien les $m$ équations linéaires du premier
ordre
\begin{align*}
&\begin{alignedat}{4}
&\frac{du_{m}}{dx}   &&- a_{m}  &&{}u_{m}   && = \varpi(x),\\
&\frac{du_{m-1}}{dx} &&- a_{m-1}&&{}u_{m-1} && = u_{m},\\
&\frac{du_{m-2}}{dx} &&- a_{m-2}&&{}u_{m-2} && = u_{m-1},\\
\end{alignedat}\\
\multispan{2}{\dotfill,}\\
&\frac{du_{1}}{dx}-a_{1}u_{1}=u_{2},
\end{align*}
qui devront être intégrées dans l'ordre où elles sont écrites, et où $u_1$
désigne $y$.

Observons que les valeurs de $u_1$, $u_2$, $u_3$, \dots, déduites de ces équations,
renfermeront en général des intégrales multiples. Soit $z_i$ une
solution de $A_i = 0$,
\[
z_i=e^{\int\! a_{i}dx}, \quad i= 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m,
\]
la constante arbitraire dans $\int\! a_{i}\,dx$ ayant une valeur déterminée.

On aura successivement
\begin{alignat*}{4}
&u_m     &&= z_{m} \int \frac{\varpi(x)}{z_m}\:dx,
\\
&u_{m-1} &&= z_{m-1} \int \frac{u_{m}}{z_{m-1}}\:dx
  = z_{m-1} \int \frac{z_{m}}{z_{m-1}}\:dx
    \int \frac{\varpi(x)}{z_m}\:dx,
\\
&u_{m-2} &&= z_{m-2}   \int \frac{u_{m-1}}{z_{m-2}}\:dx
           = z_{m-2}\: \int \frac{z_{m-1}}{z_{m-2}}\:dx
                       \int \frac{z_{m  }}{z_{m-1}}\:dx
                       \int \frac{\varpi(x)}{z_m}\:dx,
\\
&\multispan{3}{\dotfill,}
\\
&u_{1}   &&= y = z_{1} \int \frac{u_{2}}{z_{1}}\:dx
  = z_{1} \int \frac{z_{2}}{z_{1}}\:dx
    \int \frac{z_3}{z_2}\:dx \int \dots
    \int \frac{\varpi(x)}{z_m}\:dx.
\end{alignat*}

Il est facile de voir que, si les facteurs $A$ sont commutatifs, on pourra
toujours remplacer les intégrales multiples par des intégrales simples,
en recourant à l'intégration par parties.

En effet, le rapport $\dfrac{z_i}{z_j}$ des solutions de deux équations composantes
% *** File: 114.png---
est alors (\nobf{85}) de la forme $Ce^{\alpha x}$, $\alpha$ étant constant, comme $C$. Or on a
\[
\int \frac{z_{m}}{z_{m-1}} \: dx \int \frac{\varpi(x)}{z_{m}} \: dx =
\int \frac{z_{m}}{z_{m-1}} \: dx \times \int \frac{\varpi(x)}{z_{m}} \: dx -
\int \frac{\varpi(x)}{z_{m}} \: dx \int \frac{z_{m}}{z_{m-1}} \: dx,
\]
d'où l'on tire
\[
u_{m-1}=\frac{z_{m}}{\alpha} \int \frac {\varpi(x)}{z_{m}} \:dx -
\frac{z_{m-1}}{\alpha} \int \frac {\varpi(x)}{z_{m-1}} \: dx.
\]
La fonction $u_{m-1}$ est donc exprimable par des intégrales simples, et il
en sera de même de $u_{m-2}$, $u_{m-3}$, \dots, $u_{2}$ et de $u_1$ ou $y$. Cela est toujours
vrai, en particulier, lorsque l'expression $P$ est à coefficients constants.

La même réduction a lieu quand on a
\[
p_{i}=\frac{R_{i}}{(rx + s)^{i}}, \quad i = 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m,
\]
$R_i$ étant constant, et généralement quand le rapport $\dfrac{z_{i}\,dx}{z_{i-1}}$ est intégrable.

\myparagraph{89.} Appliquons la méthode précédente à l'intégration de l'équation
différentielle
\[
P(y)=\frac{d^{2}y}{dx^2} - \frac{r(\rho_1 + \rho_2 - 1)}{rx + s}\: \frac{dy}{dx} +
\frac{r^{2}\rho_1\rho_2}{(rx + s)^2}y = \varpi(x),
\]
où $\rho_1$, $\rho_2$, $r$ et $s$ sont des constantes, $\rho_1$ étant différent de $\rho_2$.

L'équation $P = 0$ admet les deux solutions linéairement indépendantes
$(rx + s)^{\rho_1}$ et $(rx + s)^{\rho_2}$; on en conclut la décomposition de $P$
en facteurs premiers symboliques
\[
P = A_{2}A_{1},
\]
où l'on a (\nobf{81})
\begin{align*}
A_2 &= \frac{dy}{dx} - \frac{(\rho_2 - 1)r}{rx + s} y,\\
A_1 &= \frac{dy}{dx} - \frac{\rho_{1}r}{rx + s} y.
\end{align*}

Les équations $A_2 = 0$ et $A_1 = 0$ admettent d'ailleurs respectivement
les deux solutions
\[
z_2=(rx + s)^{\rho_{2}-1}, \quad z_1=(rx + s)^{\rho_{1}}.
\]
% *** File: 115.png---
Il s'agit d'intégrer le système
\begin{alignat*}{4}
\frac{du_{2}}{dx} &- \frac{(\rho_2 -1)r}{rx+s} \:&&u_2 &&= \varpi(x),\\
\frac{du_{1}}{dx} &- \frac{\rho_{1}r}{rx+s} &&u_1 &&= u_2.
\end{alignat*}
Or, l'intégrale générale de la première équation est
\[
u_2 =(rx+s)^{\rho_{2}-1} \int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{2}-1}}\:dx;
\]
on en conclut celle de la seconde
\[
u_1 = y =(rx+s)^{\rho_1} \int (rx+s)^{\rho_{2}-\rho_{1}-1}\:dx
\int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{2}-1}}\:dx.
\]

Chassons l'intégrale double en intégrant par parties, et nous obtenons
l'intégrale générale de $P(y) = \varpi(x)$ sous la forme
\[
y = \frac{(rx+s)^{\rho_1}}{r(\rho_1 - \rho_2)}
\int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{1}-1}}\:dx +
\frac{(rx+s)^{\rho_2}}{r(\rho_2 - \rho_1)}
\int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{2}-1}}\:dx,
\]
ce qu'on peut encore écrire
\begin{multline*}
y = C_1(rx+s)^{\rho_1} + C_2(rx+s)^{\rho_2} \\
   {}+ \frac{1}{r(\rho_1 - \rho_2)} \int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{1}-1}}\:dx +
   \frac{1}{r(\rho_2 - \rho_1)} \int \frac{\varpi(x)}{(rx+s)^{\rho_{2}-1}}\:dx,
\end{multline*}
$C_1$ et $C_2$ étant les deux constantes arbitraires.



\mysection{SEPTIÈME PARTIE.}

\myparagraph{90.} Dans cette dernière Partie, j'appliquerai la décomposition en
facteurs premiers symboliques à l'étude des intégrales régulières.
Comme nous le verrons, cette décomposition peut s'effectuer suivant
des facteurs à coefficient monotrope, et la considération de ces facteurs
permet d'établir simplement tous les théorèmes, en même temps
qu'elle montre clairement l'origine de la différence qui existe souvent
% *** File: 116.png---
entre le degré de l'équation déterminante et le nombre des intégrales
régulières linéairement indépendantes.

Je rappelle d'abord que, pour que l'équation du premier ordre
\[
\frac{dy}{dx} - ay = 0,
\]
où le coefficient $a$ est une double série procédant suivant les puissances
entières positives et négatives de $x$, et convergente dans le domaine
du point singulier zéro, ait ses intégrales régulières, il faut et il suffit
que ce coefficient soit de la forme
\[
a=\frac{\alpha}{x},
\]
$\alpha$ étant une fonction qui ne renferme dans son développement que des
puissances positives de $x$ et qui peut être nulle pour $x = 0$.

Quand cette condition est remplie, l'équation déterminante est du
premier degré, et, si $\rho$ est sa racine, les intégrales sont de la forme
\[
x^{\rho}\psi(x),
\]
la fonction $\psi(x)$ étant analogue à $\alpha$, sauf qu'elle n'est certainement
pas nulle pour $x = 0$. Quand la condition n'est pas remplie, $a$ présentant
néanmoins le caractère des fonctions rationnelles, l'équation
déterminante est du degré zéro et les intégrales sont de la forme
\[
e^{\frac{c_1}{x} +\frac{c_2}{x^2} + \dotsb + \frac{c_{\nu}}{x^{\nu}}}x^{\rho}\psi(x),
\]
$\nu + 1$ étant l'ordre infinitésimal de la valeur infinie que prend $a$ pour
$x = 0$.

Je désignerai, pour abréger, par \emph{facteur régulier} un facteur premier
symbolique tel que
\[
\frac{dy}{dx}-\frac{\alpha}{x}y.
\]

Il est évident, d'après les formules (2) du \nobf{74}, qu'une expression
composée de $m$ facteurs réguliers est de la forme
\[
\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + \frac{P_1}{x}\:\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+
\frac{P_2}{x^2}\:\frac{d^{m-2}y}{dx^{m-2}} + \dotsb + \frac{P_m}{x^m}y,
\]
% *** File: 117.png---
les fonctions $P_i$ étant holomorphes dans le domaine du point zéro et
pouvant être nulles pour $x = 0$. D'ailleurs, pour ramener une pareille
expression à la forme normale, il suffira de la multiplier par $x^m$.

\myparagraph{91.} Nous avons démontré au \nobf{36} la proposition suivante, due à
M.~Fröbenius:

\myprop{Si une expression différentielle est composée d'expressions différentielles
de forme normale, elle a elle-même la forme normale, et sa fonction déterminante
est le produit des fonctions déterminantes des expressions
composantes.}

Admettant ce théorème, je considérerai des expressions composantes,
non plus de forme normale, mais de la forme
\[
\frac{d^{m}y}{dx^{m}} + p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb + p_{m}y,
\]
où le premier coefficient est l'unité, les autres se développant en séries
procédant suivant les puissances entières de $x$, mais ne contenant qu'un
nombre limité de puissances négatives; puis, l'expression résultante
étant évidemment aussi de cette forme, je chercherai quelle relation
existe, dans ce cas, entre sa fonction déterminante et celles des composantes.
La relation est encore simple, comme je vais le montrer.

\myparagraph{92.} J'examine d'abord une expression $P$ composée uniquement de
facteurs réguliers
\[
P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_{2}A_{1}, \quad
A_i = \frac{dy}{dx} - \frac{\alpha_i}{x}y  \quad(i=1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m).
\]
Soit
\[
y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_{2}\,dx, \quad \dots, \quad
 y_m = v_1 \tint v_{2}\,dx \tint \ldots \tint v_{m}\,dx
\]
le système fondamental corrélatif de cette décomposition de $P$.

Comment doit-on modifier les facteurs $A$ pour que leurs nouvelles
expressions aient la forme normale et en même temps produisent, par
leur composition, la forme normale $x^{m}P$ de $P$?

Je multiplie chaque facteur $A$ par $x$, et je désigne par $A''$ les produits;
ces produits ont la forme normale. Si je les compose, l'expression
résultante
\[
P'' = A_m''A''_{m-1} \ldots A''_{2}A''_{1},
\]
% *** File: 118.png---
égalée à zéro, admettra le système fondamental
\[
v_1, \quad v_{1}\int \frac{v_{2}}{x}\:dx, \quad
v_{1}\int \frac{v_{2}}{x}\:dx \int \frac{v_{3}}{x}\:dx, \quad \dots,\quad
v_1\int\frac{v_{2}}{x}\:dx \int \ldots \int \frac{v_m}{x}\:dx,
\]
car on voit sans peine que les équations
\[
A''_1=0, \quad A''_1=v_1v_2, \quad A''_2A''_1=v_1v_2v_3, \quad \ldots
\]
admettent ces intégrales. Si donc j'ajoute aux coefficients $\dfrac{\alpha_i}{x}$ les dérivées
\[
\frac{d\log{x^{i-1}}}{dx} = \frac{i-1}{x},
\]
ce qui revient à augmenter les $\alpha_i$ des nombres $i-1$; comme, par ce
fait (\nobf{75}), les fonctions $v_2$, $v_3$, \dots, $v_m$ sont multipliées par $x$, je construirai,
en composant les résultats
\[
A'_i=x\frac{dy}{dx} - (\alpha_i + i -1)y
\]
ainsi obtenus, une expression
\[
P'=A'_{m}A'_{m-1} \ldots A'_{2}A'_{1},
\]
qui, égalée à zéro, admettra le système fondamental
\[
y_1=v_1, \quad y_2=v_1\tint{v_2}\:dx, \quad\ldots,\quad
y_m=v_1\tint{v_2}\:dx\tint \ldots \tint{v_m}\:dx,
\]
c'est-à-dire le même que $P = 0$, et, par conséquent, comme le premier
coefficient de $P'$ est $x^m$, on aura
\[
P'=x^{m}P.
\]
Ainsi donc, l'expression $P$, mise sous sa forme normale $x^{m}P$, est identique
à l'expression $A'_{m}A'_{m-1}\ldots A'_{2}A'_{1}$; d'où ce théorème:

\myprop{Étant donnée une expression composée uniquement de facteurs ré\-gu\-liers
tels que $\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{\alpha_i}{x}y$, pour la mettre sous sa forme normale, on ajoute aux
quantités $\alpha_i$ les nombres $i - 1$, puis on ramène les nouveaux facteurs à la
forme normale en les multipliant par $x$.}

% *** File: 119.png---

Par exemple, si l'on fait $r = 1$, $s = 0$ au \nobf{81}, on a l'identité
\[
\frac{d^{2}y}{dx^2}-\frac{\rho_1 + \rho_2 - 1}{x}\:\frac{dy}{dx} +
  \frac{\rho_1\rho_2}{x^2}y = A_{2}A_1,
\]
avec les conditions
\[
A_2 = \frac{dy}{dx} - \frac{\rho_2 - 1}{x}y, \quad
A_1 = \frac{dy}{dx} - \frac{\rho_1}{x}y.
\]
On peut donc écrire
\[
x^2\frac{d^{2}y}{dx^2} - (\rho_1 + \rho_2 - 1) x\frac{dy}{dx} +
\rho_1\rho_{2}y = A'_2A'_1,
\]
avec les conditions
\[
A'_2=x\frac{dy}{dx} - \rho_{2}y, \quad
A'_1=x\frac{dy}{dx} - \rho_{1}y.
\]

Le théorème précédent, c'est-à-dire l'identité
\[
x^{m}P=A'_{m}A'_{m-1}\ldots A'_{2}A'_{1},
\]
conduit immédiatement à la relation cherchée entre la fonction déterminante
$g(\rho)$ de $P$ et celles $h_{i}(\rho)=\rho - [\alpha_i]_{x=0}$ des facteurs réguliers
$A_i$.

En effet, cette identité ayant lieu entre des formes normales, si
j'observe que la fonction déterminante de $A'_i$ est $\rho - i+1-[\alpha_i]_{x=0}$,
j'aurai identiquement
\[
g(\rho)=(\rho-[\alpha_1]_{x=0})(\rho-1-[\alpha_2]_{x=0})
  (\rho-2-[\alpha_3]_{x=0})\ldots (\rho-m+1-[\alpha_m]_{x=0}),
\]
c'est-à-dire
\[
g(\rho)=h_1(\rho)h_2(\rho-1)h_3(\rho-2)\ldots h_m(\rho-m+1).
\]

\myparagraph{93.} Examinons ensuite une expression composée
\[
P=QD,
\]
où les deux composantes linéaires homogènes $Q$ et $D$ sont d'ordres
$m - s$ et $s$ et ont pour premier coefficient l'unité, les autres présentant
le caractère des fonctions rationnelles. $P$ est alors d'ordre $m$ et de même
forme. Soient $x^{\beta}$, $x^{\varkappa}$ et $x^{\eta}$ les puissances de $x$ par lesquelles il faut
% *** File: 120.png---
multiplier respectivement les expressions $P$, $Q$ et $D$ pour les amener à
leur forme normale. Il s'agit de trouver la relation qui existe entre les
fonctions déterminantes $g(\rho)$, $k(\rho)$ et $h(\rho)$ de ces trois expressions.

Dans l'expression $D$, je fais la substitution
\[
y=x^{\eta}z;
\]
elle devient $D'$, et $D'$ a la forme normale; il suffit de réfléchir à la formation
de ses coefficients pour s'en assurer. $P(y)$ devient alors $QD'$,
c'est-à-dire $P(x^{\eta}s)$. Puis je ramène $Q$ à sa forme normale $Q'$, en le multipliant
par $x_\varkappa$. On a donc
\[
x^{\varkappa}P(x^{\eta}y)=Q'D'.
\]
Donc $x^\varkappa P(x^{\eta}y)$ a la forme normale, et sa fonction déterminante $g'(\rho)$
est le produit des fonctions déterminantes $k'(\rho)$ et $h'(\rho)$ de $Q'$ et de $D'$:
\[
g'(\rho)=hk'(\rho)h'(\rho).
\]
Remarquons, en passant, l'égalité
\[
\varkappa+\eta=\beta
\]
Or, d'après la propriété établie au \nobf{33}, les fonctions déterminantes
de $x^{\varkappa}P(x^{\eta}y)$ ou $P(x^{\eta}y)$ et de $D(x^{\eta}y)$ se déduisent de celles de $P(y)$
et de $D(y)$ en changeant $\rho$ en $\rho + \eta$; d'où
\[
g'(\rho)=g(\rho + \eta), \quad h'(\rho)=h(\rho + \eta),
\]
et, par suite, à cause de $k'(\rho) = k(\rho)$,
\[
g(\rho + \eta)= k(\rho)h(\rho + \eta).
\]
Si donc je change $\rho$ en $\rho - \eta$, j'obtiens l'identité cherchée
\[
g(\rho)= h(\rho)k(\rho - \eta).
\]

En particulier, si $D$ est de la forme
\[
\frac{d^{s}y}{dx^{s}} + \frac{P_1}{x}\:\frac{d^{s-1}y}{dx^{s-1}} +
\frac{P_2}{x^2}\:\frac{d^{s-2}y}{dx^{s-2}} + \dotsb + \frac{P_s}{x^{s}}y,
\]
on aura
\[
g(\rho)=h(\rho)k(\rho-s),
\]
car alors $\eta$ est égal à $s$.

% *** File: 121.png---

\myparagraph{94.} Du cas de deux expressions composantes on passe facilement au
cas de trois:
\[
P = QDL.
\]
Si $x^{\lambda}$ est la puissance de $x$ par laquelle il faut multiplier la nouvelle
expression $L$, pour la réduire à sa forme normale, et si $l(\rho)$ est sa
fonction déterminante, on aura
\[
g(\rho)=l(\rho)h(\rho-\lambda)k(\rho-\lambda-\eta).
\]
En effet, on a
\[
P = Q(DL).
\]
Or, soit $f(\rho)$ la fonction déterminante de $DL$; d'après une remarque
faite, on ramène $DL$ à la forme normale en le multipliant par $x^{\lambda+\eta}$. On
a donc
\[
g(\rho)=f(\rho)k(\rho-\lambda-\eta).
\]
Mais
\[
f(\rho)=l(\rho)h(\rho-\lambda).
\]
Donc
\[
g(\rho)=l(\rho)h(\rho-\lambda)k(\rho-\lambda-\eta).
\]
Remarquons l'égalité
\[
\varkappa + \eta + \lambda = \beta.
\]

\emph{En général, considérons une expression $P$, d'ordre $m$, composée de $n$
expressions différentielles
\[
P=D_{n}D_{n-1} \ldots D_{2}D_{1},
\]
les composantes $D$ étant linéaires, homogènes, et ayant pour premier coefficient
l'unité, les autres présentant le caractère des fonctions rationnelles;
si $g(\rho)$ est la fonction déterminante de  $P$, et si $h_{i}(\rho)$ est celle de $D_i$, si
en outre $x^{\eta_i}$ est la puissance de $x$ par laquelle il faut multiplier  $D_i$ pour le
réduire à sa forme normale, on aura l'identité remarquable
\[
g(\rho) = h_1(\rho)h_2(\rho - \eta_{1})
h_3(\rho - \eta_1 - \eta_2) \dots
h_n(\rho - \eta_1 - \eta_2 - \dotsb - \eta_{n-1}).
\]
On a d'ailleurs
\[
\eta_1 + \eta_2 + \dotsb + \eta_n=\beta,
\]
$x^{\beta}$ étant la puissance de $x$ par laquelle il faut multiplier $P$ pour l'amener à
la forme normale.}

% *** File: 122.png---

Lorsque les expressions $D$ sont toutes des facteurs réguliers, on a
\[
\eta_1 = \eta_2 = \ldots = \eta_m =1,
\]
et, par suite,
\[
g(\rho) = h_1(\rho)h_2(\rho-1)h_3(\rho-2) \ldots h_m(\rho-m+1).
\]
C'est la formule que j'ai démontrée plus haut directement.

Je déduis du théorème général cette conséquence importante:

\textit{Le degré de la fonction déterminante de $P$ est la somme des degrés des
fonctions déterminantes des expressions composantes $D$.}

\myparagraph{95.} Je vais établir maintenant que l'expression
\[
P(y)= \frac{d^{m}y}{dx^{m}}+p_1\frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}}+ \dotsb +p_{m}y,
\]
où les coefficients $p$ sont des doubles séries procédant suivant les puissances
entières positives et négatives de $x$, et convergentes dans le
domaine du point zéro, est toujours décomposable en facteurs premiers
symboliques de la même forme, ayant par conséquent leur coefficient
monotrope.

On sait (\nobf{9}) que, si $\omega$ désigne une racine de l'équation fondamentale
et si l'on pose
\[
\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\log\omega= r,
\]
une équation telle que $P = 0$ admet toujours au moins une intégrale
de la forme
\[
x^{r}\varphi(x),
\]
$\varphi(x)$ étant une double série comme les coefficients $p$.

Cela posé, soit
\[
P=A_{m}A_{m-1}\ldots A_{2}A_{1}
\]
la décomposition de $P$ corrélative du système fondamental
\[
y_1=v_1, \quad y_2=v_1 \tint v_2\: dx, \quad \dots, \quad
 y_m=v_1 \tint v_2 \:dx \tint \ldots \tint v_m \:dx,
\]
et supposons que les solutions $v_1$, $v_2$, \dots, $v_m$ des équations différentielles,
successivement déduites l'une de l'autre par la substitution connue,
aient été choisies de la forme $x^{r}\varphi(x)$:
\[
v_1 = x^{r_1}\varphi_1, \quad v_2 = x^{r_2}\varphi_2,
\quad\dots,\quad v_m = x^{r_m}\varphi_{m}.
\]
% *** File: 123.png---
Cela est toujours possible, car ces équations successives remplissent
les mêmes conditions que $P=0$ (\nobf{18}). On aura
\[
a_i = \frac{d \log(v_1 v_2 \ldots v_i)}{dx}
    = \frac{d}{dx} \log(x^{r_1 + r_2 + \dotsb + r_i}\varphi_1 \varphi_2 \ldots \varphi_i),
\]
d'où il résulte que le coefficient $a_i$ de $A_i$ sera une fonction continue et
monogène dans le domaine du point zéro, à ce point près, et de plus
monotrope, car, après une révolution de la variable autour de l'origine,
la quantité sous le signe log est multipliée par
\[
e^{2\pi\sqrt{-1}(r_1+r_2+\dots+r_i)},
\]
de sorte que sa dérivée logarithmique ne change pas. Donc les facteurs
de la décomposition considérée ont bien des coefficients possédant les
mêmes propriétés que les coefficients $p$.

Ainsi, \textit{il est toujours possible de décomposer l'équation $P$ en facteurs
premiers symboliques à coefficient monotrope de la forme
\[
\sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i,
\]
$i$ étant entier.}

\myparagraph{96.} Revenant à nos hypothèses, nous supposerons dorénavant que
les coefficients de l'équation différentielle présentent le caractère des
fonctions rationnelles, et nous considérerons l'équation
\[
P(y) = \frac{d^m y}{dx^m} + p_1 \frac{d^{m-1}y}{dx^{m-1}} +
\dotsb + p_m y = 0,
\]
où les coefficients $p$ seront des séries procédant suivant les puissances
entières de $x$, mais ne renfermant qu'un nombre limité de puissances
négatives.

La décomposition de l'expression $P$ en facteurs symboliques de la
forme
\[
\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i
\]
conduit à deux propositions importantes.
% *** File: 124.png---
\begin{prop}[I]
Le degré $\gamma$ de la fonction déterminante de l'équation
$P = 0$ est égal au nombre total $j$ des facteurs réguliers qui entrent
dans une même décomposition de l'expression $P$ en facteurs symboliques
de la forme
\[
\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i.
\]
\end{prop}
Considérons, en effet, une pareille décomposition
\[
P = A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1,
\]
contenant $j$ facteurs réguliers. Dans les coefficients des facteurs non
réguliers, et seulement dans ceux qui renferment un nombre infini de
puissances négatives de $x$, supprimons pour un instant les puissances
de $x^{-1}$, dont l'exposant est supérieur, en valeur absolue, à un nombre
arbitraire $n$, et soit
\[
P' = B_m B_{m-1} \ldots B_2 B_1
\]
l'expression composée avec les facteurs dont quelques-uns sont ainsi
modifiés. L'expression $P'$ est de même nature que l'expression $P$, et
les facteurs réguliers qui entrent dans $P'$ coïncident avec les $j$ facteurs
réguliers qui figurent dans $P$. D'après le \nobf{94}, la fonction déterminante
de $P'$ est d'un degré $\gamma'$ égal à la somme des degrés des fonctions
déterminantes des expressions $B$; or, les $B$ non réguliers ont une fonction
déterminante constante, et les $B$ réguliers l'ont du premier degré;
donc la somme en question se réduit au nombre $j$ des facteurs réguliers,
et l'on a
\[
\gamma' = j.
\]
Faisons maintenant croître $n$ indéfiniment: l'égalité précédente, ayant
lieu quelque grand que soit $n$, aura lieu encore à la limite, et, par
conséquent, comme $\gamma'$ a pour limite $\gamma$, on aura
\[
\gamma = j.
\]
\textit{Corollaire}. --- Le nombre des facteurs réguliers qui entrent dans une
même décomposition de l'expression $P$ en facteurs symboliques de la
forme
\[
\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i
\]
est constant, quelle que soit cette décomposition.
% *** File: 125.png---

\begin{prop}[II]
Le nombres des intégrales régulières linéairement
indépendantes de l'équation $P = 0$ est égal au plus grand nombre $\sigma$ de
facteurs réguliers consécutifs susceptibles de terminer une même décomposition
de l'expression $P$ en facteurs symboliques de la forme
\[
\frac{dy}{dx}-y\sum\nolimits^{+x}_{-x}{C_{i}x^{i}}.
\]
\end{prop}

L'équation $P = 0$, ayant $s$ intégrales régulières, admet (\nobf{17}) une
solution $v_1 = x^{\rho_1}\psi_1(x)$,  où $\psi_1(x)$ est holomorphe dans le domaine du
point zéro et non nul pour $x=0$. Je pose $y=v_1\tint z\,dx$, et j'obtiens
l'équation $Q(z) = 0$, qui a (\nobf{18}) $s-1$ intégrales régulières linéairement
indépendantes.

$Q = 0$, ayant $s - 1$ intégrales régulières, admet une solution
$v_2 = x^{\rho_2}\psi_2(x)$. Je pose $z = v_2\tint t\,dx$, et j'obtiens l'équation $R(t) = 0$,
qui a $s- 2$ intégrales régulières linéairement indépendantes.

En continuant de la sorte, j'arrive à l'équation $H(u) = 0$, qui a une
intégrale régulière, et admet par conséquent une solution $v_s = x^{\rho_s}\psi_s(x)$.

Puis, posant $u = v_s\tint v\,dx$, j'obtiens une équation dont je prends
une solution quelconque $v_{s+1}$, mais de la forme $x^{r}\varphi(x)$, sans logarithmes,
et faisant de même pour les équations suivantes, déduites
successivement l'une de l'autre par les substitutions analogues, j'en
tire $v_{s+2}$, $v_{s+3}$, \dots, $v_m$.

Ayant ainsi calculé $v_{1}$, $v_{2}$, $v_{3}$, \dots, $v_m$, je forme la décomposition de
$P$ en facteurs premiers corrélative du système fondamental
\[
y_{1}=v_{1}, \quad y_{2}=v_{1}\tint v_{2}\:dx, \quad\dots,\quad
 y_m=v_{1}\tint v_{2}\:dx \tint \ldots \tint v_{m}\:dx.
\]
Soit $P = A_{m}A_{m-1} \ldots A_s \ldots A_{2}A_{1}$, cette décomposition. Ses facteurs $A$ sont
tels que
\[
\frac{dy}{dx}-y\sum\nolimits^{+\infty}_{-\infty}C_{i}x^i.
\]
De plus, les équations
\[
A_1 =0, \quad A_2 =0, \quad\dots,\quad A_s =0
\]
admettent respectivement les intégrales
\[
v_1=x^{\rho_1}\psi_1, \quad v_{1}v_2=x^{\rho_1+\rho_2}\psi_1\psi_2, \quad\dots,\quad
 v_{1}v_2 \ldots v_s=x^{\rho_1+\rho_2+\dots+\rho_s}\psi_1\psi_2\dots\psi_s;
\]
% *** File: 126.png---
or, ces intégrales sont régulières; donc les $s$ derniers facteurs $A_1$,
$A_2$, \dots, $A_s$ sont réguliers, et, par conséquent, on a $\sigma \geqq s$.

Je dis maintenant qu'on ne peut avoir $\sigma > s$.

Supposons en effet qu'il existe une décomposition de $P$ en facteurs
premiers symboliques de la forme
\[
\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i,
\]
où les $s + k$ derniers seraient réguliers:
\[
P = B_m B_{m-1} \ldots B_{s+k} \ldots B_2 B_1.
\]
Représentons par
\[
w_1, \quad w_1 w_2, \quad w_1 w_2 w_3, \quad \dots, \quad w_1 w_2 \ldots w_{s+k}
\]
des solutions appartenant respectivement aux équations
\[
B_1 = 0, \quad B_2 = 0, \quad B_3 = 0, \quad \dots, \quad B_{s+k} = 0.
\]
Ces solutions sont régulières et de la forme $x^\rho \psi(x)$, $\psi(x)$ remplissant
les conditions déjà indiquées. Il en résulte que les rapports tels que
\[
\frac{w_1 w_2 \ldots w_{i-1} w_i}{w_1 w_2 \ldots w_{i-1}},
\]
c'est-à-dire les intégrales
\[
w_1,\ w_2,\ w_3,\ \dots,\ w_{s+k}
\]
des équations déduites successivement l'une de l'autre par la substitution
connue, sont des intégrales régulières de la même forme $x^\rho \psi(x)$.

Donc, d'après le théorème réciproque du \nobf{18}, l'équation qui
donne $w_{s+k}$, ayant au moins une intégrale régulière, celle qui donne
$w_{s+k-1}$ en aura au moins deux; celle qui donne $w_{s+k-2}$ en aura alors
au moins trois, etc., de sorte que celle qui donne $w_1$, c'est-à-dire
$P = 0$, en aurait au moins $s + k$, ce qui est contre l'hypothèse.

On conclut de là que $\sigma$ est exactement égal à $s$.

\emph{Remarque}. --- On peut remarquer que cette dernière proposition est
encore vraie, lors même que les facteurs premiers symboliques ne sont
pas de la forme
\[
\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i.
\]

% *** File: 127.png---
\myparagraph{97.} Les deux propositions qui précèdent permettent d'énoncer immédiatement
les théorèmes suivants:

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[I]
Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales
régulières, l'expression P est décomposable en m facteurs réguliers.
\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[II]
Si l'expression différentielle $P$ est décomposable en
$m$ facteurs réguliers, l'équation $P = 0$ a toutes ses intégrales régulières.
\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[III]
Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales
régulières, le degré de son équation déterminante est égal à son
ordre.
\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[IV]
Si le degré de l'équation déterminante de l'expression
différentielle $P$ est égal à l'ordre $m$, l'équation $P = 0$ a toutes ses
intégrales régulières.
\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

Les théorèmes~I et II résultent de la proposition~II\@. Le théorème~III
se conclut du théorème~I et de la proposition~I. Enfin le théorème~IV
est une conséquence de la proposition~I et du théorème~II.

Il est d'ailleurs facile d'établir ce théorème, savoir:

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[V]
Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales
régulières, elle admet un système fondamental d'intégrales appartenant
à des exposants qui sont les racines de l'équation déterminante.
\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

En effet, $P = 0$ ayant toutes ses intégrales régulières, $P$ est décomposable
en $m$ facteurs réguliers,
\[
P = A_m A_{m-1} \ldots A_2 A_1,
\]
et l'on a entre les fonctions déterminantes la relation
\[
g(\rho) = h_1(\rho) \ldot h_2(\rho - 1) \ldot h_3(\rho - 2) \ldots h_m(\rho - m + 1),
\]
trouvée au \nobf{92}. Il en résulte que, si l'on égale à zéro les facteurs réguliers
$A_1$, $A_2$, \dots, $A_m$, les intégrales
\[
v_1,\ v_1 v_2,\ v_1 v_2 v_3,\ \dots,\ v_1 v_2\ldots v_m
\]
des $m$ équations obtenues appartiennent respectivement aux exposants
\[
\rho_1,\ \rho_2 - 1,\ \rho_3 - 2,\ \dots,\ \rho_m - m + 1,
\]
$\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_m$ étant les racines de l'équation déterminante $g(\rho)=0$;
% *** File: 128.png---
d'où l'on conclura sans peine, en appliquant le premier des deux principes
admis au \nobf{55}, que le système fondamental
\[
y_1 = v_1, \quad y_2 = v_1 \tint v_2 \: dx, \quad \dots, \quad
y_m = v_1 \tint v_2 \: dx \tint \ldots \tint v_m \: dx,
\]
corrélatif de la décomposition considérée, est formé d'intégrales appartenant
aux exposants $\rho_1$, $\rho_2$, \dots, $\rho_m$.

\myparagraph{98.} Les deux propositions du \nobf{96} sont tout aussi fécondes dans le
cas où il s'agit d'équations n'ayant pas toutes leurs intégrales régulières.

Elles donnent d'abord ce théorème:

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[I]Le nombre des intégrales régulières linéairement indépendantes
de l'équation différentielle $P = 0$ est au plus égal au degré
de son équation déterminante.\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

La forme que doit affecter l'expression différentielle $P$ pour que
l'équation $P = 0$ ait $s$ intégrales régulières linéairement indépendantes
résulte de la proposition suivante:

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[II]Pour que l'équation différentielle $P = 0$ ait $s$ intégrales
régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'expression $P$
soit susceptible de la forme
\[
P = QD,
\]
où $Q$ et $D$ sont d'ordres $m - s$ et $s$, et sont de même nature que $P$, c'est-à-dire
à coefficients présentant le caractère des fonctions rationnelles, le
premier étant l'unité, et où $D = 0$ a toutes ses intégrales régulières, $Q = 0$
n'en ayant aucune.\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

\primo La condition est nécessaire.

En effet, $P = 0$ ayant $s$ intégrales régulières linéairement indépendantes,
il existe (\nobf{96}, prop.~II) une décomposition de $P$,
\[
P = A_m A_{m-1} \ldots A_{s+1} A_s \ldots A_2 A_1,
\]
en facteurs symboliques de la forme
\[
\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i,
\]

% *** File: 129.png---
où les derniers sont réguliers. Si je pose alors
\[
A_s \ldots A_2 A_1 = D, \quad A_m A_{m-1} \ldots A_{s+1} = Q,
\]
j'aurai
\[
P = QD.
\]

L'expression $D$ est d'ordre $s$ et composée de $s$ facteurs réguliers; elle
est donc (\nobf{90}) de la forme
\[
\frac{d^s y}{dx^s} + \frac{P_1}{x}\:\frac{d^{s-1}y}{dx^{s-1}} +
\dotsb + \frac{P_s}{x^s}y,
\]
et, d'après le théorème II du \nobf{97}, l'équation $D = 0$ a toutes ses intégrales
régulières.

L'expression $Q$ est d'ordre $m - s$; si l'on effectue l'opération $QD$, et
qu'on identifie avec $P$, on obtient des égalités qui montrent que les
coefficients de $Q$, comme ceux de $P$ et de $D$, présentent le caractère des
fonctions rationnelles; en outre, $Q = 0$ n'a aucune intégrale régulière,
sans quoi on pourrait terminer une décomposition de $Q$ par un facteur
régulier au moins, et, par suite, dans $P = QD$, on en aurait plus de $s$ à
la fin, ce qui est impossible (\nobf{96}, prop.~II).

Les deux composantes $Q$ et $D$ possèdent donc bien les propriétés
énoncées.

\secundo La condition est suffisante.

Soit, en effet,
\[
P = QD,
\]
$D = 0$ ayant toutes ses intégrales régulières et $Q = 0$ n'en ayant aucune.
Toute solution de $P = 0$ qui satisfait à $D = 0$ est régulière. Toute
solution de $P = 0$ qui ne satisfait pas à $D = 0$ satisfait à l'une des
équations $D = u$, obtenues en remplaçant $u$ par les diverses intégrales
de $Q = 0$. Or, par hypothèse, aucune de ces intégrales n'est régulière.
D'autre part, si dans $D$ on remplace $y$ par une fonction de forme régulière,
on obtient (\nobf{46}) une expression de même forme. Donc aucune
valeur régulière de $y$ ne peut rendre $D$ égal à $u$. Donc les équations
$D = u$ n'ont aucune solution de forme régulière, et, par suite, les seules
intégrales régulières de $P = 0$ sont les $s$ de $D = 0$.

Il est facile d'apercevoir la cause de la différence $\gamma - s$ qui peut
% *** File: 130.png---
exister entre le degré $\gamma$ de la fonction déterminante de l'équation
$P = 0$, et le nombre $s$ de ses intégrales régulières linéairement in\-dé\-pen\-dantes.

Si, en effet, on décompose $P$ en facteurs symboliques tels que
\[
\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i x^i,
\]
la décomposition, quelle qu'elle soit, renfermera, comme on l'a vu, $\gamma$
facteurs réguliers; en outre, sur ces $\gamma$ facteurs, un groupe de $s$ au plus
peut être rejeté à la fin de la décomposition. Donc $\gamma - s$ est le nombre
des facteurs réguliers qui ne peuvent faire partie de ce groupe final.

Autrement, mettons $P$ sous la forme
\[
P = QD,
\]
donnée par le théorème précédent; $\gamma - s$ est le nombre des facteurs réguliers
qui entrent dans $Q$. Ainsi, la différence en question tient à la
présence de facteurs réguliers dans une décomposition de $Q$.

Si j'observe que les fonctions déterminantes de $D$ et de $Q$ sont respectivement
de degrés $s$ et $\gamma - s$, je puis formuler les deux théorèmes
qui suivent:

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[III]Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$,
ayant une fonction déterminante de degré $\gamma$, admette $\gamma - \mu$ intégrales
régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'expression
$P$ soit de la forme $P = QD$, où $Q$ et $D$ sont de même nature que $P$, $Q = 0$
étant d'ordre $m - \gamma + \mu$, n'ayant aucune intégrale régulière et ayant
une fonction déterminante de degré $\mu$.\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[IV]Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$,
ayant une fonction déterminante de degré $\gamma$, admette exactement des intégrales
régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'expression
$P$ soit de la forme $P = QD$, où $Q$ et $D$ sont de même nature que $P$,
$Q$ étant d'ordre $m - \gamma$ et ayant pour fonction déterminante une constante.\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

Je démontrerai encore cette proposition:

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[V]Les $s$ intégrales régulières linéairement indépendantes
% *** File: 131.png---
de l'équation différentielle $P = 0$ appartiennent à des exposants
qui sont $s$ des racines de son équation déterminante.\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

En effet, mettons l'expression $P$ sous la forme
\[
P = QD,
\]
donnée par le théorème~II\@. D'après le \nobf{93}, on a entre les fonctions
déterminantes la relation
\[
g(\rho) = h(\rho) k(\rho - s).
\]
Or, les $s$ intégrales régulières de $D = 0$, c'est-à-dire toutes les intégrales
régulières de $P = 0$, appartiennent à des exposants qui sont (\nobf{97},
théor.~V) les racines de son équation déterminante $h(\rho) = 0$. Donc, à
cause de cette relation, les intégrales régulières de $P = 0$ appartiennent
à $s$ des racines de $g(\rho) = 0$.

\myparagraph{99.} Je terminerai par les théorèmes qui concernent l'équation adjointe.

Je rappelle d'abord que, si une expression différentielle est composée
de plusieurs expressions, l'expression différentielle adjointe est
composée des expressions adjointes rangées dans l'ordre inverse
(\nobf{93}). J'observe ensuite que, $-\dfrac{dy}{dx} - ay$ étant l'adjointe de $\dfrac{dy}{dx} - ay$,
un facteur premier symbolique aura pour adjointe une expression qui,
changée de signe, sera elle-même un facteur premier. On voit enfin,
en formant les fonctions déterminantes de $\dfrac{dy}{dx} - ay$ et de $-\dfrac{dy}{dx} - ay$,
que, si le facteur $\dfrac{dy}{dx} - ay$ est régulier, ces deux fonctions se déduisent
l'une de l'autre en changeant $\rho$ en $-\rho$, et que, si ce facteur n'est pas
régulier, elles sont égales à une même constante.

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[I]Les fonctions déterminantes $g(\rho)$ et $\calG(\rho)$ des deux
expressions adjointes $P$ et $\calP$ se déduisent l'une de l'autre en changeant $\rho$
en $-\rho + \beta - 1$, $x^\beta$ étant la puissance de $x$ par laquelle il faut multiplier
$P$ pour l'amener à la forme normale.\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

Considérons, en effet, une décomposition de l'expression $P$ en facteurs
% *** File: 132.png---
symboliques tels que
\[
\frac{dy}{dx} - y \sum\nolimits_{-\infty}^{+\infty} C_i X^i,
\]
et soit
\[
P = A_m A_{m-1} \ldots A_1
\]
cette décomposition.

Dans les coefficients des facteurs qui renferment un nombre illimité
de puissances négatives de $x$, je supprime provisoirement les puissances
de $x^{-1}$ dont l'exposant est supérieur, en valeur absolue, à un nombre
arbitraire $n$; j'obtiens ainsi l'expression composée
\[
P' = B_m B_{m-1} \ldots B_i \ldots B_1,
\]
qui est de même nature que $P$, et qui contient les mêmes facteurs réguliers.

Je désignerai par $g'(\rho)$ et $\calG' (\rho)$ les fonctions déterminantes de
$P'$ et de l'adjointe $\calP'$, par $H_i(\rho)$ et $h_i(\rho)$ celles de $B_i$ et de l'adjointe
$\calB_i$. En outre, j'appellerai $x^{\beta'}$ et $x^{\eta_i}$ les puissances par lesquelles
il faut multiplier respectivement $P'$ et $B_i$ pour les amener à la
forme normale.

On a (\nobf{94})
\[
g'(\rho) = H_1(\rho).H_2(\rho - \eta_1) \dots
  H_i(\rho - \eta_1 - \eta_2 - \dotsb - \eta_{i-1}) \ldots
  H_m(\rho - \eta_1 - \eta_2 - \dotsb - \eta_{m-1}),
\]
et l'on voit facilement qu'on a aussi
\[
\calG'(\rho) = h_m(\rho).h_{m-1}(\rho-\eta_m) \dotsbsmall
  h_i(\rho - \eta_m - \eta_{m-1} - \dotsbsmall - \eta_{i+1}) \dotsbsmall
  h_1(\rho - \eta_m - \eta_{m-1} - \dotsbsmall - \eta_2),
\]
bien que les facteurs $\calB$ ne soient pas à proprement parler des facteurs
premiers, puisque leurs premiers coefficients sont $-1$ et non $+1$.

Je pose
\[
\eta_1 + \eta_n + \dotsb + \eta_{i-1} = \eta, \quad
\eta_m + \eta_{m-1} + \dotsb + \eta_{i+1} = \eta';
\]
je remarque l'égalité (\nobf{94})
\[
\eta + \eta' + \eta_i = \beta',
\]
et je vais comparer les deux produits qui expriment $g'(\rho)$ et $\calG'(\rho)$.
% *** File: 133.png---

Si le facteur $B_i$ est régulier, comme alors $h_i(\rho)$ est égal à $H_i(-\rho)$,
on aura
\[
h_i(\rho - \eta') = H_i(-\rho + \eta'),
\]
et comme $\eta_i$ est ici égal à l'unité, et que $\eta'$ est égal à $\beta' - \eta_i - \eta$, cette
égalité deviendra
\[
h_i(\rho - \eta') = H_i(-\rho + \beta' - 1 - \eta).
\]
Si le facteur $B_i$ n'est pas régulier, comme alors les fonctions $h_i(\rho)$ et
$H_i(\rho)$ se réduisent à une même constante, on aura encore
\[
h_i(\rho - \eta') = H_i(-\rho + \beta' - 1 - \eta).
\]
Donc, dans tous les cas, $h_i(\rho-\eta')$, qui entre dans $\calG'(\rho)$, se déduit de
la quantité correspondante $H_i(\rho-\eta)$, qui entre dans $g'(\rho)$, en changeant
$\rho$ en $-\rho+\beta'-1$. Cela ayant lieu pour $i=1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, m$, on
en conclut
\[
\calG'(\rho) = g'(-\rho + \beta' - 1).
\]

Cette identité étant établie, faisons croître indéfiniment le nombre
arbitraire $n$; l'identité subsistera, et, comme les variables $\calG'(\rho)$, $g'(\rho)$
et $\beta'$ qui y figurent ont des limites $\calG(\rho)$, $g(\rho)$ et $\beta$, elle aura lieu
entre ces limites; d'où
\[
\calG(\rho) = g(-\rho + \beta - 1).
\]

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[II]Si l'équation différentielle $P = 0$ a toutes ses intégrales
régulières, il en est de même de l'équation adjointe $\calP = 0$.\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

La démonstration résulte des théorèmes~I et II du \nobf{97}, comme au
\nobf{66}.

Enfin le théorème~IV du \nobf{98} se transforme évidemment de la manière
suivante:

\vspace{0.5\baselineskip}

\begin{thm}[III]Pour que l'équation différentielle $P = 0$, d'ordre $m$,
ayant une fonction déterminante de degré $\gamma$, ait exactement $\gamma$ intégrales
régulières linéairement indépendantes, il faut et il suffit que l'équation
adjointe $\calP = 0$ admette toutes les intégrales d'une équation différentielle
d'ordre $m - \gamma$, ayant pour fonction déterminante une constante.\end{thm}

\vspace{0.5\baselineskip}

% *** File: 134.png---

On en déduirait, comme au \nobf{68}, les deux conditions nécessaires
et suffisantes pour que l'équation $P = 0$ ait $m - 1$ intégrales régulières
linéairement indépendantes.

On peut donc établir simplement toutes les propriétés des intégrales
régulières, en partant directement de la décomposition en facteurs premiers
symboliques.

\bigskip

\begin{flushright}
\parbox{3in}{\begin{center}\emph{Vu et approuvé:}\\
Paris, le 12 décembre 1878.\\
\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,}\\
MILNE EDWARDS.\end{center}}
\end{flushright}

\parbox{3in}{\begin{center}\emph{Permis d'imprimer:}\\
Paris, le 12 décembre 1878.\\
\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,}\\
A. MOURIER.\end{center}}

\newpage

% *** File: 135.png---
\begin{center}

\hrulefill

\vspace{1in}

{\huge \bfseries SECONDE THÈSE.}

\vspace{0.5in}
\makebox[1in]{\hrulefill}
\vspace{0.5in}

{\large PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ}

\vspace{0.5in}
\makebox[1in]{\hrulefill}
\vspace{1in}

\end{center}


Intégrales eulériennes

\vspace{0.5in}

\begin{flushright}
\parbox{2.5in}{\small\begin{center}\emph{Vu et approuvé.}\\
Paris, le 12 décembre 1878.\\
\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,}\\
MILNE-EDWARDS.\end{center}}
\end{flushright}

\parbox{3in}{\small
\begin{center}\emph{Permis d'imprimer.}\\
\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,}\\
A. MOURIER.\end{center}}

\renewcommand{\thefootnote}{}
\footnotemark{}


\footnotetext{5187     Paris.--Imprimerie de \textsc{Gauthier-Villars}, quai des Augustins, 55.}

\newpage
\small
\pagestyle{plain}
\pagenumbering{Roman}
\begin{verbatim}
End of the Project Gutenberg EBook of Thèses présentées à la Faculté des
Sciences de Paris, by Gaston Floquet

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÈSES ***

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and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{verbatim}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Thèses présentées à la Faculté des%
% Sciences de Paris, by Gaston Floquet                                    %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THÈSES ***                      %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 31600-t.tex or 31600-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/3/1/6/0/31600/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

### lprep configuration

###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.12.9)  11 MAR 2010 08:45
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**31600-t.tex
(./31600-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk10.clo
File: bk10.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/greek.ldf
Language: greek 2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
) Loading the definitions for the Greek font encoding (/usr/share/texmf-texlive
/tex/generic/babel/lgrenc.def
File: lgrenc.def 2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen104
\std@mcc=\count89
\dec@mcc=\count90
*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen105
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen106
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count91
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count92
\leftroot@=\count93
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count94
\DOTSCASE@=\count95
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen107
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count96
\c@MaxMatrixCols=\count97
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count98
\dspbrk@lvl=\count99
\tag@help=\toks17
\row@=\count100
\column@=\count101
\maxfields@=\count102
\andhelp@=\toks18
\eqnshift@=\dimen108
\alignsep@=\dimen109
\tagshift@=\dimen110
\tagwidth@=\dimen111
\totwidth@=\dimen112
\lineht@=\dimen113
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks21
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count103
))
\Gin@req@height=\dimen114
\Gin@req@width=\dimen115
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/verbatim.sty
Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
\every@verbatim=\toks22
\verbatim@line=\toks23
\verbatim@in@stream=\read1
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amscls/amsthm.sty
Package: amsthm 2004/08/06 v2.20
\thm@style=\toks24
\thm@bodyfont=\toks25
\thm@headfont=\toks26
\thm@notefont=\toks27
\thm@headpunct=\toks28
\thm@preskip=\skip46
\thm@postskip=\skip47
\thm@headsep=\skip48
\dth@everypar=\toks29
)
\boxla=\skip49
\boxlb=\skip50
\boxlc=\skip51
\symupletters=\mathgroup6
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `upletters' in version `bold'
(Font)                  T1/cmr/m/n --> T1/cmr/b/n on input line 120.
No file 31600-t.aux.
\openout1 = `31600-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 182.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 182.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 182.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 182.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 182.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 182.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 182.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 182.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 182.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 182.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 182.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 182.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 182.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for LGR/cmr/m/n on input line 182.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for LGR+cmr on input line 182.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/lgrcmr.fd
File: lgrcmr.fd 2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 182.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 182.
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count104
\scratchdimen=\dimen116
\scratchbox=\box28
\nofMPsegments=\count105
\nofMParguments=\count106
\everyMPshowfont=\toks30
\MPscratchCnt=\count107
\MPscratchDim=\dimen117
\MPnumerator=\count108
\everyMPtoPDFconversion=\toks31
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 186.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
) [1


{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 219.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 219.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] 
[19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34]
[35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50]
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/pzc/m/it' will be
(Font)              scaled to size 9.90005pt on input line 3464.
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/pzc/m/it' will be
(Font)              scaled to size 6.60004pt on input line 3464.
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/pzc/m/it' will be
(Font)              scaled to size 5.50003pt on input line 3464.
[51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65]
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/pzc/m/it' will be
(Font)              scaled to size 8.80005pt on input line 4494.
[66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81]
[82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [1] 
[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] (./31600-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
    bk10.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
   greek.ldf    2005/03/30 v1.3l Greek support from the babel system
  lgrenc.def    2001/01/30 v2.2e Greek Encoding
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
verbatim.sty    2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
  amsthm.sty    2004/08/06 v2.20
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
  lgrcmr.fd    2001/01/30 v2.2e Greek Computer Modern
supp-pdf.tex
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 2958 strings out of 94074
 35671 string characters out of 1165153
 94885 words of memory out of 1500000
 6179 multiletter control sequences out of 10000+50000
 32388 words of font info for 72 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 26i,18n,24p,269b,335s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}{/usr/share/texmf-
texlive/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blues
ky/cm/cmmi5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></us
r/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi9.pfb></usr/share/texmf-texliv
e/fonts/type1/bluesky/cm/cmr5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky
/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr9.pfb></usr/sh
are/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fo
nts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm
/cmsy9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex7.pfb></usr/sh
are/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex9.pfb></usr/share/texmf-texlive/f
onts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky
/ams/msbm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msbm7.pfb></u
sr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbi0900.pfb></usr/share/texmf/fonts
/type1/public/cm-super/sfbx0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-sup
er/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></us
r/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx2074.pfb></usr/share/texmf/fonts/
type1/public/cm-super/sfbx2488.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-supe
r/sfcc0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc0800.pfb></usr
/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/t
ype1/public/cm-super/sfcc1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super
/sfrm0500.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0600.pfb></usr/
share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/ty
pe1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/
sfrm0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/s
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